INTRODUÇÃO A ECONOMETRIA

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1 INTRODUÇÃO A ECONOMETRIA Análise de regressão e uso do Eviews

2 Introdução O modelo de regressão linear se utiliza para estudar a relação que existe entre uma variável dependente e uma ou várias variáveis independentes. A forma geral é y i = f(x i1, x i2,..., x ik ) + ɛ i = β 1 x i1 + β 2 x i β k x ik + ɛ i, i = 1,..., n onde y é a variável dependente, x 1, x 2,..., x k são as variáveis independentes, k é o número de variáveis independentes no modelo e i denota as n observações da amostra.

3 Exemplo 01: Dados de Minutos Unidades 1, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 6, 7, 8, 9, 9, 10, 10 Minutos 23,29,49,64,74,87,96,97,109,119,149,145,154,166 Fonte: Chatterjee e Price (1991).

4 Exemplo 01: Dados de Minutos y i = β 1 + β 2 x i + ɛ t ŷ i = x i

5 Exemplo 01: Dados de Minutos Dependent Variable: MINUTO Method: Least Squares Date: 11/21/03 Time: 09:10 Sample: 1 14 Included observations: 14 Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C UNIDADE R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic)

6 Coeficientes da Regressão Os coeficientes do modelo, β, são estimados usando o método de mínimos quadrados ordinários (OLS) através da fórmula ˆβ = (x x) 1 x y β j mede a contribuição marginal da variável independente x j na variação da variável dependente y, mantendo fixas todas as outras variáveis. No exemplo 01: ŷ i = x i Unidade Minuto Minuto Estimado Variação

7 Exemplo 02: Dados de Consumo Dados: Renda pessoal disponível e Gasto de consumo entre , em bilhões de dólares de Modelo: y t = β 1 + β 2 x t + ɛ t, onde: y = Consumo, e x = Renda t = 1970,..., 1979 Ano Renda Consumo Fonte: Greene 3 o ed - pag.195

8 Exemplo 02: Dados de Consumo Dados de Consumo,

9 Exemplo 02: Dados de Consumo Dados de Consumo, y t = β 1 + β 2 x t + ɛ t, ŷ t = x t

10 Exemplo 02: Dados de Consumo Dependent Variable: CONSUMO Method: Least Squares Date: 11/26/03 Time: 23:26 Sample: Included observations: 10 Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C RENDA R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) 0.000

11 Análise dos coeficientes: β 1,..., β k são todos iguais a 0? F-statistic β 1 é igual a 0? ou β 2 é igual a 0? t-statistic Qualidade do ajuste: Algumas questões Quanto sucesso tive com o modelo? R-squared Há problemas com os resíduos? (hipóteses do OLS) Durbin-Watson stat É melhor que outros modelos? Akaike information criterion, Schwarz criterion

12 Exemplo 03: Dados de Investimento Year NomGNP NomInv CPI Intrate Fonte: Greene (3 ed). First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

13 Exemplo 03: Dados de Investimento onde: RealInv = β 0 + β 1 Tend + β 2 RealGNP + β 3 IntRate + β 4 Inflat RealInv = NomInv CPI 10 Tend = {1, 2,..., 15} RealGNP = NomGNP CPI 10 IntRate = Taxa de juros Inflat = Percentagem de variação do CPI (sendo 4,40 para 1968).

14 Exemplo 03: Dados de Investimento Dependent Variable: REALINV Method: Least Squares Date: 11/27/03 Time: 13:47 Sample: Included observations: 15 Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C TEND REALGNP INTRATE INFLAT R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic)

15 Exemplo 03: Dados de Investimento RealInv i = 0, , 0166 Tend + 0, 6703 RealGNP 0, 0024 IntRate + 0, 0001 Inflat (0, 054) (0, 002) (0, 054) (0, 001) (0, 001)

16 Exemplo 03: Dados de Investimento RealInv i = 0, , 0166 Tend + 0, 6703 RealGNP 0, 0024 IntRate + 0, 0001 Inflat (0, 054) (0, 002) (0, 054) (0, 001) (0, 001)

17 Análise dos Coeficientes: Teste de Hipóteses Passo 01: Definimos uma Hipótese Nula: H 0 : β j = 0 Passo 02: Calculamos a estatística do teste: t-stat = Passo 03: Analisamos o p-valor e rejeitamos ou não H 0. ˆβ σ( ˆβ) No exemplo 02: Dados de Consumo Passo 01: H 0 : β 2 = 0, i.e. o coeficiente da RENDA é zero? 0, 979 Passo 02: t-stat = = 30, 983 0, 032 Passo 03: p-valor = , então, rejeitamos H 0, i.e. o coeficiente da RENDA é diferente de zero ou estatisticamente significativo.

