LIÇÃO 02 O CAMPO ELÉTRICO. Eletromagnetismo - Instituto de Pesquisas Científicas
|
|
- Daniela Castelhano Beretta
- 6 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 ELETROMAGNETISMO
2 LIÇÃO 02 O CAMPO ELÉTRICO
3 Como vimos, não é necessário que duas partículas estejam em contato para que interajam entre si. Essa interação ocorre através do chamado campo. Para o caso dos planetas, temos o campo gravitacional. Para as partículas com carga, temos o campo elétrico. Coloquemos uma partícula positiva q (chamada carga de prova) nas proximidades de outra partícula de carga qualquer Q. Nossa carga de prova sentirá uma força de atração ou repulsão sobre ela, e sabemos que essa força é dada pela lei de Coulomb. Então, a força sobre nossa carga será: F q = 1 Q 4πε 0 r 2 r E assim definimos o campo elétrico como: E = F q
4 A unidade de campo elétrico é o newton por coulomb (N/C). Podemos representar graficamente o campo elétrico de modo a usar as chamadas linhas de campo. Essas linhas são desenhadas em torno da carga. É importante ressaltar que as linhas de campo não são algo real. Trata-se apenas de um esquema representativo. Se quiséssemos representar, de fato, o campo elétrico teríamos de desenhar infinitas linhas de campo. Mas isso é um pouco trabalhoso. Para cargas positivas, a convenção é desenhar linhas saindo da carga. Já para as cargas negativas, as linhas são desenhadas entrando na carga.
5
6 O princípio da superposição também se aplica aos campos elétricos. Logo, várias cargas irão ocasionar um campo resultante em determinado ponto. Porém, imagine que ao invés de cargas puntiformes nós tenhamos um objeto carregado, como um anel cheio de cargas elétricas. Por estar carregado, esse anel ocasiona um campo elétrico em torno de si. Podemos usar o princípio da superposição para calcular o campo? Para usar o princípio da superposição teríamos de calcular, primeiro, o campo individual de cada carga no anel. Porém é trabalhoso visto que temos uma quantidade enorme de cargas. As cargas se distribuem por todo o anel, de modo contínuo. Para calcular o campo resultante devemos integrar todos os campos elétricos. Assim, para distribuições contínuas (seja de carga ou de massa) o princípio da superposição nos fornecerá uma integral, e não mais um simples somatório. Logo: E = de Onde de representa o diferencial do campo.
7 Por exemplo, tomemos um anel de raio R e que possui uma distribuição contínua de cargas positivas sobre sua superfície. Vamos olhar para uma única carga dq no anel. Essa carga produz um campo de no ponto P, que está a uma distância d dessa carga e a uma distância x do centro do anel (vamos imaginar que essa distância x é a coordenada cartesiana).
8 Se tomarmos a carga diametralmente oposta, essa irá produzir, também, um campo em P. Esse campo, somado vetorialmente com o campo da primeira carga, irá produzir um campo resultante na direção de x:
9 Note que quaisquer cargas do anel irão produzir um campo resultante na mesma direção. Portanto, temos um caso bem simétrico e podemos resolver nosso problema com a integração. Se tomarmos qualquer carga, basta integra-la para todo o anel que assim encontraremos o campo resultante. Assim, a partir da nossa primeira carga notamos que a geometria nos fornece um triângulo retângulo.
10 Nosso campo resultante está apontando, em nosso caso, na direção x. A direção x,por sua vez, faz parte do cosseno do nosso triângulo. Portanto, o campo que procuramos é dado por: de x = decosα Note que a distância até a carga é a hipotenusa do triângulo, que é dada por: d 2 = R 2 + x 2 Logo, o elemento de campo de será: de = 1 dq 4πε 0 (R 2 +x 2 ) Portanto, o campo que devemos encontrar é: de x = 1 4πε 0 dq (R 2 +x 2 ) cosα
11 Pelas relações trigonométricas: cateto ajacente cosα = hipotenusa Ou x cosα = R 2 + x 2 1/2 Então, o diferencial do campo se torna: de = 1 dq x 4πε 0 (R 2 +x 2 ) R 2 + x 2 1/2 de = 1 4πε 0 dqx R 2 + x 2 3/2
12 Assim, integramos em todo o arco e obtemos o campo resultante: de x = E x E = 1 4πε 0 x R 2 + x 2 3/2 dq E = 1 4πε 0 Qx R 2 + x 2 3/2 x
13 Poderíamos ter optado por escrever a densidade de cargas, de modo que dq = λdl. Onde λ é a densidade linear de carga e dl é o diferencial do comprimento do anel. Porém chegaríamos ao mesmo resultado. Agora, se formos tratar do campo elétrico gerado por um objeto plano, como um disco, então devemos escrever a carga elétrica em termos de sua densidade superficial de cargas, isto é, carga sobre a área (σ = dq/da). Com isso, encontraremos uma integral dupla para resolver, visto que da = rdrdθ.
