Notas de Análise Matemática III

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1 Ricardo Mamede Notas de Análise Matemática III (Mestrado integrado em Engenharia Electrotécnica e de Computadores) Departamento de Matemática - Universidade de Coimbra 2008/2009

2 2 Conteúdo. Sucessões Numéricas 3 2. Séries Numéricas Séries de termos positivos 2.2. Séries com termos de sinal não definido Convergência absoluta Rearranjos Produto de Cauchy 6 3. Séries de funções Sucessões de funções Séries de funções Propriedades da convergência uniforme Séries de Potências Continuidade e convergência uniforme de uma série de potências Série de Taylor Fórmula de Taylor. Critérios de analiticidade Séries de Fourier Séries de Fourier de funções pares e ímpares Séries de Fourier de funções com período 2L Números Complexos Subconjuntos de C Funções complexas Limites e continuidade Diferenciabilidade Condições de Cauchy-Riemann Sucessões e séries de números complexos Séries de potências Integração de funções complexas de variável real Integração de funções complexas de variável complexa O Teorema de Cauchy Fórmula integral de Cauchy Série de Laurent e teorema dos resíduos Classificação das singularidades isoladas 68 Referências 74

3 3. Sucessões Numéricas Definição.. Uma sucessão numérica é uma lista de números reais {a,a 2,...,a n,...} indexada pelos números inteiros n (também consideramos sucessões que começam num inteiro k ). Ao termo a n chamamos termo geral da sucessão. Formalmente, uma sucessão é uma função do conjunto dos números naturais nos números reais a : N R n a n. Usaremos várias formas para denotar uma sucessão: pelo seu termo geral (a n ), ou {a,a 2,...,a n,...} ou (a n ) ou (a n) n N. Exemplo.. () ( n ), ( n ), n+ n+ n N {, 2, 3,..., n,...} n+ (2) ( ( ) n 3),n 3, n 3, {0,, 2, 3,..., n 3,...}. n=3 (3) ( cos ( nπ 6 )) ( (, cos nπ )), {, 3,,0,...,cos( ) nπ 6 n N 2 2 6,...}. Definição.2. Uma sucessão (a n ) diz-se limitada se existirem a,b R tais que a a n b, n N. Ou, equivalentemente, se existir c > 0 tal que a n < c, n N. Exemplo.2. A sucessão de termo geral é limitada uma vez que 0, para n. n n Também a sucessão de termo geral cos ( ) ( nπ 6 é limitada, pois cos nπ ) 6, para n. Definição.3. Uma sucessão (a n ) tem limite l, ou converge para l, e escrevemos lima n n = l ou lima n = l ou a n l, se pudermos tornar os termos a n tão perto de l quanto quisermos ao fazermos n suficientemente grande. Simbolicamente, escrevemos ε > 0 n 0 N : n n 0 a n l < ε. a n (l ε,l+ε) Se existir um l nestas condições dizemos que a sucessão converge. Caso contrário diremos que a sucessão diverge. É claro que toda a sucessão convergente é limitada, mas uma sucessão pode ser limitada e não ter limite. Por exemplo, as sucessões ( ) n, cos(n), sin(n) não têm limite mas são limitadas. É também fácil constatar que a convergência e o limite de uma sucessão não se alteram se a ela retirarmos ou acrescentarmos um número finito de termos. Notemos ainda que a partir da definição é imediato verificar que lim a n = 0 se e só se lima n = 0. Recordando que para uma função real de variável real f se tem limf(x) x + = l ε > 0 M > 0 : x D f e x M f(x) l < ε,

