MAT Lista de exercícios

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1 MAT Lista de exercícios Integrais indefinidas. Calcule 2x cos(x 2 )dx sen(x) cos(x)dx sen(2x) 5 + sen 2 (x)dx sec 2 (x) tan(x) dx x + 2 x dx x 2 x + dx g) tan 3 (x) sec 4 (x)dx h) (2x + 3) dx i) j) k) e x + e x cos(ln(x))dx 2x dx x 3 + x 8 dx 2. Calcule x(ln(x)) 2 dx x 3 cos(x 2 )dx (ln(x)) 2 dx 3. Encontre fórmulas de recorrência para as integrais abaixo (n > natural). sec n (x)dx cos n (x)dx 5

2 MAT Lista de exercícios 4. Calcule 2 x 2 dx 9 + 3x 2 dx 2x x 2 dx x x 2 dx cos(x)dx x 2 + x dx 2 g) 9 (x ) 2 dx h) x 2 x 2 dx 5. Calcule x (x )(x + ) dx x + 3 x 2 3x + 2 dx x x 2 3x + 2 dx x (x ) 2 dx 2x + x 3 x 2 x + dx 6. Calcule 2x + x 2 + 2x + 2 dx 4x + x 2 + 6x + 2 dx 7. Calcule cos(x) 4 sen 2 (x) dx sen(x) + cos(x) dx sen(2x) + cos(x) dx 2 + sen(x) dx 2 5

3 2 Integral definida e aplicações. Calcule g) h) i) j) /2 2 π/6 π/2 2π (x ) dx 2x dx e 3x dx x x 2 + dx x x dx x x 2 + dx x 2 x + dx cos(x)sen 5 (x)dx cos 4 (x)dx + cos(x) dx 2. Calcule a área da região A R 2 onde A = { (x, y) R 2 : y 4 x 2} A = { (x, y) R 2 : x 2 y } A = { (x, y) R 2 : x e x y 3 } A = { (x, y) R 2 : x > e /x 2 y 5 4x 2} A = { (x, y) R 2 : x e x y x x 2} A = { (x, y) R 2 : x e x 3 x y x 2 + 5x } 3. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação de R ao redor do eixo das abscissas, onde R = { (x, y) R 2 : x 2 + (y 2 a 2} R = { (x, y) R 2 : y 4 x 2} 4. Calcule o volume do sólido limitado pela intersecção dos cilindros x 2 + y 2 = a 2 e x 2 + z 2 = a 2 no R Calcule o comprimento do arco da curva y = ln(sec(x)) com x π/4. 3 5

4 MAT Lista de exercícios 3 Integrais impróprias. Calcule, caso existam, as seguintes integrais g) h) i) j) k) l) x dx x 2 dx e ax cos(x)dx, com a > e x dx x dx + x 2 dx 3 x 4 dx x 3 + x dx e x dx x 5 dx 4 + x 2 dx x α dx, α R 2. Calcule, caso existam, as seguintes integrais g) 2 3 x dx ln(x)dx x dx x 2 dx 2 x dx x 2 x3 dx x dx 4 5

5 3. Converge ou diverge? g) h) i) j) k) l) m) n) o) p) q) r) s) t) 2 e /x 4 e 2 2 e x cos 2 (x)dx x 5 + 3x + dx x 2 + x 3 + dx 3 x4 + 2x + dx x 2 dx cos(3x) dx x 3 2x 3 x 3 3x 2 + dx e x cos( x)dx x + 3 x4 + x + dx x 2 ln(x) dx xe x x4 + x 2 + dx x 4 x + x 7 + 2x dx 2x 3 + x 2 + x 5 + x + 2 dx ln(x) x ln(x + ) dx x 5 3 x 2 + x dx cos(2x) dx x sen(x) + 3 dx x e x2 /2 dx x 3 x 4 dx x 2 x 4 + dx 5 5

6 MAT Lista de exercícios 4 Seqüências e séries. Calcule, caso existam, o limite de cada uma das seguintes seqüências definidas para todo natural n 2 a n = n(n + ) 2 a n = n + ( )n n a n = ln(n) n a n = e n + e n a n = sen( n ) a n = nsen( n ) g) a n = n tan( n ) h) a n = n n2 sen( n ) + n 2 sen( n ) i) a n = n sen(n) n + sen(n) n + j) a n = 9n + k) a n = ( + 2 n )n ( ) n + 2 n l) a n = n + m) a n = n + n n n) a n = (, 8) n o) a n = + ( ) n p) a n = n 2 + n Calcule a soma de cada uma das seguintes séries a n, onde a < n= n= n= n(n + ) n(n + )(n + 2) 6 5

7 3. Converge ou diverge? g) h) i) n n= n= n= n=2 n=2 n= n= n= n=3 n 2 n p, com p R n ln(n) n(ln(n)) α, com α R n 2 + n + n 4 ( ) n n ln(n)(ln(ln(n))) 4. Converge ou diverge? g) h) n= n= n= n2 n 2n 2 + n + 9n 3 + 3n + 2 3n + 4n 2 + n + 2 n sen( n ) n= n= n 2 n3 + 5 ne n n= 2 n n n= 5 n= (e 2) n 7 5