14 Então temos um disco carregado positivamente de raio R que produz um campo no ponto P que está a uma distância z do centro do disco (imagine que z seja um eixo de coordenada). A análise desse problema é semelhante à do anel, mas agora ao invés de tomarmos uma única carga, tomaremos um elemento de anel em nosso disco. Qualquer carga sobre esse anel estará a uma distância d do ponto P. Logo o campo resultante estará apontando na direção z. Portanto, o campo será: de z = decosα
15 Usando a distância como a hipotenusa do triângulo retângulo e a definição de cosseno: de z = 1 σdaz 4πε 0 r 2 + z 2 3/2 Mas temos que da = rdrdθ. Quando escolhemos certa quantidade de carga a uma distância r do centro disco, está ocupa uma área infinitesimal. A medida que vamos formando um arco de cargas em volta do centro do disco, vamos aumentando a área a qual as cargas ocupam. Aumentando o arco estamos aumentando o ângulo θ. Note que a espessura do arco também irá mudar a área a qual as cargas estão inseridas. Por essa razão, a nossa área depende tanto do raio quanto do ângulo. Quando o ângulo θ for igual a 2π, o arco terá se tornado um anel em torno do centro, e quando o raio r for igual a R, todo o disco estará preenchido.
16 Portanto, nosso cálculo se torna: de z = 1 σrdrdθz 4πε 0 r 2 + z 2 3/2 Colocando o problema em duas integrais: E z = σz R 2π rdr 4πε 0 0 r 2 + z 2 3/2 dθ 0 A segunda integral é trivial e nos dará simplesmente 2π. Já a primeira integral necessita de uma regra de substituição para ser resolvida. Chamando r 2 + z² de u fazemos: u = r 2 + z 2 du = 2rdr Logo: dr = du 2r
17 Nossa equação se torna: E z = σ2πz 4πε 0 R 2 +z² rdu z² 2ru 3/2 R 2 +z² du E z = σz 4ε 0 z² u 3/2 Note que nossos limites iam de 0 a R, mas como mudamos nossa variável, é necessário mudar, também, os limites de integração. Assim, para r = 0 r 2 + z 2 = z² e para r = R r 2 + z 2 = R 2 + z². Agora, só nos resta resolver a integral para u. Usando a regra da potencia: E z = 2σz R 1 2 +z² 4ε 0 u 1/2 z² E z = σz 2ε 0 1 z 1 R 2 + z 2 1/2 = σ 2ε 0 1 z R 2 + z 2 1/2
18 Voltando para a análise de campos em cargas puntiformes, podemos esboçar a interação entre cargas. Sabemos que as linhas de campo sempre saem da carga positiva e chegam na carga negativa. Assim, para duas cargas de sinais opostos, o campo entre elas será representado como:
19 Se tivermos duas cargas iguais (duas positivas, por exemplo) as linhas de campo não vão se encontrar. Logo, o campo será representado como:
20 Num campo elétrico, as linhas de força são sempre paralelas às linhas de campo. Se o campo se curva em determinado ponto, então a linha de força será tangente à esse ponto.
21 Em um caso especial, temos duas cargas de mesma magnitude mas sinais contrários. A isso damos o nome de dipolo elétrico. Se um dipolo elétrico é inserido dentro de um campo elétrico, então o dipolo sofrerá um torque, de modo que comece a oscilar. Sendo d a distância entre as cargas, definimos como o momento do dipolo: p = q d Portanto, o torque será dado por: τ = Fdsenθ τ = qedsenθ Ou então: τ = pesenθ Em termos de vetor: τ = p E
22 Qual o campo produzido pelo dipolo elétrico em um ponto P? Para esse caso, podemos resolver pelo princípio da superposição. O campo em P será: E = E + + E q E = 2 4πε 0 r q + 4πε 0 r2 q E = 4πε 0 z 2 1 d 2 q 4πε 2z 0 z d 2 2z q 2d/z E = 4πε 0 z² 1 d 2 2 2z E = qd 2πε 0 z³ 1 1 d 2z 2 2 Note que se o ponto P estiver bem distante do dipolo (de modo que z d), então nosso resultado será: E = qd 2πε 0 z 3
23 Agora podemos refletir sobre três coisas: 1 - Para o caso do disco carregado, o que acontece se R tende para um número muito grande (tende para infinito)? 2 - Ainda para o caso do disco, o que ocorre se R é muito pequeno (tende a zero) ou se z tende ao infinito? 3 - Como deveríamos fazer para calcular o campo gerado por uma esfera carregada? Se para um plano usamos uma integral dupla, nesse caso precisaríamos de uma integral tripla (visto que a esfera ocupa um volume)?
FÍSICA (Eletromagnetismo) CAMPOS ELÉTRICOS
FÍSICA (Eletromagnetismo) CAMPOS ELÉTRICOS 1 O CONCEITO DE CAMPO Suponhamos que se fixe, num determinado ponto, uma partícula com carga positiva, q1, e a seguir coloquemos em suas proximidades uma segunda
Leia maisLei de Gauss. 2.1 Fluxo Elétrico. O fluxo Φ E de um campo vetorial E constante perpendicular Φ E = EA (2.1)
Capítulo 2 Lei de Gauss 2.1 Fluxo Elétrico O fluxo Φ E de um campo vetorial E constante perpendicular a uma superfície é definido como Φ E = E (2.1) Fluxo mede o quanto o campo atravessa a superfície.
Leia maisUNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAPÁ UNIFAP PRÓ-REITORIA DE ENSINO DE GRADUAÇÃO - PROGRAD DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS-DCET CURSO DE FÍSICA
UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAPÁ UNIFAP PRÓ-REITORIA DE ENSINO DE GRADUAÇÃO - PROGRAD DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS-DCET CURSO DE FÍSICA Disciplina: Física Básica III Prof. Dr. Robert R.
