ECONOMETRIA. Prof. Patricia Maria Bortolon, D. Sc.

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1 ECONOMETRIA Prof. Patricia Maria Bortolon, D. Sc.

2 Cap. 10 Multicolinearidade: o que acontece se os regressores são correlacionados? Fonte: GUJARATI; D. N. Econometria Básica: 4ª Edição. Rio de Janeiro. Elsevier- Campus, 2006

3 Premissa 10 do modelo de regressão linear clássico é que não há multicolinearidade entre os regressores. 1. Qual é a natureza da multicolinearidade? 2. A multicolinearidade é realmente um problema? 3. Quais são as suas consequências práticas? 4. Como é possível detectá-las? 5. Que medidas práticas podemos tomar para amenizar o problema da multicolinearidade? Também examinaremos a premissa 7 (no. de observações da amostra deve ser maior que o número de regressores) e a premissa 8 (deve haver suficiente variabilidade nos valores dos regressores).

4 A natureza da multicolinearidade Multicolinearidade perfeita λ 1 X 1 + λ 2 X λ k X k = 0 X 1 = λ 2 λ 1 X 2 + λ k λ 1 X k Multicolinearidade imperfeita λ 1 X 1 + λ 2 X λ k X k + v i = 0 X 1 = λ 2 λ 1 X 2 + λ k λ 1 X k 1 λ 1 v i X 1 é uma combinação linear exata das demais variáveis X 1 não é mais uma combinação linear exata porque também é determinada por um termo de erro estocástico

5 A natureza da multicolinearidade Multicolinearidade perfeita Coeficientes indeterminados e erros padrão infinitos Multicolinearidade imperfeita Coeficientes com erros padrão grandes, ou seja, serão estimados com pouca precisão Lembrar de var β j = σ2 x j R j 2 É o R 2 da regressão de X j contra as outras variáveis explicativas

6 A natureza da multicolinearidade Fontes de multicolinearidade Método de coleta de dados: coleta limitada a uma faixa de valores dos regressores Restrições nos próprios dados: ex: empresas maiores têm maior endividamento Especificação do modelo: acréscimo de termos polinomiais Modelo superdeterminado: muitas variáveis para poucas observações No caso de séries temporais quando os regressores têm uma tendência comum, ou seja, todos aumentam ou diminuem ao longo do tempo

7 Estimação na presença de multicolinearidade perfeita X 3i = λx 2i Y i = α + β 1 X 2i + β 2 X 3i + u i Y i = α + β 1 X 2i + β 2 (λx 2i ) + u i Y i = α + (β 1 + β 2 λ)x 2i + u i Esse valor será estimado e não se poderá determinar β 1 e β 2 separadamente

8 Consequências teóricas da multicolinearidade Os estimadores de MQO ainda são os melhores estimadores não tendenciosos. Então qual é o problema? É mais difícil estimar coeficientes com erros-padrão pequenos. Mas isso também ocorre quanto há (i) poucas observações e (ii) variáveis independentes com pequena variância Exemplo: Consumo i = β 1 + β 2 Renda i + β 3 Riqueza i + u i Pessoas com renda elevada têm riqueza elevada Para estimar precisaríamos ter na amostra pessoas ricas com renda baixa, e pessoas com renda alta e pouca riqueza Aumentar a amostra pode ajudar

9 Consequências práticas da multicolinearidade 1. Embora sejam melhores estimadores lineares não tendenciosos, os estimadores de MQO têm grande variância e covariância, tornando difícil uma estimação exata. 2. Em decorrência de 1, os intervalos de confiança tendem a ser mais amplos, facilitando a aceitação da hipótese nula igual a zero 3. Também com efeito de 1, a razão t de um ou mais coeficientes tende a ser estatisticamente insignificante 4. Embora a razão t de um ou mais coeficientes seja estatisticamente insignificante, R 2, a medida geral da qualidade do ajustamento, pode ser muito alto. 5. Os estimadores MQO e seus erros-padrão podem ser sensíveis a pequenas alterações nos dados.

10 Consequências práticas da multicolinearidade Grandes variâncias e covariâncias dos estimadores MQO var β 2 = em: y i = β 2 x 2i + β 3 x 3i + u i σ 2 x 2 2i (1 r 23 2 ) var β 3 = σ 2 x 2 3i (1 r 23 A variância dos coeficientes aumenta a uma velocidade igual a 1 2 ) (1 r 23 FIV = fator de inflação da variância 2 ) var β 2 = σ2 x 2i 2 FIV var β 3 = σ2 2 FIV x 3i

11 Consequências práticas da multicolinearidade Grandes variâncias e covariâncias dos estimadores MQO 1 FIV = (1 r 2 23 ) se r 23 = 1 => FIV se r 23 = 0 => FIV 1 Quanto mais próximo de 1 melhor. Ver figura 10.2.

12 Consequências práticas da multicolinearidade Grandes variâncias e covariâncias dos estimadores MQO var β j = σ2 x j R j 2 var β j = σ2 x j 2 FIV j Ou seja, a var( β) depende de: 1. x j 2 => deve haver variabilidade suficiente nos valores assumidos pelos regressores (Premissa 8) 2. FIV 3. σ 2

13 Consequências práticas da multicolinearidade Grandes variâncias e covariâncias dos estimadores MQO Tolerância = inverso do FIV TOL j = 1 FIV j = (1 R j 2 )

14 Consequências práticas da multicolinearidade Intervalos de confiança mais amplos Com intervalos mais amplos os dados amostrais podem ser compatíveis com um conjunto mais amplo de hipóteses Logo, a chance de aceitar uma hipótese nula sendo ela falsa é aumentada. Esse é o erro do tipo II.

