PESQUISA EM MERCADO DE CAPITAIS. Prof. Patricia Maria Bortolon, D. Sc.

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1 PESQUISA EM MERCADO DE CAPITAIS Prof. Patricia Maria Bortolon, D. Sc.

2 Cap. 7 A Estrutura de Correlações dos Retornos dos Ativos: modelo de índice único ELTO, E.; GRUBER, M.; BROW, S., GOETZMA, W. Moderna Teoria de Carteiras e Análise de Investimentos. São Paulo: Editora Atlas, 2004.

3 Moderna Teoria de Carteiras mais de 50 anos!! Pesquisas sobre como implementar a teoria básica. Como simplificar a quantidade e tipo de insumos necessários; Simplificação dos procedimentos computacionais para os cálculos das carteiras ótimas.

4 Os dados necessários R P = X i R i σ P = X i 2 σ i 2 + j=1 j i Precisamos de estimativas de: Retornos esperados de cada ativo; Variância de cada ativo; Correlação entre cada par de ativos. X i X j σ i σ j ρ ij 1 2 Em uma carteira com 150 ativos isso significa: 150 retornos, 150 variâncias e correlações ((-1)/2)

5 Modelos para prever estruturas de correlações Técnica mais usada: pressupõe que a variação conjunta entre ações se deve a uma única influência ou índice comum. Modelo de Índice Único Uma das razões pelas quais os retornos dos ativos são correlacionados é que há uma resposta comum a mudanças no mercado; Uma medida útil dessa correlação pode ser a relação entre o retorno de uma ação e o retorno de um índice geral do mercado acionário: R i = α i + β i R m

6 Modelo de Índice Único R i = α i + β i R m Componente que independe do mercado Componente que depende do mercado α i = a i + e i Elemento aleatório, tem valor esperado igual a zero R i = α i + β i R m + e i São variáveis aleatórias, com distribuição de probabilidades, variância e desvio padrão (σ ei ; σ m )

7 Pressupostos do Modelo de Índice Único A análise de regressão garante que e i não seja correlacionado com R m cov e i R m = E e i 0 R m R m = 0 O modelo de índice único vale apenas com certos pressupostos. A pressuposição essencial é que e i é independente de e j. E e i e j = 0 Isso implica em a única razão para as ações se moverem juntas é a resposta conjunta às variações do mercado. Entretanto, é uma aproximação da realidade, nada no método de regressão garante isso.

8 Retorno Esperado E[R i ] = E[α i + β i R m + e i ] E[R i ] = E[α i ] + E[β i R m ] + E[e i ] E[R i ] = α i + β i R m

9 Variância do Retorno σ i 2 = E R i R i 2 σ i 2 = E α i + β i R m + e i α i + β i R m 2 Rearranjando e notando que os α se cancelam: σ i 2 = E β i R m R m + e i 2 Elevando ao quadrado os termos entre colchetes: σ i 2 = β i 2 E R m R m 2 + 2β i E e i R m R m + E e i 2 Como, por pressuposição E e i R m R m = 0:

10 Variância do Retorno σ i 2 = β i 2 E R m R m 2 + 2β i E e i R m R m + E e i 2 Como, por pressuposição E e i R m R m = 0: σ i 2 = β i 2 E R m R m 2 + E e i 2 σ 2 i = β 2 i σ 2 2 m + σ ei

11 Covariância entre dois ativos quaisquer σ ij = E R i R i R j R j σ ij = E α i + β i R m + e i α i + β i R m. α j + β j R m + e j α j + β j R m σ ij = E β i R m R m + e i β j R m R m + e j σ ij = β i β j E R m R 2 m + β j E e i R m R m + β i E e j R m R m + E e i e j σ ij = β i β j E R m R m 2 σ ij = β i β j σ m 2

12 Decomposição dos retornos de um ativo β i = 1,5 é o valor que separa o retorno de mercado do retorno do singular do ativo, tornando zero a covariância entre R m e e i. R i = α i + β i R m = 2 + 1,5 4 = 8 σ 2 i = β 2 i σ 2 m + σ 2 ei = 1, ,8 = 20,8

