Hipóteses do modelo linear clássico (CLM) Análise da Regressão múltipla: Inferência. Hipóteses do CLM (cont.) O teste t. Distribuição normal amostral

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1 9/03/0 Hipótes do modelo linear clássico (CLM) Análi da Regressão múltipla: Inferência Sabemos que, dadas as hipótes de Gauss- Markov, MQO é BLUE Para realizarmos os testes de hipótes clássicos, precisamos acrescentar mais uma hipóte Vamos supor que u é independente de x, x,, x k e que u e normalmente distribuído com média zero e variância σ : u ~ Normal(0,σ ) Hipótes do CLM (cont) Sob CLM, MQO é não apenas BLUE, mas também o estimador não-viesado de variância mínima Podemos resumir as hipótes do CLM como: y x ~ Normal(β 0 + β x + + β k x k, σ ) Embora assumamos normalidade, nem mpre ela verifica Em grandes amostras, a hipóte de normalidade não é necessária Uma distribuição normal homocedástica com uma única variável explicativa y f(y x) Distribuições normais E(y x) = β 0 + β x x x Distribuição normal amostral Sob as hipótes do CLM, condicionando nos valores amostrais das variáveis independentes ˆ β ~ Normal o que implica ( ˆ β ) ˆ β sd [ β, Var( ˆ β )], ( ˆ ( 0,) β ) ~ Normal tem distribuição normal porque é uma combinação linear dos erros (normais) O teste t Sob as hipótes do CLM ( ˆ β ) ( ˆ β ) ~ t porque estimamos σ por ˆ σ n k Obrve que agora a distribuição é a t (e não a normal) Repare nos graus de liberdade : n k

2 9/03/0 O teste t (cont) O conhecimento da distribuição amostral dos estimadores nos permite fazer testes de hipótes Comece com a hipóte nula Por exemplo, H 0 : β =0 Se aceitamos a nula, aceitamos que x, após controlarmos pelos outros x s, não tem efeito em y O teste t (cont) Primeiro precisamos obter a ˆ estatística para ˆ β t β : t ˆ β aceitamos a hipóte nula, H ( ˆ β ) Vamos então usar a estatística t e alguma regra de reeição para determinar 0 Teste t: caso unicaudal Além de nossa, H 0, precisamos de uma hipóte alternativa, H, e um nível de significância H pode r unicaudal ou bicaudal H : β > 0 e H : β < 0 são unicaudais H : β 0 é bicaudal Se queremos apenas 5% de probabilidade de reeitar H 0 caso ela a, então dizemos que nosso nível de significância é de 5% Alternativa unicaudal (cont) Escolhido um nível de significância, α, olhamos no ( α)-ésimo percentil na distribuição t com n k df e chamamos es valor, c, de valor crítico Reeitamos a hipóte nula a estatística t é maior que o valor crítico Se a estatística t for menor que o valor crítico, então não reeitamos a nula Alternativa unicaudal (cont) y i = β 0 + β x i + + β k x ik + u i H 0 : β = 0 H : β > 0 Não reeitamos ( α) 0 c Reeitamos α Uni vs bicaudal Como a distribuição t é simétrica, testar H : β < 0 é direto O valor crítico é simplesmente o negativo do anterior Reeitamos a nula t < c; t > c, então não reeitamos a nula Para um teste bicaudal, escolhemos um valor crítico baado em α/ e reeitamos H : β 0 o valor absoluto da estatística t for > c

3 9/03/0 Alternativa bicaudal y i = β 0 + β X i + + β k X ik + u i H 0 : β = 0 H : β 0 Reeitamos α/ Não reeitamos ( α) -c 0 c Reeitamos α/ Resumo de H 0 : β = 0 A menos que a explicitado ao contrário, estaremos considerando a alternativa bicaudal Se reeitamos a nula, dizemos que x é estatisticamente significante ao nível de α% Se não reeitamos a nula, dizemos x é estatisticamente não significativo ao nível de α % Testando outras hipótes Podemos generalizar a estatística t testando H 0 : β = a Neste caso, a estatística t é dada por t = a ( ˆ β a ) ( ˆ β ), onde = 0 no teste usual Intervalos de confiança Outra forma de usar os procedimentos clássicos de teste de hipótes é construindo um intervalo de confiança utilizando o mesmo valor crítico do teste bicaudal Um intervalo de confiança de ( - α) % é definido por: ˆ ( ˆ α β ± c β ), onde c é o - percentil na distribuição tn k Calculando o p-valor do teste t Uma alternativa ao procedimento clássico de teste é perguntar: qual é o menor nível de significância ao qual a nula ria reeitada? Calcule a estatística t, e olhe em que percentil ela está na distribuição t apropriada este é o p-valor O p-valor é a probabilidade de obrvarmos valores iguais ou maiores (em valor absoluto) à estatística t obtida a nula for verdadeira P-valores, testes t s etc A maioria dos pacotes calcula o p-valor, assumindo um teste bicaudal Se estiver interessado na alternativa unicaudal, basta dividir o p-valor reportado por 3