Leia maisOs eixo x e y dividem a circunferência em quatro partes congruentes chamadas quadrantes, numeradas de 1 a 4 conforme figura abaixo:
Circunferência Trigonométrica É uma circunferência de raio unitário orientada de tal forma que o sentido positivo é o sentido anti-horário. Associamos a circunferência (ou ciclo) trigonométrico um sistema
Leia maisNOTA DE AULA PROF. JOSÉ GOMES RIBEIRO FILHO CAMPO ELÉTRICO
NOTA DE AULA PROF. JOSÉ GOMES RIBEIRO FILHO CAMPO ELÉTRICO 1.CAMPO ELÉTRICO Suponhamos que se fixe, num determinado ponto, uma partícula com carga positiva, q 1, e a seguir coloquemos em suas proximidades
Leia maisRESUMO 2 - FÍSICA III
RESUMO 2 - FÍSICA III CAMPO ELÉTRICO Assim como a Terra tem um campo gravitacional, uma carga Q também tem um campo que pode influenciar as cargas de prova q nele colocadas. E usando esta analogia, podemos
Leia maisFunção Seno. Gráfico da Função Seno
Função Seno Dado um número real, podemos associar a ele o valor do seno de um arco que possui medida de radianos. Desta forma, podemos definir uma função cujo domínio é o conjunto dos números reais que,
Leia maisAplicações Diferentes Para Números Complexos
Material by: Caio Guimarães (Equipe Rumoaoita.com) Aplicações Diferentes Para Números Complexos Capítulo II Aplicação 2: Complexos na Geometria Na rápida revisão do capítulo I desse artigo mencionamos
Leia maisConteúdo programático por disciplina Matemática 6 o ano
60 Conteúdo programático por disciplina Matemática 6 o ano Caderno 1 UNIDADE 1 Significados das operações (adição e subtração) Capítulo 1 Números naturais O uso dos números naturais Seqüência dos números
Leia maisIBM1018 Física Básica II FFCLRP USP Prof. Antônio Roque Aula 7
Potencial Elétrico Quando estudamos campo elétrico nas aulas passadas, vimos que ele pode ser definido em termos da força elétrica que uma carga q exerce sobre uma carga de prova q 0. Essa força é, pela
Leia maisCampos. Exemplos de campos: - Campo de temperaturas (térmico) - Campo de pressões - Campo gravitacional - Campo elétrico
Campos Podemos definir campo, de forma genérica, como sendo uma região do espaço caracterizada por um conjunto de valores de uma grandeza física que dependem apenas de coordenadas que utilizem uma determinada
Leia maisGeometria Diferencial de Curvas Espaciais
Geometria Diferencial de Curvas Espaciais 1 Aceleração tangencial e centrípeta Fernando Deeke Sasse Departamento de Matemática CCT UDESC Mostremos que a aceleração de uma partícula viajando ao longo de
Leia maisUnidade 10 Trigonometria: Conceitos Básicos. Arcos e ângulos Circunferência trigonométrica
Unidade 10 Trigonometria: Conceitos Básicos Arcos e ângulos Circunferência trigonométrica Arcos e Ângulos Quando em uma corrida de motocicleta um piloto faz uma curva, geralmente, o traçado descrito pela
Leia maisUnidade 3 Função Afim
Unidade 3 Função Afim Definição Gráfico da Função Afim Tipos Especiais de Função Afim Valor e zero da Função Afim Gráfico definidos por uma ou mais sentenças Definição C ( x) = 10. x + Custo fixo 200 Custo
Leia maisPESQUISA OPERACIONAL -PROGRAMAÇÃO LINEAR. Prof. Angelo Augusto Frozza, M.Sc.
PESQUISA OPERACIONAL -PROGRAMAÇÃO LINEAR Prof. Angelo Augusto Frozza, M.Sc. ROTEIRO Esta aula tem por base o Capítulo 2 do livro de Taha (2008): Introdução O modelo de PL de duas variáveis Propriedades
Leia mais4.4 Limite e continuidade
4.4 Limite e continuidade Noções Topológicas em R : Dados dois pontos quaisquer (x 1, y 1 ) e (x, y ) de R indicaremos a distância entre eles por då(x 1, y 1 ), (x, y )è=(x 1 x ) + (y 1 y ). Definição
Leia maisFunção. Adição e subtração de arcos Duplicação de arcos
Função Trigonométrica II Adição e subtração de arcos Duplicação de arcos Resumo das Principais Relações I sen cos II tg sen cos III cotg tg IV sec cos V csc sen VI sec tg VII csc cotg cos sen Arcos e subtração
Leia maisAula 5. Uma partícula evolui na reta. A trajetória é uma função que dá a sua posição em função do tempo:
Aula 5 5. Funções O conceito de função será o principal assunto tratado neste curso. Neste capítulo daremos algumas definições elementares, e consideraremos algumas das funções mais usadas na prática,
Leia maisAtividade de revisão do 1º semestre de 2009 e autoavaliação de recuperação
Física Atividade 3 os anos Glorinha ago/09 Nome: Nº: Turma: Atividade de revisão do 1º semestre de 2009 e autoavaliação de recuperação Essa atividade tem o objetivo de revisar alguns conceitos estudados
Leia maisCapítulo 4. Retas e Planos. 4.1 A reta
Capítulo 4 Retas e Planos Neste capítulo veremos como utilizar a teoria dos vetores para caracterizar retas e planos, a saber, suas equações, posições relativas, ângulos e distâncias. 4.1 A reta Sejam
Leia mais2.1 - Triângulo Equilátero: é todo triângulo que apresenta os três lados com a mesma medida. Nesse caso dizemos que os três lados são congruentes.
