Caderno de Prova. Matemática. Universidade Federal da Fronteira Sul Processo Seletivo Edital n o 001/2011.

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1 Universidade Federal da Fronteira Sul Processo Seletivo Edital n o 00/20 Caderno de Prova agosto 7 7 de agosto das 4 às 7 h 3 h de duração* 40 questões S06 Matemática Confira o número que você obteve no ato da inscrição com o que está indicado no cartão-resposta. * A duração da prova inclui o tempo para o preenchimento do cartão-resposta. Instruções Para fazer a prova você usará: este caderno de prova; um cartão-resposta que contém o seu nome, número de inscrição e espaço para assinatura. Verifique, no caderno de prova, se: faltam folhas e a sequência de questões está correta. há imperfeições gráficas que possam causar dúvidas. Comunique imediatamente ao fiscal qualquer irregularidade. Atenção! Não é permitido qualquer tipo de consulta durante a realização da prova. Para cada questão são apresentadas 5 (cinco) alternativas diferentes de respostas (a, b, c, d, e). Apenas uma delas constitui a resposta correta em relação ao enunciado da questão. A interpretação das questões é parte integrante da prova, não sendo permitidas perguntas aos fiscais. Não destaque folhas da prova. Ao terminar a prova, entregue ao fiscal o caderno de prova completo e o cartão-resposta devidamente preenchido e assinado.

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3 Universidade Federal da Fronteira Sul Prova Escrita de Conhecimentos (40 questões). Sejam f : IR IR e g : IR IR funções reais. Considere as afirmativas abaio:. Se f e g são diferenciáveis, então (f g) (a) = f (a) g (a). 2. Se f é contínua e lim f() > 0, então eiste um a número real δ > 0 tal que f() > 0 para todo (a δ,a + δ). 3. Se lim f() e lim g() não eistem, então lim a a a f() g() não eiste. a. ( ) É correta apenas a afirmativa. b. ( X ) É correta apenas a afirmativa 2. c. ( ) É correta apenas a afirmativa 3. d. ( ) São corretas apenas as afirmativas 2 e 3. e. ( ) São corretas as afirmativas, 2 e A área limitada pelas curvas y = sen, y = cos, = 0 e = 4 p é igual a: a. ( ) 2. b. ( ) c. ( ) d. ( X ) 2. e. ( ) Seja f:[a,b] IR uma função contínua em [a,b] e diferenciável em (a,b) cuja derivada é limitada, isto é, eiste um número real M, tal que f () M para todo (a,b). Considere as afirmativas abaio:. f é uma função limitada. 2. Para todo, y (a,b), tais que < y, eiste f(y) f() ξ (,y) tal que f '( ξ= ). y 3. f é contínua em (a,b). a. ( ) É correta apenas a afirmativa 3. b. ( ) São corretas apenas as afirmativas e 2. c. ( ) São corretas apenas as afirmativas e 3. d. ( ) São corretas apenas as afirmativas 2 e 3. e. ( X ) São corretas as afirmativas, 2 e Suponha que a posição de uma partícula seja dada pela equação abaio: t s = f(t) = t onde t é o tempo em segundos e s é dado em metros. Logo, podemos afirmar que a velocidade da partícula, no tempo t = 2 é de: a. ( ) b. ( X ) c. ( ) d. ( ) e. ( ) 2 m/s. 4 m/s. 6 m/s. 2 3 m/s. 3 2 m/s. Página 3

4 Processo Seletivo 5. O valor mínimo da função f:(0,4] IR, dada por f() = é: 2 a. ( ) 6. b. ( ) 4. c. ( ) d. ( ) e. ( X ) Considere as afirmativas abaio:. Se f : IR IR é uma função integrável, então f é contínua. 2. A área abaio do gráfico da função f:[ 7,7] IR, dada por f() = 7, é igual a zero. 3. Se f : IR IR é uma função contínua, então, d para todo (,), vale que f(t)dt = f() d. a. ( ) É correta apenas a afirmativa. b. ( X ) É correta apenas a afirmativa 3. c. ( ) São corretas apenas as afirmativas e 3. d. ( ) São corretas apenas as afirmativas 2 e 3. e. ( ) São corretas as afirmativas, 2 e Assinale a alternativa que indica o resultado ln() correto para lim a. ( ) b. ( ) 4 c. ( X ) 2 d. ( ) e. ( ) Não eiste Seja f(,y) : IR 2 IR definida por: f(,y) + y se (,y) (0,0) 2 2 = = Então (,y) (0,0) 0 se (,y) (0,0) lim f(, y) : a. ( ) é igual a. b. ( ) é igual a 0. c. ( ) é igual a 2. d. ( ) é igual a. e. ( X ) não eiste. 9. O limite a. ( X ). b. ( ) 2. c. ( ) 0. d. ( ) 2. e. ( ). lim (,y ) (,0) ln( y ) + y e 2 3 y 0. A soma dos valores que a função f(,y) = 2 + y y + 7 atinge em seu(s) mínimo(s) local(is) é: a. ( X ) 0. b. ( ) 8. c. ( ) 4. d. ( ) 8. e. ( ) 0. é igual a: Página 4

