CAPÍTULO 1 Sistemas de Coordenadas Lineares. Valor Absoluto. Desigualdades 1. CAPÍTULO 2 Sistemas de Coordenadas Retangulares 9. CAPÍTULO 3 Retas 18
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- Vagner Azenha Lombardi
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1 Sumário CAPÍTULO 1 Sistemas de Coordenadas Lineares. Valor Absoluto. Desigualdades 1 Sistema de Coordenadas Lineares 1 Intervalos Finitos 3 Intervalos Infinitos 3 Desigualdades 3 CAPÍTULO 2 Sistemas de Coordenadas Retangulares 9 Eixos Coordenados 9 Coordenadas 9 Quadrantes 11 A Fórmula de Distância 11 Fórmulas de Ponto Médio 12 Demonstrações de Teoremas Geométricos 13 CAPÍTULO 3 Retas 18 A Inclinação de uma Reta 18 O Sinal do Coeficiente Angular 19 Coeficiente Angular e Inclinação 20 Equações de Retas 20 Uma Equação Ponto-Angular 21 Equação Angular-Intercepto 21 Retas Paralelas 22 Retas Perpendiculares 22 CAPÍTULO 4 Círculos 29 Equações de Círculos 29 A Equação Padrão de um Círculo 30 CAPÍTULO 5 Equações e Seus Gráficos 37 O Gráfico de uma Equação 37 Parábolas 37 Elipses 38 Hipérboles 38 Seções Cônicas 39 CAPÍTULO 6 Funções 49 CAPÍTULO 7 Limites 56 Limite de uma Função 56 Limites Laterais pela Esquerda e pela Direita 57 Teoremas sobre Limites 57 Infinito 57 CAPÍTULO 8 Continuidade 66 Função Contínua 66
2 viii SUMÁRIO CAPÍTULO 9 A Derivada 73 Notação em Delta 73 A Derivada 73 Notação para Derivadas 73 Diferenciabilidade 74 CAPÍTULO 10 Regras para Diferenciação de Funções 79 Diferenciação 79 Funções Compostas. A Regra da Cadeia 80 Regra da Cadeia 80 Formulação Alternativa para a Regra da Cadeia 80 Funções Inversas 81 Notação 81 Derivadas de Ordem Superior 82 Notação 82 CAPÍTULO 11 Diferenciação Implícita 90 Funções Implícitas 90 Derivadas de Ordem Superior 91 CAPÍTULO 12 Retas Tangentes e Normais 93 Os Ângulos de Interseção 94 CAPÍTULO 13 Lei da Média. Funções Crescentes e Decrescentes 98 Máximo e Mínimo Relativo 98 Funções Crescentes e Decrescentes 100 CAPÍTULO 14 Valores Máximo e Mínimo 105 Pontos Críticos 105 Teste da Derivada Segunda para Extremos Relativos 105 Teste da Derivada Primeira 106 Máximo e Mínimo Absolutos 107 Método Tabelar para Determinar o Máximo e o Mínimo Absolutos 107 CAPÍTULO 15 Esboço de Curva. Concavidade. Simetria 119 Concavidade 119 Pontos de Inflexão 120 Assíntotas Verticais 120 Assíntotas Horizontais 120 Simetria 120 Funções Inversas e Simetria 122 Funções Pares e Ímpares 122 Sugestões para Esboçar o Gráfico G de y = f (x) 122 CAPÍTULO 16 Revisão de Trigonometria 130 Medida de Ângulo 130 Ângulos Direcionados 131 Funções Seno e Cosseno 131 CAPÍTULO 17 Diferenciação de Funções Trigonométricas 139 Continuidade de cos x e sen x 139 O Gráfico de sen x 140 O Gráfico de cos x 140 Outras Funções Trigonométricas 142 Derivadas 142 Outras Relações 142
