De modo análogo as integrais duplas, podemos introduzir novas variáveis de integração na integral tripla.

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1 8 Mudança de variável em integrais riplas 38 De modo análogo as integrais duplas, podemos introduzir novas variáveis de integração na integral tripla. I f ( dxddz Introduzindo novas variáveis de integração w através das equações x x( ( z z( a integral I pode ser expressa por I f ( x( ( w( dudvdw w ' ) onde é a correspondente região no espaço w e z em relação a w. é o determinante jacobiano de 8.1 Cálculo de uma integral tripla em coordenadas cilíndricas As coordenadas cilíndricas de um ponto P no espaço, de coordenadas cartesianas (, são determinadas pelos números r, θ, z, onde r e θ são as coordenadas polares da projeção de P sobre o plano x. Assim f ( dv ' A relação entre as coordenadas cilíndricas e cartesianas é dada pelas equações: x r cos θ r sen θ z z O jacobiano de z em relação as novas variáveis r, θ, z é: r, θ, r r r f ( r, r, rdrdθdz, onde é a região descrita em coordenadas cilíndricas. Se a região se enquadra no 1º caso da seção 7.3, podemos escrever: 1

2 g ( r, θ ) I f ( r, r, dz rdrdθ R' g1 ( r, θ ) onde: g 1 (r, θ) e g (r, θ) são as superfícies que delimitam inferiormente e superiormente, respectivamente. R é a projeção de sobre o plano x descrita em coordenadas polares Exemplos 1) Calcular I dv, onde é a região delimitada por z x +, x + 1 e z 8 - x - ) dv, onde é a porção da esfera x + + z 9 que está dentro do cilindro x Cálculo de uma integral tripla em coordenadas esféricas As coordenadas esféricas (ρ, θ,φ ) de um ponto P ( no espaço são conforme a figura: A coordenada ρ é a distância do ponto P até a origem. A coordenada θ é a mesma que em coordenadas cilíndricas e a coordenada φ é o ângulo formado pelo eixo positivo dos z e o segmento que une o ponto P a origem. Como ρ é a distância de P a origem, temos ρ >. Como θ coincide com o ângulo polar, utiliza-se a mesma variação usada no cálculo de integrais duplas, ou seja, π θ π ou θ π Quanto a coordenada φ, subentende-se que φ π. Quando φ, o ponto P estará sobre o eixo positivo dos z e, quando φ π, sobre o eixo negativo dos z. Comparando as figuras das seções 8.1 e 8.3, podemos observar que as coordenadas cilíndricas e esféricas se relacionam pelas equações r ρ senφ, θ θ, z ρ cosφ Combinando essas equações com as equações x r, r, z z

3 obtemos x ρ senφ, ρ senφ, z ρ cosφ 4 que são as equações que relacionam as coordenadas esféricas com as coordenadas cartesianas. Podemos usar estas equações para transformar uma integral tripla em coordenadas cartesianas numa integral tripla em coordenadas esféricas. Para isso, vamos utilizar a fórmula de mudança de variáveis para integrais triplas dada acima. I f ( x( ( w( dudvdw w ' ) ρ, θ, φ) Devemos então calcular o jacobiano. emos ρ, θ, φ) senφ senφ ρ senφ ρ senφ ρ cosφ ( cosφ ρ senφ ρ cosφ ρ senφ Portanto, f ( dv ' f ( ρ senφ, ρ senφ, ρ cosφ) ρ senφ dρdφdθ onde é a região de integração descrita em coordenadas esféricas. 8.4 Exemplos 1) Calcular o volume de uma esfera de raio R utilizando integral tripla. ) Calcular I xdxddz, onde é a esfera sólida x + + z < a 3) Calcular I dxddz, onde é a região limitada superiormente pela esfera x + + z 16 e inferiormente pelo cone z x + 4) Calcular I x + + x + + z 1 e x + + z 4. z dxddz, onde é a coroa esférica limitada por

4 Exercícios 1) Calcular ( x + x + + z 4. I ) dv ) Calcular I x + z 4 - x -. dv, onde é a região interior ao cilindro x + 1 e a esfera, onde é a região limitada por z x e 3) Calcular dv, onde é a região limitada por x + 4 e a esfera + z 4. 4) Calcular dv, onde é a região interior ao cilindro x - x + e a esfera x + + z 1. 5) Calcular dv, onde é a casca esférica delimitada por x + + z 9 e x + + z 16. 6) Calcular + (x ) dv, onde é o sólido delimitado por 4 < x + + z < Respostas: 1) π ( ) ) π 1688π 6) π 15 3) ) (3π 4) 9 5) Aplicações Cálculo de Volume de sólidos As integrais triplas tem aplicações geométricas e físicas. Uma importante aplicação é o cálculo de volumes. É possível calcular o volume de um sólido delimitado num espaço, considerando f( 1. Assim, o volume V é dado por V dv 8.7 Exemplos 1) Calcular o volume do sólido delimitado inferiormente por z 3, superiormente por z 6 e lateralmente pelo cilindro vertical que contorna a região R delimitada por x e 4. ) Calcular o volume do sólido delimitado por, z, + z 5 e z 4 x

5 4 8.8 Exercícios 1) Calcular o volume do tetraedro da figura ao lado: ) Calcular o volume da parte do tetraedro da figura ao lado: Entre os planos z 1 e z ; Acima do plano z 1; Abaixo do plano z. 3) Calcular o volume do sólido delimitado por x + 4, z e 4x + + z 16. 4) Calcular o volume do sólido delimitado por z 8 - x - no 1º octante. 5) Calcular o volume do sólido acima do plano x delimitado por z x + e x ) Calcular o volume do sólido acima do parabolóide z x + e abaixo do cone z + x Respostas: 1) 1 ),, ) 64 π 4) 4 π 5) 18 π 6) 6 π