Segunda Lista de Exercícios de Física Matemática I Soluções (Séries de Fourier) IFUSP - 28 Março { 1 se 0 x < h f(x) = 0 se h x < 2π, Sf(x) =

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1 Segunda Lista de Exercícios de Física Matemática I Soluções (Séries de Fourier) IFUSP - 28 Março 29 Exercício Seja f : R R uma função periódica tal que { se x < h f(x) = se h x <, onde h (, ) é uma constante. (i) A série de Fourier de f na forma complexa Sf(x) = n= tem seus coeficientes calculados no intervalo [, ]: c n = = = c n e inx () f(x)e inx dx e inx dx e inh, in para n e c = f(x)dx. (ii) Podemos então escrever a série de Fourier () de f como Sf(x) = c + ( cn e inx + c n e inx) ( e inh e inx ) e inh e inx 2in 2in e inx e inx + einh e inx e inh e inx n 2i 2i (sin nx + sin n(h x)), (2) n devido à lei do produto de exponenciais: e z e w = e z+w e às fórmulas de Euler: e ±iα = cos α ± i sin α. (iii) A série de Fourier de f em senos e cossenos no intervalo [, ) é dada por Sf(x) = a 2 + (a n cos nx + b n sin nx) (3)

2 onde para n, a = f(x) dx = dx ; a n = = f(x) cos nx dx cos nx dx e = sin nh n b n = = Substituindo os coeficientes na série (3), resulta Sf(x) + f(x) sin nx dx sin nx dx = ( cos nh). n ( n sin nx + ) (sin nh cos nx cos nh sin nx n a mesma expressão (2), devido a relação trigonométrica: sin(a b) = sin a cos b cos a sin b. Sabemos que, se g(x) denota a função periódica tal que g() = e g(x) = ( x/) /2 em (, ), então a série de Fourier de g(x) é Sg(x) = sin nx. Por conta disso, a série de n Fourier (2) de f(x) pode ser escrita como Sf(x) + Sg(x) Sg(h x). Sabemos que, pelo teste de Dirichlet juntamente com a unicidade dos coeficientes de Fourier, Sg(x) converge uniformemente para g(x) em todo intervalo [a, b] onde g(x) é contínua. Logo Sf(x) converge uniformemente para f(x) /() + g(x) g(h x) em todo intervalo [a, b] onde f(x) é contínua. Observe que, nos pontos de continuidade de f, a derivada de ambos os lados desta igualdade se anula e os limites quando x tende à e h pela direita são f(+) h + g(+) g(h ) = h = f(h + ) h + g(h + ) g( ) = + 2 h 2 =, confirmando que ambas funções coincidem em (, h) e (h, ). 2

3 Exercício 2 Seja f : R R uma função periódica tal que no intervalo simétrico x. f(x) = cos αx, α R (4) (i) Calculemos a série de Fourier (3) de f(x) em senos e cossenos. O n ésimo coeficiente desta série (par e ímpar) a n = b n = f(x) cos nx dx, (5) f(x) sin nx dx (6) está definido pois, qualquer que seja α, cos αx é integrável e absolutamente integrável em [, ]. Substituindo (4) nas integrais (5) e (6), temos para n a n = = = = cos αx cos nx dx cos αx cos nx dx (cos(α + n)x + cos(α n)x) dx (α + n) sin(α + n) + sin(α n) (α n) (α n) + sin α cos n (α + n) α sin α cos n α 2 n2 = 2( )n α sin α, (7) α 2 n2 onde usamos a paridade do integrando e as relações trigonométricas cos αx cos nx = (cos(α + n)x + cos(α n)x) /2 sin(α ± n) = sin α cos n ± cos α sin n = sin α cos n ; Devido a paridade do integrando, os coeficientes ímpares se anulam: b n = cos αx sin nx dx =. (8) 3

4 Para n =, a = cos αx dx cos αx dx = 2 sin α. (9) α Substituindo os a n s e b n s em (3), a série de Fourier de f(x) pode ser escrita como Sf(x) = α sin α + 2α sin α ( ) n cos nx. () α 2 n2 Note que, devido a f(x) ser par, os coeficientes c n da série de Fourier () de f complexa tem a mesma paridade: c n = c n (veja Proposição. do texto Complementos em marchett/fismat, Notas de Aula). Por conta disso, podemos concluir da periodicidade e paridade de f(x) que a série de Fourier Sf(x) de f(x) é uma função periódica e par e a mesma expressão () seria obtida caso empregassemos esta forma. (ii) Com base neste fato, evidente pela expansão (), vamos mostrar (por contradição) que Sf(x) é contínua nos pontos extremos ± do intervalo [, ]. Suponhamos que Sf(x) seja descontinua em x =, isto é, Sf( + ) Sf( ). Então, pela periodicidade de Sf(x), Sf( +) = Sf( +) e, pela hipótese de descontinuidade, Sf( +) Sf( ), em contradição com sua paridade: Sf( x) = Sf(x) em x =. (iii) Suponhamos que Sf(x) convirja para f(x) (veja ítem (v)), isto é, que a sequência de séries parciais (S N f(x)) N converge para f(x) qualquer que seja x R. Tomando x = na igualdade f(x) = Sf(x), temos cos α = α sin α + 2α sin α α 2 n 2 onde usamos cos 2 n = ( ) 2n =. Para α / Z, sin α e podemos dividir a igualdade por esta quantidade concluindo cot α = α 2α n 2 α 2 (iv) Fazendo α = /2 na última igualdade, temos cot /2 = cos /2 sin /2 = e n 2 (/2) 2 4 4n 2 de onde se conclui 4n 2 = 2. 4

5 (v) Pelo teste M de Weierstrass Sf(x) é uniformemente convergente em [, ] se a série majorante de () M n = α + 2 α n 2 α 2 n= cujos coeficientes satisfazem < 2 c n = a n M n, devido a sin α, for convergente. A série n2 α 2, por sua vez, é majorada da seguinte forma. Seja n α o inteiro n mais próximo de α e defina C = (α/nα ) 2. Note que < C <. Temos n= M n = α + 2 α que é finita pelo teste da convergência integral n 2 (α/n) 2 α + 2 α C n + 2 x dx = 2. 2 Por outro lado, a série de Fourier Sf(x) converge uniformemente para f(x) pela unicidade das funções f s, periódicas e contínuas, que possuem coeficientes de Fourier dados por (9), (7) e (8). n 2 5