Departamento de Matemática da Universidade de Aveiro

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1 Departamento de Matemática da Universidade de Aveiro ANÁLISE MATEMÁTICA II 7/8 Folha 4 - soluções: Séries de Fourier; notação complexa. Vamos mostrar que se f e g são funções periódicas de período T, fg é periódica de período T. Por hipótese, f e g são funções periódicas de período T, isto é, x R f(x + T ) = f(x) e g(x + T ) = g(x) Seja x R, arbitrário, atendendo à definição de função produto e ao facto de f e de g serem periódicas, tem-se (fg)(x + T ) = f(x + T )g(x + T ) = f(x)g(x) = (fg)(x) isto é, a função fg é periódica de período T As restantes provas são semelhantes.. Vejamos que se f é uma função diferenciável e periódica de período T, então f é periódica de período T : Sendo T o período de f, atendendo a que a função é diferenciável, pela regra de derivação da função composta tem-se para cada x real, ( f(x + T )) = (x + T ) f (x + T ) = f (x + T ); mas, pelo facto de ser periódica, isto é, a função f é periódica de período T. ( ) (, f(x+t ) = f(x)) pelo que f (x+t ) = f (x), 3. Para resolver as questões seguintes vamos recorrer às seguintes fórmulas trigonométricas: cos a cos b = cos(a + b) + cos(a b), (a) sin(nx) cos(mx) dx = sin a cos b = sin(a + b) + sin(a b), sin a sin b = cos(a + b) cos(a b). sin((n + m)x) + sin((n m)x) dx = ( ) Atendendo ao facto de que a função coseno é par e a função seno nula em kπ para k inteiro, tem-se: se n m ( ) = n + m se n m = ( ) = π cos((n + m)x) cos((n m)x) = n m sin(nx) dx = 4n cos(nx)π = As restantes alíneas resolvem-se de modo análogo.

2 4. As séries de Fourier das funções dadas são: (a) f(x) = x, x π. Se f é ímpar, então b n a = π a n = π f(x) dx = = π f(x) sin(nx) dx = π = π x n cos(nx)π + f(x) { se π x < (b) f(x) = π se x π f(x) cos(nx) dx =, n N x sin(nx) dx n cos(nx) dx = ( )n+ n, n N ( ) n+ n sin(nx) n= a a n = π = π f(x) dx = π dx + π f(x) cos(nx) dx = π π dx = π dx + π π cos(nx) dx = n sin(nx) π =, n N b n = π f(x) sin(nx) dx = π π sin(nx) dx (c) f(x) = a = π a n = π b n = π f(x) 4 + { = n cos(nx)π = ( )n+ + n = n, n ímpar, n par f(x) π + { se π x < se x π/ se π/ < x π f(x) dx = π n=. dx = f(x) cos(nx) dx = π f(x) sin(nx) dx = π n= sin((n )x) n sin(nπ/) cos(nx) dx = nπ, n N sin(nx) dx = { nπ, nπ ( ( )n/ ), n ímpar n par ( ) n (n )π cos((n )x)+ (n )π sin((n )x)+ nπ ( ( )n ) sin(nx) Nota: o Teorema da Representação em Séries de Fourier, dado mais à frente na matéria, garante que esta série converge; logo, a sua soma não é alterada pela associação feita de termos consecutivos dois a dois.

3 (d) f(x) = x + x, x π. a = π (x + x ) dx = 3 π a n = π (x + x ) cos(nx) dx = ( ) n 4, n N n b n = π (x + x ) sin(nx) dx = ( ) n+ n, n N f(x) 3 π + ( ) n 4 n cos(nx) + ( )n+ n sin(nx) n= 5. (a) Seja f a função constante igual a k (k R) em, π, isto é f(x) = k para x, π. Se f é seccionalmente contínua, então os coeficientes de Fourier são: a = π f(x) dx = π k dx = k a n = π b n = π f(x) cos(nx) dx = π k cos(nx) dx = π k n sin(nx) π =, n N k sin(nx) dx = π k n cos(nx) π =, n N Então a série de Fourier de f é k + cos(nx) + sin(nx) = k n= (b) As funções f e g estão definidas e são seccionalmente contínuas em, π. Sendo α e β constantes, a função αf + βg está também definida em, π e tem-se (αf + βg)(x) = αf(x) + βg(x). Sabe-se também que αf + βg é seccionalmente contínua nesse intervalo. Assim, os coeficientes de Fourier de αf + βg são: a = π (αf + βg)(x) dx = π αf(x) + βg(x) dx = π αf(x) + π βg(x) dx = α f(x) dx +β g(x) dx = αa f + βa g π π }{{}}{{} a n b n = π (αf + βg)(x) cos(nx) dx = α f(x) cos(nx) dx +β g(x) cos(nx) dx = αa nf + βa ng, n N π π }{{}}{{} (αf + βg)(x) sin(nx) dx = π = α f(x) sin(nx) dx +β g(x) sin(nx) dx = αb nf + βb ng, n N π π }{{}}{{}