3 SUMÁRIO ix Gráfico de y = tg x 143 Gráfico de y = sec x 144 Ângulos entre Curvas 144 CAPÍTULO 18 Funções Trigonométricas Inversas 152 A Derivada de sen 1 x 152 A Função Inversa de Cosseno 153 A Função Inversa da Tangente 153 CAPÍTULO 19 Movimento Retilíneo e Circular 161 Movimento Retilíneo 161 Movimento sob a Influência da Gravidade 162 Movimento Circular 163 CAPÍTULO 20 Taxas Relacionadas 167 CAPÍTULO 21 Diferenciais. Método de Newton 173 O Diferencial 174 Método de Newton 175 CAPÍTULO 22 Antiderivadas 181 Leis para Antiderivadas 181 CAPÍTULO 23 A Integral Definida. Área sob uma Curva 190 Notação Sigma 190 Área sob uma Curva 190 Propriedades da Integral Definida 193 CAPÍTULO 24 O Teorema Fundamental do Cálculo 198 Teorema do Valor Médio para Integrais 198 Valor Médio de uma Função em um Intervalo Fechado 198 Teorema Fundamental do Cálculo 199 Mudança de Variável em uma Integral Definida 199 CAPÍTULO 25 O Logaritmo Natural 206 O Logaritmo Natural 206 Definição 206 Propriedades do Logaritmo Natural 207 CAPÍTULO 26 Funções Exponenciais e Logarítmicas 214 Propriedades de e x 215 A Função Exponencial Geral 216 Funções Logarítmicas Gerais 217 CAPÍTULO 27 Regra de L Hôpital 222 Regra de L Hôpital 222 Indeterminação do Tipo Indeterminação do Tipo 223 Indeterminações dos Tipos 0, e CAPÍTULO 28 Crescimento e Decaimento Exponencial 230 Meia-vida 230 CAPÍTULO 29 Aplicações de Integração I: Área e Comprimento de Arco 235 Área entre uma Curva e o Eixo y 235 Áreas entre Curvas 236 Comprimento de Arco 237
4 x SUMÁRIO CAPÍTULO 30 Aplicações de Integração II: Volume 244 Fórmula do Disco 244 Método dos Discos Cilíndricos 246 Método da Concha Cilíndrica 247 Fórmula da Diferença de Conchas 247 Fórmula de Seções (Fatias) 248 CAPÍTULO 31 Técnicas de Integração I: Integração por Partes 259 CAPÍTULO 32 Técnicas de Integração II: Integrandos Trigonométricos e Substituições Trigonométricas 266 Integrandos Trigonométricos 266 Substituições Trigonométricas 269 CAPÍTULO 33 Técnicas de Integração III: Integrações por Frações Parciais 279 Método de Frações Parciais 280 CAPÍTULO 34 Técnicas de Integração IV: Substituições Diversas 288 CAPÍTULO 35 Integrais Impróprias 293 Limites Infinitos de Integração 293 Descontinuidades do Integrando 293 CAPÍTULO 36 Aplicações de Integração III: Área de uma Superfície de Revolução 301 CAPÍTULO 37 Representação Paramétrica de Curvas 307 Equações Paramétricas 307 Comprimento de Arco para uma Curva Paramétrica 308 CAPÍTULO 38 Curvatura 312 Derivada de Comprimento de Arco 312 Curvatura 313 O Raio da Curvatura 313 O Círculo de Curvatura 313 O Centro de Curvatura 314 A Evoluta 314 CAPÍTULO 39 Vetores Planos 321 Escalares e Vetores 321 Soma e Diferença de Dois Vetores 322 Componentes de um Vetor 322 Produto Escalar (ou Produto Interno) 323 Projeções Escalares e Vetoriais 324 Diferenciação de Funções Vetoriais 324 CAPÍTULO 40 Movimento Curvilíneo 332 Velocidade em Movimento Curvilíneo 332 Aceleração em Movimento Curvilíneo 332 Componentes Tangencial e Normal de Aceleração 333 CAPÍTULO 41 Coordenadas Polares 339 Coordenadas Polares e Retangulares 340 Algumas Curvas Polares Típicas 341 Ângulo de Inclinação 342 Pontos de Interseção 342 Ângulo de Interseção 343
