Introdução à Astronomia Semestre:

Transcrição

1 Introdução à Astronomia Semestre: Sergio Scarano Jr 22/10/2013

2 Horário de Atendimento do Professor Professor: Sergio Scarano Jr Sala: 119 Homepage: * scaranojr.ufs@gmail.com** Horário de Atendimento***: Segunda Terça Quarta Quinta Sexta 14:00-15:00 14:00-15:00 14:00-15:00 14:00-15:00 A ser discutido * Nosso canal de comunicação principal será o SIGAA, mas o material será disponibilizado na homepage; ** Não serão respondidas dúvidas sobre a matéria por *** Os horário podem ser articulados em caso de demanda dos alunos em acordo com o professor

3 Revisão de Matemática e Como Utilizar uma Calculadora Científica Sergio Scarano Jr 04/06/2013

4 Exponencial Operação que envolve uma variável no expoente. Também está associadas às comuns "leis de potência" encontradas na física. bx = a

5 O Logaritmo O logaritmo é a operação que permite obter o expoente de uma potência. Isso é extremamente útil para operar com números muito grandes ou quando se estuda variações numéricas muito grandes de uma grandeza. log (a) b = n b n = a a 1 =b n1 log 10 (a 1 ) = n a 2 =b n2 log 10 (a 2 ) = n a 3 =b n3 log 10 (a 3 ) = n a 4 =b n4 log n = b (a) log 10 (a 4 ) = n a 5 =b n5 log 10 (a 5 ) = n 5 1 Intensidade Pixel 1 0 No tratamento de imagens, a função logaritmo permite ver simultaneamente regiões de grande contraste ø a 6 =b n6 ø log 10 (a 6 ) =n 6 ø 0 ø

6 O Logaritmo O logaritmo é a operação que permite obter o expoente de uma potência. Isso é extremamente útil para operar com números muito grandes ou quando se estuda variações numéricas muito grandes de uma grandeza. b n = a log (a) b = n No tratamento de imagens, a função logaritmo permite ver simultaneamente regiões de grande contraste.

7 Relações Genéricas para os Logaritmos Escrevendo de forma algébrica, temos as seguintes relações fundamentais para os logaritmos. log (A B) = c log (A/B) = c log c log c (A) + log (B) c (A) - log (B) c log (AB ) = c log (A) = c B log (A) c log (A) b log (C) b Definições: log (A) = log(a) 10 log (A) = ln(a) e

8 Demonstrações das Relações Genéricas dos Logaritmos Escrevendo de forma algébrica, temos as seguintes relações fundamentais para os logaritmos. Chamando: log c (A B) = log c (A) + log c (B) log c (A) = m, log c (B) = n Assim: A=cm, B=c n Multiplicando as duas expressões: A B =c m c n A B =c m + n Extraindo o logaritmo na base c dos dois lados: log c (A B) =log c (c m + n ) log c (A B) = m + n log c (A B) = log c (A) + log c (B)

9 Demonstrações das Relações Genéricas dos Logaritmos Escrevendo de forma algébrica, temos as seguintes relações fundamentais para os logaritmos. Chamando: log c (A/B) = log c (A) - log c (B) log c (A) = m, log c (B) = n Assim: A=cm, B=c n Multiplicando as duas expressões: A/B =c m /c n A/B =c m - n Extraindo o logaritmo na base c dos dois lados: log c (A/B) =log c (c m - n ) log c (A/B) = m - n log c (A/B) = log c (A) - log c (B)

10 Demonstrações das Relações Genéricas dos Logaritmos Escrevendo de forma algébrica, temos as seguintes relações fundamentais para os logaritmos. Chamando: log c (A B ) = B log c (A) log c (A) = m Assim: A=c m Elevando os dois lados por B: A B = (c m ) B = c (m B) Extraindo o logaritmo na base c dos dois lados: log c (A B ) = log c (c (m B) ) log c (A B ) = m B log c (A B ) = B log c (A)

11 Demonstrações das Relações Genéricas dos Logaritmos Escrevendo de forma algébrica, temos as seguintes relações fundamentais para os logaritmos. log c (A) = log b(a) log b (C) Chamando: log c (A) = m. Assim: A=C m Extraindo o logaritmo na base b dos dois lados: log b (A) = log b (C m ) Substituindo m na expressão: log b (A) =m log b (C) log b (A) =log c (A) log b (C) log c (A) = log b(a) log b (C)

12 Usando a Calculadora para Logaritmos Esse procedimento é possível com calculadoras científicas. log (1) 10 = n 1-) Digite 2-) Digite 3-) Digite Note que a calculadora só tem opções para logaritmo decimal e logaritmo na base e. Para outras bases é necessário calcular a mudança de base.

