Capítulo 4 - Derivadas

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1 Capítulo 4 - Derivadas 1. Problemas Relacionados com Derivadas Problema I: Coeficiente Angular de Reta tangente. Problema II: Taxas de variação. Problema I) Coeficiente Angular de Reta tangente I.1) Inclinação da Reta A Inclinação de uma reta () é o ângulo formado entre o eixo das abscissas () e a reta, considerado positivo se medido no sentido antihorário I.2) Coeficiente angular da Reta O Coeficiente Angular ou declividade de uma reta não perpendicular ao eixo das abscissas é o valor real () obtido no cálculo da tangente trigonométrica do ângulo. =tan() Na trigonometria, define-se tangente de um ângulo (tan()) como sendo o quociente entre o cateto oposto a e o cateto adjacente a. Como =tan(), tem-se: = Se 0 <<90 então >0 (função crescente). Se 90 <<180 então <0 (função decrescente). Se =0 ou =180 então =0 (função constante). Se =90 então = (não é função). Cálculo I - h 1

2 Muitas vezes a inclinação da reta é desconhecida, mas podemos determinar o valor o coeficiente angular () se forem conhecidas as coordenadas de dois pontos sobre ela. Seja uma função linear de equação =() cujo gráfico é uma reta no plano. Considere dois pontos (, ) e (, ) sobre a reta e denote por a diferença entre as coordenadas destes pontos ( = ) e por a diferença entre as coordenadas destes pontos ( = ). Sabendo que a tangente trigonométrica da inclinação da reta é igual ao coeficiente angular tem-se: =tan()= = = =() (, ) (, ) =( ) =( ) Observe que, por semelhança de triângulos, qualquer que seja o valor de, encontraremos por correspondência da função linear valores para tais que a relação = não se altera. Fazendo =1 tem-se =, assim, o coeficiente angular ou declividade da reta pode ser representado geometricamente por um triângulo retângulo de cateto adjacente unitário e cateto oposto igual a. =() 1 I.3) Equação da Reta na forma reduzida: A equação da reta na forma reduzida é uma equação linear do tipo: =()+ Onde é o coeficiente angular e é o coeficiente linear. A equação de uma reta pode ser estabelecida se forem conhecidos: Um ponto sobre a reta e o valor de seu coeficiente angular Dois pontos sobre a reta Cálculo I - h 2

3 a) Equação da reta dados um ponto sobre ela e o seu coeficiente angular Considere conhecidas as coordenadas de um ponto (, ) sobre uma reta. Imagine outro ponto qualquer (,), também sobre a reta, de forma que a coordenada de difere da coordenada de por uma quantidade e que a coordenada de difere da coordenada de por uma quantidade. Então a coordenada de é + e a coordenada de é +. + (, ) (,)=( +, + ) = + = + = + = Considere conhecida a inclinação da reta ou o seu coeficiente angular =tan (). Então, = Δ Δ = = ( ) = +( ) b) Equação da reta dados dois pontos sobre ela Se as coordenadas de dois pontos (, ) e (, ) sobre uma reta são conhecidas, podemos facilmente encontrar o seu coeficiente angular (). Uma vez conhecido o coeficiente angular e a coordenada de um ponto sobre a reta, podemos determinar a equação da reta utilizando o procedimento descrito anteriormente. Assim, = Δ Δ = = ( ) = +( ) Cálculo I - h 3

4 I. 4) Retas Secantes e Reta Tangente Seja uma função cujo gráfico =() encontra-se representado na figura abaixo. Considere (, ) e (, ) dois pontos sobre o gráfico da função, de forma que a coordenada de difere da coordenada de por uma quantidade. Assim, = + = Como os pontos e pertencem ao gráfico da função.tem-se: =( ) =( )=( + ) Assim as coordenadas de e são dadas por: (, )=(,( )) (, ) = ( + Δ,( + )). =( + ) (reta secante) =( ) 1 = + O segmento de reta que liga dois pontos de uma curva é chamado secante e a linha reta contendo e é chamada de reta secante. O coeficiente angular da reta secante ( ) é igual ao coeficiente do segmento secante, portanto pode ser calculado por: = Δ Δ = = ( + ) ( ) Considere que o ponto esteja fixo e o que ponto move-se, ao longo da curva da função, na direção de. Observe na figura que, à medida que o ponto se aproxima do ponto (pontos e Q ), a reta secante se aproxima da reta (retas e ). A reta é uma reta que tangencia o gráfico da função no ponto e é chamada de reta tangente ao gráfico da função no ponto. Cálculo I - h 4

