Física III Escola Politécnica GABARITO DA P1 12 de abril de 2012

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1 Física III Escola Politécnica GABARITO DA P1 12 de abril de 2012 Questão 1 Uma distribuição de cargas com densidade linear constante λ > 0 está localizada ao longo do eio no intervalo < 0 conforme a figura. b B C A a 2a D λ (a) (1,0 ponto) Calcule o vetor campo elétrico num ponto qualquer do eio com coordenada > 0. (b) (1,0 ponto) Adotando-se potencial nulo no ponto A do eio com = a > 0, calcule o potencial elétrico num ponto do eio com coordenada > 0. (c) (0,5 pontos) Determine o trabalho que deve ser realizado para levar uma carga q do ponto A do eio em = a > 0 ao ponto D do eio em = 2a > 0 segundo a trajetória ABCD mostrada na figura. 1

2 Solução da questão 1 (a) Campo elétrico no ponto (,0,0) com > 0 E(,0,0) = 1 4π dq r r = 1 0 [ ] ı j (λd) 3 4π ( ) 3/2 (b) Potencial elétrico no ponto (,0,0) com > 0 = λ 4π ( ı+ j). (,0,0) V(,0,0) = E d λ l = (a,0,0) a 4π ( ı+ j) (d ı) = λ ) ln(. 4π a (c) O trabalho é igual à diferença de energia potencial entre D e A, W A D = q(v D V A ) = qv D = qv(2a,0,0) = qλ 4π ln2. 2

3 Questão 2 (a) (1,0 ponto) Considere um disco de raio a carregado uniformemente com carga Q. Calcule o potencial elétrico ao longo do eio a uma distância do centro do disco. Adote potencial nulo no infinito. (b) (1,5 ponto) Calcule o potencial elétrico no ponto O com coordenadas = = z = 0 devido a um cilindro de altura 2a e raio de base a, uniformemente carregado com densidade volumétrica de carga ρ. A base do cilindro está contida no plano z e seu eio coincide com o eio, conforme a figura. Sugestão: Decomponha o cilindro em discos elementares de altura d e utilize o resultado do item (a). ρ O a 2a z 3

4 Solução da questão 2 (a) Decompomos o disco em anéis elementares de raio r e largura dr. A carga do anel elementar de raio r é O potencial elétrico é V = 1 a 4π r=0 dq = σda = dq 2 +r = Q a 2 2π a 2 0 ( ) Q (2πrdr) = 2Qrdr. πa 2 a 2 rdr 2 +r = Q ( ) 2 +a 2 2π a 2. 2 (b) Decompomos o cilindro em discos elementares de raio a e altura d. a O +d 2a Do item (a) o potencial devido a cada disco elementar é Logo dv = dq ( ) 2 +a 2π a 2 ; dq = ρdv = ρπa 2 d. 2 e o potencial resultante em O é dv = ρ ( ) 2 +a 2ǫ 2 d, 0 V O = ρ [ 2a ( 2 +a ) 2ǫ 2 d = ρ ] 2a 2 +a 2 + a ln(+ 2 +a 2 ) [ ] 5 2+ V O = ρa ln( 5+2). 4

5 Questão 3 O eio de um cilindro condutor de 3 metros de raio dista 5 metros do plano z conforme a figura. O cilindro é infinito na direção z perpendicular ao plano da figura e todo o semiespaço 0 é preechido com um material condutor. O z 3m C 5m P O potencial eletrostático num ponto de coordenadas(,, z) no espaço fora dos condutores é dado por [ ] (+4) V(,,z) = 100ln (volts), ( 4) onde, e z são em metros. (a) (0,5 pontos) Determine o potencial no ponto C do eio do cilindro condutor ( = 5 m, = z = 0 m). (b) (1,0 ponto) Determine o vetor campo elétrico em todo o espaço, inclusive no interior dos condutores. (c) (1,0 ponto) Determine a densidade superficial de carga no ponto O do plano ( = = z = 0 m), e no ponto P ( = 5 m, = 3 m, z = 0 m) do cilindro. Adote = F/m. 5

