Análise da Regressão. Prof. Dr. Alberto Franke (48)

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1 Análise da Regressão Prof. Dr. Alberto Franke (48)

2 O que é Análise da Regressão? Análise da regressão é uma metodologia estatística que utiliza a relação entre duas ou mais variáveis quantitativas (ou qualitativas) de tal forma que uma variável pode ser predita a partir da outra ou outras. 2 Prof. Tit. Dr. Franke, 2015

3 1. Correlação Correlação e regressão linear O conceito de correlação refere-se a uma associação numérica entre duas variáveis, não implicando necessariamente uma relação de causa e efeito. A análise dos dados para verificar correlações é feita de forma exploratória. O estudo da correlação numérica entre as observações de duas variáveis é um passo intermediário na análise de um problema. Se a representação gráfica de duas variáveis em um sistema cartesiano resultar em pontos alinhados, ajustando-se a uma reta, se está na presença de uma relação linear. 3 Prof. Tit. Dr. Franke, 2015

4 2. Diagrama de dispersão Correlação e regressão linear É um gráfico onde os valores das variáveis são representadas por pontos, num sistema cartesiano. Figura 1 Diagramas de dispersão (18 amostras de cerâmicas) das variáveis retração linear,(%), resistência mecânica (MPa) e absorção de água (%). Fonte: BARBETTA et al., Prof. Tit. Dr. Franke, 2015

5 2. Diagrama de dispersão Correlação e regressão linear 5 Prof. Tit. Dr. Franke, 2015

6 Correlação e regressão linear 3. Coeficiente de correlação linear de Pearson (r) É uma medida da intensidade da relação linear entre duas variáveis aleatórias Mede o grau de relacionamento linear entre os dados emparelhados das variáveis X e Y em uma amostra Pode variar entre -1 r Cálculo do coeficiente de correlação de Pearson (r) Exemplo: Três observações i x i y i x i 2 y i 2 x i y i Soma Yi Xi 6 Prof. Tit. Dr. Franke, 2015

7 Correlação e regressão linear 3.2 Coeficiente de correlação populacional() O coeficiente r pode ser considerado uma estimativa do verdadeiro e desconhecido coeficiente de correlação populacional (). Podemos verificar as seguintes hipóteses com relação à correlação: H o : = 0 (as variáveis X e Y são não correlacionadas); H 1 : 0 (as variáveis X e Y são correlacionadas). Como avaliar se o coeficiente de correlação de Pearson (r) é significativo? 1 - Usando a distribuição t de Student com gl = n-2 valor do teste calculado por Rejeita-se H o quando o valor calculado de t for maior que valor tabelado com gl = n-2, concluindo que há correlação significativa. 2 - Usar a Tabela n 10 para saber qual deve ser o valor mínimo para o coeficiente de correlação r de Pearson ser significativo. 7 Prof. Tit. Dr. Franke, 2015

8 Fonte: BARBETTA et al., Prof. Tit. Dr. Franke, 2015

9 Correlação e regressão linear Exercícios: Sejam X = a nota de matemática na prova do vestibular e Y = nota final da disciplina de estatística de 10 alunos do Curso. Os dados são apresentados a seguir: Aluno x y x 2 y 2 x.y soma 9 Prof. Tit. Dr. Franke, 2015 a) Calcule a correlação entre nota no vestibular de matemática e a nota na disciplina de estatística. Interprete o resultado b) Construa um diagrama de dispersão e verifique se algum aluno foge ao comportamento geral do grupo (ponto discrepante). c) Retire o ponto discrepante detectado no item anterior e calcule novamente o coeficiente r. Interprete o novamente. d) Verifique se a correlação encontrada no item anterior é significativa. Faça o teste ao nível de significância de 5% e interprete o resultado.

10 Nota em estatística Correlação e regressão linear Exercícios: Sejam X = a nota na prova do vestibular e Y = nota final da disciplina de estatística de 10 alunos do Curso de geologia. Os dados são apresentados a seguir: Alunos x y x 2 y 2 x.y soma Nota no vestibular 10 Prof. Tit. Dr. Franke, 2015

11 Nota em estatística Correlação e regressão linear Exercícios: Sejam X = a nota na prova do vestibular e Y = nota final da disciplina de estatística de 10 alunos do Curso de geologia. Os dados são apresentados a seguir: 100 Alunos x y x 2 y 2 x.y soma Nota no vestibular 11 Prof. Tit. Dr. Franke, 2015

