Estatística CORRELAÇÃO E REGRESSÃO LINEAR. Prof. Walter Sousa

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1 Estatística CORRELAÇÃO E REGRESSÃO LINEAR Prof. Walter Sousa

2 CORRELAÇÃO LINEAR A CORRELAÇÃO mede a força, a intensidade ou grau de relacionamento entre duas ou mais variáveis. Exemplo: Os dados a seguir apresentam os investimentos (em milhares de reais) e os lucros (em milhares de reais, no ano seguinte, realizados por cinco empresas escolhidas aleatoriamente: Qual a relação existente entre Lucro e investimento?

3 CORRELAÇÃO LINEAR Qual a relação existente entre Lucro e investimento? Exemplo: Os dados a seguir apresentam os investimentos (em milhares de reais) e os lucros (em milhares de reais, no ano seguinte, realizados por cinco empresas escolhidas aleatoriamente:

4 CORRELAÇÃO LINEAR A Correlação linear entre duas variáveis X e Y, indicada por rr xy, é um número real que pertence ao intervalo [-1; +1]. Quanto mais próximo de +1 ou de -1, mais forte é a correção linear. Podendo ser classificada em: a) Direta (positiva): 0 < rr xxxx 1. Quando para valores altos de uma variável X corresponderão valores altos para outra variável Y e para valores baixos de uma, associaremos também valores baixos para outra. Por exemplo, Lucro e Investimento na tabela acima. rr xxxx = 1 CCCCCCCCCCCCCCCCCC pppppppppppppppp.

5 CORRELAÇÃO LINEAR b) Inversa (negativa): 1 rr xxxx < 0. Quando as variáveis têm sentidos opostos, ou seja, à medida que X aumenta, o valor de Y diminui. Um exemplo de correlação Inversa: considerando automóveis de mesmo ano, marca e modelo, quanto maior for a quilometragem do veículo, menor será o preço de venda. rr xxxx = 1 CCCCCCCCCCCCCCCCCC pppppppppppppppp

6 CORRELAÇÃO LINEAR DIAGRAMA DE DISPERSÃO É um gráfico formado pela representação dos pontos indicados pelos pares ordenados (x,y) das variáveis, no plano cartesiano. Pode ser bastante útil para analisarmos se há ou não relação linear e até indicarmos se é forte ou fraca. altura e peso: forte idade e peso: Ausência.

7 CORRELAÇÃO LINEAR CÁLCULO DO ÍNDICE Coeficiente de Correlação (rr xxxx ) varia apenas no intervalo [ 1; 1], podendo ser calculado pelas formas abaixo: a) Em função dos desvios simples rr xxxx = Σ dd xx dd yy Σ(dd xx ) 2 Σ(dd yy ) 2 d x = xx xx (desvio) d y = y yy (desvio)

8 CORRELAÇÃO LINEAR CÁLCULO DO ÍNDICE b) Em função da Covariância e dos desvios-padrão

9 Exemplo CORRELAÇÃO LINEAR CÁLCULO DO ÍNDICE

10 CORRELAÇÃO LINEAR CÁLCULO DO ÍNDICE Exemplo Variância de X e de Y VV xx = EE xx 2 EE xx 2 = = 19,6 VV yy = EE yy 2 EE yy 2 = ,6 2 = 0,44 Desvios padrão σ xx = 19,6 σ yy = 0,44

11 PROPRIEDADES IMPORTANTES Seja r o coeficiente de correlação entre X e Y. Se multiplicarmos cada uma destas variáveis por duas constantes a e b, o novo coeficiente r' é dado por: r'= r, se ab > 0 r'= -r, se ab < 0 Se somarmos (ou subtrairmos), a cada uma destas variáveis, uma constante, o coeficiente de correlação fica inalterado.

12 REGRESSÃO LINEAR A correlação mede a força, ou grau, de relacionamento entre duas variáveis; a regressão dá uma equação que descreve o relacionamento em termos matemáticos. Quando rr xxxx 0 podemos estabelecer a reta de regressão, dada por: YY = ββββ + αα. ββ e αα são valores que se determinam com base nos dados amostrais, sendo que αα é a cota da reta em x = 0, ponto no qual a reta intercepta o eixo Y (intercepto-y); ββ é o seu coeficiente angular, indicando a variação de Y por unidade de variação de x, ou yy. A variável Y é a variável que deve ser xx predita (variável dependente), e x é a variável independente (preditor).

