Campo Elétrico [N/C] Campo produzido por uma carga pontual

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Nicholas Veiga Salvado
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1 Campo Elétrico Ao tentar explicar, ou entender, a interação elétrica entre duas cargas elétricas, que se manifesta através da força elétrica de atração ou repulsão, foi criado o conceito de campo elétrico, inicialmente hipotético e posteriormente comprovado por experimentos em laboratório. O campo elétrico é um campo vetorial, constituído por uma distribuição de vetores, um para cada ponto de uma região em torno de um objeto eletricamente carregado, em outras palavras, todo corpo carregado eletricamente gera em torno de si um campo elétrico. Para definir o campo elétrico, toma-se uma carga positiva q 0, chamada carga de prova, e mede-se a força elétrica a qual ela é submetida, definindo-se o campo elétrico como: Ē= F q 0 [N/C] A equação acima mostra que o módulo do campo elétrico possui módulo igual ao módulo da força elétrica exercida na carga de prova divido pelo módulo dessa carga. Como a carga de prova é positiva, a orientação do campo (direção e sentido) é a mesma da forca. Para definir o campo elétrico em uma região do espaço definimos o campo em todos os pontos da região. Apesar da definição acima levar em consideração uma carga de prova (e a força elétrica exercida sobre ela), a existência do campo não depende da carga de prova, existindo sempre em uma região em torno de um corpo carregado. Campo produzido por uma carga pontual Para determinar o campo elétrico em um ponto P no espaço a uma distância r de uma carga elétrica pontual q, colocamos uma carga de prova q 0 nesse ponto. De acordo com a Lei de Coulomb: F=k qq 0 ^r [N] r O sentido de F será de afastamento de q, se seu valor for positivo, ou de aproximação de q, caso contrário. Usando a definição matemática de campo elétrico, mostrada anteriormente, temos:

2 Ē= F = 1 q q 0 4 π ε r ^r [N/C] O sentido de E é o mesmo da força F. Note que o campo elétrico não depende da carga de prova. Por ser uma grandeza vetorial, o campo elétrico resultante em um ponto situado em uma região com mais de uma carga pontual segue o mesmo padrão para força resultante, somando-se vetorialmente o campo produzido por cada uma das cargas. Exemplo 01: A figura mostra três partículas de carga q 1 = +Q, q = -Q e q 3 = -4Q, todas situadas a uma distância d da origem. Determine o campo elétrico E produzido na origem do sistema de coordenadas. Linhas de campo Como o campo elétrico é uma grandeza vetorial, e existe sempre na região em torno de uma carga elétrica, é interessante representar esse campo graficamente. O módulo do campo é de difícil representação, pois varia de acordo com a distância da carga, e exige uma representação numérica. A orientação, no entanto, é possível representar de forma gráfica. Para isso, leva-se em consideração dois aspectos para se desenhar as linhas de campo: (1) em qualquer ponto em uma linha de campo, a orientação da tangente dessa linha (retilínea ou não) representa a orientação do campo; e () o número de linhas por unidade de área (para um plano perpendicular às linhas) é proporcional ao módulo de E.

3 Campo produzido por um dipolo elétrico Um dipolo elétrico é um sistema formado por duas cargas elétricas de mesmo módulo e sinais opostos separadas por uma distância d.

4 O campo elétrico produzido pelo dipolo, situado a uma distância z do centro do dipolo, sobre a reta que liga as duas partículas (eixo do dipolo) segue o desenvolvimento anterior para um sistema de mais de uma carga. Ē= 1 4πε Ē= E plus E minus q 1 4 π ε r plus q r minus Ē= 1 q 4πε (z 1 1 q d) 4π ε (z+ 1 d) Reagrupando: Ē= q ( 1 1 4πεz ( 1 d z ) ( 1+ d z ) ) Reduzindo as frações para o mesmo denominador, e simplificando:

5 Ē= q d / z 4 π ε z ( 1 ( d z ) ) = q ( 1 ( d π ε z 3 d z ) ) Considerando distâncias relativamente grandes em comparação às dimensões do dipolo (z >> d), ou seja, considerando o dipolo pontual, podemos desprezar o termo d/z, resultando em: E= 1 qd πε z 3 [N/C] O produto qd, que envolve os dois parâmetros que definem o dipolo, é o módulo p de uma grandeza conhecida como momento dipolar elétrico p do dipolo, cuja unidade é C m (Coulomb-metro). Dessa forma, a equação anterior pode ser escrita como: E= 1 πε p z 3 O sentido de p é tomado como sendo da carga negativa para a positiva (sentido de crescimento da carga), especificando dessa forma, a orientação do dipolo. A partir da última equação, se o campo elétrico produzido por um dipolo é medido apenas em pontos distantes (muito maiores que a distância que separa as cargas), não é possível determinar as grandezas q e d separadamente, apenas o produto delas p. Campo produzido por uma linha de cargas No caso de um corpo extenso (não pontual) carregado, sabe-se que produzirá um campo elétrico na região ao seu redor. Para calcular o campo elétrico resultante, usa-se as expressões de campo elétrico para uma carga pontual e ferramentas da geometria analítica (cálculo). Considere inicialmente uma linha carregada uniformemente com carga Q, ou seja, a carga está distribuída uniformemente por toda a linha, por exemplo um anel não-condutor (as cargas não se deslocam).

