INTEGRAIS IMPRÓPRIAS

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1 Teoria INTEGRAIS IMPRÓPRIAS Intervalos Infinitos: Seja f integrável em [a, t], para todo t > a. Definimos + a f(x)dx = lim t + t a f(x)dx. Tal limite denomina-se integral imprópria de f estendida ao intervalo [a, + [. Seja f integrável em [t, a], para todo t < a. Definimos a f(x)dx = lim a t f(x)dx. t Tal limite denomina-se integral imprópria de f estendida ao intervalo ], a]. Seja f integrável em [ t, t], para todo t >. Definimos + f(x)dx = f(x)dx + + f(x)dx. Tal limite denomina-se integral imprópria de f estendida ao intervalo ], + [. Se o limite na integral imprópria for finito, diremos que ela é convergente. Se o limite na integral imprópria for infinito ou não existir, diremos que ela é divergente. Suponhamos f(x) em [a, + [ e que f seja integrável em [a, t] para todo t > a. Seja A o conjunto de todos os (x, y) tais que y f(x), x a. Definimos a área de A por área de A = + f(x)dx. a Definições análogas seguem para os demais casos. Integrandos Descontínuos: Seja f integrável em [a, t], para todo t [a, b[. Definimos

2 b a f(x)dx = lim t b t a f(x)dx. Tal limite denomina-se integral imprópria de f estendida ao intervalo [a, b[. Seja f integrável em [a, t], para todo t ]a, b]. Definimos b a f(x)dx = lim t a + b t f(x)dx. Tal limite denomina-se integral imprópria de f estendida ao intervalo ]a, b]. Seja f integrável em [a, b], exceto numa descontinuidade c, com a < c < b. Definimos b a f(x)dx = c a f(x)dx + b c f(x)dx, desde que as integrais impróprias envolvidas existam. Tal limite denominase integral imprópria de f estendida ao intervalo [a, b]. Se o limite na integral imprópria for finito, diremos que ela é convergente. Se o limite na integral imprópria for infinito ou não existir, diremos que ela é divergente. Suponhamos f(x) em [a, b[ e que f seja integrável em [a, t] para todo t [a, b[. Seja A o conjunto de todos os (x, y) tais que y f(x), x [a, b[. Definimos a área de A por área de A = b a f(x)dx. Definições análogas seguem para os demais casos. Critério da Comparação: Sejam f e g duas funções integráveis em [a, t], para todo t > a, e tais que, para todo x a, f(x) g(x). Então g(x)dx convergente + f(x)dx convergente. a a f(x)dx divergente + g(x)dx divergente. a a Suponha f integrável em [a, t], para todo t a. Então 2

3 + f(x) dx convergente + a a Funções Especiais: f(x)dx convergente. A função gama é uma função real definida por meio de uma integral imprópria da seguinte maneira: Γ(x) = + t x e t dt. A função beta é uma composição a dois parâmetros de funções gama definida pela integral B(x, y) = tx ( t) y dt onde a integral é própria para x, y e imprópria convergente se < x < e/ou < y <. 3

4 Exercícios Fixação:. Calcule. x 3 dx e x dx (c) + dx x (d) + te t dt (e) + xe x2 dx 2. Se f(t) é contínua para t, a Transformada de Laplace de f é a função F definida por F (s) = + f(t)e st dt e o domínio de F é o conjunto de todos os números para os quais a integral converge. Calcule a Transformada de Laplace das seguintes funções. (a) f(t) = f(t) = t (c) f(t) = e t (d) f(t) = sin t 3. (a) Mostre que + xdx é divergente. t Mostre que lim t + xdx =. t Isso mostra que não podemos definir + f(x)dx = lim t t + f(x)dx. t 4. (a) Mostre que a região A = {(x, y) x, y } tem área x infinita. Mostre que pela rotação de A em torno do eixo x obtemos um sólido com volume finito. 5. Calcule. (a) 3 x dx 5 4

5 4 2 (c) 3 dx 2 x 4 (d) 33 4 x + 2 dx 5 x dx (e) e x x dx 3 6. Mostre que é convergente. e x sin 2 xdx x 5 + 3x + dx (c) + x x 3 + dx 7. Mostre que é divergente. (c) + e x dx x x + x4 x dx sec 2 x x x dx 8. Mostre que é convergente. e x cos xdx 9. Calcule: Γ(6) (a) 2Γ(3) (c) cos 3x dx x 3 Γ(3)Γ(2, 5) Γ(5, 5) Γ( 5 2 ) Γ( 2 ) (d) 6Γ( 8 3 ) 5Γ( 2 3 ) 5