6 Solução da questão 3 (a) Potencial no ponto C do eio do cilindro V C = V(2,0,0) = 200ln3 V. (b) Campo elétrico fora dos condutores E = V [ ] = (+4) ( 4) E = V [ ] = 200 (+4) ( 4) E z = V z = 0. (V/m), (V/m), No interior dos condutores E = 0. (c) Densidade superficial de carga no ponto O σ O = EO ı = E (0,0,0) = 100 = C/m 2. Densidade superficial de carga no ponto P σ P = EP ( j) = E (5, 3,0) = = 4, C/m 2. 6

7 Questão 4 Uma placa isolante, com espessura 2a e densidade volumétrica de carga uniforme igual a ρ > 0, está separada de uma outra placa, condutora, com carga total igual a zero e de espessura a. As duas placas são infinitas nas direções e z, conforme a figura. a ρ z isolante a 3a 4a metal (a) (1,0 ponto) Use a lei de Gauss para calcular o vetor campo elétrico produzido pela placa isolante em um ponto dentro da placa, isto é um ponto com com coordenada < a. (b) (0,5 ponto) Use a lei de Gauss para calcular o vetor campo elétrico produzido pela placa isolante em um ponto fora dela. (a) (1,0 ponto) Calcule, em termos de ρ e a, a densidade superficial de cargas induzidas nas superfícies da placa condutora após o equilíbrio eletrostático ter sido atingido. Determine em todo o espaço o campo elétrico resultante devido ao isolante e ao condutor. 7

8 Solução da questão 4 Vamos utilizar como superfícies gaussianas cilindros transversais às superfícies da placa, de área de base A e altura 2, com centro no plano = 0. Em todos os casos, o campo elétrico é perpendicular à placa, de modo que somente há fluo do campo elétrico pela base e pela tampa do cilindro. E E a z a S 2 E E isolante S 1 (a) Para < a, o cilindro está inteiramente imerso na placa (superfície S 1 na figura), de modo que a lei de Gauss nos dá Φ = 2EA = 2ρA, sendo 2ρA a carga envolvida pelo cilindro. Portanto, E = ρ e E = ρ ı, a < < a. (b) Para > a, a carga envolvida pelo cilindro é sempre igual a 2ρaA (superfície S 2 na figura), de modo que 2EA = 2ρaA E = = E = ρa, ρa ı se > a, ρa ı se < a. (c) Para pontos internos à placa condutora, suposta em equilíbrio, o campo tem que ser nulo. Para isto, as cargas induzidas na placa condutora devem se distribuir como na figura abaio. 8

9 a ρ z a _ + + _ + _ + _ + _ + _ + σ σ + Devido à simetria, as densidades superficiais de cargas induzidas σ + e σ devem ser constantes. Como a placa metálica é neutra σ + = σ σ. Dentro do condutor E isolante + E + + E = 0, onde E + = E = σ 2 ı representam os campos produzidos pelas distribuições de carga positiva e negativa, respectivamente, dentro do condutor. Assim, ρa ı σ ı = 0 = σ = σ + = σ = ρa. Como o campo produzido pelas densidades σ + e σ é nulo fora da placa condutora ocampototalforadaplacacondutoraéigualaocampodevido àplacaisolante(itens (a) e (b)). Dentro da placa condutora, como já vimos, o campo total é nulo. 9

10 Formulário F = qq ( r r ) 4π r r 3, F = qe, E q( r r ) = 4π r r 3, E 1 = 4π p = qd, τ = p E, U = p E, Φ E = V = q B 4π r r, V B V A = V = 1 4π i A E d A, dq r 3 r, E d A = q int, E d l, V = 1 dq 4π r, E = V, q i r i, U = 1 4π du (u 2 +a 2 ) = u 3/2 a 2 u 2 +a ; 2 u du (u 2 +a 2 ) 1/2 = u 2 +a 2 ; i<j q i q j r ij, C = Q/V. u2 +a 2 du = u u 2 +a 2 u du (u 2 +a 2 ) = 1 3/2 u2 +a ; a2 2 ln(u+ u 2 +a 2 ). 10