18 Exemplo 01: Dados de Minutos ŷ i = x i (t-stat) (1.240) (30.711)

19 Análise dos Coeficientes: Teste de Hipóteses Na prática, o output do Eviews mostra os valores de ˆβ, ˆσ( ˆβ), t-stat e p-valor. Então, se o valor de Prob é pequeno (p.e., menor de 0.05), dizemos que o coeficiente é diferente de zero e que a variável x está relacionada com y. No exemplo 03: Dados de Investimento Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C TEND REALGNP INTRATE INFLAT

20 Análise dos Coeficientes: Teste de Hipóteses Quando o modelo tem mais de uma variável independente, devese testar a seguinte hipótese: H 0 : β 1 = β 2 =... = 0 H 1 : pelo menos um dos β j é diferente de zero. A estatística do teste é F-stat Usamos o p-valor (Prob), para rejeitar ou não H 0. No exemplo 03: Dados de Investimento F-statistic Prob(F-statistic)

21 Coeficiente de Determinação: R 2 O R 2, mede o sucesso da regressão em prever os valores da variável dependente na amostra. R 2 é a fração da variância da variável dependente, y, explicada pelas variáveis independentes. 0 < R 2 < 1. O valor 1 indica um ajuste perfeito. Nos exemplos anteriores: R 2 Exemplo 01: Exemplo 02: Exemplo 03:

22 Coeficiente de Determinação: R 2 ajustado R 2 sempre cresce com o aumento de variáveis independentes. No caso extremo, podemos obter R 2 = 1 incluindo tantas variáveis independentes quanto observações tem a amostra. O R 2 -ajustado penaliza o R 2 pela incorporação de variáveis independentes que não contribuem com o poder explicativo do modelo. O R 2 -ajustado é calculado por: R 2 = 1 ( 1 R 2) N 1 N k O R 2 -ajustado é sempre menor que o R 2 e pode diminuir com o aumento de variáveis independentes no modelo.

23 Outras medidas O desvio padrão da regressão (Standard Error of the Regression) é uma medida calculada a partir da variância estimada para os resíduos. É calculado por: ˆɛ ˆɛ s.e reg = N k, ˆɛ = y x ˆβ A soma dos resíduos ao quadrado (Sum of Squared Residuals) é dado por: ˆɛ ˆɛ = N ( 2 yi x i ˆβ) i=1

24 Outras medidas O log da verossimilhança (Log Likelihood) calculado pelo Eviews corresponde ao valor do log da verossimilhança (assumindo erros normais) avaliado nos coeficientes estimados. l = T [ (ˆɛ ˆɛ ) ] 1 + log(2π) + log 2 N Média e desvio padrão de y (Mean and Standard Deviation (S.D.) of the Dependent Variable) ȳ = N i=1 y i N σ 2 y = N i=1 (y i ȳ) 2 N 1

25 Critério de Informação O AIC (Akaike Information Criterion) é usado na seleção de modelos: AIC = 2l N + 2k N onde k é o número de parâmetros estimados, n é o número de observações e l é o valor do log da verossimilhança usando os k parâmetros estimados. O SC (Schwarz Criterion) é uma alternativa ao AIC. A penalidade pelo número de coeficientes adicionais é maior: SC = 2l N + k log N N O modelo com o menor AIC (SC) é considerado o melhor entre os modelos comparados.

26 Comparação de Modelos No exemplo 03: Dados de Investimento RealInv i = 0, , 0166 Tend + 0, 6703 RealGNP 0, 0024 IntRate + 0, 0001 Inflat (0, 054) (0, 002) (0, 054) (0, 001) (0, 001) RealInv i = 0, Tend + 0, 6704 RealGNP 0, 0024 IntRate (0, 051) (0, 002) (0, 051) (0, 001) Medida Modelo I Modelo II R-squared Adjusted R-squared Akaike info criterion Schwarz criterion

27 Estatística Durbin-Watson A estatística DW (The Durbin-Watson statistic) mede a correlação serial nos resíduos. É dada por DW = N i=2(ˆɛi ˆɛ i 1 ) 2 N i=2 ˆɛ2 i Como regra de bolso, se o DW é menor que 2, existe evidencia de correlação serial positiva. Se o DW é proximo de 1, está indicando a presença de autocorrelação serial nos resíduos.