13 REGRESSÃO LINEAR Caso o modelo não seja perfeito, haverá erro (εε ii ) que representa a distância da reta ao verdadeiro ponto no diagrama de dispersão. Assim, o modelo de ajuste linear pode, genericamente, ser representado por YY = αα + ββxx + εε ii, tal que o valor esperado EE(εε ii ) = 0 e εε ii é variável aleatória que segue um distribuição normal.

14 REGRESSÃO LINEAR YY = αα + ββxx + εε ii, tal que o valor esperado EE(εε ii ) = 0 e εε ii é variável aleatória que segue um distribuição normal.

15 REGRESSÃO LINEAR CÁLCULO DOS COEFICIENTES YY = αα + ββxx a) Em função da Covariância O coeficiente angular ββ pode ser calculado pela razão entre a covariância,cov(x, y), e a Variância de X, VV(xx). ββ = cccccc(xx,yy) vv(xx) A reta de regressão passa pelo ponto de coordenada (XX, YY ), que é o par ordenado da média de X e de Y. Assim o termo independente αα pode ser calculado substituindo o par ordenado de valores indicados pelas médias xx = EE xx ee yy = EE[yy] na equação de regressão: αα = yy aaxx

16 REGRESSÃO LINEAR CÁLCULO DOS COEFICIENTES YY = αα + ββxx a) Em função da Covariância O coeficiente angular ββ pode ser calculado pela razão entre a covariância,cov(x, y), e a Variância de X, VV(xx). ββ = cccccc(xx,yy) vv(xx) A reta de regressão passa pelo ponto de coordenada (XX, YY ), que é o par ordenado da média de X e de Y. Assim o termo independente αα pode ser calculado substituindo o par ordenado de valores indicados pelas médias xx = EE xx ee yy = EE[yy] na equação de regressão: αα = yy aaxx

17 b) A notação Suv β = S xy S xx S xy = xy x y n REGRESSÃO LINEAR CÁLCULO DOS COEFICIENTES S xx = x 2 S yy = y 2 ( x)2 n ( y)2 n YY = αα + ββxx, YY ee xx ssãoo aaaa mmédddddddd aaaaaaaaaaétttttttttt. αα = YY ββxx

18 REGRESSÃO LINEAR CÁLCULO DOS COEFICINTES (CESPE/2018) Ao avaliar o efeito das variações de uma grandeza X sobre outra grandeza Y por meio de uma regressão linear da forma, YY = αα + ββxx um analista, usando o método dos mínimos quadrados, encontrou, a partir de 20 amostras, os seguintes somatórios (calculados sobre os vinte valores de cada variável): (1) ββ < 0 (2) Para X = 10, a estimativa de Y é YY = 12.

19 Estatística Correlação e Regressão linear Exercícios Prof. Walter Sousa

20 (CESGRANRIO) Considere as asserções a seguir. Questão 1 O Coeficiente de Correlação Linear de Pearson é necessariamente um número no intervalo (-1,1). PORQUE O Coeficiente de Correlação Linear de Pearson só pode ser calculado para variáveis quantitativas. Analisando-se as asserções, conclui-se que (A) as duas asserções são verdadeiras, e a segunda é uma justificativa correta da primeira. (B) as duas asserções são verdadeiras, e a segunda não é uma justificativa correta da primeira. (C)a primeira asserção é verdadeira, e a segunda é falsa. (D)a primeira asserção é falsa, e a segunda é verdadeira. (E) a primeira e a segunda asserções são falsas. Gab. B

21 Questão 2 (Funiversa perito PCDF) Considerando a tabela, referente aos valores das variáveis X e Y, é correto afirmar que a correlação entre as variáveis X e Y (A) é menor que 1. (B) encontra-se entre + 0,9 e + 1. (C) é zero. (D) encontra-se entre 0,9 e 1. (E) é maior do que +1 Gab. B

22 Questão 3 (CESGRANRIO) Considere as afirmações a seguir a respeito do Coeficiente de Correlação (r) de Pearson entre duas variáveis. I - Se r = 1, as observações estão todas sobre uma linha reta no diagrama de dispersão. II - Se r > 0, a variável independente aumenta quando a variável dependente aumenta. III - Se r < 0, a variável independente decresce quando a variável dependente decresce. IV - Se r = 0, não existe relação entre as duas variáveis. São corretas APENAS as afirmações (A) I e II (B) I e III (C) II e III (D) II e IV (E) III e IV Gab. A

23 Questão 4 Se as variáveis Y e X1 forem transformadas, respectivamente, para Y1 = - 2Y+0,5 e XX = -X1 + 0,5, o coeficiente de correlação entre Y1 e XX (A) 0,382 (B) 0,059 (C) - 0,059 (D) - 0,118 (E) - 0,382 Gab. C