Matemática Básica 09 Trigonometria 1. Introdução A palavra Trigonometria tem por significado do grego trigonon- triângulo e metron medida, associada diretamente ao estudo dos ângulos e lados dos triângulos,
Leia maisLados de um triângulo retângulo. MA092 Geometria plana e analítica. Mudando o ângulo. Trabalhando no plano Cartesiano
Lados de um triângulo retângulo MA092 Geometria plana e analítica. Catetos de um triângulo retângulo em função da hipotenusa e do ângulo θ: sen(θ) = y z y = z sen(θ) Francisco A. M. Gomes cos(θ) = x z
Leia maisUsando potências de 10
Usando potências de 10 A UUL AL A Nesta aula, vamos ver que todo número positivo pode ser escrito como uma potência de base 10. Por exemplo, vamos aprender que o número 15 pode ser escrito como 10 1,176.
Leia maisTRIGONOMETRIA CICLO TRIGONOMÉTRICO
TRIGONOMETRIA CICLO TRIGONOMÉTRICO Arcos de circunferência A e B dividem a circunferência em duas partes. Cada uma dessas partes é um arco de circunferência (ou apenas arco). A e B são denominados extremidades
Leia mais1 - POLÍGONOS REGULARES E CIRCUNFERÊNCIAS
Matemática 2 Pedro Paulo GEOMETRIA PLANA X 1 - POLÍGONOS REGULARES E CIRCUNFERÊNCIAS 1.2 Triângulo equilátero circunscrito A seguir, nós vamos analisar a relação entre alguns polígonos regulares e as circunferências.
Leia mais14/4/2010 ALGA-1: Exercícios Resolvidos Superfícies Quádricas
1//010 ALGA-1: Exercícios Resolvidos Superfícies Quádricas * Do Livro de Geometria Analítica - Alfredo Steinbruch, Paulo Winterle. GUIDG.COM PG. 1 1 Revisão de conteúdo. Veja alguns exemplos gráficos de
Leia maisOndas EM no Espaço Livre (Vácuo)
Secretaria de Educação Profissional e Tecnológica Instituto Federal de Santa Catarina Campus São José Área de Telecomunicações ELM20704 Eletromagnetismo Professor: Bruno Fontana da Silva 2014-1 Ondas EM
Leia mais1 CLASSIFICAÇÃO 2 SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS. Matemática 2 Pedro Paulo
Matemática 2 Pedro Paulo GEOMETRIA PLANA IV 1 CLASSIFICAÇÃO De acordo com o gênero (número de lados), os polígonos podem receber as seguintes denominações: Na figura 2, o quadrilátero foi dividido em triângulos.
Leia maisUNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ BIBLIOTECA DE OBJETOS MATEMÁTICOS COORDENADOR: Dr. MARCIO LIMA
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ BIBLIOTECA DE OBJETOS MATEMÁTICOS COORDENADOR: Dr. MARCIO LIMA TEXTO: CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO AUTORES: Mayara Brito (estagiária da BOM) André Brito (estagiário da BOM) ORIENTADOR:
Leia maisÁlgebra Linear Aplicada à Compressão de Imagens. Universidade de Lisboa Instituto Superior Técnico. Mestrado em Engenharia Aeroespacial
Álgebra Linear Aplicada à Compressão de Imagens Universidade de Lisboa Instituto Superior Técnico Uma Breve Introdução Mestrado em Engenharia Aeroespacial Marília Matos Nº 80889 2014/2015 - Professor Paulo
Leia maisInteligência Artificial
Inteligência Artificial Aula 7 Programação Genética M.e Guylerme Velasco Programação Genética De que modo computadores podem resolver problemas, sem que tenham que ser explicitamente programados para isso?
