Estatística Aplicada II. } Regressão Linear

Transcrição

1 Estatística Aplicada II } Regressão Linear 1

2 Aula de hoje } Tópicos } Regressão Linear } Referência } Barrow, M. Estatística para economia, contabilidade e administração. São Paulo: Ática, 007, Cap. 7 e 8

3 Aula de hoje Objetivos: } Entender a causalidade entre variáveis através da análise de regressão 3

4 Revisão

5 Covariância } Dados n pares de valores (x 1, y 1 )..., (x n, y n ), chamaremos de covariância entre as variáveis X e Y, na população: cov( X, Y) n i = = 1 ( x x)( y y) } Para calcular a covariância na amostra, devemos dividir por n-1 e não por n } É a média dos produtos dos valores centrados das variáveis } Tendo esta definição, podemos escrever o coeficiente de correlação como: corr ( X, Y) = i n cov( X, Y) dp( X ). dp( Y) i 5

6 Os resultados são significantes? Ø H 0 : r = 0 H 1 : r 0 Ø A estatística do teste é: t = r n 1 r Ø A qual tem distribuição t com n- graus de liberdade 6

7 Teste de Hipótese } As etapas do teste são: 1. Escrever as hipóteses alternativas e nulas. Escolher o nível de significância do teste α 3. Calcular a estatística t, conhecida como a estatística do teste 4. Calcular o valor crítico do teste t *, 5. Decidir: Se o valor absoluto de t for maior do que o de t *, rejeitar H 0 com um nível de confiança de 1-α 7

8 Regressão Linear Simples Ø Modelo linear para explicar a variável Y, denominada variável dependente, explicada ou endógena como função da variável X, denominada variável independente, explicativa ou exógena 8

9 Regressão Linear Simples 60 Birth rate Y ˆ = a + bx Growth rate 9

10 Regressão Linear Simples 40 Birth rate error, e Growth rate 10

11 Regressão Linear Simples Ø A relação entre valor observado de Y e valor previsto de Y pelo modelo é dada por: Y = Yˆ + e Y = a + bx + e 11

12 Regressão Linear Simples Ø Os valores de a e b são dados pela minimização da soma do quadrado dos erros. Tem-se: e e b n n XY X X Y ( X ) a Y bx 1

13 Regressão Linear and Simples birth rates Country Birth rate GNP growth Y X Y X XY Brazil Colombia Costa Rica India , Mexico , Peru , Philippines , Senegal , South Korea Sri Lanka Taiwan Thailand Total , ,

14 Regressão Linear Simples 35 TSS component Y i Yˆi Y RSS component 30 3 Growth rate X.8 14

15 Regressão Linear Simples Ø Mensuração da qualidade do ajuste: R RSS TSS Em que: TSS Y Y Y ny ˆ ESS Y Y Y a Y b XY 15

16 Inferência

17 Regressão Linear Simples - Inferência Ø Considere: Y i = a + bx i + e i Ø Utilizamos dados amostrais para calcular a e b. Ø Os valores a e b são estimativas dos verdadeiros parâmetros populacionais alpha e beta. 17

18 Regressão Linear Simples - Inferência Ø Podemos testar hipóteses com relação aos parâmetros populacionais Ø Para isso, precisamos calcular o desvio-padrão associado a cada uma delas. Ø A variância iance de b of é dada is por: given s b s i e ( X X ) 18

19 Regressão Linear Simples - Inferência 19 Ø Em que a variância estimada do erro é dada por: Ø A variância de a é dada por: n ESS n e s i e ) ( 1 X X X n s s i e a

20 Regressão Linear Simples - Inferência Ø Estamos prontos para testar hipóteses com relação aos valores dos parâmetros populacionais Ø Exemplo: H 0 : = 0 H 1 : 0 Ø A estatística do teste é: t b s b ~ tn 0

21 Regressão Linear Simples - Inferência Ø Podemos também criar intervalos de confiança para os parâmetros populacionais. Ø Como exercício, crie o intervalo de confiança de 95% para beta em nosso exemplo. 1

22 Regressão Linear Simples - Inferência Ø Podemos também testar se o valor do verdadeiro R-squared é igual a zero: H 0 : R = 0 H 1 : R > 0 Ø Nesse caso, a estatística do teste é: F R 1 ~ F 1, n 1 R n

23 Regressão Linear Múltipla

24 Regressão Linear Múltipla Ø Se a variável dependente for uma função de k variáveis explicativas, tem-se: Y b 0 b X 1 1 b X b k X k e Ø Como anteriormente, os valores dos parâmetros são estimados através da minimização da soma dos quadrados dos resíduos. 4

25 Regressão Linear Múltipla Ø Exemplo: Demanda por Importações Year Imports GDP GDP deflator Price of imports RPI all items : : : : : :

26 Regressão Linear Múltipla Ø Gráfico das séries em termos reais Real imports Real GDP Real import prices 6

27 Regressão Linear Múltipla Ø Gráfico das importações e PIB, ambas em termos reais Real imports Real GDP 7

28 Regressão Linear Múltipla Ø Gráfico das importações e preços de importados, ambos em termos reais Real imports Import prices 8

29 Regressão Linear Múltipla Ø Os valores dos parâmetros estimados, bem como as informações para testes de hipóteses calculados no lab estão apresentados a seguir: Coefficients Standard Error t Stat P-value Intercept Real GDP Real import prices Ø Adicionalmente, o R-squared reportado foi de

30 Regressão Linear Múltipla Ø O teste de significância do R-squared está sumarizado na tabela a seguir: ANOVA df SS MS F Significance F Regression E-1 Residual Total

31 Regressão Linear Múltipla Ø Estimando-se o modelo em logs, obtem-se: Coefficients Standard Error t Stat P-value Intercept ln GDP ln import prices Ø Com coeficiente de determinação de 0.98, significantemente diferente de zero. 31