6 . Calcule cada integral. x 3 e x dx x 6 e 2x dx. Calcule. (a) B(2, 3) B(3, 4) (c) B(4, 5) 2. Calcule as seguintes integrais. (a) x4 ( x) 3 dx 2 x 2 dx 2 x 3. Dado que onde < p <, calcule Γ Γ(p)Γ( p) = ( ). 2 π sin pπ, 4. Usando o resultado obtido no exercício anterior, calcule: ( (a) Γ ) 2 ye y 3 dy 5. Utilizando o fato de que calcule. π 2 (a) π 2 sin6 θdθ π 2 sin4 θ cos 5 θdθ (c) π 2 cos4 θdθ sin 2u θ cos 2v θdθ = Γ(u)Γ(v), u, v >, 2Γ(u + v) 6

7 Aplicação:. A velocidade média das moléculas de um gás ideal é dada por v = 4 ( ) 3 M 2 + v 3 e Mv2 2RT dv π 2RT onde M é o peso molecular do gás, R é a constante do gás, T é a temperatura do gás e v é a velocidade molecular. Mostre que 8RT v = πm. 2. Encontre a velocidade de escape v que é necessária para lançar um foguete de massa m para fora do campo gravitacional de um planeta com massa M e raio R. Use a Lei da Gravitação de Newton F = GmM e o fato de que a energia cinética inicial de r 2 2 mv2 supre o trabalho necessário. 3. Um fabricante de lâmpadas quer produzir lâmpadas que durem cerca de 7 horas, mas naturalmente algumas lâmpadas queimam mais rapidamente que outras. Seja F (t) a fração das lâmpadas da empresa que queimam antes de t horas, assim F (t) sempre está entre e. (a) Faça um esboço de como você acha que o gráfico de F deva parecer. Qual o significado da derivada r(t) = F (t)? (c) Qual é o valor de + r(t)dt? Por quê? 4. (Integral de Dirichlet) Se V denota a região fechada no primeiro octante, delimitada pela superfície ( x a )p + ( y b )q + ( z c )r = e pelos planos coordenados, então, se todas as constantes são positivas, vale a fórmula V xα y β z γ dxdydz = aα b β c γ Γ( α p )Γ(β q )Γ(γ r ) pqr Γ( + α p + β q + γ. r ) 7

8 Determine a massa da região delimitada por x 2 + y 2 + z 2 = a 2 se a densidade é σ = x 2 y 2 z O tempo de vida de um átomo de um isótopo radioativo não é o mesmo que o tempo de vida de outro átomo do mesmo isótopo. A vida média M de um átomo em uma substância radioativa consiste portanto no tempo médio que um isótopo instável leva para decair, e é dada por M = k + te kt dt, onde k é uma constante negativa envolvida no processo de decaimento. Para o isótopo radioativo de carbono-4, usado em processos de determinação da idade de objetos, o valor de k é, 2. Encontre a vida média de um átomo de carbono-4. 8

9 Respostas Fixação:. (a) 2 (c) + (d) (e) 2 2. (a) F (s) = s, s > F (s) = s 2, s > (c) F (s) = s, s > (d) F (s) = + s 2, s > 3. (a) 4. (a) Volume do sólido = π. 5. (a) Divergente 32 3 (c) Divergente (d) (a) (c) 7. (a) (e) 2 e 9

10 (c) 8. (a) 9. (a) 3 Aproximadamente, 5. (c) 3 4 (d) 4 3. (a) 6 6! = 5, (a) 24 2 (c) (a) π 4. (a) 2 π π 3 5. (a) 5π (c) 3π 6

11 Aplicação:. 2GM 2. R 3. (a) Espera-se uma pequena fração das lâmpadas queimando logo no começo, a maioria das lâmpadas queimando logo após 7 horas e umas poucas queimando depois disso. r(t) = F (t) é a taxa com que a fração de lâmpadas queimadas aumenta com o passar das horas. (c) A integral vale, pois todas as lâmpadas irão eventualmente queimar. 4. V x2 y 2 z 2 dxdydz = πa Aproximadamente 8265 anos.