5 SUMÁRIO xi A Derivada do Comprimento do Arco 343 Curvatura 343 CAPÍTULO 42 Sequências Infinitas 352 Sequências Infinitas 352 Limite de uma Sequência 352 Sequências Monotônicas 354 CAPÍTULO 43 Séries Infinitas 360 Séries Geométricas 360 CAPÍTULO 44 CAPÍTULO 45 Séries com Termos Positivos. O Teste da Integral. Testes de Comparação 366 Séries de Termos Positivos 366 Séries Alternadas. Convergência Absoluta e Condicional. O Teste da Razão 375 Séries Alternadas 375 CAPÍTULO 46 Séries de Potências 383 Séries de Potências 383 CAPÍTULO 47 Séries de Taylor e Maclaurin. Fórmula de Taylor com Resto 396 Séries de Taylor e Maclaurin 396 Aplicações da Fórmula de Taylor com Resto 398 CAPÍTULO 48 Derivadas Parciais 405 Funções de Várias Variáveis 405 Limites 405 Continuidade 406 Derivadas Parciais 406 Derivadas Parciais de Ordem Superior 407 CAPÍTULO 49 Diferencial Total. Diferenciabilidade. Regras da Cadeia 414 Diferencial Total 414 Diferenciabilidade 415 Regras da Cadeia 415 Diferenciação Implícita 417 CAPÍTULO 50 Vetores no Espaço 426 Vetores no Espaço 426 Cossenos Diretores de um Vetor 427 Determinantes 428 Vetor Perpendicular a Dois Vetores 428 Produto Externo de Dois Vetores 428 Produto Escalar Triplo 430 Produto Vetorial Triplo 431 A Reta 431 O Plano 432 CAPÍTULO 51 Superfícies e Curvas no Espaço 441 Planos 441 Esferas 441 Superfícies Cilíndricas 441 Elipsoide 442 Paraboloide Elíptico 442
6 xii SUMÁRIO Cone Elíptico 443 Paraboloide Hiperbólico 443 Hiperboloide de Uma Folha 443 Hiperboloide de Duas Folhas 444 Reta Tangente e Plano Normal a uma Curva no Espaço 445 Plano Tangente e Reta Normal a uma Superfície 445 Superfície de Revolução 446 CAPÍTULO 52 Derivadas Direcionais. Valores Máximo e Mínimo 452 Derivadas Direcionais 452 Valores Máximo e Mínimo Relativos 453 Valores Máximo e Mínimo Absolutos 453 CAPÍTULO 53 Diferenciação e Integração Vetorial 460 Diferenciação Vetorial 460 Curvas no Espaço 461 Superfícies 462 A Operação 463 Divergente e Rotacional 464 Integração 465 Integrais Curvilíneas 465 CAPÍTULO 54 Integrais Duplas e Iteradas 474 A Integral Dupla 474 A Integral Iterada 475 CAPÍTULO 55 Centroides e Momentos de Inércia de Áreas Planas 481 Área Plana por Dupla Integração 481 Centroides 481 Momentos de Inércia 482 CAPÍTULO 56 Integração Dupla Aplicada a Volume sob uma Superfície e a Área de uma Superfície Curva 489 CAPÍTULO 57 Integrais Triplas 498 Coordenadas Cilíndricas e Esféricas 498 A Integral Tripla 499 Cálculo de Integrais Triplas 499 Centroides e Momentos de Inércia 500 CAPÍTULO 58 Massas de Densidade Variável 510 CAPÍTULO 59 Equações Diferenciais de Primeira e Segunda Ordem 516 Equações Diferenciais Separáveis 516 Funções Homogêneas 516 Fatores de Integração 517 Equações de Segunda Ordem 517 APÊNDICE A Fórmulas Trigonométricas 527 APÊNDICE B Fórmulas Geométricas 528 ÍNDICE 529
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