POTENCIAL ELÉTRICO. Prof. Bruno Farias

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1 CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA AGROALIMENTAR UNIDADE ACADÊMICA DE TECNOLOGIA DE ALIMENTOS DISCIPLINA: FÍSICA III POTENCIAL ELÉTRICO Prof. Bruno Farias

2 Introdução Um dos objetivos da Física é determinar se uma força é conservativa, ou seja, se pode ser associada a uma energia potencial. Os físicos descobriram empiricamente que a força elétrica é conservativa, e, portanto é possível associar a ela uma energia potencial elétrica. Neste capítulo vamos definir a energia potencial elétrica a aplicá-la a alguns problemas práticos.

3 Forças Conservativas As condições para que uma força seja conservativa são expressas abaixo: A força elétrica é uma força conservativa e como consequência associar-se a ela uma energia potencial elétrica.

4 Energia Potencial Elétrica Energia potencial é a energia associada à configuração de um sistema submetido à ação de um forma conservativa. Como a força elétrica é uma força conservativa, podemos expressar o trabalho realizado pela força elétrica em função da energia potencial elétrica U. Quando um sistema se move de um estado inicial i para um estado final f, a força eletrostática realizado um trabalho W sobre as partículas, e assim a variação de energia potencial ΔU é dada por U U f U i W

5 Se a energia potencial é definida como sendo zero no infinito, a energia potencial elétrica U do sistema é dado por U W onde W é o trabalho executado pela força eletrostática sobre o sistema quando o sistema é deslocado do infinito para o ponto considerado.

6 Exemplo

7 Potencial Elétrico A energia potencial por unidade de carga em um ponto do espaço é chamada de potencial elétrico (ou simplesmente potencial) e é representada pela letra. Assim, U q O potencial elétrico é uma grandeza escalar e sua unidade no SI é volt (), onde 1 joule 1volt 1coulomb

8 Observe que a unidade para o potencial elétrico nos permite adotar uma unidade mais conveniente para o campo elétrico E, a saber: o volts por metro. A diferença de potencial elétrico Δ entre dois pontos i e f é igual à diferença entre os potencias elétricos dos dois pontos: f i U q f U q i U q

9 Como ΔU = - W, temos ainda: f i W q Se tomarmos U i = 0 no infinito como referência para a energia potencial, o potencial no infinito também será nulo. Assim o potencial elétrico em qualquer ponto do espaço é obtido através da relação: W q

10 Exemplo

11

12 Superfícies Equipotenciais É o nome dado, ao lugar geométrico dos pontos, que têm o mesmo Potencial Elétrico. Portanto, ao deslocarmos uma carga de prova entre pontos de uma mesma superfície eqüipotencial, não realizamos trabalho, veja figuras: Ao deslocarmos uma carga, pelas trajetórias I e II o trabalho é nulo, já em III e I temos trabalho sendo realizado.

13 Superfícies Equipotenciais (em laranja) Carga isolada Dipolo elétrico Obs.: O campo elétrico é sempre perpendicular à superfície equipotencial.

14 Carga Elétrico Uniforme Cargas pontuais positivas e de mesmo módulo

15 Cálculo do Potencial a partir do Campo Podemos calcular a diferença de potencial entre dois pontos i e f do espaço, determinando o trabalho realizado pelo campo elétrico sobre uma carga de prova q 0 quando a carga se desloca do ponto i até o ponto f. Considerando o sistema da figura ao lado, o trabalho elementar dw realizado sobre uma carga de prova por uma força durante um deslocamento ds é dado por: dw F ds.

16 Porém sabemos que a força elétrica é dada por F = q 0 E, assim: dw q E ds. 0 Para determinar o trabalho total W realizado pelo campo sobre a partícula quando a mesma se desloca do ponto i para o ponto f fazemos a seguinte soma por integração: W q f 0 E ds. i

17 Substituindo a expressão anterior na equação, q 0 W i f Chegamos numa expressão para calcular a diferença de potencial entre dois pontos a partir do campo elétrico, a saber:. f i i f s d E

18 E ainda, se escolhermos o potencial i = 0, podemos calcular o potencial em qualquer ponto f em relação ao potencial do ponto i através da equação: f E i ds.

