CÁLCULO I. Denir o trabalho realizado por uma força variável. Denir pressão e força exercidas por um uido.

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1 CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Aula n o 3: Aplicações da Integral: Comprimento de Arco. Trabalho. Pressão e Força Hidrostática. Objetivos da Aula Denir comprimento de arco. Denir o trabalho realizado por uma força variável. Denir pressão e força exercidas por um uido. 1 Comprimento de Arco Suponha que tenhamos uma curva C denida pela equação y = f(x), onde f é contínua em [a, b], como ilustrado abaixo: Se a curva fosse uma poligonal poderíamos calcular seu comprimento somando os comprimentos dos segmentos que a formam, mas no caso acima, não podemos proceder dessa forma. Como sabemos calcular o comprimento de poligonais, então podemos aproximar a curva por uma poligonal e assim, teríamos uma aproximação para o comprimento da curva. Sendo assim, subdividimos o intervalo [a, b] em n subintervalos de comprimento x com extremidades a = x, x 1,..., x n = b e tomamos os pontos P i = (x i, y i ), i = 1,,..., n. Ao ligar os pontos P 1, P,..., P n obtemos uma poligonal como abaixo: Sabendo que a distância entre os pontos P i 1 = (x i 1, y i 1 ) e P i = (x i, y i ) é dada por então o comprimento da poligonal é dado por P i 1 P i = (x i x i 1 ) + (y i y i 1 ) L i = n P i 1 P i 1

2 Cálculo I Aula n o 3 que é uma aproximação para o comprimento L da curva. Aumentando a quantidade de pontos que compõem a poligonal temos uma aproximação cada vez melhor para o valor de L. Desse modo, podemos denir lim n + n P i 1 P i Agora, sabemos que x = x i x i 1 e tomando y = y i y i 1, temos que P i 1 P i = (x i x i 1 ) + (y i y i 1 ) = ( x) + ( y) Pelo Teorema do Valor Médio para a função f no subintervalo [x i 1, x i ], descobrimos que existe um número c i (x i 1, x i ) tal que Logo, f(x i ) f(x i 1 ) = f (c i )(x i x i 1 ) y i y i 1 = f (c i )(x i x i 1 ) y = f (c i ) x P i 1 P i = ( x) + ( y) = ( x) + [f (c i )] ( x) = x 1 + [f (c i )] Logo, o comprimento da curva y = f(x) pode ser denido por lim n + n b 1 + [f (c i )] x = 1 + [f (x)] dx Esta integral existe desde que f seja contínua em [a, b]. Denição 1 (Comprimento de Arco). Se f for contínua em [a, b], então o comprimento da curva y = f(x), a x b é: b 1 + [f (x)] dx. a Se usarmos a notação de Leibniz para as derivadas, podemos escrever a fórmula do comprimento de arco da seguinte forma: b ( ) dy 1 + dx. a dx Exemplo 1. Encontre o comprimento de arco da curva y = x + 1, com 1 x 4. a Temos que: 1 + dx = 5 dx = Exemplo. Encontre o comprimento de arco da curva, y = x, com x 4. Temos que: 1 + 4x dx = 1 + (x) dx Fazendo x = tg(u), temos que dx = sec (u) du. Assim: x dx = + (tg(u)) dx = sec 3 (u) du = 1 (sec(u)tg(u) + ln sec(u) + tg(u) ). 4 Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior

3 Cálculo I Aula n o 3 Segue que: 1 + 4x dx = 1 4 (sec(u)tg(u) + ln sec(u) + tg(u) ) = 1 4 (x 1 + 4x + ln( 1 + 4x ) + x) + C Portanto: 1 + 4x dx = [ 1 4 (x 1 + 4x + ln( ] x ) + x) 16, 81. Exemplo 3. Encontre o comprimento de arco da curva, y = ln(sec(x)), com x π 4. Temos que: π tg (x) dx = sec(x) dx = [ln sec(x) + tg(x) ] π 4 = ln( + 1). Trabalho Considere uma partícula sobre a qual atua uma força constante F, sendo o movimento da partícula retilíneo e no sentido da força. Denição (Trabalho). O trabalho W realizado pela força W = F d, F sobre a partícula é medido por onde d é a distância percorrida pela partícula. Se F é medida em Newtons (N ) e a distância em metros (m), então a unidade de trabalho é newtonmetro (N m), que é chamada de Joule (J). Pela a Lei de Newton, temos que: onde a é a aceleração da partícula. F = m a, Exemplo 4. Aplica-se uma força horizontal constante de 4 N para empurrar uma caixa pesada por uma distância de 5 m. Qual o trabalho realizado? Usando a denição de Trabalho, temos que: W = F d = 4 5 = J. Exemplo 5. Quanto trabalho é exercido ao se levantar uma barra de kg por uma distância vertical de 15 m? Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior 3

