Lista de Exercícios Critérios de Divisibilidade

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1 Nota: Os exercícios desta aula são referentes ao seguinte vídeo Matemática Zero Aula 10 - Critérios de - (parte 1 de 2) Endereço: Gabaritos nas últimas páginas! E1: Qual o critério de divisibilidade por 2? Verifique se os números abaixo são divisíveis por 2: a) 35 b) 43 c) d) E2: Qual o critério de divisibilidade por 3? Verifique se os números abaixo são divisíveis por 3: a) 729 b) 816 c) 6632 d) 4584 E3: Qual o critério de divisibilidade por 4? Verifique se os números abaixo são divisíveis por 4: a) b) c) 148 d) E4: Qual o critério de divisibilidade por 5? Verifique se os números abaixo são divisíveis por 5. a) b) c) E5: Qual o critério de divisibilidade por 6? Verifique se os números abaixo são divisíveis por 6 a) b) c) 2148 Página 1 de 10

2 E6: Qual o critério de divisibilidade por 7? Verifique se os números abaixo são divisíveis por 7 a) b) 336 c)214 d) 896 E7: Qual o critério de divisibilidade por 8? Verifique se os números abaixo são divisíveis por 8. a) b) c) E8: Qual o critério de divisibilidade por 9? Verifique se os números abaixo são divisíveis por 9. a) 216 b) 185 c) 309 d) 428 E9: Descubra o menor número natural que é divisível simultaneamente por 2, 3, 5 e 7. E10: Descubra o menor natural que é divisível simultaneamente por 2, 3, 4. E11: Descubra o último número divisível por 11 menor que E12: Calcule o maior número de 4 algarismos simultaneamente divisível por 3 e por 7. E13: O número 61125ab é divisível por 9. O valor máximo da soma dos algarismos a e b será: a) 11. b) 12. c) 13. d) 14. e) 15. E14: Mostre que a soma de dois números ímpares ou a soma de dois números pares é um número divisível por 2. E15: Mostre que a soma de três números naturais em sequência é divisível por 3. E16: Mostre que o dobro da soma de três números naturais em sequência é divisível por 6. Página 2 de 10

3 E17 (Desafio): Considere os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Com eles é possível montar um número (cada letra representa um algarismo distinto) de forma que: a forma um número divisível por 1; ab forma um número divisível por 2; abc forma um número divisível por 3; abcd forma um número divisível por 4;... forma um número divisível por 10. Descubra o valor de. Página 3 de 10

4 Gabarito: E1: Para ser divisível por 2, basta ser par (podemos, simplesmente, observar se o último algarismo é par) a) 35: não é par (logo, não é divisível por 2). b) 43: não é par (logo, não é divisível por 2). c) : é par (logo, é divisível por 2). d) : é par (logo, é divisível por 2). E2: Para ser divisível por 3, a soma dos algarismos deve fornecer um número que é divisível por 3. a) 729: = 18 (18 é divisível por 3, logo, 729 também é). b) 816: = 15 (como 15 é divisível por 3, então 816 também é). c) 6632: = 17 (17 não é divisível por 3. Logo, 6623 também não é). d) 4584: = 21 (21 é divisível por 3. Logo, 4584 também é). E3: Basta verificar se os dois algarismos finais formam um número divisível por 4 (inclusive, 00). a) 22857: Não é divisível por 4. b) : Termina em 00: É divisível por 4. c) 148: Termina em 48 (que é divisível por 4). Logo, 148 também é. d) 25698: Não é divisível por 4, pois 98 não é divisível por 4. E4: Basta verificarmos se o último algarismo é zero ou 5, o que garante a divisibilidade por 5. a) : É divisível por 5. b) : É divisível por 5. c) : Não é divisível por 5. Página 4 de 10

5 E5: Para ser divisível por 6, basta ser divisível por 2 e 3 simultaneamente, ou seja: ser par e ter a soma dos algarismos valendo um número divisível por 3. Obviamente, se o número não for par (critério de divisibilidade por 2) a verificação do segundo critério é desnecessária. Ganhe tempo! a) : É ímpar. Logo, não é divisível por 6. b) : É ímpar. Logo, não é divisível por 6. c) 2148: = 15 (que é um número divisível por 3). É par. Logo, é divisível por 6. E6: Verificação um pouco trabalhosa, mas simples: Para ser divisível por 7 basta subtrairmos o dobro do valor do último algarismo do número original sem este algarismo. Se o resultado obtido é um múltiplo de 7, então o número original é divisível por 7. Também é possível (em caso de números muito grandes) repetir o processo até que o número obtido seja facilmente verificável como um múltiplo de 7 ou não, conforme mostrado no vídeo. a) 37625: Dobro do último algarismo: 10 Calculando : Como o número ainda é grande, vamos repetir o processo: 3752: Dobro do último algarismo: 4 Calculando = 371. Como o número ainda é grande, vamos repetir o processo mais uma vez: 371: Dobro do último algarismo: 2 Calculando 37 2 = 35 (que é um múltiplo de 7). Logo, é múltiplo de 7. Sendo um pouco mais direto com os outros itens, temos: b) 336: = 21 (é múltiplo de 7, pois 21 é múltiplo de 7) c)214: 21 8 = 13 (não é múltiplo de 7) d) 896: = 77 (é múltiplo de 7, pois 77 vale 7 11). Página 5 de 10

