Trabalho de Equações Diferenciais Ordinárias

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1 Universidade Tecnológica Federal do Paraná Diretoria de Graduação e Educação Prossional Departamento Acadêmico de Matemática Trabalho de Equações Diferenciais Ordinárias Data de Entrega: 16/12/2015 Nome: Matrícula: Turma: Apresente as contas de modo organizado e, se necessário, justique sua resposta. 1. Determine a envoltória de um segmento de reta, de comprimento constante η, cujas extremidades permanecem sobre duas retas perpendiculares. 2. Considere a equação de Lagrange y = ( 1 + dy ) x + ( ) 2 dy (a) Encontre sua solução geral na forma paramétrica. 3. Faça o que se pede. (a) Mostre que a equação diferencial y +P (x)y = Q(x)y ln y pode ser resolvida por meio da mudança de variável v = ln y. (b) Resolva a equação diferencial xy = 2x 2 y + y ln y. 4. Suponha que um tanque contendo um determinado líquido tem um dreno perto do fundo. Seja h(t) a altura da superfície acima do dreno no instante t. O princípio de Torricelli arma que a velocidade v do uxo no dreno no instante t é igual à velocidade de uma partícula em queda livre (sem atrito) de uma altura h. (a) Prove que v = 2gh, onde g é a aceleração da gravidade. (b) Igualando a taxa do uxo no dreno à taxa de variação da quantidade de líquido no tanque, mostre que h(t) satisfaz a equação A(h) dh dt = αa 2gh, onde A(h) é a área da seção reta do tanque à altura h e a é a área da abertura do dreno. A constante α (0, 1) é o coeciente de contração que considera o fato observado que a seção reta do jato de líquido uindo é menor do que a.

2 5. Um tanque hemisférico tem raio do topo 4 pés e no instante t = 0 s está cheio de água. Um buraco circular com diâmetro de 2, 54 cm é aberto no fundo do tanque. Desprezando o atrito no buraco que possa causar uma redução na taxa de uxo e a contração do líquido no orifício, prove que o tempo necessário para que toda a água do tanque tenha escoado é 35 min 50 s. 6. Mostre que y x dy x 2 y 2 = 1 ( ) 2 d ln x y x + y. Em seguida, resolva a equação diferencial (x 3 xy 2 + y) + (y 3 x 2 y x) dy = Seja k R uma constante. Considere a equação diferencial de Riccati dy = y2 2 x 2 (a) Pode-se armar que φ(x) = x 1 3x 2 (x 3 + k) 1 é solução geral da equação? Justique. Sugestão: calcule φ (x) [φ(x) 2. (b) Sabendo que y 0 (x) = 2x 1 é solução da equação diferencial, determine sua solução geral. (c) Verique, por derivação, a validade do resultado obtido no item (b). (d) Um estudante arma que φ 0 (x) = x 1 é solução particular e outro, que φ 0 é solução singular, da equação diferencial. Ambos estão com razão ou apenas um deles está? Explique. 8. Considere a equação de Riccati y = P (x)y 2 + Q(x)y + R(x). (a) Mostre que a mudança de variável y = 1 P (x)u du, transforma a equação de Riccati na equação diferencial linear, de segunda ordem, [ d 2 u P (x) du 2 P (x) + Q(x) + P (x)r(x)u = 0. (b) Resolva, pelo método do item (a), a equação diferencial y xy 2 = 2y Considere a equação diferencial y(1 + 2xy) + x(1 2xy) dy = 0 (a) Pode-se armar que d ( x 1 y 1 ) = x 2 y 1 + x 1 y 2 y? Justique. (b) Determine, na forma implícita, a solução geral da equação. Sugestão: reescreva a equação de forma a utilizar o item (a). 10. Um tanque na forma de um cilindro circular reto, parcialmente cheio de água, é posto a girar sobre seu eixo de simetria, com velocidade angular constante ω. Que forma a supercie da água assume? 2

3 11. O movimento vertical de uma massa presa a uma mola é descrito pelo problema de valor inicial Determine o deslocamento vertical máximo. 12. Faça o que se pede. 1 d 2 x 4 dt + 2 dt + x = 0, x (0) = 4, x (0) = 2. (a) Use a transformação z = sen x para resolver a equação y + (tg x)y + (cos x) 2 y = Resolva a equação diferencial ordinária dada. Sugestão: use o método dos operadores, sempre que possível. (a) y (4) 12y (3) + 54y (2) 108y + 81y = 0. (b) y (4) + y (3) 3y (2) 5y 2y = 0. (c) y (4) + y (3) 3y (2) 5y 2y = e x. (d) y (3) + y (2) + y + y = xe x. (e) y (4) + y (3) = cos 4x. (f) y (3) y = x Considere a equação diferencial 4y + 36y = cossec 3x (a) Encontre sua solução geral. 15. Use o método de variação de parâmetros (de Lagrange) para resolver a equação diferencial ordinária dada. (a) y + a 2 y = cotg ax. (b) y + y = tg x. (c) y 2y + y = e x /x. (d) y + y = 1/ sen x. (e) y 2y = 4x 2 e x Determine as trajetórias ortogonais da família de circunferências x 2 + y 2 = 2ax. 17. A posição de um determinado sistema mola-mass satisfaz o problema de valor inicial 3 2 u + ku = 0, u (0) = 2, u (0) = v. Se observa-se que o período e a amplitude do movimento resultante são π e 3, respectivamente, determine os valores de k. 3