4 Cálculo I Aula n o 3 Para levantar a barra deve-se exercer uma força igual e de sentido contrário à força exercida pela gravidade, que pela a Lei de Newton é F = m g, onde g é a aceleração da gravidade. Assim, W = F d = m g d = 9, 8 15 = 94 J. Considere agora uma partícula que se move ao longo de uma reta sob a ação da força variável e contínua F (x). Queremos determinar o trabalho realizado por esta força para deslocar a partícula de um ponto x = a ao ponto x = b. Como a força é variável, não podemos aplicar a denição de trabalho dada acima. Vamos dividir o intervalo [a, b] em n subintervalos com extremidades x, x 1, x,..., x n e com larguras iguais a x = b a n. Se W i é o trabalho realizado pela força para deslocar a partícula no intervalo [x i 1, x i ], então W = n W i E o problema recai em calcular uma aproximação para W i. Para tal, escolhe-se em cada subintervalo um ponto arbitrário: x 1 [x, x i ], x [x 1, x ], x 3 [x, x 3 ],..., x n [x n 1, x n ] e assumimos que para deslocar a partícula ao londo do intervalo [x i 1, x i ] a força é constante e igual a F (x i ). Assim, W i F (x i ). x e W n F (x i ). x. tornando-se esta aproximação tão melhor, quanto menor for x. Assim, deni-se: ( n ) b W = lim F (x x i ). x = F (x) dx. a Exemplo 6. Uma partícula é movida ao longo do eixo x por uma força que mede F (x) = 1 (1 + x) N em um ponto a x metros da origem. Calcule o trabalho realizado para mover a partícula da origem até 9 metros. Como a força que atua sobre a partícula a x metros da origem é dada por F (x) = 1 (1 + x), para deslocá-la do ponto x = ao ponto x = 9, realiza-se o trabalho dado por: W = 9 [ 1 (1 + x) dx = 1 ] 9 = 9 J. (x + 1) Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior 4

5 Cálculo I Aula n o 3 Exemplo 7. A Lei de Hooke arma que a forçaa necessária para manter uma mola esticada x unidades além de seu comprimento natural é proporcional a x, isto é, F (x) = kx, onde k > é a constante da mola. Suponha que J de trabalho sejam necessários para esticar uma mola de seu comprimento natural de 3 cm para 4 cm. Quanto trabalho é necessário para esticar a mola de 35 cm para 4 cm? Pela lei de Hooke, a força que atua sobre a mola é dada por F (x) = kx, onde x é o comprimento da mola além de,3 m, que é seu comprimento natural. Como esta força é variável, então o trabalho necessário para esticar a mola de,35 m a,4 m (x =, 5 m a x =, 1 m) é dado por: W =,1,5 kx dx = [ ] k,1 x = 375k 1 5 J,5 Resta então determinar o valor da constante k da mola. Como =,1 kx dx = [ k x ],1 k = Assim: W = , 4 J. Exemplo 8. Um corda pesada, com 5 pés de comprimento e densidade de peso, 5 lb/pé está pendurada sobre a borda de um edifício alto. Qual o trabalho necessário para puxar a corda até o topo do edifício? Consideraremos a origem dos eixos cartesianos como sendo no topo do edifício e o eixo x apontando para baixo. A partir disso, dividimos a corda em pequenos pedaços de comprimento x, o que resulta em uma divisão do intervalo [, 1] em subintervalos de comprimento x e escolhemos um pedaço genérico, na posição x i, e queremos determinar o trabalho necessário para elevar tal pedaço até o topo do edifício. Sendo assim, notemos que a força que atua sobre o cabo é o próprio peso. Logo, no pedaço em questão o elemento representativo da força é F i = Peso = Densidade de peso Comprimento =, 5. x Observamos também que no i-ésimo subintervalo todo os pedaços são içados por aproximadamente a mesma distância, a saber x i. Logo, o trabalho necessário para içar o i-ésimo pedaço de corda em questão até o topo é de W i, 5 x.x i Dessa forma, o trabalho necessário para içar o cabo todo até o topo é de W = 5 [ x =, 5, 5x dx ] 5 =, 5 5 = 65 lb-pé Exemplo 9. Um tanque esférico de raio 8 pés está cheio até a metade de óleo que possui peso especíco 5lb/pé 3. Determine o trabalho requerido para passar o líquido por um orifício que está no topo do tanque. Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior 5