4 4 podemos concluir que a diferença entre estas duas definições de limite está unicamente no domínio onde as funções estão definidas. Como N está contido em R podemos facilmente estabelecer o seguinte resultado: Teorema.. Se limf(x) x + = l então lim n f(n) = l. Este resultado pode ser usado para calcular limites de sucessões efectuando a sua extensão a uma função de R em R onde temos outros instrumentos para calcular limites. Exemplo.3. Se quisermos calcular o limite da sucessão lnn, podemos considerar a função n f(x) = ln(x) definida em R + e calcular o seu limite quando x tende para +. Como se x trata de um limite indeterminado, podemos utilizar a regra de L Hôpital para mostrar que lim ln(x) x x + Pelo teorema anterior, segue que lim lnn n = 0. Os resultados para limites de funções reais de variável real quando x + permitemnos obter a chamada álgebra dos limites para sucessões: Teorema.2. Sejam (a n ) e (b n ) duas sucessões convergentes para a e b, respectivamente, e seja c R. Então: () lim(a n ±b n ) = a±b, (2) lim(a n b n ) = ab, (3) lim(ca ( n ) = ca, a (4) lim n bn = a se b 0. b Notemos que na alínea (4) do teorema anterior, se limb n 0 então existe uma ordem a partir da qual b n 0, pelo que a sucessão an b n está bem definida para n n 0. Definição.4. Dizemos que lima n = + se para cada número positivo M existe um inteiro n 0 tal que a n > M sempre que n n 0. Simbolicamente, escrevemos Equivalentemente, lima n = se e só se = 0. M > 0 n 0 N : n n 0 a n > M. M > 0 n 0 N : n n 0 a n < M. Exercício.. Calcule os limites das seguintes sucessões: (a) u n = 3+5n2 n+n 2, (b) u n = 2n 3 n+, (c) u n = sin( n ) (d) u n = 2n n 2 +, (e) u n = ( ) n sin n, (f) u n = ln(n3 ) 2n (g) u n = n n n n, n 2, (h) u n = n+( )n n ( ) n, (i) u n = n n+ n, (j) u n = en +e n e 2n, (k) u n = lnn ln2n (l) u n = + n 2+e n, (m) u n = +( )n n, (n) u n = n3 2n 2 +, (o) u n = np e n, p > 0.

5 5 Teorema.3. Uma subsucessão de uma sucessão {a,a 2,a 3,...} é qualquer lista infinita de termos daquela. Temos, por exemplo, a subsucessão dos termos pares (a 2n ) = {a 2,a 4,a 6,...}, ou a subsucessão dos termos ímpares (a 2n ) = {a,a 3,a 5,...}, ou a subsucessão dos termos cuja ordem é um número primo {a 2,a 3,a 5,a 7,a,a 3,...}. Exemplo.4. Se considerarmos a sucessão ( ) n, a sua subsucessão dos termos pares é {,,,...}, e a dos termos ímpares é {,,,...}. É consequência da definição que toda a subsucessão de uma sucessão convergente para l é também convergente para l. Portanto, se uma sucessão possuir duas subsucessões convergentes para limites diferentes então a sucessão original é divergente. Se a subsucessão dos termos pares e a dos termos ímpares tiverem o mesmo limite, então a sucessão original é também convergente para o mesmo limite. Teorema.4 (Sucessõesenquadradas). Sejam(a n ) n N, (b n ) n N e (a n ) n N sucessõesnuméricas tais que () a n b n c n, para todo o n n 0 ; (2) a n e c n são convergentes com igual limite l. Então b n é convergente e limb n = l. Exemplo.5. Utilizando o teorema das sucessões enquadradas é fácil verificar que De facto, temos Como lim0 = lim = 0 temos o resultado. n lim n! n n = 0. 0 n! n = 2 n n n n n = ( 2 3 n ) n nn n n. Exercício.2. Use o teorema das sucessões enquadradas para calcular os limites das seguintes sucessões: (a) u n = ( ) n n!, (b) u n = cos(n)e n, (c) u n = n n 4 +2n 2 +7, (d) u n =, (e) u n+ n = (2n ), (f) u (2n) n n = +( )n. n Teorema.5. Se (a n ) n N é uma sucessão limitada e (b n ) n N é uma sucessão convergente para zero, então lima n b n = 0. Exemplo.6. Uma vez que e se verifica ( 5+e n = 5+ ) n 2 e n n e n 6 e lim n 2 = 0 podemos concluir que lim 5+e n n 2 = 0. Definição.5. Seja (a n ) n N uma sucessão.