13 Razão e Proporção em Termos Intuitivos Ser proporcional significa que qualquer alteração de um objeto em uma direção tem que ser seguida por uma alteração com o mesmo fator multiplicativo em todas as outras direções. Quem está na foto? Aumentando a foto 50 vezes só na vertical Aumentando a foto 20 vezes na vertical Quem está na foto? Quem está na foto? Aumentando a foto 20 vezes na horizontal Aumentando a fot 50 vezes só na horizontal

14 Razão e Proporção em Termos Matemáticos Chamamos de razão de uma grandeza A para outra grandeza B da mesma espécie ao número que exprime a medida de A quando se toma B como unidade. Isso se resume no popular quantas vezes B cabe em A. razão = A B A B B B B

15 Razão e Proporção em Termos Matemáticos Chamamos de proporção a igualdade entre duas razões. d razão horiz = a b c d razão vert = c d Sendo a razão horizontal igual a razão vertical: d a b = c d b b b a

16 Proporções e Regra de Três em Exemplos Resolva os seguintes exemplos para grandezas diretamente proporcionais: 1-) Ao corrigir as provas de uma turma um professor pode usar 2 minutos por questão. Se a prova é composta por 12 questões, quantos minutos será necessário para o professor corrigir a prova de um aluno? 2-) Sabendo que esse professor tem 120 alunos, qual o tempo total necessário para o professor corrigir todas as provas? 3-) Para fazer uma correção mais detalhada das questões, o professor poderá gastar 5 minutos por questão. Nessa condição, quanto tempo o professor levará para corrigir todas as provas? Dica: Identifique se a grandeza cresce ou decresce com a outra, e depois monte as frações considerando as mesmas grandezas, colocando a maior no numerador e a menor no denominador (ou o inverso) para ambas as frações. Lembre: as frações tem que ser iguais!

17 Proporções e Regra de Três em Exemplos Resolva os seguintes exemplos para grandezas inversamente proporcionais: 1-) Um avião, voando a uma velocidade de 300 km/h faz o percurso entre duas cidades em 2h. Se aumentar a velocidade para 400 km/h, qual será o tempo necessário para fazer o mesmo percurso? Dica: Identifique se a grandeza cresce ou decresce com a outra, e depois monte as frações considerando as mesmas grandezas, colocando a maior no numerador e a menor no denominador (ou o inverso) para ambas as frações. Lembre: as frações tem que ser iguais!

18 O Princípio da Resolução de Equações Resolver equações é análogo a encontrar o equilíbrio em uma balança. Tudo o que eu faço de um lado eu posso fazer do outro: x 5 x x 5 x 5 5

19 Generalizando o Conceito de Área Compreendendo o conceito de Área e Perímetro para um quadrilátero podese generalizar o raciocínio para qualquer polígono. Retângulo: Quadrado: A a b b b 2 A b a b Trapézio: A b h h Triângulo: b A b h 2 b h

20 Teorema de Pitágoras Se a relação vale para um triângulo de lados 3, 4 e 5, ela vale para qualquer triângulo semelhante (ou seja, de lados proporcionais). c = cateto b = cateto a 2 = b 2 + c 2 a = hipotenusa

21 E Para uma Círcunferência? Para um polígono o perímetro é dado pela soma dos lados. Uma circunferência é o limite de um polígono regular com muitos lados. D 2 R C D 3?, C 2 R

22 Usando na Calculadora Esse procedimento é possível com calculadoras científicas. Para inserir o valor de : 1-) Digite + 2-) Digite

23 Área de Um Círculo... no limite: A R 2 R R

24 A Lua é maior próximo do horizonte? Medidas de Ângulos 45 m = 15 andares Não!!! Comparamos a abertura angular dela com coisas próximas do horizonte que sabemos que são grandes. Aí temos impressão que ela é grande. 0,5 0,5

25 Unidades de Medida de Ângulos ou Arcos Como para o caso de medidas lineares, medidas angulares podem assumir diferentes referências: 1. Grau ( º ) arco que corresponde à fração 1/360 da circunferência. 2. Grado (gr) arco que corresponde à fração 1/400 da circunferência. 3. Radiano (rad) ângulo contido pelo arco cujo comprimento é igual ao raio da circunferência que o contém. B 1 rad R l 1 rad rad Ȯ R A l R [rad]