8 MAT Lista de exercícios 5. A figura abaixo mostra uma região limitada por duas circunferências C e D de raio tangentes entre si e por uma reta T tangente a ambas Uma seqüência de circunferências menores C, C 2,..., cada uma tendo raio máximo, é inscrita na região da maneira indicada na figura. Qual é a série infinita que representa a soma dos comprimentos dos diâmetros das pequenas circunferências? Qual a soma da série? 6. Dois trens, A e B, separados por 2 Km um do outro se deslocam, em trajetória retilínea, sobre o mesmo trilho e em rota de colisão. Considere uma mosca que parte do trem A, voa até chegar ao trem B e, ao chegar ao trem B voa de volta ao trem A e assim sucessivamente até que os dois trens se choquem e a mosca é esmagada. Sabendo que os dois trens se movem com velocidade constante de 5 Km/h e a velocidade da mosca é de 75 Km/h, qual foi a distância total percorrida pela mosca? 7. Considere um triângulo retângulo ABC com C = π/2, com A = θ e AC = b. Construa perpendiculares CD, DE, EF,..., conforme indicado na figura abaixo Determine a série que representa a soma infinita CD + DE + EF +... e calcule a soma da série em termos de θ e b. 8 5

9 8. Tome um triângulo equilátero de lado (figura C ). A seguir, divida cada lado desse triângulo em três partes iguais e, tomando como base o terço médio de cada lado, construa um novo triângulo equilátero apontando para fora (figura C 2 ). Continue o processo indefinididamente obtendo as figuras C 3, C 4,..., C n,.... Assuma que existe uma curva limite desse processo e denote-a por C. Determine a série que expressa o perímetro de C. A série obtida no item converge? Qual o valor da área da região limitada por C? 9. O conjunto de Cantor é construído removendo-se o terço médio aberto do intervalo [,], ou seja, removendo-se o intervalo ]/3, 2/3[. Dos retantes dois intervalos, [, /3] e [2/3, ], são removidos os respectivos terços médios abertos. Dos quatro intervalos restantes, são removidos os respectivos terços médios abertos e assim por diante. O conjunto de Cantor é formado pelo conjunto de números reais que restam em [,] após a remoção de todos esses intervalos. Verifique que a soma dos comprimentos dos intervalos removidos é.. O tapete de Sierpinski é construído removendo o quadrado central aberto de um quadrado de lado, removendo os quadrados centrais abertos dos oito quadrados menores restantes e assim por diante (ver figur. O tapete é o que resta no quadrado original após a remoção de todos esses quadrados. Mostre que a soma das áreas dos quadrados removidos é igual a. 9 5

10 MAT Lista de exercícios 5 Série de Taylor. Determine o polinômio de Taylor de ordem 3, ao redor de a =, das seguintes funções f (x) = x 2 cos(x) f (x) = x 3 f (x) = 2 + xe x2 f (x) = cos(2x) f (x) = sen(2x) f (x) = 2 g) f (x) = x 2 sen(x) 2. Mostre que são válidos os seguintes desenvolvimentos de Taylor, ao redor de a =, para todo x R. e x = + x + x2 2! xn n! +... cos(x) = x2 2! + x4 x2n ( )n 4! (2n)! +... sen(x) = x x3 3! + x5 5! ( )n x 2n+ (2n + )! Determine a série de Taylor, ao redor de a =, da função e x 2 x > f (x) = x e conclua que f não é analítica em uma vizinhança do. 4. Determine a série de Taylor, ao redor de a =, das seguintes funções f (x) =, x ], [ + x2 f (x) = x 2 e x, x R f (x) = xe 3x, x R f (x) = sen(x 2 ), x R f (x) = x cos(5x), x R 5. Determine a série de Taylor, ao redor de a =, da função sen(x) x x = f (x) = x = 5

11 6 Equações diferenciais de primeira ordem. Verifique que a solução geral da equação diferencial é dada por y = y y(x) = ce x onde c R é uma constante. Esboce as soluções. 2. Verifique que a solução geral da equação diferencial é dada por y = cos(x) y(x) = sen(x) + c onde c R é uma constante. Esboce as soluções. 3. Verifique que todas as soluções da equação diferencial (y ) 2 xy + y = são dadas pelas funções y = cx c 2 (c R constant e y = x2 4 definidas em R. Esboce as soluções. 4. Se populações relativamente pequenas permanecem sem perturbações, geralmente elas crescem de acordo com a Lei de Malthus, que estabelece que a taxa de crescimento dessa população no tempo é diretamente proporcional à população presente. Traduza esse fenômeno por uma equação diferencial e a resolva. 5. Pela experiência mostra-se que um corpo que cai no vácuo devido à ação da gravidade tem aceleração constante igual a g := 9, 8 m/s 2. Estabeleça essa Lei como uma equação diferencial para s(t), a distância de queda em função de t. Suponha que o corpo está com s() = s e com velocidade inicial v, determine a expressão de s(t). 6. Determine todas as soluções da equação diferencial com x =. y (x) = y(x) x 5