12 Como fazer na calculadora científica? Aluno x y Prof. Tit. Dr. Franke, 2015

13 Correlação e regressão linear 4. Coeficiente de determinação (r²) É a proporção da variação total em Y explicada pelo ajuste da regressão Ou, o valor de r² representa a parte da variância total de X e Y, que pode ser explicada pela sua relação linear Exemplo: se r = 0,7, ter-se-á r² = 0,49, ou seja, o grau de dependência de Y em relação ao X será de 49%; isso significa que 51% da variação total permanece não explicado pelo modelo da regressão. 13 Prof. Tit. Dr. Franke, 2015

14 Regressão linear 5. Regressão linear simples A análise de regressão é utilizada principalmente para fins de previsão Tem por objetivo desenvolver um modelo estatístico que possa ser utilizado para prever os valores de uma variável dependente, com base nos valores correspondentes a pelo menos uma variável independente. Estamos interessados na relação matemática de causalidade. Objetiva-se: Predizer valores de uma variável dependente (Y) em função de uma variável independente (X). Conhecer o quanto variações de X podem afetar Y. 14 Prof. Tit. Dr. Franke, 2015

15 Regressão linear 5. Regressão linear simples Exemplos de relação entre variáveis (X e Y): Variável Independente (X) Idade de crianças Altura Precipitação Temperatura do forno Quantidade de aditivo Variável dependente (Y) Altura Peso corporal Produção vegetal Resistência mecânica da cerâmica Octanagem da gasolina 15 Prof. Tit. Dr. Franke, 2015

16 Regressão linear 15. Regressão linear simples O modelo matemático 16 Prof. Tit. Dr. Franke, 2015

17 Significado dos parâmetros do modelo de regressão linear simples ^ y = a + b.x x=1 y b y x a x x+1 a (intercepto) é o valor da média da distribuição de Y em X=0, não tem significado prático como um termo separado (isolado) no modelo; b (inclinação) expressa a taxa de mudança em Y, isto é, a mudança em Y quando ocorre a mudança de uma unidade em X. 17 Prof. Tit. Dr. Franke, 2015

18 Regressão linear 5. Regressão linear simples Estimativa da equação de regressão com base nos dados amostrais Para construção do modelo precisamos obter estimativas de a e b, a partir de um conjunto de observações. Estimativa de coef. angular (b): representa o coeficiente angular da reta (tangente do ângulo com o eixo das abscissas) Estimativa escalar ou intercepto (a): representa a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo das ordenadas. A estimativa dos parâmetros é realizados utilizando-se o método dos mínimos quadrados, que consiste em fazer com que a soma dos erros quadráticos seja a menor possível 18 Prof. Tit. Dr. Franke, 2015

19 Regressão linear 5. Regressão linear simples Exemplo: Diâmetro e peso de 10 amostras de rochas. Diâmetro (mm) Peso (kg) 49 24, , , , , , , , , ,0 19 Prof. Tit. Dr. Franke, 2015

20 Peso (kg) Regressão linear 45 Diâmetro (mm) Peso (kg) 49 24, , , , , , , Diâmetro (mm) Figura 2 Diagrama de dispersão para relação entre diâmetro e peso das rochas , , ,0 Após inspeção visual do diagrama de dispersão percebe-se uma relação linear Então, a tarefa da análise da regressão é determinar qual modelo linear específico representa o melhor ajuste para estes dados. 20 Prof. Tit. Dr. Franke, 2015

21 Regressão linear 5. Regressão linear simples Construindo a equação de regressão com base nos dados do exemplo Amostra (i) Diâmetro (X i ) Peso (y i ) (X i2 ) (y i2 ) X i y i , ,00 576, , , , , , , ,00 625, , , ,00 552,25 940, , , , , , ,00 484,00 990, , ,00 506,25 990, , ,00 552, , , ,00 625, , , , , ,00 Soma , , ,00 Calculem o R! r = 0, Prof. Tit. Dr. Franke, 2015

22 peso (kg) Regressão linear Equação da reta 45,0 40,0 y = 0,8068x - 12,619 R² = 0, ,0 30,0 25,0 20,0 15, Diâmetro (mm) 22 Prof. Tit. Dr. Franke, 2015

23 Qualidade do ajuste Ajustou-se uma equação de regressão entre X e Y. E a qualidade do ajuste? Como verifico? Coeficiente de determinação, r² análise de variância do modelo, teste F análise dos resíduos 23 Prof. Tit. Dr. Franke, 2015

24 ANÁLISE DOS RESÍDUOS É um método gráfico desenvolvido para: Avaliar se o modelo de regressão linear, que foi ajustados aos dados, é o apropriado Identificar violações das premissas do modelo de regressão O que são resíduos? 24 Prof. Tit. Dr. Franke, 2015