13 Retorno Esperado e Variância de uma carteira Retorno esperado R P = X i R i R P = X i α i + X i β i R m Variância σ P 2 = σ P 2 = X i 2 β i 2 σ m 2 + X i 2 σ i 2 + j=1 j i j=1 j i X i X j σ ij X i X j β i β j σ m 2 + X 2 2 i σ ei

14 Retorno Esperado e Variância de uma carteira Para estimar retorno e risco de uma carteira é preciso: uma estimativa de α i para cada ação, β i para cada ação, σ i 2 para cada ação e, o retorno esperado R m e variância σ m 2 do mercado. Um total de estimativas. Para uma carteira de 150 ativos isso representa 452 estimativas, ao invés das sem a estrutura simplificada. Uma alternativa é estimar retorno esperado, variância e beta de cada ativo e a variância do retorno do mercado. Isso dá estimativas.

15 Características do Modelo de Índice Único O beta e o alfa de uma carteira β P = X i β i α P = O retorno da carteira pode então ser escrito: X i α i R P = α P + β P R m Sendo P a carteira de mercado teremos que ter α P = 0 e β P = 1 para que R P = R m. Portanto, o beta do mercado é igual a 1. A expressão do risco de uma carteira pode ser reescrita (fazendo i = j no duplo somatório): σ P 2 = j=1 X i X j β i β j σ m 2 + X 2 2 i σ ei

16 Características do Modelo de Índice Único Rearranjando os termos: σ P 2 = O risco da carteira pode então ser escrito: X i β i j=1 O risco de uma carteira igualmente ponderada será: σ P 2 = β P 2 σ m 2 + X j β j σ m 2 + X 2 2 i σ ei X 2 2 i σ ei σ P 2 = β P 2 σ m σ 2 ei = 1/ vezes o risco residual médio

17 Características do Modelo de Índice Único À medida que aumenta o no. de ativos na carteira, a importância 1 σ 2 ei do risco residual médio 1 diminui drasticamente. O risco que não é eliminado é o associado ao termo β P. Se o risco residual se aproxima de zero o risco da carteira pode ser escrito: σ P = β P 2 σ m = β P σ m = σ m X i β i Portanto, a medida da contribuição de um ativo para o risco de uma carteira diversificada é β i.

18 Decomposição do Risco σ 2 i = β 2 i σ 2 2 m + σ ei σ 2 ei se aproxima de zero à medida que a carteira aumenta de tamanho. É o risco diversificável. β i 2 σ m 2 não diminui à medida que aumenta. Como σ m 2 é igual para todos os ativos, β i é a medida do risco não diversificável do ativo. β i é muitas vezes usado como medida do risco de um ativo.

19 Estimativas de Betas

20 Estimativa de Betas Históricos Através de diagramas de dispersão e regressão linear β i = σ im 2 σ = t=1 R it R it R mt R mt m t=1 R mt R 2 mt α i = R it β i R mt São estimativas. Podem não ser estacionários no tempo.

21 Exatidão dos Betas Históricos Blume (1970) e Levy (1971): em que medida o beta de um período se relacionava com o beta do período seguinte, examinando carteiras de diferentes tamanhos

22 Ajustamento de Estimativas Históricas O beta estimado é função do verdadeiro beta subjacente e do erro amostral; Uma estimativa alta aumenta a chance de um erro amostral positivo, e uma estimativa baixa a de um erro amostral negativo; Se esse cenário é correto deve-se esperar que os betas tendam a convergir para 1 em períodos sucessivos; Estimativas muito maiores que 1 seriam seguidas por betas mais próximos de 1 (mais baixas), e estimativas de betas abaixo de 1 seriam seguidas por betas mais altos.

23 Ajustamento de Estimativas Históricas Evidências foram apresentadas por Blume (1975) e Levy (1971)

24 A técnica de Blume Tenta corrigir os betas históricos capturando essa tendência a estar mais próximo de 1; Blume (1975) mediu betas em dois períodos consecutivos e fez uma regressão do segundo período em relação ao primeiro: β i2 = 0, ,677β i1 A equação reduz valores altos e aumenta valores baixos. A técnica de Blume resulta em uma extrapolação contínua da tendência de aumento dos betas.