5 =( ) + À medida que o ponto se aproxima de a diferença entre as coordenadas destes pontos tende a zero ( 0). Nestas condições, a reta secante tende a coincidir com a reta tangente ao gráfico da função no ponto. Portanto, o coeficiente angular da reta secante tende a se igualar com o coeficiente angular da reta tangente, quando 0. Assim, o coeficiente angular ( ) da reta tangente ao gráfico da função no ponto pode ser calculado como sendo o limite do coeficiente angular ( ) da reta secante quando 0. Então, = lim = lim Δ Δ = lim ( + ) ( ) Observe que o valor do coeficiente angular da reta secante que contém dois pontos e do gráfico da função depende da posição destes pontos. O valor do coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função no ponto depende da posição do ponto. Exemplos: 1) Determinar a equação da reta tangente ao gráfico da função dada pela equação = quando =1. A equação de uma reta no plano é completamente determinada quando sabemos o seu coeficiente angular e as coordenadas de um ponto sobre ela. Precisamos, então, determinar as coordenadas do ponto (,()) quando =1 e a inclinação da reta tangente ao gráfico da função no ponto de abscissa =1. Quando =1 tem-se que =(1)=1. Assim a reta desejada tangencia o gráfico da função no ponto (1,1). O coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função num ponto genérico (,()) é dado por: ()= lim (+ ) () =()= Cálculo I - h 5

6 ()= lim (+ ) ()= lim = lim ()= lim 2+ = lim 2=2 ()=2 O coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função quando =1 é: (1)=2.1=2 A reta desejada passa pelo ponto (1,1), =1 =1, e possui coeficiente angular =2 e sua equação é dada por: = ( ) = + ( )=1+2( 1) =2 1 Problema II) Taxas de Variação: Seja uma função de equação =() cujo gráfico encontra-se representado na figura abaixo. Considere (, ) e (, ) dois pontos sobre o gráfico da função de forma que a coordenada de difere da coordenada de por uma quantidade. =( + ) (reta secante) =( ) 1 = + Cálculo I - h 6

7 Quando a coordenada sofre uma variação de para, sofre uma variação de para. A taxa de variação em para a variação em que é formada é chamada de taxa de variação média de por unidade de variação em ou taxa de variação média de em relação a e é definida por: Alternativamente, fazendo, tem-se: Se a taxa de variação média de em relação a tende a um valor limitado quando 0, parece razoável nos referirmos a este valor como taxa de variação instantânea de em relação a no instante em que, a qual é calculada como: Δ lim lim Δ Exemplos: 1) Um móvel desloca-se numa estrada reta a partir de uma cidade A tendo como destino final uma cidade C situada a 504 km. Após 2 horas de viagem o veículo passa pela cidade B, situada a 148 km da cidade A, e atinge o destino final 6 horas após sua partida. Neste problema, estamos relacionando a distância percorrida com o tempo, ou seja, e uma função de, A B C Com base nestas informações responda os itens abaixo: a) Qual é a velocidade média do móvel no percurso entre as cidades A e B? Sabe-se que velocidade é a taxa de variação da distância em relação à variação do tempo, então: / Cálculo I - h 7

8 b) Qual é a velocidade média do móvel no percurso entre as cidades B e C? / c) Qual é a velocidade média do móvel no percurso entre as cidades A e C? / d) O motorista percebeu que com 3 h e com 5 h de viagem sua velocidade foi anotada pela polícia rodoviária. Sabendo que a velocidade máxima da estrada é de 90 km/h, deseja-se saber se motorista corre o risco de ter sido multado As velocidades médias calculadas não ultrapassam o limite de velocidade média permitida na estrada. Porém, não interessa saber as velocidades médias. Desejamos estimar as velocidades nos instantes que o móvel passou pela polícia rodoviária, ou seja, desejamos saber as velocidades nos instantes em que 3 5 (velocidade instantânea). Construindo um gráfico de dispersão distância ( ) versus tempo ( ) e utilizando um método numérico de aproximação, podemos estimar uma equação para a função. 2,5 69 lim A velocidade instantânea é a taxa de variação instantânea da distância em relação ao tempo, assim para um tempo genérico temos: lim lim 2,5 69 Cálculo I - 8

