Determinação de uma tangente para o gráfico de uma função. O coeficiente angular da reta tangente em P é

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1 Revisão

2 Determinação de uma tangente para o gráfico de uma função f '( x 0) = O coeficiente angular da reta tangente em P é

3 Taxas de variação: derivada em um ponto A expressão abaixo é chamada de quociente da diferença de f em x 0 com incremento h.

4 Notações Algumas das notações alternativas mais comuns para a derivada são Para indicar o valor de uma derivada em um número específico x = a, usamos a notação

5 Potências, multiplicações, somas e diferenças Uma regra simples de derivação é que a derivada de toda função constante é zero. A regra (d/dx) (c) = 0 é outro modo de dizer que os valores de funções constantes nunca mudam e que o coeficiente angular de uma reta horizontal é zero em todo ponto.

6 Potências, multiplicações, somas e diferenças

7 Produtos e quocientes

8 Produtos e quocientes

9 Derivada da função seno Derivada da função cosseno

10 Derivadas de outras funções trigonométricas básicas Derivada de uma função composta A função é a função composta de Temos Como, vemos nesse caso que

11 Derivadas de outras funções trigonométricas básicas

12 Valores extremos de funções Extremos absolutos para as funções seno e cosseno no intervalo [ π/2, π/2]. Esses valores podem depender do domínio de uma função.

13 Valores extremos de funções

14 Extremos locais (relativos) A figura abaixo mostra um gráfico com cinco pontos nos quais a função tem valores extremos em seu domínio [a, b].

15 Extremos locais (relativos) Determinando extremos O teorema a seguir explica por que normalmente precisamos investigar apenas alguns valores para determinar o extremo de uma função.

16 Determinando extremos A figura a seguir mostra uma curva com um valor máximo local. O coeficiente angular em c é, simultaneamente, o limite de números não positivos e não negativos e, portanto, tem valor zero.

17 Determinando extremos

18 Determinando extremos Como determinar os extremos absolutos de uma função contínua ƒ em um intervalo fechado e finito: 1. Calcule ƒ em todos os pontos críticos e extremidades. 2. Tome o maior e o menor dentre os valores obtidos.

19 Funções crescentes e decrescentes Teste da primeira derivada para extremos locais Na figura a seguir, os pontos críticos de uma função estabelecem onde ela é crescente e onde é decrescente. O sinal da primeira derivada troca em pontos críticos, onde ocorrem extremos locais.

20 Funções crescentes e decrescentes

21 Funções crescentes e decrescentes Teste da primeira derivada para extremos locais Suponha que c seja um ponto crítico de uma função contínua ƒ, e que ƒ seja derivável em qualquer ponto de um intervalo que contenha c, exceto, possivelmente, no próprio ponto c. Deslocando-se ao longo desse intervalo da esquerda para a direita, 1. se ƒ passa de negativa a positiva em c, então ƒ possui um mínimo local em c; 2. se ƒ passa de positiva a negativa em c, então ƒ possui um máximo local em c; 3. se ƒ não muda de sinal em c (isto é, ƒ é positiva ou negativa em ambos os lados de c), então ƒ não tem extremo local em c.

22 Concavidade Como você pode ver na figura ao lado, a curva y = x 3 é crescente, quando x aumenta, mas as porções definidas nos intervalos (, 0) e (0, ) se curvam de maneiras distintas. Conforme nos aproximamos da origem, pela esquerda ao longo da curva, vemos que ela se vira para a nossa direita e fica abaixo de suas tangentes.

23 Concavidade

24 Pontos de inflexão Um ponto em que o gráfico de uma função possui uma reta tangente e onde há mudança de concavidade é chamado de ponto de inflexão. Em um ponto de inflexão (c, ƒ(c)), ou ƒ (c) não existe ou ƒ (c) = 0. Teste da segunda derivada para extremos locais

25 Comportamentos dos gráficos de funções a partir de derivadas A figura ao lado resume como a derivada e a segunda derivada afetam a forma de um gráfico.

26 Forma indeterminada 0/0 Se ambas as funções contínuas ƒ(x) e g(x) são zero em x = a, então não pode ser determinada pela substituição de x = a. A substituição resulta em 0/0, uma expressão sem sentido, que não podemos avaliar. Usamos 0/0 como uma notação para uma expressão conhecida como uma forma indeterminada.

27 Forma indeterminada 0/0 Para aplicar a regra de l Hôpital a ƒ/g, divida a derivada de ƒ pela derivada de g. Não caia na armadilha de tornar a derivada de ƒ/g. O quociente a ser utilizado é ƒ /g, e não (ƒ/g).

28 Uso da regra de l Hôpital Para determinar pela regra de l Hôpital, continue a derivar ƒ e g, contanto que ainda seja possível obter a forma 0/0 em x = a. Mas, logo que uma ou outra dessas derivadas for diferente de zero em x = a, pare de derivar. A regra de l Hôpital não se aplica quando há no numerador ou no denominador um limitefinito diferente de zero.

29 Formas indeterminadas /, 0, Em tratamentos mais avançados de cálculo é provado que a regra de l Hôpital se aplica à forma indeterminada / bem como a 0/0. Se ƒ(x) ± e g(x) ±, quando x a, então desde que o limiteda direita exista.

30 Determinação de primitivas

31 Determinação de primitivas Fórmulasde primitivas, sendo k uma constante diferente de zero.

32 Determinação de primitivas Regras de linearidade para primitivas Problemas de valor inicial e equações diferenciais Determinar uma primitiva de uma função ƒ(x) é um problema similar a determinar uma função y(x) que satisfaça a equação Essa equação é chamada equação diferencial.

33 Integrais indefinidas Após o sinal da integral na notação que acabamos de definir, a função integranda é sempre seguida por uma diferencial para indicar a variável de integração.