12 MAT Lista de exercícios 7. A Lei do resfriamento de Newton diz que a taxa de variação da temperatura T(t) sobre uma certa superfície esférica é sempre diretamente proporcional à diferença entre T(t) e a temperatura do meio ambiente. Suponha então que uma esfera de cobre é aquecida a uma temperatura de C. No instante t = ela é imersa em água que é mantida a uma temperatura de 3 C. Ao fim de 3 minutos, a temperatura da esfera está reduzida a 7 C. Determine o instante em que a temperatura se encontra reduzida a 3 C. 8. Resolva a equação diferencial (x 2 + )y + y 2 + =. 9. Resolva a equação diferencial y = 4xy 2. Esboce as soluções.. A Física afirma que elementos radioativos se desintegram espontaneamente num processo conhecido por decaimento radioativo. Os experimentos mostram ainda que a taxa de desintegração é diretamente proporcional à quantidade de elemento presente. Traduza esse fenômeno por uma equação diferencial e a resolva; É conhecido que todo elemento radioativo tem uma meia-vida específica. Sabendo que a meia-vida do Carbono-4 é de 573 anos, determine a sua equação diferencial de decaimento; Se gramas de Carbono-4 forem armazenadas em uma caverna, quantas gramas irão restar após anos? Todas as plantas e animais vivos absorvem certas quantidades do elemento Carbono-4. Quando uma planta ou animal morre, o Carbono-4 presente no tecido começa a decair. Assim, a idade de um artefato que contenha material animal ou vegetal poderá ser estimada observando qual a porcentagem que resta do seu conteúdo de Carbono-4 original. Uma análise das fibras que formam o Sudário de Turim 2 mostrou que ele continha 92% do Carbono-4 original. Use esse fato para determinar a idade do sudário. Tempo requerido para a desintegração de 5% do material inicial. 2 Peça de linho que mostra a imagem de um homem que aparentemente sofreu traumatismos físicos de maneira consistente com a crucificação. 2 5

13 . Determine uma família de curvas ortogonais à família de curvas planas dada por y = cx 2, com c R. 2. Determine uma família de curvas ortogonais à família de curvas planas dada por x 2 + (y 2 = c 2, com c R. 3. Determine uma família de curvas ortogonais à cada família de curvas planas dada abaixo (c R) y = x2 2 + c y = cx 3 y = ce x 3 5

14 MAT Lista de exercícios 4. Populações em geral crescem dentro de certos sistemas ecológicos que podem sómente suportar um certo número L de indivíduos (chamado de capacidade de tolerânci. Se a população p(t) satisfaz p(t) > L, então a população tende a decrescer; se p(t) < L, então a população tende a crescer; se p(t) é tal que p(t) = L, então a população tende a permanecer estável. Além disso, se o número L for suficientemente grande, isto é se p(t)/l, então a população comporta-se como no modelo Malthusiano (ver o exercício (4) desta seção). Verifique que a seguinte equação diferencial (chamada equação diferencial logístic dp dt = k( p L )p com constante k >, satisfaz todos os quesitos alinhados acima. Encontre ainda a solução geral dessa equação diferencial com valor inicial p(). Esboce as soluções para alguns valores de p(). 5. Determine a solução geral e esboce algumas das soluções de yy = x. 6. Determine a solução geral de cada uma das equações diferenciais abaixo usando a substituição u = y/x xy = x + y x 2 y = x 2 xy + y 2 2xyy y 2 + x 2 = Esboce algumas soluções em cada caso. 7. Determine a solução geral de xy = y + x 2 sec( y x ). 8. Resolva o seguinte problema de valor inicial y = y x y + x, y() = 9. Resolva as seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem y y = e 2x xy + y + 4 = xy + y = sen(x) y + y tan(x) = sen(2x) y = y 4 5

15 2. (Equação de Bernoulli) Mostre que a seguinte equação diferencial y = f (x)y + g(x)y a pode ser reduzida à seguinte equação diferencial linear u = ( f (x)u + ( g(x) através da substituição u = y a. 2. (Equação de Riccati) Mostre que a seguinte equação y + f (x)y + g(x)y 2 = h(x) que possui solução particular y, pode ser reduzida a uma equação diferencial linear do tipo u = ( f (x) + 2y g(x))u + g(x) através da substituição y = y + u. 22. Resolva as seguintes equações diferenciais y + y = y 2 y xy = x 3 y 2 3y + y = ( 2x)y 4 y e x + y 2 2ye x = e 2x com solução particular y = e x xy y 2 + (2x + )y = x 2 + 2x que possui a solução particular y = x 23. (Equação de Lagrang Mostre que uma equação da forma y = xϕ(y ) + ψ(y ) onde ϕ e ψ são funções reais, é resolvida fazendo y = p, derivando a equação que resultou com respeito a x e transformando-a em uma equação linear em x = x(p). Usando esse método, resolva as seguintes equações y = 2xy + ln(y ) y = xy + (y ) 2 y = 2xy + sen(y ) y = xy + + (y ) 2 5 5