Física III Escola Politécnica GABARITO DA P1 31 de março de 2016

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Luiz Carreira Barreto
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1 Física III Escola olitécnica - 06 GABARITO DA 3 de março de 06 Questão Quatro cargas puntiformes são colocadas nos vértices,, 3 e 4 de um retângulo, de acordo com a figura abaio. O retângulo tem lados de comprimento a e b. Considere q > 0. q q 4 3 a q b q (a) (.0 ponto) Calcule o vetor força resultante que atua na carga localiada na origem (vértice ). (b) (0,5 ponto) Determine o vetor campo elétrico no centro do retângulo (ponto de coordenadas ( = a/, = b/)). (c) (,0 ponto) Calcule o trabalho necessário para traer uma carga Q do infinito até o ponto de coordenadas ( = a/, = b).

2 Solução da questão (a) Denotando F j a força que a carga no vértice j eerce sobre a carga que está na origem (vértice ) podemos escrever q q 4 3 a q q b F = k q a î, q F 3 = k (a +b ) a î k q b ĵ, 3/ (a +b ) 3/ F 4 = k q b ĵ. A força total F sobre a carga é F = F + F 3 + F 4 = kq [ a ] a (a +b ) 3/ î+kq [ b ] b (a +b ) 3/ ĵ. (b) O campo gerado pela carga no centro do retângulo é cancelado pelo campo da carga 3 no mesmo ponto. Analogamente, o campo gerado pela carga é cancelado pelo campo da carga 4. ortanto, E centro = 0. (c) O trabalho para traer a carga Q do infinito até o ponto de coordenadas (a/,b) é igual à energia potencial de Q em. W = QV() = kqq + kqq kqq + kqq r r r 3 r [ 4 ] = kqq a /4+b + a /4+b a/ + W = 0. a/

3 Questão Um fio infinito, isolante, com densidade linear de carga uniforme λ < 0, é colocado sobre uma placa infinita, isolante, com densidade superficial de carga uniforme σ > 0. Utilia-se um sistema de coordenadas cartesianas tal que o fio está ao longo do eio e a placa se etende no plano, conforme a figura. λ σ (a) (,0 ponto) Calcule o vetor campo elétrico produido pela placa em todo o espaço. (b) (0,5 ponto) Calcule o vetor campo elétrico produido pelo fio em todo o espaço. (c) (,0 ponto) Determine os pontos (,,) do espaço onde a força que atua sobre uma partícula de carga Q é nula. 3

4 Solução da questão (a) Usamos a lei de Gauss com a superfície cilíndrica S mostrada na figura. or simetria o campo E é perpendicular ao plano e só pode depender da distância até o plano. σ E E A S E d A = E A = q in = σ A = E = σ ; E = σ î. (b) ara o fio infinito usamos a lei de Gauss com uma superfície S cilíndrica e coaial comofio. orsimetriaocampo E = E(r) r, onde r éoversorradialdascoordenadas cilíndricas. Os discos que fecham a superfície cilíndrica não contribuem. S h E r λ S E d A = área lateral E d A = Eπrh = q in = λh = E = λ π r ; E = λ π r r. (c) O campo resultante E só se anula nas regiões do espaço onde os campos da placa e do fio têm a mesma direção. Isto só ocorre no plano onde r = ±î e r =. ara que E = 0 devemos ter σ ± λ π = 0 = = ± λ πσ. Assim, E = 0 em duas retas no plano com pontos dados por = ( λ ) πσ,0, e = ( ) λ πσ,0,. 4

5 Questão 3 (I) (,0 ponto) Um anel de raio a, com uma carga q uniformemente distribuida, é colocado no plano, com seu centro na origem de um sistema de coordenadas cartesianas. Calcule o potencial devido ao anel em um ponto qualquer qualquer do eio. (II) Um disco de raio b, no plano, com seu centro na origem de um sistema de coordenadas cartesianas, tem densidade superficial de carga σ(r) = C/r, onde r é a distância até o centro do disco e C é uma constante. σ b (a) (,0 ponto) Calcule o potencial devido ao disco num ponto do eio. (b) (0,5 ponto) Calcule o vetor campo elétrico produido pelo disco num ponto do semi-eio > 0. 5

6 Solução da questão 3 (I) Anel uniformemente carregado a r V = dq 4π r r = +a = cte. V() = q 4π +a. (II) Disco com densidade de carga σ = C/r (a) Consideramos o disco como uma superposição de anéis concêntricos V disco = dv anel r dv anel = dq anel 4π +r dq anel = σπr dr = πcdr V disco = C b 0 dr +r = C ln(r + ǫ +r ) 0 V disco = C [ ln(b+ +b ) ln( ) ]. b 0 (b) Sobre o eio, por simetria, E = E k e a componente E para > 0 é E = dv d = C [ (b+ +b )( +b ) ] = E = C [ (b+ +b )( +b ) ] k. 6

7 Questão 4 Considere um capacitor de placas planas, paralelas, com área A, separadas por uma distância d no vácuo. (a) (,0 ponto) Calcule a capacitância C 0 deste capacitor no vácuo em função de, A e d. (b) (,0 ponto) Calcule a nova capacitância C do capacitor se preenchermos parcialmenteoespaçoentreasplacascomummaterialdeconstantedielétricaκeespessura, conforme a figura. Forneça sua resposta em função de, A, d, κ e. d κ (c) (0,5 ponto) Calcule a densidade de energia num ponto da região sem dielétrico após ligarmos as placas do capacitor a uma bateria com uma diferença de potencial igual a V. Forneça sua resposta em função de, V, d, κ e. 7

8 Solução da questão 4 A capacitância C é definida como C = Q V, onde Q é a carga na placa positiva e V é o módulo da ddp entre as placas. (a) O campo entre as placas do capacitor no vácuo é a soma dos campos produidos por cada uma das placas e vale E 0 = σ/ = Q/( A) (veja o item (a) da q). A capacitância no vácuo é C 0 = Q E 0 d = Q Qd/( A) C 0 = A d. (b) No dielétrico E = E 0 /κ, onde E 0 é o campo no vácuo e κ é a constante dielétrica. Assim, V = E 0 κ +E 0(d ) = Q ( ) A κ +d = Q Aκ [+κ(d )]. A capacitância C é C = Q V = Aκ +κ(d ). Solução alternativa: Consideramos o capacitor da figura como dois capacitores planos em série, um com constante dielétrica κ e espaçamento entre as placas igual a e o outro sem dielétrico com espaçamento entre as placas igual a d. Neste caso, /C = /C +/C. (c) A densidade de energia em torno do ponto é u e = E 0, onde E 0 = Q A A carga está relacionada com a capacitância através da relação Q = CV. ortanto, u e = Q ǫ 0A = C V = u ǫ 0A e = κ V [+κ(d )]. 8

9 Φ E = Formulário F = qq ( r r ) 4π r r 3, F = qe, E q( r r ) = 4π r r 3, E dq = 4π r ˆr, E d A, V = 4π i E d A = q B int, V B V A = q i, U = r i 4π i<j = , U = Q C eq C C C = CV κ E d A = q int liv, A E d l, V = dq 4π r, E = V, q i q j r ij, C = Q/V, C eq = C +C +..., = QV, u = E = du dv, E = E 0 κ, d +a = ln(+ +a ), d +a = +a. 9

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