Derivadas de funções reais de variável real; Aplicação das derivadas ao estudo de funções e problemas de optimização. x ;

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1 Instituto Politécnico de Bragança Escola Superior de Tecnologia e Gestão Análise Matemática I 003/004 Ficha Prática nº. 5: Derivadas de funções reais de variável real; Aplicação das derivadas ao estudo de funções e problemas de optimização.. Determine, utilizando a definição, a derivada das seguintes funções: = f ( ) para = a, a IR \ { 5}.. ( ) ; + se > 0 f = + para = 0; se 0 f para =..3. ( ) = Determine as primeiras derivadas das seguintes funções, utilizando as regras de derivação:.. f ( ) = f ( ) = + 3 e = e +.3. f ( ) = e.4. ( ).5. ( ) log f.7. ( ) ( ) f = f e + e =.6. f ( ) = cos( 4 + 3) tg d y 3. Calcule para: d 3.. y = sen ; 3.. arctg ( ) 3.3. y = ; y = e e verifique que satisfaz y = y + y e. 4. Determine as seguintes derivadas, utilizando a regra da cadeia: ds dt 4.. ( ) 4.. dz dt sabendo que 3 3 s = r r + e r = t + t + ; sabendo que = e arcsen( t) z y + log y y =.

2 IPB-ESTiG: Análise Matemática I 003-/04 5. Determine a equação da recta tangente e da recta normal às seguintes curvas, nos respectivos pontos indicados: y no ponto (,5) 5.. = y = + y para = ; ; 5.3. y = e nos pontos de intersecção com a recta y =. 6. Considere a função definida por ( ) recta de equação 3 y = + tem de equação: 4 a) y = b) f =. A recta tangente ao gráfico de f e paralela à + y = c) y = + d) y = + Eame de 4/0/ Qual das seguintes funções admite a recta de equação y = como recta tangente nalgum ponto? a) f ( ) = sen ( ) b) f ( ) = cos ( ) c) f ( ) = e d) f ( ) = ln ( ) 8. Seja g a função real de variável real definida por g( ) sen ( ) gráfico de g, no ponto de abcissa zero passa pelo ponto de coordenadas: a) ( 0 ;ln ) ; b) ( ; ln ) =. A tangente ao ln ; c) ( ln ;ln ) ; d) ( ; ln ) + ; Eame de 4/0/ Diga justificando se são verdadeiras ou falsas as seguintes afirmações: cos( π ), < 9.. Seja f :RR definida por: f ( ) = e,, c ] 0,[, tal que f (c) =; e( ), > 9.. Sendo f a função da alínea anterior, ],[ c, tal que f (c) =e-; 0. Mostre que a equação: sen( ) cos( ) = 0, tem duas e só duas soluções para π,π. [ ]

3 IPB-ESTiG: Análise Matemática I 003-/04. Determine os seguintes limites utilizando a regra de L`Hôpital: a) d) g) lim sen( ) 0 e + e lim lim + 0 /( ) /(+ ln( )) b) lim + e e) ( + ) h) + 0 c) lim sen + / lim f) lim ( 3 + 9) lim + 0 sen ( ) + ln i) lim+ 0 e. Indique o valor lógico das seguintes afirmações, justificando a sua resposta:.. Se f é descontínua para = a então f tem pelo menos um assimptota vertical;.. Se f = g então f = g ;.3. Se f é contínua então eiste f ;.4. Se f é derivável então f é contínua; 3. Seja f uma função de domínio IR, e seja g a função definida por g ( ) = f ( +) recta de equação y = + 4 é a única assímptota do gráfico de f. Qual das seguintes é a única assímptota do gráfico de g? a) = 4 y ; b) = 6 c) = + 6 y ; y ; d) = + 4 y ;. A Eame de 4/0/ O gráfico da função h, definida por h ( ) = + : a) Não tem assimptotas verticais. b) Tem eactamente duas assimptotas, uma vertical e uma oblíqua. c) Tem três assimptotas, duas verticais E uma horizontal. d) Tem três assimptotas, duas verticais e uma oblíqua. 5. Na figura encontra-se representada parte do gráfico de uma função h, de domínio [ 0,5[ ] 5,+ [. As rectas de equações =5 e y=3 são as únicas assimptotas do gráfico de h. Qual o valor de: h( ) lim e a) + ; b) 0; c) ; d) 5; 3

4 IPB-ESTiG: Análise Matemática I 003-/04 6. Considere-se uma função g, de domínio [,+ [ Sabe-se que: - O gráfico de g tem uma única assimptota; g( ) - lim = ; + 0, contínua em todo o seu domínio. Quais dos seguintes gráficos poderão representar parte do gráfico da função g e, a tracejado, a sua assimptota? 7. Na figura seguinte está representada parte do gráfico de uma função f de domínio R, contínua em todo o seu domínio. A bissectriz dos quadrantes pares e a bissectriz dos quadrantes ímpares são assimptotas do gráfico de f. Indique dos gráficos seguintes poderá representar parte do gráfico da função g, definida f ( ) por g( ) =. 4

5 IPB-ESTiG: Análise Matemática I 003-/04 8. Considere uma função g, real de variável real, tal que: g '( ) g ''( ) n.d Qual das seguintes representações gráficas poderá representar a função g? 5