4 18. Considere a equação diferencial 4y = x 2 + ( ) 2 dy (a) Fazendo a mudança de variável p = dy encontre sua solução geral, dependente de p, em uma forma implícita: φ(x, p) = 0, ψ(y, p) = Considere a equação diferencial y x dy ( ) dy = sen (a) Encontre sua solução singular e sua solução geral. 20. (a) Mostre que y = 1 x é solução particular da equação diferencial (b) Calcular sua solução geral. dy = y2 2 x 2 (c) Verique, por derivação, a validade do resultado obtido no item (b). 21. Resolva a equação diferencial de Euler-Cauchy. (a) (2x + 1) 2 y 2(2x + 1)y 12y = 0. (b) x 3 y (3) + 5x 2 y (2) + 7xy + 8y = 0 (c) (2x + 3) 2 y + (2x + 3)y 2y = 24x Um bloco cúbico de lado l e densidade de massa por unidade de volume ρ está utuando em um uido com densidade de massa por unidade de volume ρ 0, onde ρ 0 > ρ. Se o bloco é mergulhado ligeiramente e depois solto, ele oscila na posição vertical. Supondo que se pode desprezar o amortecimento viscoso do uido e a resistência do ar, deduza a equação diferencial do movimento e determine o período do movimento. Sugestão: o princípio de Arquimedes arma que um objeto completa ou parcialmente submerso em um uido sofre a ação de uma força empurrando-o para cima (empuxo) de módulo igual ao peso do uido deslocado. 23. Determine a solução geral da equação de Airy y xy = 0 em série de potências de x. Encontre, se possível, uma relação de recorrência e escreva a série na forma (compacta) a n x n. n=n 0 4

5 24. Use o método dos coecientes indeterminados para resolver a equação diferencial dada. (a) y 2y + 5y = e x cos 2x. (b) y (4) y = 4x + 2xe x. (c) y 2y + 2y = e 2x (cos x 3 sen x). (d) y + y = cos 2x sen x. 25. De acordo com o método dos coecientes indeterminados, determine qual deve ser a forma da solução particular da equação y + 2y + 5y = 2xe x cos 2x + 4xe x sen x + 3e x 26. Dado o sistema de equações diferenciais, (a) encontre a solução complementar do sistema homogêneo associado; (b) ache a solução geral do sistema dado, usando variação de parâmetros; (c) verique, por derivação, a validade do resultado obtido no item (b). ( ) ( ) 2 1 sen 2t (a) X = X + e 2t. (b) (c) 4 2 [ x (t) y = (t) [ [ x (t) y (t) x (t) = 3x 5y + e t/2 y (t) = 3. 4 x y et/2 ( ) ( 3 1 3t (d) X = X e t 2 cos 2t + ). [ sec t Encontre uma solução geral do sistema X (t) = A X (t) + F (t), em que A e F (t) são dados. [ [ 4 2 t (a) A =, F (t) = t e 2t (b) A = 1 0 1, F (t) = sen t t (c) A = [ , F (t) = 28. Mostre que a série de potências [ sen 3t t ϕ (x) = a 0 {1 +. k=1. } x 2k, x > 0, 2 k k! [ (2k + 3) é solução da equação xy + 4y xy = 0, x > 0, em torno do ponto singular regular x = Preencha as lacunas de modo que o texto faça sentido: Mediante uma mudança de variável apropriada, a equação de Riccati pode ser transformada numa equação não-linear de, de ordem. Uma nova mudança de variável conduz então a uma equação diferencial, de ordem, que pode ser resolvida pela técnica do. 5

6 30. Encontre uma solução da equação xy + 3y xy = 0, x > 0, em série em torno do ponto singular regular x = 0. Encontre, se possível, uma relação de recorrência e escreva a série na forma (compacta) 31. Encontre uma solução da equação a n x n. x 2 y xy + (1 x) y = 0, x > 0, em série em torno do ponto singular regular x = 0. Encontre, se possível, uma relação de recorrência e escreva a série na forma (compacta) a n x n Para obter a solução geral da equação não-homogênea siga o seguinte procedimento: y xy y = sen x (1) (a) Substitua y (x) = + a n x n e a série de Maclaurin para sen x na equação (1) para obter (2a 2 a 0 ) + k=1 [(k + 2) (k + 1) a k+2 (k + 1) a k x k = ( 1) n (2n + 1)! x2n+1 (b) Iguale os coecientes de potências semelhantes nos dois lados da equação no item (a) e, com isso, deduza que a solução geral de (1) é onde y (x) = a 0 y 1 (x) + a 1 y 2 (x) + y p (x), y 1 (x) = 1 + x2 2 + x4 8 + x y 2 (x) = x + x3 3 + x x são as soluções da equação homogênea associada à equação (1) e é uma solução particular para a equação (1). y p (x) = x3 6 + x x Use o procedimento descrito no problema 32 para encontrar pelo menos os quatro primeiros termos diferentes de zero em uma expansão em série de potências em torno de x = 0 de uma solução geral da equação diferencial dada. (a) z + xz + z = x 2 + 2x

7 (b) (1 + x 2 ) y xy + y = e x. (c) y (sen x) y = cos x. (d) (1 x 2 ) y y + y = tg x 34. A equação diferencial x 4 y + λy = 0 tem um ponto singular irregular em x = 0. (a) Mostre que a substituição t = 1/x conduz à equação diferencial d 2 y dt + 2 dy 2 t dt + λy = 0 que tem agora um ponto singular regular em t = 0. (b) Encontre duas soluções em série de potências desta segunda equação em torno do ponto singular t = 0. (c) Expresse cada solução em série da equação original em termos de funções elementares, obtendo a solução geral. 7