6 6 Se a n a n+ para todo o n N, isto é, se a a 2 a 3 a n então (a n ) n N diz-se crescente. Se a n a n+ para todo o n N, isto é, se então (a n ) n N diz-se decrescente. a a 2 a 3 a n Uma sucessão que seja decrescente ou crescente diz-se monótona. Exemplo.7. As sucessões ( n ) e (2n ( )n ) são monótonas enquanto que a sucessão ( ) n não é monótona. Como vimos atrás, nem toda a sucessão limitada á convergente. No entanto, temos o seguinte resultado: Teorema.6. Toda a sucessão monótona e limitada é convergente. Exemplo.8. Vamos utilizar o resultado anterior para estudar o comportamento da sucessão (r n ) n N, com r um número real fixado. Quando r >, temos r n+ r n = r n (r ) > 0, pelo que (r n ) n N é crescente. Além disso, escrevendo r = +h e utilizando o binómio de Newton, podemos escrever e, como todas as parcelas são positivas, r n = (+h) n = +nh+ n(n ) h r n > +nh. Uma vez que lim+nh = +, também limr n = +. Quando r = obtemos a sucessão constante r n = n = convergente para. Se 0 < r <, temos r n+ r n = r n (r ) < 0 pelo que (r n ) n N é decrescente. Além disso, Fazendo r = h, então h > e 0 < r n = h n <. Ou seja (r n ) n N é monótona e limitada, logo convergente. Como limh n = +, temos limr n = 0. Quando r = 0 obtemos a sucessão constante r n = 0 n = 0 convergente para 0. Finalmente, ser < 0, temosr < 0,r 2 > 0,r 3 < 0,..., peloque(r n ) n N nãoémonótona. Além disso, podemos escrever r n = ( ) n ( r) n. Se < r < 0, lim( r) n = 0, donde limr n = 0. Se r = obtemos a sucessão divergente ( ) n e se r <, de (r n ) n N podemos extrair duas subsucessões a,a 3,a 5,... e pelo que (r n ) n N é divergente. a 2,a 4,a 6,... +,

7 7 Temos, portanto, +, se r > limr n, se r = =. 0, se < r < não existe, se r Dado um número real a 0, facilmente obtemos +, se r > limar n a, se r = =. 0, se < r < não existe, se r Uma sucessão da forma (ar n ) n N diz-se uma progressão geométrica de razão r. Cada termo é obtido do anterior por multiplicação pelo número r, chamado razão. Exemplo.9. Consideremos a sucessão (b n ) n N, onde para cada n N, b n = a+ar +ar 2 + ar n. É imediato verificar que esta sucessão diverge para r =. Quando r, como rb n = ar +ar 2 + ar n +ar n+, subtraindo estas relações obtemos b n = a arn+ = a rn+ r r. Do exemplo anterior, concluímos então que limb n = a, se r < r e que (b n ) n N diverge para r. Exemplo.0. A sucessão (a n ) n N, onde para cada n N, ( a n = + n) n, é convergente. De facto, pode provar-se que esta sucessão é monótona e limitada. Ao seu limite chamamos e (número de Neper): ( lim + n) n = e 2,78 2. Séries Numéricas Se tentarmos adicionar os termos de uma sucessão infinita (a n ) n N obtemos uma expressão da forma a +a 2 +a 3 + +a n + a que chamamos soma infinita de números reais ou série numérica e representaremos por a n. A sucessão (a n ) n N diz-se o termo geral da série. Mas faz sentido falar numa soma com um número infinito de parcelas? É impossível obter um número real como soma dos termos da sucessão (n) n N, +2+3+