Leia maisnúmeros decimais Inicialmente, as frações são apresentadas como partes de um todo. Por exemplo, teremos 2 de um bolo se dividirmos esse bolo
A UA UL LA Frações e números decimais Introdução Inicialmente, as frações são apresentadas como partes de um todo. Por exemplo, teremos de um bolo se dividirmos esse bolo em cinco partes iguais e tomarmos
Leia maisAula 4-Movimentos,Grandezas e Processos
Movimentos de Corte Os movimentos entre ferramenta e peça durante a usinagem são aqueles que permitem a ocorrência do processo de usinagem.convencionalmente se supõe a peça parada e todo o movimento sendo
Leia maisCinemática Bidimensional
Cinemática Bidimensional INTRODUÇÃO Após estudar cinemática unidimensional, vamos dar uma perspectiva mais vetorial a tudo isso que a gente viu, abrangendo mais de uma dimensão. Vamos ver algumas aplicações
Leia maisPOTENCIAL ELÉTRICO. por unidade de carga
POTENCIAL ELÉTRICO A lei de Newton da Gravitação e a lei de Coulomb da eletrostática são matematicamente idênticas, então os aspectos gerais discutidos para a força gravitacional podem ser aplicadas para
Leia maisnúmeros decimais Inicialmente, as frações são apresentadas como partes de um todo. Por exemplo, teremos 2 de um bolo se dividirmos esse bolo
A UA UL LA Frações e números decimais Introdução Inicialmente, as frações são apresentadas como partes de um todo. Por exemplo, teremos de um bolo se dividirmos esse bolo em cinco partes iguais e tomarmos
Leia maisM =C J, fórmula do montante
1 Ciências Contábeis 8ª. Fase Profa. Dra. Cristiane Fernandes Matemática Financeira 1º Sem/2009 Unidade I Fundamentos A Matemática Financeira visa estudar o valor do dinheiro no tempo, nas aplicações e
Leia maisIBM1018 Física Básica II FFCLRP USP Prof. Antônio Roque Aula 3
Linhas de Força Mencionamos na aula passada que o físico inglês Michael Faraday (79-867) introduziu o conceito de linha de força para visualizar a interação elétrica entre duas cargas. Para Faraday, as
Leia maisMódulo de Princípios Básicos de Contagem. Segundo ano
Módulo de Princípios Básicos de Contagem Combinação Segundo ano Combinação 1 Exercícios Introdutórios Exercício 1. Numa sala há 6 pessoas e cada uma cumprimenta todas as outras pessoas com um único aperto
Leia mais1 PONTOS NOTÁVEIS. 1.1 Baricentro. 1.3 Circuncentro. 1.2 Incentro. Matemática 2 Pedro Paulo
Matemática 2 Pedro Paulo GEOMETRIA PLANA VIII 1 PONTOS NOTÁVEIS 1.1 Baricentro O baricentro é o encontro das medianas de um triângulo. Na figura abaixo, é o ponto médio do lado, é o ponto médio do lado
Leia maisQUESTÕES PARA A 3ª SÉRIE ENSINO MÉDIO MATEMÁTICA 2º BIMESTE SUGESTÕES DE RESOLUÇÕES
QUESTÕES PARA A 3ª SÉRIE ENSINO MÉDIO MATEMÁTICA 2º BIMESTE QUESTÃO 01 SUGESTÕES DE RESOLUÇÕES Descritor 11 Resolver problema envolvendo o cálculo de perímetro de figuras planas. Os itens referentes a
Leia maisSexta Lista - Fontes de Campo Magnético
Sexta Lista - Fontes de Campo Magnético FGE211 - Física III Sumário A Lei de Biot-Savart afirma que o campo magnético d B em um certo ponto devido a um elemento de comprimento d l que carrega consigo uma
Leia maisResolução do exemplo 8.6a - pág 61 Apresente, analítica e geometricamente, a solução dos seguintes sistemas lineares.
Solução dos Exercícios de ALGA 2ª Avaliação EXEMPLO 8., pág. 61- Uma reta L passa pelos pontos P 0 (, -2, 1) e P 1 (5, 1, 0). Determine as equações paramétricas, vetorial e simétrica dessa reta. Determine
Leia maisFigura 4.1: Diagrama de representação de uma função de 2 variáveis
1 4.1 Funções de 2 Variáveis Em Cálculo I trabalhamos com funções de uma variável y = f(x). Agora trabalharemos com funções de várias variáveis. Estas funções aparecem naturalmente na natureza, na economia
Leia maisI. Conjunto Elemento Pertinência
TEORI DOS CONJUNTOS I. Conjunto Elemento Pertinência Conjunto, elemento e pertinência são três noções aceitas sem definição, ou seja, são noções primitivas. idéia de conjunto é praticamente a mesma que
Leia maisCapítulo 22: Campos Elétricos
1 Campos létricos Capítulo : Campos létricos Campo létrico: é um campo vetorial, constituído por uma distribuição de vetores, um para cada ponto de uma região em torno de um objeto eletricamente carregado.
Leia maisÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA (UFCG- CUITÉ)
P L A N O S PARALELOS AOS EIXOS E AOS PLANOS COORDENADOS Casos Particulares A equação ax + by + cz = d na qual a, b e c não são nulos, é a equação de um plano π, sendo v = ( a, b, c) um vetor normal a
Leia maisIntrodução ao determinante
ao determinante O que é? Quais são suas propriedades? Como se calcula (Qual é a fórmula ou algoritmo para o cálculo)? Para que serve? Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld
Leia maisaplicada à força sentida por uma carga q 0, devida à N cargas q 1 q 2 q n
Eletricidade O Campo eléctrico Consideremos a equação aplicada à força sentida por uma carga q 0, devida à N cargas q 1 q 2 q n onde é a distância desde a carga até o ponto do espaço onde se encontra a
Leia maisUNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE FÍSICA 1 GRÁFICOS
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE FÍSICA Prof. Irineu Hibler 1 GRÁFICOS Os gráficos desempenham na Física Experimental um papel preponderante. Mais facilmente pelos
Leia maisTrigonometria. Relação fundamental. O ciclo trigonométrico. Pré. b c. B Sabemos que a 2 = b 2 + c 2, dividindo os dois membros por a 2 : a b c 2 2 2
Trigonometria Relação fundamental C b a A c B Sabemos que a = b + c, dividindo os dois membros por a : a b c = + a a a sen + cos = Temos também que: b c senα= e cosα= a a Como b tgα= c, concluímos que:
Leia maisFísica Experimental III
Física Experimental III Unidade 4: Circuitos simples em corrente alternada: Generalidades e circuitos resistivos http://www.if.ufrj.br/~fisexp3 agosto/26 Na Unidade anterior estudamos o comportamento de
Leia mais6.2. Volumes. Nesta seção aprenderemos a usar a integração para encontrar o volume de um sólido. APLICAÇÕES DE INTEGRAÇÃO
APLICAÇÕES DE INTEGRAÇÃO 6.2 Volumes Nesta seção aprenderemos a usar a integração para encontrar o volume de um sólido. SÓLIDOS IRREGULARES Começamos interceptando S com um plano e obtemos uma região plana
Leia maisMatemática Básica Intervalos
Matemática Básica Intervalos 03 1. Intervalos Intervalos são conjuntos infinitos de números reais. Geometricamente correspondem a segmentos de reta sobre um eixo coordenado. Por exemplo, dados dois números
Leia maisDe modo análogo as integrais duplas, podemos introduzir novas variáveis de integração na integral tripla.