6 E7: Há dois critérios, mas vamos usar um só, mais simples: vamos verificar se os 3 últimos algarismos formam um múltiplo de 8. Se formarem, o número em questão também é múltiplo de 8. a) : 528 é divisível por 8. Logo, o número em questão também é. b) : 832 é divisível por 8. Logo, o número em questão também é. c) : 576 é divisível por 8. Logo, o número em questão também é. E8: Se a soma dos algarismos fornece um número divisível por 9, então o número em questão também é divisível por 9: a) 216: = 9. Logo, 216 é divisível por 9. b) 185: =14. Logo, 185 não é divisível por 9. c) 309: = 12. Logo, 309 não é divisível por 9. d) 428: = 14. Logo, 428 não é divisível por 9. E9: Para que um número seja simultaneamente divisível por 2, 3, 5 e 7 (todos fatores primos) então basta que esse número tenha pelo menos um de cada fator mencionado, ou seja, = 210 E10: Problema parecido com o anterior, com um detalhe: 4 não é um fator primo. Na verdade, 4 = 2 2 (contém dois fatores iguais a 2). Isso significa que todo número divisível por 4 também será divisível por 2. Assim sendo, basta fazer 3 4 = 12. Um outro exemplo para ilustrar melhor: 35 = 7 5 isso significa que 35 possui um fator 7 e um fator 5 o que o torna divisível tanto por 7 quanto por 5. É uma outra forma de se verificar a divisibilidade. Nota: esse tipo de problema discutido no exercício E10 será melhor estudado na aula de MMC e MDC. Página 6 de 10

7 E11: Basta realizarmos a divisão inteira de por 11. Ao fazermos a divisão inteira, percebemos que ao dividirmos por 11 obtemos Isso significa que, ao multiplicarmos 2128 por 11 obteremos o maior número possível (menor que 23412) que é múltiplo de 11: Uma outra forma de se chegar no mesmo número: Note que o resto da divisão inteira foi 4. Isso significa que é 4 unidades maior que o último múltiplo de 11. Ou seja, = E12: Parecido com o anterior, mas precisamos pensar um pouquinho: para que um número seja simultaneamente divisível por 3 e por 7 (ambos fatores primos) então o tal número precisará ser divisível por 3 7 = 21. É uma situação similar ao que ocorre com os múltiplos de 6: Para que um número seja divisível por 2 e 3 simultaneamente, ele deve ser divisível por 2 3 = 6 (pois 2 e 3 são também fatores primos). O maior número de 4 algarismos vale Vamos então dividi-lo por 21 para encontrar o maior múltiplo de 21 de 4 algarismos: Logo, ao fazermos = 9996 (veja a explicação para isso no E11) encontraremos o maior múltiplo de 21 de 4 algarismos, logo, o maior múltiplo de 4 algarismos tanto do 3 como também do 7. Nota: Cuidado!!! O problema pede que o número em questão seja SIMULTANEAMENTE divisível por 7 e por 3. Esse número é o É claro que 9999 é divisível por 3 (e é maior que o número encontrado) mas ele não é divisível por 7. Atenção nisso! Página 7 de 10

