Inferência. 1 Correlação Linear 2 Regressão linear. Renata Souza

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1 Inferência 1 Correlação Linear 2 Regressão linear Renata Souza

2 Introdução Estudar a relação entre duas variáveis quantitativas Exemplos Idade e altura das crianças Tempo de prática de esportes e ritmo cardíaco Tempo de estudo e nota na prova Taxa de desemprego e taxa de criminalidade Expectativa de vida e taxa de analfabetismo

3 Estudo da relação entre variáveis Investigar a presença ou ausência de relação linear sob dois pontos de vista: a) Quantificando a força dessa relação: correlação b) Explicitando a forma dessa relação: regressão Diagrama de dispersão: representação gráfica das duas variáveis quantitativas

4 Exemplo 1: nota na prova e tempo de estudo X : tempo de estudo (em horas) Y : nota na prova Pares de observações (X i, Y i ) Tempo Nota 3,0 4,5 7,0 6,5 2,0 3,7 1,5 4,0 12,0 9,3

5 Diagrama de dispersão: forte associação positiva

6 Diagrama de dispersão: forte associação negativa

7 Coeficiente de correlação linear O coeficiente de correlação linear é definido como:

8 Correlação Linear Correlação entre duas variáveis quando uma delas está, de alguma forma, relacionada coma a outra. Suposições para medir a correlação: Dados emparelhados Pares de dados terem distribuição normal bivariada. Correlação linear mede o grua de relacionamento linear entre os valores emparelhados x e y em uma amostra.

9 Propriedades do coeficiente de correlação linear Propriedade: -1 r 1 Classificação da correlação: r = 1, correlação linear positiva e perfeita r = -1, correlação linear negativa e perfeita r = 0, inexistência de correlação linear Os valores de r não varia se todos os valores de qualaquer uma das variáveis são convertidos para uma escala diferente. O valor de r não é afetado pela escolha de x e y. Permutando todos valores de x e y o valor de r permanece o mesmo.

10 Diagrama de dispersão Exemplo para r = 1

11 Diagrama de dispersão Exemplo para r = -1

12 Diagrama de dispersão Exemplo para 0 < r < 1

13 Diagrama de dispersão Exemplo para -1 < r < 0

14 Diagrama de dispersão Exemplo para r = 0

15 Diagrama de dispersão Correlação não linear

16 Exemplo 2: criminalidade e analfabetismo Considere as duas variáveis abaixo observadas em 50 estados norte-americanos. (vide dados) Y: taxa de criminalidade X: taxa de analfabetismo Na figura a seguir, temos o diagrama de dispersão de X e Y e podemos notar que, conforme aumenta a taxa de analfabetismo, a taxa de criminalidade tende a aumentar. Nota-se também uma tendência linear.

17 Obs. Estado Tanalf-70 Exvida-70 Tcrime-75 Obs. Estado Tanalf-70 Exvida-70 Tcrime-75 1 Alabama Montana Alaska Nebraska Arizona Nevada Arkansas New-Hampshire California New-Jersey Colorado New-Mexico Connecticut New-York Delaware North-Carolina Florida North-Dakota Georgia Ohio Hawaii Oklahoma Idaho Oregon Illinois Pennsylvania Indiana Rhode-Island Iowa South-Carolina Kansas South-Dakota Kentucky Tennessee Louisiana Texas Maine Utah Maryland Vermont Massachusetts Virginia Michigan Washington Minnesota West-Virginia Mississippi Wisconsin Missouri Wyoming

18 Exemplo 2: diagrama de dispersão 28

19 Exemplo 2: cálculo da correlação média de Y = 7,38 e S Y = 3,692 média de X = 1,17 e S X = 0,609 somatório de X i Y i = 509,12 Cálculo da correlação entre X e Y:

20 Exemplo 3: expectativa de vida e analfabetismo Considere as duas variáveis abaixo observadas em 50 estados norte-americanos. (vide dados) Y: expectativa de vida X: taxa de analfabetismo Na figura a seguir, temos o diagrama de dispersão de X e Y e podemos notar que, conforme aumenta a taxa de analfabetismo, a expectativa de vida tende a diminuir. Nota-se também uma tendência linear.

21 Obs. Estado Tanalf-70 Exvida-70 Tcrime-75 Obs. Estado Tanalf-70 Exvida-70 Tcrime-75 1 Alabama Montana Alaska Nebraska Arizona Nevada Arkansas New-Hampshire California New-Jersey Colorado New-Mexico Connecticut New-York Delaware North-Carolina Florida North-Dakota Georgia Ohio Hawaii Oklahoma Idaho Oregon Illinois Pennsylvania Indiana Rhode-Island Iowa South-Carolina Kansas South-Dakota Kentucky Tennessee Louisiana Texas Maine Utah Maryland Vermont Massachusetts Virginia Michigan Washington Minnesota West-Virginia Mississippi Wisconsin Missouri Wyoming

22 Exemplo 3: diagrama de dispersão 11 28

23 Exemplo 3: cálculo da correlação média de Y = 70,88 e S Y = 1,342 média de X = 1,17 e S X = 0,609 somatório de X i Y i = 4122,8 Cálculo da correlação entre X e Y:

24 Exercício: Calcular a correlação Temperatura Consumo

25 Modelo de Regressão Estima ou prevê uma variável aleatória como uma função de outras variáveis aleatórias Y= f(x) Y, variável resposta, variável dependente X, variável preditores, variáveis independentes

26 Equação de Regressão Linear yˆ = b + b x 0 1 b 0 e b 1 : parâmetros de regressão determinados a partir dos dados, {(x 1, y 1 ),..., (x n, y n )}.

27 Regressão Linear Suposições Estamos investigando apenas relações lineares. Para cada par (x,y) é uma variável com distribuição normal. Todas as distribuições de y tem a mesma variância.

28 Significado dos parametros b 0 e b 1 ˆ + yi = b0 b1 x i θ x=1 y b 0 : intercepto b 1 : inclinação da reta b 0 x x+1 Interpretação de b 1 Para cada aumento de uma unidade em X, temos um aumento de b unidades em Y.

29 Determinando os parâmetros ˆ = + y = β + β x y b b x i 0 1 i i 0 1 i e i y i ŷ = Erro i y ŷ Valor observado da variável aleatória dependente Valor estimado da variável aleatória dependente

30 Método dos Minímos Quadrados min SSE = n 2 e = i (y i ŷ i ) i= 1 n i= 1 2 Minimização da soma dos quadrados devido ao erro

31 Resíduos

32 Os parâmetros b 0 e b 1 b 0 = y b 1 x b 1 = x x i 2 i y i nx y n(x) 2

33 Os parâmetros b 0 e b 1 Onde x i = é o valor da variável independente para a i-ésima observação y i = é o valor da variável dependente para a i-ésima observação x y = = é a média da variável independente é a média da variável independente n = número de observaçãoes

34 Exemplo 4: dados amostrais Temperatura Consumo

35 Coeficiente de correlação e a reta ajustada A correlação entre X e Y é r = 0,962. A reta ajustada para este exemplo é: Exercício Qual o consumo previsto para uma temperatura de 25ºC?