5 Universidade Federal da Fronteira Sul. A equação do plano tangente à superfície de equação a. ( ) =. b. ( ) y =. c. ( X ) z =. d. ( ) z =. e. ( ) z = + y. 2 2 z= y no ponto (0,0,) é: O valor de sen(y )dyd a. ( ) 3 2. b. ( ) 2. c. ( ) 0. d. ( X ) e. ( ) p 0 p é: e 3. O valor de dyd é: 0 0 a. ( ) 2. b. ( ). c. ( ) 0. d. ( X ). e. ( ) A inclinação da reta tangente à curva y = sen 2 ln no ponto (p,ln p ) é: a. ( ) p. b. ( X ) p. c. ( ) 0. d. ( ) p. 5. Seja (f n ) uma sequência de funções, onde f n : [0,] [0,] é definida por f n () = n. Considere as afirmativas abaio:. (f n ) converge uniformemente para a função zero em [0,]. 2. (f n ) converge pontualmente para a função zero em [0,). 3. (f n ) converge pontualmente para uma função contínua em [0,]. a. ( X ) É correta apenas a afirmativa 2. b. ( ) É correta apenas a afirmativa 3. c. ( ) São corretas apenas as afirmativas e 2. d. ( ) São corretas apenas as afirmativas 2 e 3. e. ( ) São corretas as afirmativas, 2 e Seja (f n ) uma sequência de funções, onde f n : [0,] IR. Considere as afirmativas abaio:. Se (f n ) converge uniformemente, então (f n ) converge pontualmente. 2. Se (f n ) é uma sequência limitada e (f n ) converge pontualmente para a função f, então (f n ) converge uniformemente para f. 3. Se f n são integráveis para todo n, e (f n ) converge uniformemente para a função f, então f é integrável. a. ( ) É correta apenas a afirmativa. b. ( ) É correta apenas a afirmativa 2. c. ( ) É correta apenas a afirmativa 3. d. ( X ) São corretas apenas as afirmativas e 3. e. ( ) São corretas as afirmativas, 2 e 3. e. ( ) p. Página 5

6 Processo Seletivo 7. Considere as afirmativas abaio sobre a sequência (a n ), onde a n = ( ) n+ :. (a n ) converge para zero. 2. (a n ) possui uma subsequência que converge para. 3. (a n ) não converge. a. ( ) É correta apenas a afirmativa. b. ( ) É correta apenas a afirmativa 2. c. ( ) São corretas apenas as afirmativas e 2. d. ( X ) São corretas apenas as afirmativas 2 e 3. e. ( ) São corretas as afirmativas, 2 e Considere as afirmativas abaio:. Se uma sequência de números reais é convergente, então ela é limitada. 2. Toda sequência limitada de números reais é convergente. 3. Toda sequência limitada de números reais possui uma subsequência convergente. a. ( ) É correta apenas a afirmativa. b. ( ) É correta apenas a afirmativa 3. c. ( X ) São corretas apenas as afirmativas e 3. d. ( ) São corretas apenas as afirmativas 2 e 3 e. ( ) São corretas as afirmativas, 2 e A soma dos cem primeiros termos da sequência (a n ), onde a n = n para todo n =, 2, 3, é: 20. Um vetor perpendicular simultaneamente a v = (,,0) e u = (0,,) é: a. ( X ) ( 2, 2, 2 ). b. ( ) ( 2, 2, 2 ). c. ( ) ( 2, 2, 2 ). d. ( ) (,,). e. ( ) (,,). 2. A área do paralelogramo determinado pelos vetores v = (,2,) e u = (0,,) é: a. ( ). b. ( ) 2. c. ( ) 3. d. ( ) 2. e. ( X ). 22. Considere as afirmativas abaio:. Toda função afim é uma aplicação linear de IR em IR. 2. Toda aplicação linear de IR em IR pode ser representada por uma função afim. 3. Se f : IR IR é uma função afim, então f(0) = 0. a. ( ) É correta apenas a afirmativa. b. ( X ) É correta apenas a afirmativa 2. c. ( ) É correta apenas a afirmativa 3. d. ( ) São corretas apenas as afirmativas e 2. e. ( ) São corretas as afirmativas, 2 e 3. a. ( ) b. ( ) c. ( X ) d. ( ) e. ( ) 000. Página 6