8 E13:ALTERNATIVA B. O valor máximo de a + b (sem observarmos as condições do exercício) vale = 18 (ou seja, ocorreria quando os dois valores fossem os maiores possíveis). No entanto, ao somarmos os algarismos de 61125ab (exceto a e b) obtemos 15. Logo, o máximo valor da nossa soma (sem observar as condições do exercício) valeria = 33. Precisamos então obter o máximo múltiplo de 9 menor que 33 (podemos calcular isso de forma idêntica à realizada no exercício E11 ou E12, mas é desnecessário). É fácil concluir então que esse número é o 27 (pois o próximo múltiplo de 9, que vale 36, passaria de 33). Logo, a soma de todos os algarismos vale 27, e concluímos que a + b = = 12. E14: Essa parte exige um pouco mais de conhecimento algébrico. Vamos lá: um número par pode ser representado genericamente por 2x (ou 2y ou 2z...) Já um número ímpar pode ser representado por 2x + 1 ou também 2x 1 (este último deve ser evitado para não cairmos em resultados negativos). Disso, temos: Dois números pares: 2x e 2y (x N,y N ) Se x e y são naturais, também é um natural. Temos então um natural (x + y) multiplicado por 2, o que o torna automaticamente divisível por 2. Logo, a soma de dois números pares é um número par. Dois números ímpares: e (x N,y N ) Como x + y são naturais e 1 também é um natural, temos que x + y + 1 é um natural. Como temos então isso equivale a dizer que temos um natural multiplicado por 2, o que o torna automaticamente divisível por 2. Logo, a soma de dois números ímpares é um número par. Página 8 de 10

9 E15: Sendo x um natural, podemos representar 3 números em sequência desta maneira: x, x + 1 e x + 2. Vamos somá-los: Note novamente: (x + 1) é um natural. Temos então um natural multiplicado por 3, o que o torna automaticamente divisível por 3. Logo, a soma de 3 números naturais em sequência resulta em um número divisível por 3. E16: Simples. Vimos, no E15 que a soma de três números naturais em sequência resulta em. Multiplicando este resultado por 2 (o dobro) teremos. Ou seja, temos um número natural (x +1) multiplicado por 6. Devido ao fator 6 (e pelo fato de ser um natural) tal número é divisível por 6. Página 9 de 10

10 E17: O número procurado vale Observando o exercício, podemos concordar com duas posições: A posição final é o zero (j = 0) pois para que um número seja divisível por 10 ele deve terminar em zero; A quinta posição é ocupada pelo 5, afinal para que um número seja divisível por 5 ele deve ser divisível por 0 ou 5. Como o zero já foi utilizado, resta o 5, portanto e = 5. Assim sendo, nosso número abcdefghij agora passou a ser abcd5fghi0. O número abcd deve ser divisível por 4, o que significa que cd é divisível por 4 (pelos critérios de divisibilidade por 4, lembra?) Assim sendo, cd vale 12, 16, 32, 36, 72, 76, 92 ou 96. Logo, d vale 2 ou 6. Como é divisível por 3, então a soma é divisível por 3. Como! é divisível por 6, então! também é divisível por 3 (e f é par). Como já sabemos que " 5 e d só pode valer 2 ou 6, então def vale 258 ou 654. Assim sendo, f vale 8 ou 4. Como abcdefgh é divisível por 8, então fgh forma um número divisível por 8. Assim sendo, fgh=416, 432, 472, 496, 816, 832, 872, ou 896. Assim sendo, h vale 2 ou 6 (da mesma forma que d). Logo, nenhum dos números pares restantes podem valer 2, 6 ou 0 (o zero já havia sido usado no começo). Assim sendo, b = 4 ou 8. Note que essa escolha afeta o valor de def (se b = 4, então! $%. Se b = 8 então! $&) e também afeta a escolha de h (que vale 2 ou 6). Usando essa regra e lembrando que não podemos repetir algarismos, concluímos que nosso número vale a4c258g6i0 ou a8c654g2i0. Faltam ainda os algarismos 1, 3,7, 9. Os números a4c e a8c são divisíveis por 3. Isso nos dá as seguintes possibilidades para abc: 147, 183, 189, 381, 387, 741, 783, 789, 981, ou 987. E os números fgh, como vistos, 416, 432, 472, 496, 816, 832, 872, ou 896. Como abc e fgh estão relacionados, se abc for 147 ou 741 (supondo que nosso número comece com a4c) então necessariamente fgh valerá 896). Se o nosso número for a8c (segunda possibilidade para início da sequência) então, necessariamente, fgh valerá 432 ou 472. Vamos testar as possibilidades e ver se a divisibilidade por 7 é verificada em algum caso: (não se verifica) (não se verifica). Logo, resta apenas a segunda possibilidade: fgh vale 432 ou 472. Logo, os valores possíveis para a8c foram reduzidos para:183, 189, 381, 387, 783, 789, 981, ou 987. São relativamente poucas as tentativas agora, que precisam ser verificadas até a sétima casa para conferir se o resultado obtido é divisível por 7: Para abc valendo 183, fgh não pode valer 432 (devido ao 3) então temos (não é divisível por 7) (não é divisível por 7) (não é divisível por 7). Finalmente, temos que é divisível por 7. Logo, i (único algarismo que restou) vale 9 e temos o número que verifica as condições exigidas. Página 10 de 10