4 { /, x < 6. (a) A função g tal que g(x) = π/, x π a função f do exercício 4b) e a função constante π. Sabemos de 4b) que é igual à diferença entre a f = π a nf = b nf = { n, n ímpar, n par Por 5a) os coeficientes da função dada por k(x) = π são: a k = π a nk = b nk =. Utilizando 5b) temos que os coeficientes de g são: a g = a ng = b ng = { n, n ímpar, n par = { n, n ímpar, n par Assim, f(x) n= sin((n )x) n { / x/, x < (b) A função h dada por h(x) = é tal que h(x) = π/ x/, x π g(x) f(x), sendo g a função dada em 6a) e f a função dada em 4a). Os coeficientes de Fourier de g são a g = a ng = b ng = Os coeficientes de Fourier da função f são: { n, n ímpar, n par a nf =, n N b nf = ( ) n+ n, n N. Usando 5b) obtemos os coeficientes de Fourier de h: a h = a nh = b nh = Assim, { n ( )n+ n, n ímpar ( )n+ n, n par h(x) n= = { n n, n ímpar n, n par = n, n N n sin(nx) 7. Para provar a identidade trigonométrica sin 3 x = 3 4 sin x 4 sin(3x) vamos recorrer ao seno do ângulo duplo e à igualdade sin a cos b = sin(a + b) + sin(a b).

5 Ora, sin 3 x = sin x sin x = sin x( cos x) = sin x sin x cos x cos x = sin x sin(x) cos x = sin x (sin(x + x) + sin(x x)) = 3 4 sin x 4 sin(3x) O segundo membro desta igualdade é um polinómio trigonométrico. A série de Fourier de uma função que é um polinómio trigonométrico é a própria função. Atendendo à identidade trigonométrica dada temos que a série de Fourier de sin 3 x é 3 4 sin x 4 sin(3x). O procedimento para provar que cos 3 x = 3 4 cos x + 4 cos(3x) é semelhante ao anterior. 8. (a) Dada a função f(x) = cos x, x π, os coeficientes da sua série de Fourier de senos são: a n =, n N b = Para n >, cos x b n = n= { π 4n n n par n ímpar π 8n 4n sin(nx). Os coeficientes da série de cosenos de f(x) = cos x, nulos com excepção de a =. cos x + cos x x π são todos (b) Os coeficientes da série de senos de f(x) = sin x, x π são todos nulos com excepção de b =. sin x sin x Os coeficientes da série de cosenos de f(x) = sin x, x π são: { a = 4 π a = a n = π n par n n ímpar, para n > 4 sin x π + n= π 4 4n cos(nx). 9. (a) f(x) = e αx, x < π, com α R. Os coeficientes de Fourier na forma complexa são α n = π eαx e inx dx.

6 Se α, temos α n = ( )n (e απ e απ ) π(α in) e αx e ( ) n (e απ e απ ) e inx. π(α in) Se α =, o coeficiente α = e os restantes coeficientes são nulos. e x = (b) f(x) = cos(αx), x < π e α R. + + Os coeficientes de Fourier na forma complexa são α n = π n= cos(αx) e inx dx. Atendendo a que cos(αx) = eiαx +e iαx, vem, quando α / Z α n = π cos(αx) e inx dx = e iαx +e iαx π e inx dx = e i(α n)x +e i(α+n)x π dx π = 4π (α n)i ei(α n)x + ( α n)i e i(α+n)x = 4π (α n)i ei(α n)π e i(α n)π + ( α n)i e i(α+n)π e i(α+n)π = 4π (α n) = α( )n sin απ π(α n ) sin (α n)π + (α+n) sin (α + n)π Se α = n cos αx α( ) n sin απ π(α n ) einx. (c) f(x) = sin(αx), x < π. cos αx eiαx + e iαx Atendendo a que sin(αx) = eiαx e iαx i, vem, quando α / Z, e α n = in( )n+ sin (απ) π(α n ) sin αx in( ) n+ sin (απ) π(α n e inx. )

7 Se α = n sin αx i eiαx + i e iαx. Atendendo a que cos x = eix +e ix, tem-se cos 5 x = Desenvolvendo este binómio tem-se: ( ) 5 e ix +e ix cos 5 x = e5ix + 5e 3ix + e ix + e ix + 5e 3ix + e 5ix 3 associando, os termos com expoente simétrico, resulta cos 5 x = cos 5x + 5 cos 3x + cos x 6 isto é, cos 5 x é um polinómio trigonométrico pelo que a sua série de Fourier é o próprio polinómio.