6 IPB-ESTiG: Análise Matemática I 003-/04 9. Seja f, uma função de domínio R. Sabe-se que a primeira e a segunda derivada de f são negativas em R. Quais dos seguintes gráficos poderá representar parte do gráfico de f? 0. Seja f uma função polinomial definida por f ( ) = + a + b + c, que tem um ponto de infleão para =3, um etremo relativo para = e um zero igual a. Quais os valores das constantes a, b e c? a) a = 9 ; b = 5 ; c = b) a = 9 ; b = 5 ; c = 7 c) a = 9 ; b = 5 ; c = 7 d) a = 9 ; b = 5 ; c = 3. De uma função f sabe-se que: f é par; lim f ( ) = + ; 0 lim f ( ) = ; f ( 0) = 0. Então, f pode ser definida por: 6

7 IPB-ESTiG: Análise Matemática I 003-/04 f ( ) = sen( ) c) +, 0 f ( ) = d) 0, = 0 + f ( ) = 0, > 0, = 0, < 0. Considere a função f definida e diferenciável em R cujo quadro de variação é o seguinte: f () - Qual o número de soluções da equação f ( ) =? a). b) 3. c) No mínimo e no máimo 3. d) No máimo. 3. Qual dos seguintes gráficos poderá ser o da primeira derivada da função do eercício? 7

8 IPB-ESTiG: Análise Matemática I 003-/04 4. De uma função g, diferenciável em R, sabe-se que é crescente e que g ''( ) g '( ) =, para todo R. Indique qual dos gráficos seguintes representa a função g. A e sejam f : A R e f : A R duas funções diferenciáveis. Tendo em conta a tabela seguinte, indique qual dos gráficos representa a função f? 5. Considere o conjunto = ],0 [ ] 0, + [ 0 f '' - + f '' 8

9 IPB-ESTiG: Análise Matemática I 003-/04 6. Seja F : ( )( a) com a >. Verifique se alguma das representações gráficas abaio indicadas é a representação da função F, e em caso afirmativo indique qual. 7. Seja g : R R uma função tal que: lim g( ) =, lim g( ) = +, g ( 0) = e a + função g é diferenciável em R. A representação gráfica de g pode ser: 9

10 IPB-ESTiG: Análise Matemática I 003-/04 8. Considere a função real de variável real f cuja representação gráfica é: Qual dos seguintes gráficos representa f ''( )? 0

11 IPB-ESTiG: Análise Matemática I 003-/04 9. Sabendo que o gráfico da função derivada f é: Qual dos gráficos seguintes poderá representar a função f? 30. Seja g uma função cujo gráfico tem um ponto de infleão de abcissa =. Indique qual dos seguintes gráficos pode representar a segunda derivada de g, g ''. a) b)

12 IPB-ESTiG: Análise Matemática I 003-/04 c) d) Eame de 0/09/ Considere a função f, real de variável real definida por: f() = e -/ e, < 0, Faça o estudo da função f, indicando: Domínio, zeros, assimptotas, pontos críticos, intervalos de monotonia, pontos de infleão e concavidades; 3.. Faça um esboço da função f. 3. Considere a função definida por f ( ) e = para Determine os pontos críticos e os intervalos de monotonia da função f. 3.. Determine as concavidades e os pontos de infleão da função f. Eame de 4/0/003

13 IPB-ESTiG: Análise Matemática I 003-/04 Problemas de optimização: 33. Seja a um número positivo e sejam e y números positivos que verificam a condição: = + y a. Prove que de entre todos os números e y que verificam a condição dada, a sua soma é máima quando = y. 34. Pretende-se cortar um arame de 40 cm de comprimento em duas partes, com uma delas construir um quadrado e com a outra delas construir uma circunferência, de modo que a soma das áreas das superfícies limitadas por cada uma das duas figuras seja máima. Como deve ser cortado o arame? 35. Considere a Elipse de equação de equação: + y = Prove que a área dos rectângulos inscritos na Elipse, com os lados paralelos aos eios de simetria da elipse é dada por A( ) = 4, sendo a abcissa do vértice do rectângulo que pertence ao º quadrante De entre a família de rectângulos mencionados na alínea anterior, determine as dimensões dos rectângulos que têm área máima 36. Determine o raio da base e a altura de um cilindro de volume máimo que pode ser inscrito numa superfície esférica de raio 0 cm. 37. Uma folha de papel contém 400 cm de teto impresso. Sabe-se, ainda, que as margens inferiores e laterais medem cm cada e a margem superior mede 3 cm. Determine as dimensões da folha que levam a uma economia de papel. 38. Pretende cortar-se uma placa laminar rectangular de um tronco de madeira de secção circular de raio m. Quais as dimensões da placa de forma a que a sua área seja máima? 39. Qual o ponto pertencente à hipérbole de equação y =, de abcissa positiva, que está mais próimo da origem? 40. Formule matematicamente o seguinte problema, identificando: as variáveis, a função a optimizar, e eplique como obter a localização do ponto C, sem resolver integralmente o problema. De acordo com a figura seguinte, 3

14 IPB-ESTiG: Análise Matemática I 003-/04 pretende-se construir um gasoduto de um local A para um local B que se encontram em margens opostas de um rio. O gasoduto irá passar por baio do rio, ligando o ponto A (numa margem) ao ponto C (na margem oposta), e seguirá pela margem do rio ligando C a B, tal como é ilustrado na figura. Se o custo da construção do gasoduto é 5 vezes mais caro quando passa por baio do rio, determine a localização do ponto C de modo a minimizar os custos de construção do canal. Eame de 0/09/003 Sugestões para a resolução de mais eercícios: 58, 59, 60, 6, 6, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 7, 7, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 8, 8, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 9, 93, 93 referentes ao capítulo, da sebenta da disciplina de Análise Matemática I. 4