8 Mudança de variável em integrais riplas 38 De modo análogo as integrais duplas, podemos introduzir novas variáveis de integração na integral tripla. I f ( dxddz Introduzindo novas variáveis de integração
Leia maisA lei dos senos. Na Aula 42 vimos que a Lei dos co-senos é. a 2 = b 2 + c 2-2bc cos Â
A UA UL LA A lei dos senos Introdução Na Aula 4 vimos que a Lei dos co-senos é uma importante ferramenta matemática para o cálculo de medidas de lados e ângulos de triângulos quaisquer, isto é, de triângulos
Leia maisUNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL - MATEMÁTICA PROJETO FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR
UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL - MATEMÁTICA PROJETO FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR Assuntos: Produtos Notáveis; Equações; Inequações; Função; Função Afim; Paridade;
Leia maisCampo Magnético. Prof a. Michelle Mendes Santos michelle.mendes@ifmg.edu.br
Campo Magnético Prof a. Michelle Mendes Santos michelle.mendes@ifmg.edu.br O Magnetismo O magnetismo é um efeito observado e estudado há mais de 2000 anos. O magnetismo descreve o comportamento de objetos
Leia maisMatrizes. matriz de 2 linhas e 2 colunas. matriz de 3 linhas e 3 colunas. matriz de 3 linhas e 1 coluna. matriz de 1 linha e 4 colunas.
Definição Uma matriz do tipo m n (lê-se m por n), com m e n, sendo m e n números inteiros, é uma tabela formada por m n elementos dispostos em m linhas e n colunas. Estes elementos podem estar entre parênteses
Leia maisQuestão 1. Questão 3. Questão 2. Resposta. Resposta. Resposta. a) calcule a área do triângulo OAB. b) determine OC e CD.
Questão Se Amélia der R$,00 a Lúcia, então ambas ficarão com a mesma quantia. Se Maria der um terço do que tem a Lúcia, então esta ficará com R$ 6,00 a mais do que Amélia. Se Amélia perder a metade do
Leia maisLista de Exercícios Campo Elétrico
Considere k o = 9,0. 10 9 N. m 2 /C 2 Lista de Exercícios Campo Elétrico 1. Uma partícula de carga q = 2,5. 10-8 C e massa m = 5,0. 10-4 kg, colocada num determinado ponto P de uma região onde existe um
Leia maisMódulo de Equações do Segundo Grau. Equações do Segundo Grau: Resultados Básicos. Nono Ano
Módulo de Equações do Segundo Grau Equações do Segundo Grau: Resultados Básicos. Nono Ano Equações do o grau: Resultados Básicos. 1 Exercícios Introdutórios Exercício 1. A equação ax + bx + c = 0, com
Leia maisTEORIA 5: EQUAÇÕES E SISTEMAS DO 1º GRAU MATEMÁTICA BÁSICA
TEORIA 5: EQUAÇÕES E SISTEMAS DO 1º GRAU MATEMÁTICA BÁSICA Nome: Turma: Data / / Prof: Walnice Brandão Machado Equações de primeiro grau Introdução Equação é toda sentença matemática aberta que exprime
Leia maisDESENHO TÉCNICO ( AULA 03)
Sólidos Geométricos DESENHO TÉCNICO ( AULA 03) Você já sabe que todos os pontos de uma figura plana localizam-se no mesmo plano. Quando uma figura geométrica tem pontos situados em diferentes planos, temos
Leia maisLei de Gauss e Condutores em Equilíbrio Eletrostático
Lei de Gauss e Condutores em Equilíbrio Eletrostático 2008 Fluxo Elétrico: Está relacionado com o número líquido de linhas de força que atravessam uma superfície. φ e = EA 1 ou φ e = EA 2 cosθ = E ˆnA2
Leia maisEGEA ESAPL - IPVC. Resolução de Problemas de Programação Linear, com recurso ao Excel
EGEA ESAPL - IPVC Resolução de Problemas de Programação Linear, com recurso ao Excel Os Suplementos do Excel Em primeiro lugar deverá certificar-se que tem o Excel preparado para resolver problemas de
Leia maise-mail: ederaldoazevedo@yahoo.com.br
Assunto: Cálculo de Lajes Prof. Ederaldo Azevedo Aula 3 e-mail: ederaldoazevedo@yahoo.com.br 3.1. Conceitos preliminares: Estrutura é a parte ou o conjunto das partes de uma construção que se destina a
Leia maisAplicações de integração. Cálculo 2 Prof. Aline Paliga
Aplicações de integração Cálculo Prof. Aline Paliga Áreas entre curvas Nós já definimos e calculamos áreas de regiões que estão sob os gráficos de funções. Aqui nós estamos usando integrais para encontrar
Leia maisCorrente elétrica, potência, resistores e leis de Ohm
Corrente elétrica, potência, resistores e leis de Ohm Corrente elétrica Num condutor metálico em equilíbrio eletrostático, o movimento dos elétrons livres é desordenado. Em destaque, a representação de
Leia maisCircuitos de Comunicação. Prática 1: PWM
Circuitos de Comunicação Prática 1: PWM Professor: Hélio Magalhães Grupo: Geraldo Gomes, Paulo José Nunes Recife, 04 de Maio de 2014 SUMÁRIO Resumo 3 Parte I PWM - Teoria 3 Geração do PWM 5 Parte II Prática
Leia maisO que é uma interação física? Como concebê-la?