7 Universidade Federal da Fronteira Sul 23. Considere as afirmativas abaio:. A função f() = log é limitada. 2. Para todo (0, ), log = dt. t 3. 3 log = 2 a. ( ) É correta apenas a afirmativa. b. ( X ) É correta apenas a afirmativa 2. c. ( ) São corretas apenas as afirmativas e 2. d. ( ) São corretas apenas as afirmativas e 3. e. ( ) São corretas apenas as afirmativas 2 e Considere as afirmativas abaio:. A funçao f() = e é crescente. 2. Eiste IR tal que e = lim e = 0. a. ( ) É correta apenas a afirmativa. b. ( ) São corretas apenas as afirmativas e 2. c. ( X ) São corretas apenas as afirmativas e 3. d. ( ) São corretas apenas as afirmativas 2 e 3. e. ( ) São corretas as afirmativas, 2 e O volume do paralelepípedo determinado pelos vetores u = (,0,), v = (0, 2,) e w = (,,0) é: a. ( ) 0 b. ( ) unidades de volume. 2 c. ( X ) unidade de volume. d. ( ) 2 unidades de volume. e. ( ) 3 unidades de volume. 26. O volume do paralelepípedo determinado pelos pontos A(0,,0), B(0,0,), C(,2,) e D(,,) é (são): a. ( ) b. ( ) 3 unidades. 2 unidades. c. ( ) unidade. d. ( ) 2 unidades. e. ( X ) 3 unidades. 27. Dado o sistema abaio: + y + 2z = 3 + 2y z = y + az = b A soma dos valores de a e b para que o sistema tenha infinitas soluções é: a. ( ) 5. b. ( X ) 4. c. ( ) 3. d. ( ). e. ( ) Dada a matriz abaio: 2 3 A= A soma dos autovalores dessa matriz é: a. ( ) 2 b. ( ) 0 c. ( ) d. ( X ) 2 e. ( ) 3 Página 7

8 Processo Seletivo 29. Assinale a alternativa correta, em relação a um sistema de equações lineares com duas equações e três incógnitas. a. ( ) Um sistema deste tipo é sempre impossível (isto é, não possui solução) b. ( ) Um sistema deste tipo é sempre possível e indeterminado. c. ( ) Um sistema deste tipo é sempre possível e determinado. d. ( ) Em geral, sistemas deste tipo são possíveis e determinados (isto é, possuem solução unica), mas é possível que sistemas deste tipo sejam possíveis e indeterminados. e. ( X ) Em geral, sistemas deste tipo são possíveis e indeterminados (isto é, possuem infinitas soluções), mas é possível que sistemas deste tipo sejam impossíveis (isto é, não possuam solução). 30. Considere as afirmações abaio:. Seja A uma matriz n n. Se zero for um autovalor de A, então A é inversível. 2. Se A é uma matriz simétrica real n n, então A + ii é uma matriz inversível, onde I denota a matriz identidade n n. 3. Seja A uma matriz real n n. Se os vetores e y em IR n são autovetores de A, então + y também é autovetor de A. a. ( ) É correta apenas a afirmativa. b. ( X ) É correta apenas a afirmativa 2. c. ( ) São corretas apenas as afirmativas e 2. d. ( ) São corretas apenas as afirmativas e 3. e. ( ) São corretas apenas as afirmativas 2 e Seja T : IR 4 IR 4 a transformação linear dada por T(, y, z, w) = (0,, y, z). O núcleo (ou espaço nulo) de T é dado por todos os vetores da forma: a. ( X ) {(0, 0, 0, w) : w IR} b. ( ) {(0,, y, z) :, y, z IR} c. ( ) {(, 0, 0, 0) : IR} d. ( ) {(, y, z, 0) :, y, z IR} e. ( ) {(, y, z, w) :, y, z, w IR} 32. Seja T : IR 3 IR 4 a transformação linear dada por T(, y, z) = (, 0, y, y). A imagem de T consiste de todos os vetores da forma: a. ( ) {(0, z, 0, 0) : z IR} b. ( ) {(, 0, y) :, y IR} c. ( ) {(, y, z) :, y, z IR} d. ( X ) {(, 0, y, y) :, y IR} e. ( ) {(, 0, y, z) :, y, z IR} 33. Considere as afirmativas abaio:. Um subespaço de IR 2 gerado por um único vetor é uma reta. 2. {(0,),(,)} é um conjunto gerador de IR Se todo vetor de um espaço vetorial X é uma combinação linear de v e w, então o conjunto de vetores {u, v, w} gera o espaço vetorial X. a. ( ) É correta apenas a afirmativa 2. b. ( ) São corretas apenas as afirmativas e 2. c. ( ) São corretas apenas as afirmativas e 3. d. ( X ) São corretas apenas as afirmativas 2 e 3. e. ( ) São corretas as afirmativas, 2 e 3. Página 8