6 Como o objeto não pode ser considerado uma carga pontual, a expressão anterior para o campo não pode ser usada. Podemos, no entanto, dividir hipoteticamente o anel em infinitos pedaços pontuais dq e o cálculo analítico para resolver o problema. É conveniente expressar a carga de um objeto em termos de uma densidade de carga, em vez da carga total. Como o exemplo é de um objeto linear, cada pedaço infinitesimal possui apenas uma dimensão (comprimento), consequentemente a densidade de cargas fica: λ = dq/ds dq = λ ds Esse elemento de carga pode ser considerado uma carga pontual. O módulo do campo produzido por ele de no ponto P da figura, pode ser escrito como: de= 1 dq 4 π ε r = 1 λ ds 4 π ε r que pode ser escrito na forma: de= 1 λ ds 4 π ε ( z +R ) Por questões de simetria, as componentes horizontais de de serão canceladas vetorialmente,

7 restando apenas a componente vertical, representada por de cosθ, o qual o cosseno pode ser escrito na forma: cosθ= z r = z ( z +R ) 1/ Multiplicando esse termo na expressão de de anterior: z λ de cosθ= 4 π ε( z +R ) 1/ ds Para somar o campo produzido por todas os pedaços infinitesimais do anel, usa-se uma integral, pois a distribuição de carga é contínua. Assim: z λ E= de cosθ= ds 4πε(z +R ) 1/ z λ (π R) E= 4π ε ( z +R ) 3/ Como λ é a densidade linear de carga no anel, que tem comprimento πr, o termo λ(πr) representa a carga total do anel, assim: zq E= 4π ε ( z +R ) 3/ Se considerarmos uma distância z >> R, a expressão acima se reduz para o módulo do campo elétrico produzido por uma carga pontual, o que é esperado. Campo produzido por um disco Seguindo o mesmo raciocínio anterior, podemos calcular o campo produzido em um ponto P a uma distância z de um disco não-condutor carregado de raio R. Por se tratar de um objeto de duas dimensões, a densidade de carga é expressa na forma de densidade superficial:

8 dq = σda onde da é um pedaço infinitesimal de área. O desenvolvimento dos cálculos é semelhante ao do anel de cargas, resultando na expressão: Ē= ε( σ 1 z z +R ) ^z (repare na orientação do vetor) Fazendo R >>, mantendo z finito, a expressão se reduz a: Ē= σ ε ^z que é o campo produzido por uma distribuição uniforme de carga na superfície de uma placa carregada. As linhas de campo desse caso podem ser ilustradas na forma: Uma carga pontual em um Campo Elétrico A partir da definição matemática de campo elétrico foi possível determinar o valor do campo em regiões em torno de objetos carregados. Voltando a essa definição: F = q E [N] Se inserirmos uma carga elétrica (pontual) em um meio onde existe campo elétrico, essa carga

9 sofrerá a ação de uma força de mesma direção que o campo e sentido definido pelo sinal da carga. Quando o módulo do campo elétrico no meio excede um certo valor crítico E c, o meio sofre uma ruptura dielétrica, tornando o meio condutor de cargas. Esse processo ocorre porque o campo elétrico elevado arranca elétrons dos átomos que constituem o meio por meio da força elétrica, que passam a se deslocar (segunda Lei de Newton). O deslocamento dos elétrons faz com que eles se choquem com outros átomos do meio, fazendo com que emitam luz. Esse processo é o que ocorre com as centelhas elétricas, incluindo os raios. A expressão que relaciona força e campo elétricos também pode ser usada para explicar o funcionamento do forno de micro-ondas, que produz um campo elétrico alternado. Como a molécula de água pode ser considerada um dipolo elétrico. Esse dipolo é realinhado para a direção do campo, que se alterna. Dessa forma a molécula de água é agitada, aumentando sua temperatura. Exemplo 0: A figura mostra as placas defletoras de uma impressora jato de tinta. Uma gota de tinta de massa m = 1,3x10-10 kg e uma carga negativa de valor absoluto Q = 1,5x10-13 C penetra na região entre as placas, movendo-se inicialmente na direção do eixo x, com velocidade v x = 18 m/s. O comprimento L de cada placa é 1,6 cm. As placas estão carregadas, produzindo um campo elétrico uniforme orientado para baixo com módulo 1,4x10 6 N/C. Qual a deflexão vertical da gota ao deixar a região das placas? (A força gravitacional é pequena em comparação à força elétrica, e pode ser desprezada).

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