8 8 A soma dos n primeiros termos é n(n+) que se torna muito grande quando n aumenta. n Mas se começarmos a adicionar os n primeiros termos da sucessão (( ) n ), progressão 2 n N geométrica de razão, obtemos ( ) ( ) n = n+ 2 = 2 n. À medida que n aumenta as somas parciais estão cada vez mais próximas de. Assim, parece razoável que ( ) n =. 2 Definição 2.. Dada uma série a n, denotamos por (s n ) n N a sua n-ésima soma parcial s n = a + +a n = n a k. k= A sucessão (s n ) n N dada por s = a s 2 = a +a 2 s 3 = a +a 2 +a 3. é dita a sucessão das somas parciais da série a n. Se a sucessão (s n ) n N for convergente e lims n = s R, então a série a n é dita convergente e escrevemos a n = r. O número s diz-se a soma da série. Caso contrário, a série é dita divergente. Exemplo 2.. Como vimos em cima, a série n é divergente e a série ( ) n 2 é convergente com soma. Exemplo 2.2. A série de Mengoli n(n+)

9 9 converge e a sua soma é. Com efeito, =, pelo que a sua n-ésima soma n(n+) n n+ parcial pode ser escrita como s n = n(n+) = n n+ = n+ Assim lims n = e, portanto, =. n(n+) Exemplo 2.3. A série harmónica n édivergente. Defacto,consideremosasubsucessão (s 2 n) n N dasucessãodassomasparciais (s n ) n N e notemos que s 2 = + 2 ) ) s 2 2 = + ( > + ( = s 2 3 = + ( ) ( ) 8 > + ( ) ( ) 8. = s 2 n > + n 2 Portanto, (s n ) n N possui uma subsucessão ilimitada, pelo que (s n ) n N não é convergente. Concluí-se então que a série harmónica é divergente. Definição 2.2. Uma série a n diz-se geométrica se o seu termo geral for o termo geral de uma progressão geométrica ar n, onde a,r R. Ou seja, é uma série da forma ar n = a+ar +ar 2 +ar 3 + Pelo exposto no exemplo.9, obtemos o seguinte resultado. Teorema 2.. Seja ar n uma série geométrica. Se a = 0 então a série converge e a sua soma é zero. Se a 0 então: () a série diverge para r ; (2) a série converge para a se r <. r

10 0 Por outras palavras, a soma de uma série geométrica convergente é termo razão. Exercício 2.. Averigúe se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. (a) , (b) Exercício 2.2. Determine a natureza das seguintes séries, indicando a sua soma no caso da série ser convergente: 2 (a) 3 n, (b) 3 n 2 n+3, (c) ( ) n, (d) 2 Teorema 2.2. Se a série a n é convergente, então lima n = 0. ( ) n, (e) 2 2 2n 3 n. Demonstração. Seja(s n ) n N asucessão dassomasparciaisassociadaàsérie. Considerando t n = s n, podemos considerar a sucessão (t n ) n N como uma subsucessão de (s n ) n N e como tal convergente para o mesmo limite. Assim, lima n = lims n t n = 0. Nota 2.. A uma série associamos duas sucessões: a sucessão (s n ) n N das somas parciais associada à série e a sucessão (a n ) n N dos seus termos. Se a n for convergente, a sua soma é s = lims n e lima n = 0. O recíproco deste teorema é falso: se lima n = 0 não podemos concluir que a série converge. De facto, a série diverge e lim = 0. n n a n Corolário 2.3 (Teste paraadivergência). Se lima n 0, então a série a n é divergente. Exemplo 2.4. As séries ( ) n, não convergem para zero. Nota 2.2. Seja k N e n=k termos. Então () a natureza das séries n e n n+ são divergentes, pois os seus termos gerais a série que se obtém de a n omitindo os seus primeiros k n=k e a n coincide mas; (2) no caso convergente as suas somas podem não coincidir. De facto, se a n = s tem-se n=k = s (a +...+a k ). Exercício 2.3. Mostre que a série x n, onde x n = { +e n, se n < 0 6 2, se n 0, 6 3 n