15 Consequências práticas da multicolinearidade Razões t insignificantes β A razão t é 2 que será comparada com o t ep( β 2 ) crítico para rejeição ou não da hipótese de que β 2 = 0. Com o aumento de ep( β 2 ) teremos razões t pequenas o que torna mais difícil rejeitar H 0 : β 2 = 0.

16 Consequências práticas da multicolinearidade Alto valor de R 2, mas com poucas razões t significativas Com R2 alto => o teste F rejeitará H 0 : β 1 = β 2 =... = β k = 0, ou seja, a regressão como um todo é significativa mas com poucos valores t significantes É um sintoma de multicolinearidade. Rodar regressõs em multi1.txt. Comando estat vif.

17 Detecção da Multicolinearidade Kmenta: A multicolinearidade é uma questão de grau, e não de tipo Não há um método único para detectá-la ou medir sua força. Temos alguma regras práticas: 1. R2 alto, mas com poucas razões t significativas.

18 Detecção da Multicolinearidade 2. Altas correlações entre pares de regressores (> 0,8) Problema: uma baixa correlação de ordem 0 não garante que não há multicolinearidade Y i = β 1 + β 2 X 2i + β 3 X 3i + β 4 X 4i + u i E imaginemos que X 4i = λ 2 X 2i + λ 3 X 3i Ou seja, X 4 é uma combinação linear exata de X 2 e X 3, de modo que 2 = 1 é o coeficiente de determinação da regressão X 4 contra X 2 e X 3. R R 4.23 = r r r 42 r 43 r r 23 2 Mas como R 4.23 = 1 devido à colinearidade perfeita, obtemos: 1 = r r r 42 r 43 r r 23 Que pode ser satisfeita por r 42 =0,5, r 43 =0,5 e r 23 = -0,5, que são valores não muito altos. Então, em modelos com mais de 2 variáveis explanatórias a correlação simples não é um indicador infalível da presença de multicolinearidade. Ver comandos em correlações.txt

19 Detecção da Multicolinearidade 3. Exame das correlações parciais 4. Regressões auxiliares 1. Fazer a regressão de uma variável explicativa com as demais 2. Se o teste F apontar significância da regressão auxiliar, há multicolinearidade 3. Se for significativo decidir se Xi deve ser mantido no modelo Regra prática de Klien: a multicolinearidade só será um problema sério se o R 2 de todas as regressões auxiliares for maior que o R 2 da regressão de Y contra X. (como qualquer regra prática use com cautela) 4. Tolerância e fator de inflação da variância: Regra prática: se o FIV > 10, o que acontece quando R j 2 > 0,90 diz-se que essa variável é altamente colinear. Ver comandos em correlações.txt

20 Detecção da Multicolinearidade Crítica: var β j = σ2 x j 2 FIV j mostra que um FIV alto não necessariamente implicará uma var β j alta, pois este aumento pode ser contrabalançado por x 2 j maior ou σ 2 menor. Outra regra: quanto mais próxima de zero estiver a TOL j, maior o grau de colinearidade dessa variável com os demais regressores. Ver comandos em correlações.txt

21 Não fazer nada Medidas Corretivas Blanchard: vontade divina Se não posso estimar o coeficiente individualmente estimo uma combinação linear dos mesmos, é melhor que nada y i = (β 1 + β 2 λ)x 2i + u i Exclusão de variáveis e viés de especificação Excluir a variável com correlação alta Pode levar ao viés de especificação Se a teoria estipula a variável ela não deve ser retirada

22 Informações a priori Medidas Corretivas Se trabalhos anteriores estipulam a relação entre os coeficientes ele pode ser usado Ex: se sabe-se que β 3 = 0,10β 2 Y i = β 1 + β 2 X 2i + β 3 X 3i + u i Y i = β 1 + β 2 X 2i + 0,10β 2 X 3i + u i Y i = β 1 + β 2 (X 2i + 0,10X 3i ) + u i Y i = β 1 + β 2 X i + u i

23 Medidas Corretivas Transformação de variáveis Se a série é temporal Ex: consumo, renda e riqueza => renda e riqueza podem evoluir no tempo de forma semelhante levando à correlação Y t = β 1 + β 2 X 2t + β 3 X 3t + u t Vale também em t-1: Y t 1 = β 1 + β 2 X 2t 1 + β 3 X 3t 1 + u t Solução: forma de primeira diferença (Y t Y t 1 ) = β 2 (X 2t X 2t 1 ) + β 3 (X 3t X 3t 1 ) + v t Problema: perda de uma observação Problema: este procedimento não se aplica a dados em corte transversal. Problema: na maioria dos casos é correlacionado serialmente violando a premissa 5

24 Medidas Corretivas Transformação de variáveis Solução: transformação proporcional Y t 1 X 2t = β X 1 + β 3t X 2 X 3t X 2t + β 3 + u t 3t Onde: Y t = consumo X 2t = PNB X 3t = população X 3t Problema: esse termo de erro será heterocedástico

25 Medidas Corretivas Dados adicionais ou novos Testar outra amostra Aumentar o tamanho da amostra var β 2 = σ 2 x 2 2i (1 r 2 23 ) Outros métodos Análise fatorial Componentes principais Com o aumento da amostra esse termo aumenta.

26 A multicolinearidade é necessariamente algo ruim? Se o objetivo é a previsão, a mulicolinearidade não é ruim. Se a estimação dos parâmetros é importante então teremos problemas. Exemplo aplicado: os dados de Longley