24 Questão 5 (ESAF) Se X é uma variável aleatória e Y = 5 2X, então o coeficiente de correlação linear entre X e Y é igual a: (a) 2,5 (b) 1,0 (c) 0 (d) 0,4 (e) 1,0 Gab. E

25 Questão 6 CESGRANRIO) Analise as afirmativas a seguir, a respeito do coeficiente de correlação linear de Pearson entre duas variáveis positivas X e Y: I - é positivo; II - não se altera quando adicionamos uma constante positiva aos valores de X; III - não se altera quando multiplicamos por uma constante positiva os valores de X. Está(ão) correta(s) a(s) afirmativa(s): (A) II somente. (B) I e II somente. (C) I e III somente. (D) II e III somente. (E) I, II e III. Gab. D

26 Questão 7 Pelo gráfico correspondente à reta obtida pelo método dos mínimos quadrados com base em 10 pares de observações (X1,Y1), (X2,Y2),...,(X10,Y10), verifica-se que a reta passa pelo ponto (2, 100). O modelo adotado foi Yi = α + βxi + εi, em que Yi representa o valor da variável dependente na i-ésima observação, Xi é o valor da variável explicativa na i-ésima observação e εi é o erro aleatório com as respectivas hipóteses consideradas para a regressão linear simples. α e β são os parâmetros do modelo, cujas estimativas foram obtidas pelo método dos mínimos quadrados. Dado que as médias das observações de Xi e Yi são iguais a 10 e 75, respectivamente, então a previsão do valor de Y, quando X = 16, é igual a (A) 60,75. (B) 56,25. (C) 50,75. (D) 48,25. (E) 40,75. Gab. B

27 Questão 8 (FCC) Uma empresa, com a finalidade de determinar a relação entre os gastos anuais com propaganda (X), em R$ 1 000,00, e o lucro bruto anual (Y), em R$ 1 000,00, optou por utilizar o modelo linear simples Yi = α + βxi + εi, em que Yi é o valor do lucro bruto auferido no ano i, Xi é o valor gasto com propaganda no ano i e εi o erro aleatório com as respectivas hipóteses consideradas para a regressão linear simples (α e β são parâmetros desconhecidos). Considerou, para o estudo, as seguintes informações referentes às observações nos últimos 10 anos da empresa:

28 Questão 8 Utilizando a equação da reta obtida pelo método dos mínimos quadrados, tem-se que, caso haja um gasto anual com propaganda de 80 mil reais, a previsão do lucro anual, em mil reais, será de (A)158. (B)128,4. (C)121. (D)102,5. (E)84. :

29 Questão 9 (FCC) Uma empresa, com finalidade de determinar a relação entre gastos anuais em pesquisa e desenvolvimento (X), em milhares de reais, e o acréscimo anual nas vendas (Y), também em milhares de reais, optou por utilizar o modelo linear simples Yi = α + βxi + εi, em que Yi é o acréscimo nas vendas no ano i e εi o erro aleatório com as respectivas hipóteses consideradas para a regressão linear simples (α e β são parâmetros desconhecidos). Considerou, para o estudo, as seguintes informações referentes às observações nos últimos 10 anos da empresa:

30 Questão 9 Utilizando a equação da reta obtida pelo método dos mínimos quadrados, obteve-se, para um determinado gasto em pesquisa e desenvolvimento, uma previsão de acréscimo nas vendas no valor de 19 mil reais. O valor que se considerou para o gasto com pesquisa e desenvolvimento, em mil reais, foi: a) 14 b) 13,75 c) 13,0 d) 12,4 e) 12,0

31 Questão 9 Utilizando a equação da reta obtida pelo método dos mínimos quadrados, obteve-se, para um determinado gasto em pesquisa e desenvolvimento, uma previsão de acréscimo nas vendas no valor de 19 mil reais. O valor que se considerou para o gasto com pesquisa e desenvolvimento, em mil reais, foi: a) 14 b) 13,75 c) 13,0 d) 12,4 e) 12,0

32 Questão 10 (CESPE) Um analista avaliou, por meio de um modelo de regressão linear, se a quantidade de professores doutores formados no exterior X influenciava na quantidade de artigos publicados Y. Para isso, ele selecionou 10 universidades que ofertavam determinado curso no ano de 2014, conforme dados apresentados na tabela a seguir.

33 Questão 10 (1)O coeficiente angular estimado é positivo. (2) O intercepto do modelo linear é maior que 10. (3) O número de doutores no exterior explicaria mais de 75% da variação em Y.