6 Cálculo I Aula n o 3 Consideraremos o tanque disposto da seguinte forma nos eixos: com centro no ponto (, 8), logo, possui equação: x +(y 8) = 8. Subdividindo o tanque em discos, tomamos um deles na posição y com altura y e raio x como mostrado acima. No líquido, a força atuante é o peso e como temos a informação do peso especíco, então: Como o volume do disco é π.r.h, temos que Da equação da esfera, temos que Logo, F i = Peso = Peso Volume Volume = Peso especíco Volume = 5 Volume F i 5.π.x y x + (y 8) = 8 x = 8 (y 8) x = 16y y F i 5π(16y y ) y O deslocamento necessário para que o disco de óleo na posição y passe pelo orifício é 16 y, logo, o trabalho para realizar tal tarefa é: W i 5π(16y y )(16 y) y Como o tanque está cheio pela metade então o trabalho requerido para passar o disco de óleo pelo orifício é dado por 8 W = 5π(16y y )(16 y) dy 8 = 5π (56y 3y + y 3 ) dy = 5π [18y 3y3 3 = 5π [ = 563π lb/pé 3 ] 8 + y4 4 ] 8 Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior 6

7 Cálculo I Aula n o 3 3 Pressão e Força Hidrostática Dentre as muitas aplicações do cálculo integral à física e à engenharia, consideramos uma aqui: a força em função da pressão da água. Nossa estratégia é fragmentar a quantidade física em um grande número de pequenas partes, aproximar cada pequena parte, somar os resultados, tomar o limite e, então, calcular a integral resultante. Denição 3 (Pressão). Se uma força de magnitude F for aplicada a uma superfície de área A, então denimos a pressão P exercida pela força sobre a superfície como sendo P = F A. Suponha que uma placa horizontal na com área de A metros quadrados seja submersa em um uído de densidade ρ quilogramas por metro cúbico a uma profundidade d metros abaixo da superfície do uído. O uido diretamente acima da placa tem volume V = Ad, assim, sua massa é m = ρv = ρad. A força exercida pelo uído na placa é, portanto: F = mg = ρgad em que g é a aceleração da gravidade. Sendo assim: P = F A = ρgd. Um princípio importante da pressão de uídos é o fato vericado experimentalmente de que em qualquer ponto no líquido a pressão é a mesma em todas as direções. Assim, a pressão em qualquer direção em uma profundidade d em um uido com densidade de massa ρ é dada por: P = ρgd Isso nos ajuda a determinar a força hidrostática contra uma placa vertical, parede ou barragem em um uido. Este não é um problema simples, porque a pressão não é constante, mas aumenta de acordo com a profundidade. Suponha que uma superfície plana esteja imersa verticalmente em um uido de densidade ρ, e que a parte submersa sa superfície se estenda de x = a até x = b, ao longo da parte positiva do eixo x. Para a x b, seja w(x) a extensão da superfície e h(x) a profundidade do ponto x. A ideia básica para resolver este problema é dividir a superfície em faixas horizontais, cujas áreas possam ser aproximadas por áreas de retângulos. Essas aproximações de áreas, nos permitirão criar uma soma de Riemann que aproxime a pressão total na superfície. Tomando um limite das somas de Riemann, obteremos uma integral para F. Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior 7

8 Cálculo I Aula n o 3 Denição 4. Suponha que uma superfície plana esteja imersa verticalmente em um uido com densidade ρ, e que a parte submersa sa superfície se estenda de x = a até x = b ao longo do eixo x cujo sentido positivo seja para baixo. Para a x b, suponha que w(x) seja a extensão da superfície e que h(x) seja a profundidade do ponto x. Denimos, então, a força do uido sobre a superfície por F = b a ρgh(x)w(x) dx. Exemplo 1. A face de um dique é um retângulo vertical com altura de 1 pés e extensão de pés. Encontre a força total que o uido exerce sobre a face, quando a superfície da água está no nível do topo do dique. Considere o peso especíco do uido igual a 6, 4 lb/pé 3. Introduzimos um eixo x com origem na superfície da água, conforme mostra a gura abaixo: Em um ponto x sobre esse eixo, a extensão do dique é de w(x) = pés e a profundidade h(x) = x pés. Assim: F = 1 = 148.6, 4.x dx 1 [ x = 148 = 6.4.lb. Exemplo 11. Uma placa com o formato de triângulo isósceles, com base de 1 pés e altura 4 pés, é imersa x dx ] 1 verticalmente em óleo de máquina, conforme mostra a gura a seguir. Encontre a força F que o uido exerce sobre a superfície da placa se a densidade de peso (peso especíco) do óleo for 3 lb/pé 3. Vamos introduzir um eixo x, conforme mostra a gura abaixo. Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior 8

9 Cálculo I Aula n o 3 Por semelhança de triângulos, a extensão da placa, em pés, a uma profundidade h(x) = x + 3 pés, satisfaz w(x) 1 = x 4 w(x) = 5 x. Assim: F = = 75 ( 5 3.(3 + x). (3x + x ) dx [ 3x = 75 + x3 3 = 34 lb. ] 4 ) x dx Resumo Faça um resumo dos principais resultados vistos nesta aula. Aprofundando o conteúdo Leia mais sobre o conteúdo desta aula nas seções 6.4, 8.1 e 8. do livro texto. Sugestão de exercícios Resolva os exercícios das seções 6.4, 8.1 e 8. do livro texto. Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior 9