25 A técnica de Vasicek O ajustamento depende do tamanho da incerterza (erro amostral) em relação ao beta. Vasicek (1973) utiliza como ponderação a variação dos betas históricos de uma amostra de ações σ 2 β1 no perído 1 e a variação na estimativa de beta de uma determinada ação i medida no período 1, σ 2 βi1. β i2 = 2 σ βi1 σ 2 + σ β 1 βi1 2 β σ β 1 σ σ β i1 β 1 βi1

26 Precisão do beta ajustado Klemkosky e Martin (1976) testaram as duas técnicas ao longo de 3 períodos de 5 anos para uma ação e uma carteira com 10 ações; As duas técnicas produziram previsões mais exatas dos betas futuros do que os betas sem ajustamento; Entretanto, entre a técnica bayesiana e a de Blume não foi possível identificar claramente qual a melhor. Outra forma de testar os betas é avaliar sua capacidade de prever a estrutura de correlações entre ações!!

27 Betas como previsores de coeficientes de correlação ρ ij = σ ij = β iβ j σ m σ i σ j σ i σ j Elton, Gruber e Ulrich (1978) compararam: A matriz de correlações históricas; Previsões da matriz a partir de betas históricos do período anterior; Idem anterior utilizando a técnica de Blume para ajuste dos betas históricos; Idem anterior utilizando a técnica de Vasicek. 2

28 Betas como previsores de coeficientes de correlação Elton, Gruber e Ulrich (1978) conclusões: A matriz de correlações históricas foi a pior técnica; O modelo de índice único funciona melhor que o conjunto completo de dados históricos; A comparação entre as três técnicas de previsão de betas é mais ambígua.

29 Erros de previsão de betas Modelo de índice único: Como pressupõe que a única fonte de correlação é a resposta ao mercado, quando há outras fontes de correlação como por exemplo setoriais, se essa correlação é positiva o beta será subestimado. Técnica de Blume: Como ajusta o beta me relação a 1 tende a aumentar o coeficiente de correlação médio. Como o coeficiente de correlação é o produto de dois betas o produto tende a ser maior. Técnica de Vasicek: Tende a puxar os coeficientes de correlação médios para baixo.

30 Resumo: por que estimar betas? Para estimar betas futuros; Para gerar coeficientes de correlação necessários à solução da otimização de carteiras. Ao prever betas utilize uma das técnicas de ajustamento (Blume ou Vasicek); ão é clara a preferência de uma ou outra; Para estimar a matriz de correlações a partir de betas, qualquer técnica trará tendenciosidades; Qualquer das 3 estimativas (índice único, Blume ou Vasicek) é melhor que a matriz de correlações histórica; Os autores recomendam fazer o ajustamento na previsão média, neste caso a técnica bayesiana tem melhor desempenho.

31 Betas Fundamentais O risco de uma firma depende de fundamentos operacionais e de mercado; Beaver, Kettler e Scholes (1970) examinaram sete variáveis e a relação com o beta: Distribuição de dividendos (-); Crescimento dos ativos (+); Alavancagem (+); Liquidez (-); Tamanho do ativo (-); Variabilidade dos rendimentos (+); Beta contábil (+).

32 Betas Fundamentais e Históricos Betas Históricos: Vantagens: Medem a resposta de cada ação aos movimentos do mercado; Desvantagens: Mudanças em características das companhias demoram a ter efeito nas estimativas Betas Fundamentais: Vantagens: Respondem mais rapidamente a mudanças nas características das companhias. Desvantagem: Pressupõe que a sensibilidade de todos os betas a uma variável fundamental subjacente é a mesma.

33 O Modelo de Mercado Idêntico ao Modelo de Índice Único, exceto que não se pressupõe que cov(e i, e j ) = 0. Relação entre retornos e retorno de mercado: R i = α i + β i R m + e i Retorno esperado para qualquer ação: R i = α i + β i R m Como não pressupõe que todas as covariâncias entre ações se devem à covariância comum com o mercado, as expressões para risco da carteira são diferentes e mais complexas do que as resultantes do Modelo de Índice Único. A estimativa do beta, entretanto, vale para ambos os moedelos.