9 2,5(+ ) +69(+ ) (2,5 +69 ) lim = 2,5( +2 +( ) ) ,5 69 = lim = 2, ,5( ) +69 2,5 5 +2,5( ) +69 = lim = lim = = lim (5+2,5 +69) = lim (5+2,5 +69)=5+69 ()= Desejamos saber o valor da velocidade instantânea nos instantes que o automóvel passou pela polícia rodoviária =3 h e =5 h. (3)= 5.(3)+69=15+69=84 /h, pode não ter sido multado (5)= 5.(5)+69=25+69=94 /h, pode ter sido multado. 2) Uma partícula se move de modo que no final de segundos, sua distância, em metros, do ponto de partida é dada por ()= 3 +. Calcule a velocidade da partícula no instante = 2. A velocidade é a taxa de variação da distância () em relação ao tempo (). A velocidade da partícula no instante = 2 é a taxa de variação em relação a no instante em que = 2, ou seja, é a taxa de variação instantânea. s ()= lim t = lim (+ ) () = 3(+ ) +(+ ) (3 +) = lim = 3( +2 +( ) ) ( ) + = lim = lim = = lim = 6+1 ()=6 +1 No instante = 2 (2)=6 (2)+1=12+1=13 / No instante =2, a velocidade da partícula é 13 /, ou seja, para cada 1 segundo de acréscimo no tempo, a partícula percorre 13 m no sentido positivo do percurso. Cálculo I - 9

10 Relação entre Taxa de Variação Instantânea e Coeficiente Angular de Reta Tangente O coeficiente angular da reta tangente ao gráfico =() num ponto (,( )) e a taxa de variação instantânea de em relação a no instante em que = são problemas resolvidos pelo cálculo do mesmo limite. Δ lim Δ = lim ( + ) ( ) Limites nesta forma aparecem com tanta frequência que é necessário uma terminologia especial que é a DERIVADA. A operação de calcular a derivada ( ) de uma função chama-se derivação ou diferenciação. 2. Definição A derivada de uma função, denotada por, é uma função tal que seu valor em qualquer número de seu domínio é dado por: (+ ) () lim,desde que este limite exista OBS: Quando o limite existe dizemos que é diferenciável ou derivável em, ou que tem derivada em. Seja uma função definida em um intervalo aberto que contém, então a derivada da função no ponto em que =, denota-se ( ), é dada por: ( )= lim ( + ) ( ) ( )= lim () ( ) () é uma função ( ) é o valor da derivada de quando =. Outras Notações: Seja =() uma função com derivada, denotaremos tal derivada por: ; (); (); (); ; Cálculo I - 10

11 Interpretação Geométrica da Derivada Seja uma função derivável. O valor da derivada da função em um determinado ponto de seu domínio, denota-se, é igual ao valor do coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função no ponto,. Genericamente, para um ponto qualquer do domínio tem-se: Exemplo: Seja uma função dada pela equação /2. Na figura abaixo foram representados os valores do coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função em alguns pontos de seu domínio. Os valores, juntamente com os valores da função, encontram-se indicados na tabela , ,5 3 Encontre a equação da função que é a derivada de e trace seu gráfico. Sabe-se que o valor da derivada de uma função em um determinado ponto de seu domínio é igual ao valor do coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função no ponto,, então. Assim, podemos construir uma tabela relacionando os valores de e O gráfico da função é uma reta de coeficiente angular igual a 1 que passa pela origem 0,0. A equação desta reta é, então. Cálculo I - 11