19 Exemplo

20 Potencial Produzido por uma Carga Pontual Para obtermos uma expressão para o potencial elétrico criado no espaço por uma carga pontual q, vamos considerar o deslocamento de uma carga de prova q 0 do ponto P até o infinito (figura abaixo). Considerando que a carga de prova segue uma trajetória retilínea do ponto P até o infinito, temos que: E ds Edscos.

21 Como o campo elétrico E é paralelo ao deslocamento ds em toda a trajetória, θ = 0 e cos θ =1, assim: E ds Eds. Como a trajetória é retilínea, podemos fazer ds = dr, assim: E ds Edr. Substituindo a expressão acima em temos: Onde tomamos r i = R, r f =. f i R f Edr, i f E ds, i

22 Lembrando que o campo elétrico gerado por uma 1 q carga pontual é E, temos que: 4 r 0 2 q dr f i R r Finalmente, realizando a integral e tomando i = (R) = e f = ( ) = 0, ficamos com: 1 q. 4 0 R

23 E ainda, substituindo R por r, temos: 1 q. 4 0 r

24 Exemplo

25 Potencial Produzido por um Grupo de Cargas Pontuais Podemos calcular o potencial produzido em um certo ponto do espaço por um grupo de cargas pontuais utilizando o princípio da superposição, assim temos: n i1 i n i1 q. r i (n cargas pontuais)

26 Exemplo Considere o sistema formado por duas cargas puntiformes q 1 = +12 nc e q 2 = - 12 nc (conforme figura abaixo), sendo a distância entre elas igual a 10 cm. Calcule os potenciais nos pontos a, b e c.

27 Exercício

28 Potencial Produzido por uma Distribuição Contínua de Cargas Quando uma distribuição de cargas é contínua devemos escolher um elemento de carga dq, calcular o potencial d produzido por dq e integrar para toda distribuição de cargas. Tomamos o potencial no infinito como sendo nulo. Tratando o elemento de carga dq como uma carga pontual, podemos expressar d no ponto P, na forma: d 1 dq. 4 0 r onde r é a distância entre P e dq.

29 Para o calcular o potencial total no ponto P, integramos a equação anterior para todos os elementos de carga da distribuição: d dq. r

30 Linha de Cargas amos determinar o potencial elétrico produzido por uma barra fina não condutora de comprimento L no ponto P, conforme figura ao lado. Considerando um elemento de comprimento dx da barra, temos que a carga desse elemento dq é dada por: dq dx onde λ é a densidade linear de cargas.

31 Tratando o elemento dq como uma carga pontual podemos escrever o potencial d como: d 1 4 dq r x d dx O potencial total produzido pela barra no ponto P é obtido integrando a equação anterior ao longo da barra, de x = 0 a x = L, assim: L 1 dx d x d Então: 4 0 ln L 2 L d d

32 Exercício

33 Disco Carregado amos determinar o potencial elétrico em um ponto qualquer sobre o eixo central de um disco de plástico de raio R e com uma densidade superficial de cargas σ, conforme Figura ao lado. Consideramos um elemento de área da constituído por um anel de raio R e largura radial dr. A carga desse elemento é dada por: dq da ' 2 ' R dr.

34 O potencial d no ponto P produzido pelo anel citado anteriormente, pode ser escrito como: Para calcularmos o potencial total somamos as contribuições de todos os anéis, de R = 0 até R = R:

35 Cálculo do Campo Elétrico a Partir do Potencial Se conhecermos o valor do potencial elétrico numa região do espaço podemos obter o vetor campo elétrico nessa região através da equação:, ˆ ˆ ˆ z k y j x i E onde é o operador gradiente. z k y j x i ˆ ˆ ˆ

36 Exemplo

37 Exercício Em uma dada região do espaço, potencial elétrico é dado por = 5x 3x2y + 2yz 2. Encontre as expressões para as componentes x, y, e z do campo elétrico nessa região. Qual é a magnitude do campo no ponto P, cujas coordenadas são (1, 0, -2) m?