ECONOMETRIA. Prof. Patricia Maria Bortolon, D. Sc.

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1 ECONOMETRIA Prof. Patricia Maria Bortolon, D. Sc.

2 Cap. 6 Extensões do Modelo de Regressão Linear de Duas Variáveis Fonte: GUJARATI; D. N. Econometria Básica: 4ª Edição. Rio de Janeiro. Elsevier- Campus, 2006

3 A regressão que passa pela origem Y i = β 2 X i + u i Exemplo: modelo de formação de preços de ativos da moderna teoria de portfólio (CAPM), na sua forma de prêmio de risco ER i r f = β i (ER m r f ) Para fins empíricos é muitas vezes expressa como: R i r f = β i (R m r f ) + u i ou R i r f = α i β i (R m r f ) + u i Variável dependente Variável independente

4 A regressão que passa pela origem β i é estimado a partir da linha característica: R it = α i + β i r mt + u i Então a teoria explicita que no modelo: R i r f = α i β i (R m r f ) + u i α i seja igual a zero.

5 A regressão que passa pela origem Aplicando MQO à FRA: Y i = β 2 X i + u i Encontramos: β 2 = X iy i 2 X i var β 2 = σ2 X i 2 σ 2 = u i 2 n 1

6 A regressão que passa pela origem... que comparadas às obtidas com o termo de intercepto: β 2 = x iy i 2 var β 2 = σ2 2 σ 2 = u 2 i x i x i n 2 Observamos as seguintes diferenças: Lidamos com variáveis brutas e não as ajustadas à média Graus de liberdade para cálculo de σ 2 = n 1 u i 0, consequentemente, a média das previsões será diferente da média das observações Y i = Y i + u i Y = Y + u Y Y

7 A regressão que passa pela origem Observamos as seguintes diferenças: O r 2 pode ser negativo. O r 2 convencional pode não ser adequado a esses modelos. Pode-se calcular, entretanto, o r 2 bruto que também atende a relação 0 < r 2 < 1, mas não deve ser comparado ao r 2 convencional. 2 r bruto = X i Y i 2 X i 2 Y i 2 Regressões pela origem só devem ser usadas se houver indicação teórica forte a priori Melhor estimar com intercepto, e se ele for não significativo estimar sem ele Além disso, omiti-lo desnecessariamente seria um erro de especificação violando a Premissa 9 do MLRC

8 Escalas e unidades de medida FRA: Y i = β 1 + β 2 X i + u i Seja: Y i = w 1 Y i X i = w 2 X i Y i = β 1 + β 2 X i + u i As relações entre as estimativas são: β 2 = w 1 w 2 β 2 var β 2 = w 1 w 2 2 β 1 = w 1 β 1 var β 1 = w 1 2 var β 1 σ 2 = w 1 2 σ 2 var β 2 r 2 xy = r2 x y Ver exemplos numéricos pag.139 e observação no topo da pag. 140

9 Regressão com variáveis padronizadas Y i = Y i Y X S i = X i X Y S X Média de X i e Y i é sempre 0 e desvio padrão sempre 1 Uma regressão com variáveis dependentes e independentes padronizadas terá sempre intercepto igual a zero Y i = β 1 + β 2 X i + u i = β 2 X i + u i Pois β 1 = Y β 2 X

10 Regressão com variáveis padronizadas Interpretação de β: Para cada aumento de 1 desvio padrão da variável independente a variável dependente aumenta β 2 desvios padrão. Qual a vantagem? Em modelos com mais do que um regressor podemos avaliar seus efeitos em uma mesma base. Os coeficientes passam a medir a força relativa dos vários regressores. Se um coeficiente padronizado for maior do que o outro regressor no mesmo modelo, então ele contribui mais para a explicação do regressando do que o segundo.

11 Modelos log-log (ou log-linear) Imagine o seguinte modelo de regressão exponencial: Y i = β 1 X i β 2 + e u i Que também pode ser expresso como: lny i = lnβ 1 + β 2 lnx i + u i Estimando por MQO o modelo: Y i = α + β 2 X i + u i Teremos: β 2 mede a elasticidade de Y em relação a X β 2 mede a variação percentual em Y para dada variação percentual (pequena) em X Uma dica para verificar se esse é um bom caminho é fazer o diagrama de dispersão lny x lnx, e ver se há sinais de relação linear

12 Modelos log-log (ou log-linear) Porque mede a elasticidade: lny = α + βlnx Derivando em relação a X cada um dos lados: d(lny) = 1 dy dx Y dx d(α + βlnx) = β 1 dx X Igualando: 1 dy Y β = X Y dx = β 1 X dy dx = dy Y dx X

13 Modelos Semilogarítmicos Modelos log-lin Ex: se quisermos avaliar a taxa de crescimento de uma variável Y t = Y r t onde r = taxa de crescimento composta ou geométrica lny t = lny 0 + t. ln(1 + r) β 1 β 2 t é a variável X: 1, 2, 3,... lny t = β 1 + β 2 t é o modelo de taxa de crescimento

14 Modelos Semilogarítmicos Modelos log-lin β 2 = ln 1 + r ln 1 + r = β 2 β 2 dá a taxa de crescimento instantânea (em um ponto no tempo) Para obter a taxa composta (ao longo de um período) 1 + r = e β 2 r = e β 2 1

15 Modelos Semilogarítmicos Se ao invés de log Y, faz-se a regressão com Y temos um modelo de tendência linear Y t = β 1 + β 2 t + u t Expressará uma variação absoluta e não relativa (no período)

16 Modelos Semilogarítmicos dy dx lny i β 2 = Taxa de crescimento de Y Semi-elasticidade de Y Modelos log-lin lny i = β 1 + β 2 X i + u i = dy dx β 1 + dy dx β 2X i dy 1 dx Y = β 2 β 2 = dy Y dx + dy dx u i Y Y X = variação % em Y variação absoluta em X

17 Modelos Semilogarítmicos Modelos lin-log Para conhecer a variação absoluta de Y dada uma variação percentual de X Y i = β 1 + β 2 lnx i + u i = dy + dy dy dx Y i β 2 = dx β 1 Y X X = dy dx = β 2 dx β 2lnX i 1 + dy dx u i X β 2 = Xdy dx = dy dx X variação absoluta em Y variação % em X Y = β X 2 X

18 Modelos Semilogarítmicos Modelos lin-log Y = β 2 X X Assim, para interpretar o efeito de X em Y num modelo linlog, é preciso multiplicar β 2 pela variação relativa de X, em geral = 1% ou 0,01, ou divide-se β 2 por 100.

19 Por que usar logaritmos? log são invariantes à escala de variáveis, pois medem variações percentuais Fornecem estimativa direta da elasticidade Em modelos com Y>0, a distribuição condicional é geralmente heterocedástica e assimétrica => ln (Y) atenua essas características A distribuição de ln (Y) reduz os efeitos dos outliers