12 Outra forma de encontrar a equação da função é calcular o limite: lim (+ ) () ()= 2 (+ ) 2 2 ()= lim ()= ( +2 +( ) ) = lim = 2 2 +( ) = lim = lim+ 2 2 = lim + lim 2 = 3. Diferenciabilidade Se é uma função contínua num ponto de seu domínio =, então ( ) existe, se e somente se, as derivadas à direita e à esquerda de = existirem e forem iguais. () ( ) ( )= lim () ( ) ( )= lim Se ( ) = ( ) então ( ) existe. Se é uma função diferenciável num ponto = de seu domínio, então é contínua em = Exemplo: Verificar se ()= +1 é derivável em = 1. A função pode ser descrita por duas equações equivalentes: ()= +1 = +1, +1 0,, 1 (+1), +1<0,, < 1 Cálculo I - 12

13 Para ser derivável em, uma função tem que ser contínua em e as derivadas à direita e à esquerda de devem ser iguais, isto é,. A função é contínua em se: lim a) Verificação da existência do limite da função quando 1 lim lim 1 lim lim lim lim 1 lim lim lim lim 0 lim 0 b) Cálculo do valor da função em Como lim 1 a função é contínua em 1 Se função é contínua em, será derivável em se: lim lim lim 1 1 lim lim lim 1 1 lim lim Como a função não é derivável em 1, apesar de ser contínua em 1. Cálculo I - 13

14 4. Técnicas de Diferenciação 1) Regra da Constante: Derivada de uma constante é zero é ()= então ()=0 ()=0 Exemplos: ()= =0 ) =3 =0 2) Regra da Função Potência: Derivada da função potência é ú ( 0) ()= ã ()= ; ( )= OBS: pode ser um número inteiro, racional, positivo ou negativo Exemplos: ) ()= ()=1. =1 ) ()= ()=3. =3 ) = 1 = = 2 = 2 = 2 ) = = / =1 2 = 1 2 = 1 2 / = 1 2 3) Regra da Homogeneidade: Derivada do produto de uma constante por uma função é a constante multiplicada pela derivada da função () çã á ()= () então =() então ()=. () (.)=. Cálculo I - 14

15 Exemplos: = ( )= ( )= )= 3 = 3 = = 3 = 3 ( )= 3( 2) = 2 3 ) = 1 2 =1 2 = 1 2 = 1 2 = = 1 4 = 1 4 4) Regra da Soma: Derivada da soma (ou diferença) de funções é a soma (ou diferença) das derivadas das funções =() =() çõ á h()= ()+ () então h ()= ()+ () (±)= ± Exemplos: )()= ()= ( 4 )+ ( 3 ) ( )+ ( 5) ()=4 ( )+3 ( ) 1+0= ) = = = = ( ) = 2 ( )+ 1 ( )+0 3 = 2 (5 )+ 1 (4 ) = /= Cálculo I - 15

16 5) Regra do Produto: Derivada do produto de duas funções é a primeira multiplicada pela derivada da segunda mais a segunda multiplicada pela derivada da primeira =() e =() çõ á h()=().() então h ()=(). ()+(). () (.)=. +. Exemplos: 2 ) = =( ) (2 )+(2 ) ( ) =( ) (2) ()+(2 ). ( ) () =( ).( 1)+(2 ).(3 1) = = ) =(3 +1)(7 +) = =(3 +1)7 + +(7 +).3 +1 =(3 +1).(21 +1)+(7 +).(6) = = ) Regra do Quociente: Derivada da divisão de duas funções é a função do denominador multiplicada pela derivada da função do numerador menos a função do numerador multiplicada pela derivada da função do denominador dividido pela função do denominador elevada ao quadrado h()= () () =() =() çõ á () 0 então h ()= (). () (). (). () =.. Cálculo I - 16

17 Exemplos: 7 = +7). =( ( ) ( ). ( +7) ( +7) = ( +7).(2) ( ).(3 ) ( +7) = ( +7) = 14 ( +7) ) ()= 2 +1 ()= ( +1).2 (2). +1 ( +1) ()= ( +1) = 2 2 ( +1) = ( +1).(2) 2.(2) ( +1) 5. Aplicação das Derivadas: Taxas de Variação Instantânea e Coeficiente Angular 1) De acordo com a Lei de Ohm, a voltagem (em volts), a corrente (em amperes) e a resistência (em ohms, Ω) de um circuito elétrico estão relacionadas pela equação: = Considere um circuito de voltagem =100 e determine: a) A taxa de variação da corrente em relação à resistência. Desejamos calcular, então estamos considerando a corrente elétrica () com uma função da resistência do circuito (), ou seja, ()= =100 =100 ()= (100 )=100 ( )= 100 = 100 /Ω b) A taxa de variação da corrente em relação à resistência, quando a resistência é de 20Ω = = 1 = 0,25 /Ω 4 c) Qual o significado da taxa encontrada? Significa que num circuito elétrico de voltagem 100, se a resistência for de 20 Ω, a corrente decrescerá de 0,25 para cada 1 Ω de acréscimo na resistência. Cálculo I - 17

