Noções sobre Regressão

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1 Noções sobre Regressão Nos interessa estudar como uma variável varia em função de outra. Por exemplo, considere a questão de demanda e preço de bens. Quando se estuda a variação de uma variável Y em função de uma variável X, diz-se que Y é a variável dependente e que X é a variável explanatória. No caso do exemplo, sabe-se que a quantia demandada varia em função do preço. Então a quantidade é a variável dependente e o preço é a variável explanatória.

2 Gráfico de Linhas É possível observar a variação de uma variável em função de outra, através do gráfico de linhas.

3 Reta de Regressão A idéia de regressão fica bem entendida através de um exemplo. Observe os dados apresentados na Tabela 8.2. É fácil ver que a quantidade demandada (Y) de determinado bem varia em função do preço (X). Os dados da Tabela 8.2 estão apresentados em diagrama de dispersão na Figura 8.2.

4 Tabela 8.2: Quantidade demanda (Y) de um bem em função do preço (X). Observ. Y X Fonte: Elaboração do Autor

5 Quantidade Demanda 140 Quantidade demanda (Y) de um bem em função do preço (X) Preço

6 Note que os pontos estão praticamente sobre uma reta. Logo, a variação da quantidade demandada do bem em função do preço pode ser descrita através de uma reta que, em estatística, recebe o nome de reta de regressão. Y = α + βx Para ajustar uma regressão linear simples (isto é, a equação de uma reta) aos dados apresentados na Tabela 8.2, é preciso obter os coeficientes linear e angular da reta.

7 O coeficiente angular que dá a inclinação da reta é representado por β e é obtido através da fórmula: Coeficiente linear que é a ordenada do ponto em que a reta corta os eixos das ordenadas é representado por α e é obtido através da fórmula: Onde y e x são as médias de Y e X, respectivamente.

8 Caso não tenhamos as médias: Usando as Medianas Y e X: x... e... y

9 Reveja, agora, os dados apresentados na Tabela 8.2 e faça os cálculos intermediários apresentados na Tabela 8.3. Tabela 8.3: Cálculos intermediários para a obtenção de α e de β. x y xy x²

10 A verdadeira reta: A reta estimada: O erro ou resíduos: Verificação dos Parâmetros α e β Elevando-se ambos os lados ao quadrado e aplicando o somatório nas variáveis vêm: Que consiste no êi sem restrição de ˆ. Teste de ˆ : ei Onde n é o tamanho da mostra e k o grau de liberdade. Y i X Y ˆ X e ˆi i i e Y Yˆ Yi ˆ ˆ X i i i ( e )² ( Y ˆ ˆ X )² i T i sig O índice serve para selecionar modelos; quanto mais próximos de 1 melhor o modelo. (Teste de Significância) e 2 i i 2 n n k

11 2 ˆ 2 xi Calcula-se Testes dos Parâmetros α e β ˆ s² s Var( ),... onde Tomando-se a Hipótese nula: e Calcula-se t c e compara-se ao valor tabelado da distribuição de Student unicaudal ao nível de significância que se deseja e com n k graus de liberdade. Representação gráfica; 1 2 ˆ i... s² n k y. xy 2 ei ou... s² n k s 2 ˆ... e... s s ˆ O intervalo de confiança será: ˆ ˆ H 0 0 ˆ ˆ t ˆ t tab H s ˆ 1 0 tab

12 Exercício Ache a reta de regressão.

13 Aplicação do Modelo Linear Simples 1. Com os dados da tabela a seguir, solicita-se o seguinte: a. O Coeficiente de Correlação de Pearson; b. Estimar a equação demanda por energia elétrica (modelo linear); c. Calcular e interpretar a elasticidade-tarifa (ou preço) para os valores médios das variáveis. d. Calcular os valores estimados do índice da quantidade demandada Q. e. Calcular e interpretar os resíduos ou erros. Ano Q T

14 Estimação de Equação Logarítmica e Cálculo da Elasticidade 1. Com os dados da tabela anterior, solicita-se o seguinte: a. Estimar a equação demanda por energia elétrica na forma logarítmica; b. Calcular e interpretar a elasticidade-tarifa (ou preço) no ponto médio. A forma logarítmica implica: b Q AT. ln( Q) Ln( A). bln( T),... e Y Ln( Q),... X Ln( T ),... a Ln( A) Y a BX u A regressão é sobre as variáveis transformadas: Y X Ano Ln(Q) Ln(T) Calculo da elasticidade tarifa: b d(q) T d(a.t ) T E t =. =. d(t) Q d(t) Q T A.T (b-1) = (b.a.t ). = b b

15 Estimação de Equação Semilogarítmica I e Cálculo da Elasticidade 1. Com os dados da tabela anterior, solicita-se o seguinte: a. Estimar a equação demanda por energia elétrica na forma semilogarítmica; b. Calcular e interpretar a elasticidade-tarifa (ou preço) no ponto médio. - A forma semilogarítmica I (Exponencial) implica: T Q Ab. ln( Q) Ln( A). TLn( b),... e Y Ln( Q),... c Ln( b),... a Ln( A) Y a ct. - A regressão é de Ln(Q) sobre T Ano Y Ln(Q) X T Calculo da elasticidade tarifa: T d(q) T d(a.b ) T E t =. =. d(t) Q d(t) Q T T = A.b.ln( b). = ln( b). T... onde... T T T A.b

16 Estimação de Equação Semilogarítmica II e Cálculo da Elasticidade A forma semilogarítmica II implica: Q b e AT. Q.ln( e) Ln( A). b. Ln( T),... e a Ln( A),... X Ln( T ) Q a b. X A regressão é de Q sobre Ln(T) Ano Y Q X Ln(T) Calculo da elasticidade tarifa d(q) T d(ln( A) b. Ln( T ) ) T E t =. =. d(t) Q d(t) Q b T b =. =... onde... Q Q T Q Q

17 Estimação de Equação Recíprocas e Cálculo da Elasticidade 1. Com os dados da tabela anterior, solicita-se: - A forma recíproca implica: Q a b. 1,... ou... Q a bw, T 1 a bt.,... ou... Z a bt. Q - A regressão é sobre as variáveis transformadas Ano W 1/T Z 1/Q - Cálculo da Elasticidade: d(q) T d( 1 ( a bt. ) ) T E t =. =. d(t) Q d(t) Q b T =.... onde... Q Q... e... T T 2 ( a bt. ) Q d(q) T d(a b T ) T E t =. =. d(t) Q d(t) Q b T b =. =... onde... Q Q... e... T T 2 T Q T. Q