25 Resíduos padronizados ANÁLISE DOS RESÍDUOS Análise dos resíduos Valores preditos e resíduos do modelo Diâmetro (mm) (x) Peso (kg) (y) Previsto ( ÿ) Resíduo (ê) Resíduo padroniz 49 24,0 26,92-2,92-1, ,0 39,83 0,17 0, ,0 23,69 1,31 0, ,5 19,65 3,85 1, ,5 31,76 1,74 0, ,0 23,69-1,69-0, ,5 22,88-0,38-0, ,5 25,30-1,80-0, ,0 27,72-2,72-1, ,0 32,57 2,43 0,99-2 Residuo padronizado = Residuo QMR 25 Prof. Tit. Dr. Franke, Resíduos x valores preditos Resíduos padrão peso predito

26 Distribuição dos resíduos 26 Prof. Tit. Dr. Franke, 2015

27 Medida da qualidade do ajuste: Coeficiente de determinação (R 2 ) O R 2 é frequentemente conhecido como a proporção da variação de y observada que pode ser explicada pela variável regressora X. 27 Prof. Tit. Dr. Franke, 2015

28 Medida da qualidade do ajuste: Coeficiente de determinação (R 2 ) 0 R 2 1 Quanto mais alto é o valor de R 2, mais o modelo de regressão linear simples consegue explicar a variação de Y. 28 Prof. Tit. Dr. Franke, 2015

29 Medida da qualidade do ajuste: Variação explicada e não explicada pelo modelo Diâmetro (mm) Peso (kg) Previsto Erro (ê = y - ŷ) SQE (y - y) (y - y)² 49 24,0 26,92-2,92 8,50-3,4 11, ,0 39,83 0,17 0,03 12,6 158, ,0 23,69 1,31 1,72-2,4 5, ,5 19,65 3,85 14,80-3,9 15, ,5 31,76 1,74 3,03 6,1 37, ,0 23,69-1,69 2,85-5,4 29, ,5 22,88-0,38 0,15-4,9 24, ,5 25,30-1,80 3,25-3,9 15, ,0 27,72-2,72 7,41-2,4 5, ,0 32,57 2,44 5,93 7,6 57, ,00 0,00 47,67 0,00 360,40 r = 2 r² 29 Prof. Tit. Dr. Franke, 2015

30 Análise da variância (ANOVA) de Regressão linear simples Fonte de variação gl SQ QM F calculado Regressão 1 SQT- SQE SQT/gl QMReg/QMErro F crítico Erro n 2 SQE/n Total n Fonte de variação gl SQ QM F calculado Conclusão? Como Fcal = 52,47 > Fcrítico = 5,32, conclui-se que o modelo é significativo ao nível de 5%. F crítico Regressão 1 312,73 312,73 52,47 5,32 Erro 8 47,67 5,96 Total 9 360,40 30 Prof. Tit. Dr. Franke, 2015

31 Peso (kg) Correlação e regressão linear 7. Regressão linear simples Construindo a equação de regressão com base nos dados do exemplo 45,0 Diâmetro (mm) Peso (kg) 40,0 35,0 30,0 25,0 20, Diâmetro (mm) r² = 0,867 r = 0, , , , , , , ,5 Como fazer com a calculadora científica? 47 23, , ,0 31 Prof. Tit. Dr. Franke, 2015

32 Fluxograma para teste de significância da correlação linear Início Seja H o : =0 H 1 : 0 Escolha Calcule r Método 1: A estatística do teste é Método 2: A estatística de teste é r. Os valores críticos de r encontramse na tabela E.5 Os valores críticos da tabela de Student, com n-2 graus de liberdade Se o valor absoluto da estatística do teste excede os valores críticos, rejeita-se H o : =0. Em caso contrário, não rejeitar H o 32 Se H o é rejeitada, concluir que há correlação linear significativa. Se H o não é rejeitada, então não há evidência suficiente para concluir pela existência de correlação linear Prof. Tit. Dr. Franke, 2015

33 Premissas da regressão São similares às da análise da variância Normalidade de erros Homogeneidade da variância ou Homoscedasticidade Independência de erros a) Normalidade de erros O erro em torno da linha de regressão seja distribuído de forma normal para cada valor corresponde a X. 33 Prof. Tit. Dr. Franke, 2015

34 Premissas da regressão b) Homoscedasticidade Requer que a variação em torno da linha de regressão seja constante para todos os valores de X. Isto significa que os erros variam na mesma proporção, quando X for um valor baixo ou quando for um valor elevado. Caso esta premissa não esteja atendida transformação dos dados pode ser tentada. c) Independência de erros Requer que os erros em torno da linha de regressão sejam independentes para cada valor de X. São importantes para dados que são coletados ao longo de um período de tempo. Podem estar correlacionados com aqueles do período de tempo anterior. 34 Prof. Tit. Dr. Franke, 2015

35 Tabela da distribuição t (Student) 35 Prof. Tit. Dr. Franke, 2015

36 36 Prof. Tit. Dr. Franke, 2015