Elementos de Cálculo I - Notas de aula 9 Prof Carlos Alberto Santana Soares. f(x) lim x a g(x) = lim x a f(x)

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1 Elementos de Cálculo I - Notas de aula 9 Prof Carlos Alberto Santana Soares Anteriormente, vimos que um dos problemas no cálculo de ites surge quando desejamos f() calcular a. A estratégia incial é calcular g() a f() e a g() separadamente. Sendo a g() 0 usamos que f() a g() a f() a g() e o ite está determinado. Se a g() 0, nossos problemas começam. Sendo a f() 0, temos um caso de indeterminação e devemos buscar outro meio de resolver tal ite. Já abordamos alguns problemas deste tipo anteriormente e retornaremos a este mesmo tema um pouco mais tarde, após desenvolvermos a teoria de derivadas. O que fazer quando a g() 0 e a f() l 0? Vejamos um eemplo. Eemplo Consideremos a função f() 2 e busquemos determinar 0 f() 0 2. Devemos responder à seguinte pergunta: O que acontecerá com a imagem de ao nos aproimarmos de zero? Não é difícil constatar que nos aproimando de zero, como o numerador é igual a, iremos sempre crescendo o resultado da fração. Assim, vemos que este mesmo resultado se tornará maior que qualquer número, bastando para isso que nos aproimemos suficientemente de 0. Para representar tal situação ( a imagem crescer indefinidamente ) introduziremos o símbolo e anotaremos (infinito) 0 2. Observamos que não é um número, somente representa um crescimento indefinido ou além de qualquer número. Vejamos um caso com ites laterais, qual seja Eemplo 2 Determinemos 0 + e 0. No primeiro caso, não é difícil observar que y crescerá além de qualquer número positivo, bastando para isso que nos aproimemos cada vez mais de zero á direita e portanto, tal como no eemplo acima, teremos 0 +. O que dizer sobre 0?

2 Neste caso, gostaríamos de saber o que acontecerá com a imagem quando se aproima de 0 pela esquerda. Oservamos que y ficará menor que qualquer número negativo (convença-se disso, utilizando alguns números se necessaário ), bastando que nos aproimemos cada vez mais de 0. Neste caso, escreveremos 0. Nos casos estudados acima é simples verificar que se no numerador, ao invés de tivessemos uma função indo para, não teríamos alteração no resultado, isto é chegamos à seguinte conclusão: Conclusão 3 Suponhamos que desejemos calcular Inicialmente calculamos f() a g(). f() e a g() a e se o segundo ite for diferente de zero, não teremos problema pois o ite final será simplesmente o quociente dos ites encontrados separadamente. Se o ite do denominador for zero, iremos verificar o ite do numerador. Se este for igual a zero, buscamos uma forma de determiná-lo. Se for diferente de zero, então o ite do quociente sera necessariamente igual a ou. Pode ser útil observar que: (a) Se o ite do numerador é um número positivo e o denominador tende a 0, sendo positivo próimo de a, teremos f() a g() (b) Se o ite do numerador é um número positivo e o denominador tende a 0, sendo negativo próimo de a, teremos f() a g() (c) Se o ite do numerador é um número negativo e o denominador tende a 0, sendo positivo próimo de a, teremos f() a g() (d) Se o ite do numerador é um número negativo e o denominador tende a 0, sendo negativo próimo de a, teremos f() a g() É simples verificar que todas as conclusõe acima epostas continuam válidas ainda para ites laterais. Em particular, teremos (i) 0 + n (ii) 0 n { se n é par se n é ímpar 2