9 Universidade Federal da Fronteira Sul 34. Seja F(IR) o espaço vetorial das funções reais. Dados os conjuntos: S = {f F(IR) : f() = f(2), IR} T = {f F(IR) : f(0) > 0} U = {f F(IR) : f() = f( ), IR} V = {f F(IR) : f(0) = } Assinale a alternativa correspondente aos conjuntos que são subespaços de F(IR). a. ( X ) S e U b. ( ) T e V c. ( ) S, V e T d. ( ) Somente U e. ( ) Todos os subconjuntos são subespaços de F(IR). 35. Seja f() = a 2 + b + c. Se f() = 4 e f( ) = 0, então a soma a + c é igual a: a. ( ). b. ( ) 0. c. ( ). d. ( X ) 2. e. ( ) Considere as afirmativas abaio:. 2. lim ln() = + lim ln() = A função ln ( ) é uma função decrescente. a. ( ) É correta apenas a afirmativa 3. b. ( ) São corretas apenas as afirmativas e 2. c. ( ) São corretas apenas as afirmativas e 3. d. ( X ) São corretas apenas as afirmativas 2 e 3. e. ( ) São corretas as afirmativas, 2 e O lado de um triângulo equilátero de altura 6 cm mede: a. ( ) 3 cm b. ( ) 6 cm c. ( ) d. ( ) e. ( X ) 3 3 cm 6 6 cm 3 9 cm 36. Sabendo-se que a população inicial de uma certa espécie é de 2 indivíduos e que a população triplica a cada dia, podemos afirmar que o número de dias necessários para que a população seja igual a indivíduos é: a. ( ) 20 dias. b. ( ) 0 dias. c. ( X ) 8 dias. d. ( ) 7 dias. e. ( ) 5 dias. 39. A dimensão do subespaço vetorial de IR 4 gerado pelos vetores (,, 4, 5), (2,, 5, ), (0,,, 3) e (3, 4, 5, 6) é: a. ( ) 5. b. ( ) 4. c. ( X ) 3. d. ( ) 2. e. ( ). Página 9

10 Processo Seletivo 40. Considere as afirmativas abaio:. Num triângulo qualquer, o quadrado do lado oposto a um ângulo agudo é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos duas vezes o produto de um desses lados pela projeção do outro sobre ele. 2. Todo quadrilátero conveo que tem dois lados paralelos é um paralelogramo. 3. Todo quadrilátero que tem dois lados adjacentes e dois ângulos consecutivos congruentes é retângulo. a. ( X ) É correta apenas a afirmativa. b. ( ) São corretas apenas as afirmativas e 2. c. ( ) São corretas apenas as afirmativas e 3. d. ( ) São corretas apenas as afirmativas 2 e 3. e. ( ) São corretas as afirmativas, 2 e 3. Página 0

11 Página em Branco. (rascunho)

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16 FEPESE Fundação de Estudos e Pesquisas Sócio-Econômicos Campus Universitário UFSC Florianópolis SC Fone/Fa: (48)