18 2) Sabe-se que a tensão circunferencial ( em MPa ) de um duto de parede fina, fechado nas extremidades e submetido à pressão interna uniforme ( em MPa) é: = onde e ( ) são o raio externo e a espessura do duto, respectivamente. a) Qual a taxa de variação da tensão em relação à pressão de um duto de raio = 250 e =10? O que esta taxa significa? Desejamos calcular, então estamos considerando a tensão () com uma função da pressão interna (), ou seja, ()= = =25 ()= = (25 )=25 ()=(25)(1)=25 Significa que para uma duto de = 250 e =10 a tensão circunferencial aumenta de 25 para cada 1 de aumento na pressão interna. b) Qual a taxa de variação da pressão em relação ao raio de um duto de espessura =8 cuja tensão circunferencial é de 600? O que esta taxa significa? Desejamos calcular, então estamos considerando a pressão interna () com uma função do raio do duto (), ou seja, ()= 1 =(600. 8) =4800 ()= = (4800 )=4800 ( )= 4800 ()= Neste caso, a taxa de variação instantânea também depende do valor do raio. Por exemplo, =100 ã (10)= = 0,48 / Isto significa que para uma duto de = 100, =8 e =600 a pressão diminui de 0,48 para cada 1 de aumento no seu raio. =200 ã (10)= = 0,12 / Isto significa que para uma duto de = 200, =8 e =600 a pressão diminui de 0,12 para cada 1 de aumento no seu raio. Cálculo I - 18

19 3) Uma flecha é atirada do nível do solo da lua para cima, com uma velocidade inicial 58 /. A equação da altura h (em metros) atingida pela flecha, após segundos de seu lançamento é dada pela equação: h()= 0,83 a) Encontre a equação da velocidade da flecha em função do tempo t. Sabe-se que a velocidade é a variação da distância percorrida em relação ao tempo. ()= h h()=58 0,83 ()= h = (58 0,83 )= 58 1,66 ()=58 1,66 b) Encontre a velocidade da flecha após 1 segundo de seu lançamento. Queremos saber o valor da velocidade quando =1, ou seja, (1) (1)=58 1,66 (1)=56,34 / c) Determine o tempo após o lançamento necessário para a flecha atingir o solo. Quando a flecha atinge o solo, a função altura h() deve ser nula. A altura da flecha em relação ao solo também é nula no momento do seu lançamento =0, mas este momento não nos interessa. Devemos ter: h()=0 0 h()=58 0,83 =0 58 0,83 =0 (58 0,83)=0 =0 58 0,83 =0, 0, 58 0,83 =0 = 58 0,83 69,88 Levará aproximadamente 69,88 para a flecha atingir novamente o solo. d) Com que velocidade a flecha atinge o solo? A flecha atinge o solo no instante =69,88. Então queremos saber o valor de (69,88) (69,88)=58 1,66 (69,88) 58 / Cálculo I - 19

20 4) Seja : a) Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto (3, 1) Cálculo do coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função: ()= ()= (3 12+8)=6 12, =3 (3)= (3)=6(3) 12=6 A equação da reta que passa por um ponto (, ) de coeficiente angular conhecido pode ser dada como: =( ) (3, 1) =3 = 1 =6 quando =3 portanto = +( )=( 1)+6( 3)= =6 19 =6 19 b) Determine a equação da reta normal ao gráfico da função no ponto (3, 1) A reta normal ao gráfico de no ponto é a reta perpendicular à reta tangente. Se o valor do coeficiente angular de uma determinada reta é,então o valor do coeficiente angular da reta normal a ela é. Como coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função no ponto (3, 1) é =6, o coeficiente angular da reta normal ( ) ao gráfico da função no ponto (3, 1) é: = 1 = 1 6 A equação da reta é: = ( ) A reta desejada passa pelo ponto (3, 1) e seu coeficiente angular =. Então, = + ( )=( 1) 1 6 ( 3)= = = c) Determine o ponto do gráfico no qual reta tangente ao gráfico é horizontal. Se a reta tangente é horizontal então ()==0, logo, ( )=0 ( )=6 12=0 =2 ( )= = 4 Portanto, o ponto do gráfico onde a reta tangente é horizontal é (2, 4). Cálculo I - 20