26 Correspondências Entre as Unidades Como para o caso de medidas lineares, medidas angulares podem assumir diferentes referências: 360º 400 gr 2π rad ( 2) ( 2) ( 2) 180º 200 gr π rad Como não utilizaremos o grado nas atividades deste curso, a relação que nos importa é a relação simplificada abaixo: 180º π rad

27 Exemplo de Conversão Entre Ângulos Exemplo 1: Converta 30º para radianos: 180º π rad 30º x = π x 180 x = 30π x = 30π 180 ( 30) ( 30) π x = rad 6

28 Ajustando a Calculadora para Radianos, Graus ou Grados Esse procedimento é possível com calculadoras científicas. 1-) Digite até que apareça as opções: Deg Rad Gra ) Digite para graus, ou para radianos, ou para grados 3-) Digite o valor desejado e depois Note que no display aparece um D (Graus), R (Radianos) ou G (Grados), conforme a medida escolhida. A partir disso é possível fazer conversões de ângulos para a unidade do display (passo 2). Basta digitar o valor e escolher a unidade de entrada digitando: + e depois

29 Trabalhando com o Sistema Sexagesimal Esse procedimento é possível com calculadoras científicas. 1-) Digite o número de graus e depois 2-) Digite o número de minutos de arco e depois 3-) Digite o número de segundos de arco e depois 4-) Digite e o número será exibido na parte do display destinada às respostas 5-) Para alternar a visualização do valor em formato sexagesimal e formato decimal, basta digitar

30 Triângulo Retângulo, Proporções e Funções Trigonométricas Considerando a proporcionalidade entre triângulos retângulos pode-se definir grandezas que dependam apenas dos ângulos do mesmo. tan() = b pequeno c pequeno = b grande c grande = cateto oposto cateto adjacente sen() = cateto oposto hipotenusa cos() = cateto adjacente hipotenusa tan() = sen() cos() cateto oposto (b grande ) cateto oposto (b pequeno ) cateto adjacente (c pequeno ) Multiplicando pelo cateto adjacente mesmo fator (c grande ) Multiplicando pelo mesmo fator Multiplicando pelo mesmo fator

31 Usando a Calculadora para Funções Trigonométricas Esse procedimento é possível com calculadoras científicas. 1-) Digite ou ou 2-) Digite 3-) Digite As funções + ou + ou + calculam os ângulos cujo seno, cosseno ou tangente do valor inserido na calculadora e não o inverso dessas funções (cossecante, secante e cotangente), respectivamente.

32 Equação de uma Reta Sabendo que dois pontos determinam uma reta: tg() = m = y - y 0 x - x 0 y y = m x + n assim a equação da reta fica: y y = m x + n onde a inclinação da reta recebe o nome de coeficiente angular: y - y 0 m = y - y 0 x - x 0 eolocalondearetainterceptao eixo y é o coeficinte linear: y 0 n x 0 m x - x 0 x x n = y 0 - m x 0

33 Noções de Uso do Software Máxima Software para cálculos numéricos, algébricos e plotagem de gráficos gratuito, equivalente ao software pago Maple.

34 Volume V e Superfície S dos Polígonos e do Círculo No geral deriva-se multiplicando mais uma dimensão à área da base. Para os polígonos os sólido gerados são prismas e para o círculo o cilíndro. Volume área base altura Primas, cubos, paralelepípedos Cilindro Alturan= c Alturan= h a b 0 R V a b c V R 2 h S 2 ( ab ac bc) S 2 R ( h R )

35 Volume V e Superfície S de Pirâmides e Cones Resolvidos rigorosamente por meio de Cálculo Integral. Volume 3 1 área base altura V 3 1 área base h V 1 R 3 2 h h h R S área base áreas faces S 2 R h R R

36 Volume V e Superfície S de Uma Esfera Obtido de modo análogo ao da área de um círculo. Volume da Esfera: 4 V r 3 3 Área da Esfera: S 4R 2

37 A Memória Especial M+ Em diversas calculadoras, mesmo não científicas, é possível adicionar, subtrair valores e recuperar a memória da tecla M+. Para limpar valor da memória: 1-) Digite ) Digite Para adicionar um valor (2.3 por ex.) na memória: + Para adicionar um valor 0.7 por ex.) na memória: + Para subtrair o valor 0.3 da memória: + + Para consultar o valor da memória: +

38 Usando Valores na Memória Uma das vantagens de uma boa calculadora é permitir armazenar valores de cálculos parciais em memórias. Para limpar valor da memória: 1-) Digite + 2-) Digite e Para inserir um valor (2.3 por ex.) na memória: + + ou ou... Para acessar o valor na memória: + ou... e Lembre que é memória do último cálculo.