4 9/03/0 Testando uma combinação linear Ao invés de testar β é igual a uma constante, podemos testar que ele é igual a outro parâmetro, ou a, H 0 : β = β U o mesmo procedimento para calcular a estatística t ˆ β ˆ β t = ( ˆ β ˆ β ) Testando uma combinação linear (cont) Como Var ( ˆ β ˆ ) ( ˆ ˆ = Var β ),então ( ˆ β ˆ ) ( ˆ ) ( ˆ ) ( ˆ, ˆ = Var β + Var β Cov β β ) ( ˆ β ˆ ) [ ( ˆ )] [ ( ˆ = β + β )] s onde s { } é um estimador de Cov( ˆ β, ˆ β ) Testando uma combinação linear (cont) Então, precisamos de s Muitos pacotes, como o Eviews, fornecem essa estatística Mas o Eviews tem uma opção que permite fazer o teste automaticamente O teste pode r reescrito, conforme mostrado a guir Exemplo: Suponha que você estea interessado nos efeitos dos gastos de campanha no resultado das eleições O modelo é votoa = β 0 + β log(gastoa) + β log(gastob) + β 3 prtystra + u H 0 : β = - β, ou H 0 : θ = β + β = 0 β = θ β ; substituindo e rearranando votoa = β 0 + θ log(gastoa) + β log(gastob - gastoa) + β 3 prtystra + u Exemplo (cont): É o mesmo modelo, mas agora você tem um erro padrão para β β = θ diretamente da regressão Qualquer combinação linear de parâmetros pode r testada de forma similar Outros exemplos de testes de hipótes sobre uma única combinação linear de parâmetros: β = + β ; β = 5β ; β = -/β ; etc Múltiplas restrições lineares Os exemplos anteriores eram de uma única restrição linear (pe β = 0 or β = β ) Mas também podemos testar conuntamente múltiplas hipótes sobre os parâmetros Um exemplo é do restrição de exclusão queremos testar um grupo de parâmetros é igual a zero 4

5 9/03/0 Teste de restrição de exclusão Agora, a hipóte nula é algo do tipo H 0 : β k-q+ = 0,, β k = 0 A alternativa é H : H 0 é falsa, ou a, pelo menos um dos β s é diferente de zero Não podemos apenas fazer cada teste t isoladamente, porque queremos saber os q parâmetros são conuntamente significativos a um certo nível é possível que nenhum a individualmente significante a este nível Teste de restrição de exclusão (cont) O teste é feito estimando o modelo restrito m x k-q+,,, x k, assim como o modelo irrestrito com todos os x s Intuitivamente, queremos saber x k-q+,,, x k causam uma variação suficientemente grande na SSR F ( SSRr SSRur ) q SSR ( n k ) ur r é restrito e ur irrestrito, onde A estatística F A estatística F é mpre positiva, uma vez que a SSR do modelo restrito não pode r menor que a do modelo irrestrito A estatística F statistic mede o crescimento relativo na SSR quando passa do modelo irrestrito para o modelo restrito q = número de restrições, ou df r df ur n k = df ur A estatística F (cont) Para decidir o aumento na SSR é grade o suficientes para reeitar as exclusões, precisamos conhecer a distribuição amostral de nossa estatística F Não é de surpreender que F ~ F q,n-k-, onde q é o número de graus de liberdade do numerador e n k é o número de graus de liberdade do denominador A estatística F (cont) f(f) Não reeita ( α) 0 c α Reeita H 0 ao nível de significância α F > c Reeita F A estatística F em função do R Podemos usar o fato de que, em qualquer regressão, SSR = SST( R ) e substituir na fórmula: F ( Rur Rr ) q ( R ) ( n k ) ur r é restrito e ur é irrestrito, onde 5

6 9/03/0 Significância da regressão Um caso especial é o teste H 0 : β = β = = β k = 0 Como o R do modelo com apenas o intercepto rá zero, a estatística F rá simplesmente: F = R k ( R ) ( n k ) Restrições lineares gerais A forma básica da estatística F é válida para qualquer restrição linear Primeiro estime os modelos irrestrito e restrito Em cada caso, anote a SSR e substitua na fórmula Exemplo: O modelo is votoa = β 0 + β log(gastoa) + β log(gastob) + β 3 prtystra + u Agora a nula é H 0 : β =, β 3 = 0 Substituindo a restrição: votoa = β 0 + log(gastoa) + β log(gastob) + u Agora votoa - log(gastoa) = β 0 + β log(gastob) + u é o modelo restrito Estatística F: Resumo Da mesma forma que no teste t, o p-valor pode r calculado olhando no percentil da distribuição F apropriada Se apenas uma exclusão está ndo testada, então F = t e o p-valor rá o mesmo 6