21 6. Derivadas das Funções Exponencial e Logarítmica Função Exponencial: A função exponencial é uma função do tipo Função Logarítmica: A função logarítmica é uma função do tipo log 0, As funções exponencial e logarítmica são funções inversas: log então então log Das propriedades das funções inversas tem-se 1 2 log Cálculo I - 21

22 Lei dos Expoentes 1) =. 2) = 3) ( ) =. 4) (.) =. Lei dos Logaritmos 1) log (.)=log ()+ log () 2) log (/)=log () log () 3) log ( )= log () 4) log = log log Logaritmos Naturais: Os logaritmos na base e (e = 2, , número de Euler) são chamados de logaritmos naturais e recebem uma notação especial. log ()=ln() 1) =ln() enta o = ; = ã ln()= 2) çã : () = ; ln( )= 3) ç log ()= log () log () =ln() ln() Derivada da Função Exponencial >0, 1 ()= ã ()=.ln() ( )=.ln( ), ()= ã ()= ( )= Derivada da Função Logarítmica >0, 1,>0 ()=log () ã ()= (log 1 ())=.ln() 1.ln(), ()=ln() ã ()= 1 (ln())=1 Cálculo I - 22

23 Exemplos: Calcule a derivada das funções 1) ()= +log () ()= ( ) ( )+ (log )= ln(2) 2) =3 ln()+ + + = (3 ln())+ ( )+ ( )+ ( ) =3. ( ln())+ln(). (3 ) +. ( )+.ln()+0 =3. 1 +ln().3.ln(3) +.(3 )+.ln() =3 +3 ln(3)ln()+3 + ln() 3) = log () = log () =. 1. =.ln(2) log (). ( ) = (log ()) log (). ( ) ( ).ln(2) ln() ln(2) ( ) = ln() ln(2) ( ) = ln() ln(2)( ) = (1 ln()) ln(2)( ) = = 1 ln() ln(2) Cálculo I - 23

24 7. Derivadas de Funções Trigonométricas Derivada da Função Seno ()=sen() ã ()=cos() sen()=cos() Derivada da Função Co-Seno ()=cos() ã ()= sen() cos()= sen() Uma vez conhecida as derivadas das funções seno e co-seno, podemos deduzir a derivada de outras funções trigonométricas. a) Derivada da Função Tangente tan() = (tan())= sen() cos() (tan())=cos(). () sen(). (cos()) cos() (tan())=cos().cos() ().( sen()) cos() = cos ()+sen () cos () (tan())= 1 cos () =sec () b) Derivada da Função Co-Tangente =cot() = (cot())= cos() sen() (cot())=sen(). cos() cos(). (sen()) sen() (cot())=sen(). sen() cos().(cos()) sen() = sen () cos () sen () 1 (cot())= sen () = () Cálculo I - 24

25 c) Derivada da Função Secante sec() = (sec())= 1 cos() (sec())=cos(). (1) (1). (cos()) cos() (sec())=cos(x).(0) ( sen()) sen() cos() = cos().cos() =sen() cos(). 1 cos() (sec())=tan().sec() d) Derivada da Função Co-Secante =cosec() = (cosec())= 1 sen() (cosec())=sen(). (1) (1). (sen()) sen() cos() (cosec())= sen() = cos() sen (). 1 sen() (cosec())= cot().cosec() Exemplo Calcule a derivada da função =().(1+3cos(t)) = sen().(1+3cos(t)) =sen(). (1+3cos())+(1+3cos()). (sen()) =sen(). (1)+ (3cos())+(1+3cos()).cos() =sen().(0 3sen())+(1+3cos()).cos() = 3 ()+(1+3cos()).cos() Cálculo I - 25