Campo elétrico Um pouco de filosofia (com um pouco de história) O que é uma interação física? Como concebê-la? Há basicamente duas maneiras distintas de imaginar como dois corpos A e B separados por uma
Leia maisAULA 3 FORÇA ELÉTRICA. O conceito de força é a capacidade de provocar a mudança de intensidade, direção e sentido da velocidade.
AULA 3 FORÇA ELÉTRICA O conceito de força é a capacidade de provocar a mudança de intensidade, direção e sentido da velocidade. - Um objeto em repouso (v= 0) entra em movimento, mediante a aplicação de
Leia maisASPECTOS CONSTRUTIVOS DE ROBÔS
ASPECTOS CONSTRUTIVOS DE ROBÔS Tipos de robôs Classificação de robôs Definições importantes: O arranjo das hastes e juntas em um braço manipulador tem um importante efeito nos graus de liberdade da ferramenta
Leia maisObservando embalagens
Observando embalagens A UUL AL A O leite integral é vendido em caixas de papelão laminado por dentro. Essas embalagens têm a forma de um paralelepípedo retângulo e a indicação de que contêm 1000 ml de
Leia maisO exemplo mais simples do uso do método das imagens 1
arxiv:1405.2903v1 [physics.class-ph] 11 May 2014 O exemplo mais simples do uso do método das imagens 1 The simplest example of the use of the method of images Antonio S. de Castro 2 Departamento de Física
Leia maisAula 15 Amplificadores Operacionais (pág. 453 a 459)
Aula 15 Amplificadores Operacionais (pág. 453 a 459) Prof. Dr. Aparecido Nicolett PUC-SP Slide 1 Considerações gerais: Amplificadores Operacionais são amplificadores diferencias com ganho muito alto, impedância
Leia maisA unidade de freqüência é chamada hertz e simbolizada por Hz: 1 Hz = 1 / s.
Movimento Circular Uniforme Um movimento circular uniforme (MCU) pode ser associado, com boa aproximação, ao movimento de um planeta ao redor do Sol, num referencial fixo no Sol, ou ao movimento da Lua
Leia maisEntropia, Entropia Relativa
Entropia, Entropia Relativa e Informação Mútua Miguel Barão (mjsb@di.uevora.pt) Departamento de Informática Universidade de Évora 13 de Março de 2003 1 Introdução Suponhamos que uma fonte gera símbolos
Leia maisO Plano. Equação Geral do Plano:
O Plano Equação Geral do Plano: Seja A(x 1, y 1, z 1 ) um ponto pertencente a um plano π e n = (a, b, c), n 0, um vetor normal (ortogonal) ao plano (figura ao lado). Como n π, n é ortogonal a todo vetor
Leia maisCURSO DE MATEMÁTICA BÁSICA PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL CENTRO DE ENGENHARIA DA MOBILIDADE
CURSO DE MATEMÁTICA BÁSICA Aula 01 Introdução a Geometria Plana Ângulos Potenciação Radiciação Introdução a Geometria Plana Introdução: No estudo da Geometria Plana, consideraremos três conceitos primitivos:
Leia maisResolução de circuitos usando Teorema de Thévenin Exercícios Resolvidos
Resolução de circuitos usando Teorema de Thévenin Exercícios Resolvidos 1º) Para o circuito abaixo, calcular a tensão sobre R3. a) O Teorema de Thévenin estabelece que qualquer circuito linear visto de
Leia maisSe inicialmente, o tanque estava com 100 litros, pode-se afirmar que ao final do dia o mesmo conterá.
ANÁLISE GRÁFICA QUANDO y. CORRESPONDE A ÁREA DA FIGURA Resposta: Sempre quando o eio y corresponde a uma taa de variação, então a área compreendida entre a curva e o eio do será o produto y. Isto é y =
Leia maisGEOMETRIA DESCRITIVA... o que é e para que serve!
GEOMETRIA DESCRITIVA... o que é e para que serve! Desde sempre, o homem, na sua necessidade de comunicação, procurou encontrar um meio de representar as formas dos objectos que o rodeavam. Assim, Gaspar
Leia maisLista de Exercícios Critérios de Divisibilidade
Nota: Os exercícios desta aula são referentes ao seguinte vídeo Matemática Zero 2.0 - Aula 10 - Critérios de - (parte 1 de 2) Endereço: https://www.youtube.com/watch?v=1f1qlke27me Gabaritos nas últimas
Leia mais= 1 1 1 1 1 1. Pontuação: A questão vale dez pontos, tem dois itens, sendo que o item A vale até três pontos, e o B vale até sete pontos.
