ECONOMETRIA. Prof. Patricia Maria Bortolon, D. Sc.

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1 ECONOMETRIA Prof. Patricia Maria Bortolon, D. Sc.

2 Cap. 11 Heterocedasticidade: o que acontece se a variância do erro não é constante? Fonte: GUJARATI; D. N. Econometria Básica: 4ª Edição. Rio de Janeiro. Elsevier- Campus, 006

3 1. Qual é a natureza da heterocedasticidade?. A multicolinearidade é realmente um problema? 3. Quais são as suas consequências? 4. Como é possível detectá-las? 5. Quais são as medidas corretivas?

4 A natureza da Heterocedasticidade Homo = igual; cedasticidade = espalhamento E u i = σ, i = 1,,, n homocedástico E u i = σ i, i = 1,,, n heterocedástico Exemplo: poupança como função da renda pessoas com mais renda poupam mais, mas, com maior variabilidade

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6 Razões para ocorrência 1. Modelos de aprendizagem pelo erro: no. de defeitos, no. de erros em faturas. Exemplo da renda e política de dividendos: pessoas com maior renda e empresas com maior lucro terão maior discricionariedade na definição de poupança e política de dividendos 3. Problemas na especificação do modelo (violação da premissa 9) como omissão de variáveis podem parecer heterocedasticidade. Ex.: na função demanda não incluir o preço dos produtos concorrentes os resíduos podem dar a impressão de que a variância não é constante

7 Razões para ocorrência 4. Dados discrepantes ou outliers:

8 Razões para ocorrência 5. Assimetria na distribuição dos regressores. Ex.: renda, riqueza, escolaridade Mais comum em dados em corte transversal. Variedade de tamanhos de empresas por exemplo podem causar heterocedasticidade. Analisar exemplo da tabela 11.1

9 Estimação dos MQO na presença de heterocedasticidade Y i = β 1 + β X i + u i var β = σ x i homocedástico var β = x i σ i x i heterocedástico

10 Estimação dos MQO na presença de heterocedasticidade β é ainda um estimador linear; é não tendencioso; é consistente ( β converge para β à medida que o tamanho da amostra aumenta); NÃO é eficiente (não é o estimador com variância mínima na classe dos estimadores não tendenciosos); A variância mínima é diferente de x i σi x i

11 O método dos mínimos quadrados generalizados (MQG) Observar na tabela 11.1 como σ aumenta com o aumento do no. de empregados. A questão é: como dar maior peso às observações com menor variação? É o que faz o MQG Y i = β 1 + β X i + u i Para simplificar escreveremos: Y i = β 1 X 0i + β X i + u i Onde X 0i = 1 Supondo σ i conhecidas:

12 O método dos mínimos quadrados generalizados (MQG) Supondo σ i conhecidas: Y i X 0i X i u i = β σ 1 + β i σ 1 + β i σ 1 i σ i Y i = β 1 X 0i + β X i + u i var u i = E u i = E u i σ i = 1 σ i E(u i ) já que σ i é conhecido = 1 σ i (σ i ) já que E u i = σ i = 1 que é uma constante, logo, homocedástico

13 O método dos mínimos quadrados generalizados (MQG) MQO sobre o modelo transformado gera β 1 e β que são BLUE. MQG = MQO sobre variáveis transformadas de modo a satisfazer as premissas dos mínimos quadrados padrão. Definindo w i = 1 σ i var β = w i w i w i X i w i X i

14 O método dos mínimos quadrados generalizados (MQG) A diferença entre MQO e MQG MQO => u i = Y i β 1 β X i MQG => u i σ i = Y i σ i β 1 X 0i σ i β X i σ i w i u i = w i Y i β 1 X 0i β X i O peso atribuído a cada observação é inversamente a seu σ i. Estaremos dando maior peso às observações que se concentram em torno de sua média. Como esse SQR é uma ponderação por σ i, e esse SQR será minimizado para obter β 1 e β, esse método é um caso especial do MQG que é conhecido como MQP = Mínimos Quadrados Ponderados

15 Consequências do uso de MQO na presença de heterocedasticidade Se ignorarmos a heterocedasticidade e estimarmos β usando MQO e var β = σ x i essa variância poderá estar super ou subestimada porque quando há heterocedasticidade tendencioso de σ. u i n não é mais um estimador não β não é mais eficiente, ou seja, não tem variância mínima, logo, os intervalos de confiança serão mais amplos, facilitando a não rejeição de H 0. Os testes t e F não serão mais confiáveis. Solução: usar MQG Ver quadro na pag. 3 com os erros-padrão das 3 abordagens.

16 Detecção da heterocedasticidade Em ciências sociais há pouco controle sobre experimentos Em geral temos um Y i para um X i Não é possível obter a variância do erro em X i se só há uma observação para aquele X i Como detectar? Métodos informais: Natureza do problema: (i) exemplo da poupança e renda, (ii) em dados de corte transversal se as unidades são muito heterogêneas Método gráfico: (i) u i x Y i ; (ii) u i x X i

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18 Métodos formais de detecção Teste de Park σ i = σ X 1 β e v i lnσ i = lnσ + βlnx i + v i ln u i = α + βlnx i + v i Se β for significativo há heterocedasticidade O teste é um procedimento em duas etapas: (i) estima-se a regressão por MQO sem levar em conta a heterocedasticidade e obtemos os u i, e em (ii) estima-se a regressão do teste. Crítica: o termo de erro v i pode não atender aos pressupostos de MQO e ser ele próprio heterocedástico. O método pode ser estritamente exploratório. Ver arquivo Tabela11-1_Parker e Glejser.txt

19 Métodos formais de detecção Teste de Glejser Sugere fazer regressão dos valores absolutos de u i contra a variável X. Sugere vários modelos. Vamos testar: u i = β 1 + β X i + v i É um teste que deve ser aplicado a grandes amostras. Ver arquivo Tabela11-1_Parker e Glejser.txt

20 Métodos formais de detecção Teste de Breusch Pagan Godfrey Y i = β 1 + β X i + + β k X ki + u i Suponha que a variância do erro seja descrita como: σ i = f(α 1 + α Z i + + α m Z mi ) Os Xs podem servir como Zs. O teste BPG testa se α 1 = α = = α m = 0 Se isso ocorre σ i = α 1 e portanto homocedástico É um teste para grandes amostras Sensível à premissa de normalidade de u i se a amostra é pequena Ver arquivo testeheteroc_bpg.txt

21 Teste de White Métodos formais de detecção Não depende da premissa de normalidade Y i = β 1 + β X i + β 3 X 3i + u i 1. Estimar a regressão e obter os resíduos. u i = α 1 + α X i + α 3 X 3i + α 4 X i + α 5 X 3i + α 6 X i X 3i + v i Usar em sempre os Xs, os mesmos ao quadrado e os produtos cruzados 3. Obter o R dessa regressão 4. Sob H 0 : homocedasticidade n. R ~ χ g.l. g.l. = no. de regressores (sem a constante) (assintoticamente) Ver arquivo testesheteroc3_white.txt

22 Métodos formais de detecção Teste de White 5. Se n. R > χ crit,α conclui-se que há heterocedasticidade Se o modelo tem muitos regressores a inclusão dos mesmos, seus termos ao quadrado e os cruzados podem consumir muitos g.l. Ver arquivo testesheteroc3_white.txt

23 Providências corretivas Quando σ i é conhecido: usar o método dos mínimos quadrados ponderados Quando σ i não é conhecido: estimar os modelos com erros robustos a heterocedasticidade de White Obs.: ver premissas plausíveis sobre o padrão da heterocedasticidade nas páginas 337 a 341