3 Eemplo 4 Determine Solução 5 Inicialmente, determinemos separadamente os ites do numerador e do denominador. No caso do numerador, teremos 0 ( ) Para o denominador vem, Estamos no caso número sobre zero e como o denominador é positivo, observando o item (a) acima, se necessário, teremos que Lembre-se que neste caso teríamos também e Observe com atenção o eemplo abaio. Eemplo 6 Determine Solução 7 Numerador: 2 ( ) Denominador: Novamente temos o caso número sobre zero, só nos restando decidir entre ou. Notando que o denominador muda de sinal etamente em 2, e portanto assume sinais diferentes à esquerda e à direita de dois partimos para determinação dos ites laterais. Daí, vem 2) , pois o denominador é positivo à direita de 2 (valores maiores que , pois o denominador é nagativo à esquerda de 2 (valores menores 2 que 2) Observe que inpedendente do caso, o numerarador é sempre positivo próimo de 2. ( itens (a) e (b) acima respectivamente! Vejamos ainda, um último eemplo. Eemplo 8 Sendo f() (a) f() (b) 3 f() (c) 2 f() 3 determine: Solução 9 (a) Numerador: ( 3) 3 2 Denominador: ( )

4 Caso em que não temos problemas e o ite é determinado diretamente por (b) Numerador: 3 ( 3) Denominador: ( ) Caso 0/0(indeterminado) e devemos buscar uma forma de calcular. Lembremos que se e 2 são as raízes da equação a 2 + b + c 0, então a 2 + b + c a( )( 2 ). No nosso caso, como 2 e 3 são as raízes da equação , teremos ( 2)( 3). Logo (c) Numerador: 2 ( 3) ( 2)( 3) 3 Denominador: 2 ( ) Caso número/0 e portanto o resultado será necessariamente ou. Para decidirmos em que caso estamos, devemos conhecer o sinal da função próimo de 2, já que o numerador sabemos que é negativo ( - ). No caso, sendo uma função do segundo grau, sabemos que entre as raízes a função tem sinal contrário ao de a e fora das raízes mesmo sinal de a, isto é, > 0 se < 2 ou > 3 e < 0 se 2 < < 3. Como a função tem sinais distintos à direita e à esquerda de 2, partimos para os ies laterais e teremos: e Observe que temos acima, respectivamente, os casos d e c vistos na conclusão 3 anteriormente. Para finalizarmos este estudo incial sobre ites, abordaremos os casos f() ou f(). Escreveremos f() l, para indicar que a imagem se aproima do número l quando cresce indefinidamente. f(), para indicar que a imagem cresce além de qualquer número quando cresce indefinidamente. De maneira análoga teremos f() l, f(), f(), f(). Vejamos alguns eemplos: Eemplo 0 Não é difícil constatar, que sendo n um número natural não nulo, teremos (a) ± n 0 4

5 { se n ímpar (b) ± n se n par Eemplo (ite de um polinômio quando ± ) Busquemos determinar ( 2 ). Inicialmente, obsrvemos que 2 e e portanto se usamos a propriedade operatória de ite de uma diferença, teremos (2 ) 2 o que vale ressaltar, também é uma indeterminação e devemos buscar uma forma de tratar tal ite. Neste caso faremos (2 ) 2 ( ) 2 e como teremos 2 e No caso geral, não é difícil verificar que ( ) 2 (2 ). (a n n + a n n a + a 0 ) a n n. ± ± Eemplo 2 ( ) e ( ) De maneira análoga, trataríamos o caso polinômio dividido por polinômio, isto é, ± a n n + a n n a + a 0 b m m + b m m b + b 0 ± a n n b m m. 4 Eemplo 3 (a) (b) (c) ) ? Alguns eercícios resolvidos 4 2 Notemos que e e incialmente teríamos (indeterminação). Faremos então ( )( ) ( 2 +7) 2 ( 2 +7) ( 2 +7) ( 2 7)

6 2) 2 +? Se usarmos que o ite de um quociente é o quociente dos ites, incialmente teremos (indeterminação ). Faremos então, Observe a diferença no ite abaio 3) 2 +? De maneira análoga faremos Lembre-se que 2 { se 0 se < 0 e portanto neste caso,, teremos negativo e daí 2. 4) ( + + )? Novamente, temos um caso de indeterminação do tipo. Faremos então ( + + ) ( + + ) { 2 se 0 2 se < 0 e como Se calcularmos o ite do numerador e do denominador ainda teremos uma indeterminação do tipo. Daí, continuando, teremos Eercício 4 Determine ( ) 6