VTB 008 ª ETAPA Solução Comentada da Prova de Matemática 0 Em uma turma de alunos que estudam Geometria, há 00 alunos Dentre estes, 30% foram aprovados por média e os demais ficaram em recuperação Dentre
Leia maisResolução de sistemas de equações lineares: Método de eliminação de Gauss
Resolução de sistemas de equações lineares: Método de eliminação de Gauss Marina Andretta ICMC-USP 21 de março de 2012 Baseado no livro Análise Numérica, de R L Burden e J D Faires Marina Andretta (ICMC-USP)
Leia maisPARTE 11 VETOR GRADIENTE:
PARTE 11 VETOR GRADIENTE: INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA 11.1 Introdução Dada a função real de n variáveis reais, f : Domf) R n R X = 1,,..., n ) f 1,,..., n ), se f possui todas as derivadas parciais de primeira
Leia maisFONTES DE CAMPO MAGNÉTICO. Caracterizar e mostrar o campo magnético produzido por uma carga a velocidade constante.
FONTES DE CAMPO MAGNÉTICO META Aula 8 Caracterizar e mostrar o campo magnético produzido por uma carga a velocidade constante. Mostrar a lei da circulação de Ampère-Laplace e a lei de Biot-Savart. Estudar
Leia maisAula 2 Sistemas de Coordenadas & Projeções Cartográficas. Flávia F. Feitosa
Aula 2 Sistemas de Coordenadas & Projeções Cartográficas Flávia F. Feitosa Disciplina PGT 035 Geoprocessamento Aplicado ao Planejamento e Gestão do Território Junho de 2015 Dados Espaciais são Especiais!
Leia maisRecorrendo à nossa imaginação podemos tentar escrever números racionais de modo semelhante: 1 2 = 1 + 3 + 32 +
1 Introdução Comecemos esta discussão fixando um número primo p. Dado um número natural m podemos escrevê-lo, de forma única, na base p. Por exemplo, se m = 15 e p = 3 temos m = 0 + 2 3 + 3 2. Podemos
Leia maisCondução. t x. Grupo de Ensino de Física da Universidade Federal de Santa Maria
Condução A transferência de energia de um ponto a outro, por efeito de uma diferença de temperatura, pode se dar por condução, convecção e radiação. Condução é o processo de transferência de energia através
Leia mais2 Limites e Derivadas. Copyright Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
2 Limites e Derivadas Copyright Cengage Learning. Todos os direitos reservados. 2.7 Derivadas e Taxas de Variação Copyright Cengage Learning. Todos os direitos reservados. Derivadas e Taxas de Variação
Leia maisConservação de Massa. A quantidade de fluido entrando no cubo pela face y z intervalo t
Conservação de Massa Em um fluido real, massa deve ser conservada não podendo ser destruída nem criada. Se a massa se conserva, o que entrou e não saiu ficou acumulado. Matematicamente nós formulamos este
Leia mais15.053 26 de fevereiro de 2002
15.053 26 de fevereiro de 2002 Análise de Sensibilidade apresentado como Perguntas Freqüentes Pontos ilustrados em um exemplo contínuo de fabricação de garrafas. Se o tempo permitir, também consideraremos
Leia maisA magnetostática. A lei de Biot e Savart O potencial escalar magnético. A lei da indução de Faraday.
A magnetostática Nesta aula discutiremos algumas leis e conceitos físicos que são muito úteis para o entendimento do eletromagnetismo e se apresentam em várias inovações a aplicações tecnológicas. São
Leia maisComandos de Eletropneumática Exercícios Comentados para Elaboração, Montagem e Ensaios
Comandos de Eletropneumática Exercícios Comentados para Elaboração, Montagem e Ensaios O Método Intuitivo de elaboração de circuitos: As técnicas de elaboração de circuitos eletropneumáticos fazem parte
Leia maisUNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA ESCOLA POLITÉCNICA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA ENG 008 Fenômenos de Transporte I A Profª Fátima Lopes
Equações básicas Uma análise de qualquer problema em Mecânica dos Fluidos, necessariamente se inicia, quer diretamente ou indiretamente, com a definição das leis básicas que governam o movimento do fluido.
Leia maisEm linguagem matemática, essa proprieade pode ser escrita da seguinte maneira: x. 1 = x Onde x representa um número natural qualquer.
MATEMÁTICA BÁSICA 5 EXPRESSÕES ALGÉBRICAS - EQUAÇÕES A expressão numérica é aquela que apresenta uma sequência de operações e de números. Também já sabemos que as letras são usadas em Matemática para representar
Leia maisProgramação Linear - Parte 4
Mestrado em Modelagem e Otimização - CAC/UFG Programação Linear - Parte 4 Profs. Thiago Alves de Queiroz Muris Lage Júnior 1/2014 Thiago Queiroz (DM) Parte 4 1/2014 1 / 18 Solução Inicial O método simplex
Leia maisUniversidade Federal de Goiás Campus Catalão Departamento de Matemática
Universidade Federal de Goiás Campus Catalão Departamento de Matemática Disciplina: Álgebra Linear Professor: André Luiz Galdino Aluno(a): 4 a Lista de Exercícios 1. Podemos entender transformações lineares
Leia mais