11 é convergente. Teorema 2.4 (Álgebra das séries). Sejam a n e b n duas séries convergentes com somas s e t, respectivamente. Então, dado c R, () (a n +b n ) e ca n são ambas convergentes; (2) a soma de (a n +b n ) é s+t e a soma de ca n é cs. Corolário 2.5. Se a n é convergente e b n é divergente, então a série (a n +b n ) é divergente. Demonstração. Se (a n +b n ) fosse convergente, então pelo teorema anterior também a série b n = seria convergente, o que é um absurdo. (a n +b n ) Exemplo 2.5. A série +2 n é convergente, pois é a soma das séries geométricas convergentes 3 n = 3 e ( 2 n 3 n 2 3) = 3. A sua soma é, pois, igual a Já a série +4 n 2 3 n diverge pois é a soma de uma série convergente com uma divergente. Exercício 2.4. Determine a natureza das séries de termo geral indicado: (a) 2n +3 n+ 6 n, (b) b n 2 n(n+) + 2 n, (c) n(n+) + n. 2.. Séries de termos positivos. Em geral é difícil encontrar a soma exacta de uma série. Conseguimos fazê-lo nos casos anteriores porque foi fácil encontrar uma fórmula simples para a n-ésima soma parcial s n. Mas geralmente não é simples calcular lims n. Iremos pois desenvolver vários testes que nos permitirão concluir se uma série de termos positivos é convergente ou divergente sem calcular a sua soma explicitamente. Teorema 2.6. Sejam a n e b n duas séries. Suponhamos que 0 a n b n, para todo o n n 0. Então, () se b n é convergente, então a n é também convergente; (2) se a n é divergente, então b n é também divergente. Exemplo 2.6. A série e a série 2 n + é convergente, uma vez que 0 2 n + 2 n 2 n converge pois é uma série geométrica de razão 2 <.

12 2 Definição 2.3. Seja p R. A série-p, ou de Dirichlet, correspondente é Se 0 < p, temos n p > n. Uma vez que a série harmónica n. n p é divergente, pelo teste de comparação concluímos que a série-p é divergente para 0 < p. Em geral, temos o seguinte resultado: Teorema 2.7. A série-p é divergente se p e convergente se p >. n p Teorema 2.8 (Teste de comparação do limite). Sejam a n e b n duas séries de termos positivos. Se lim an b n R +, isto é, não é zero nem +, então as séries têm a mesma natureza. Exemplo 2.7. A série 2 n é convergente. De facto, lim 2 n 2 n = lim 2n 2 n = R+ e a série 2 n é geométrica de razão 2 do limite, obtemos o resultado. <, logo convergente. Pelo teste de comparação Teorema 2.9 (Critério da razão ou d Alembert). Seja a n uma série de termos positivos. () Se lim a n+ a n = L < a série a n é convergente. (2) Se lim a n+ a n = L > ou lim a n+ a n = + a série a n é divergente. (3) Se lim a n+ a n = nenhuma conclusão pode ser retirada sobre a convergência ou divergência da série a n. Teorema 2.0 (Critério daraizoudecauchy). Seja a n uma série de termos positivos. () Se lim n a n = L < a série a n é convergente. (2) Se lim n a n = L > ou lim n a n = + a série a n é divergente. (3) Se lim n a n = nenhuma conclusão pode ser retirada sobre a convergência ou divergência da série a n.

13 3 Exercício 2.5. Determine a natureza das séries de termo geral indicado: (a) n! 2 n+, (b) 8n n! n n, (c) n! (2n)!, (d) n n, (e) ( nsin π 3n) n, (f) ( n 4 tan 4 ( π 3n ))n, (g) ( n 2 4 n 2 ) 2n, (h) sin( n) 2 n, (i) sin ( ) ( ) n 2 n, (j) n 3 +3n+7, (k) π 5, (l), n 4 2n 3 +5 n n (m) 2n2 +3n 5+n 5, (n) n3 3 n, (o) (2n) n!, (p) 2 n. Exercício 2.6. Mostre que lim n! e n = Séries com termos de sinal não definido. Até ao momento só analisamos testes para séries com termos de sinal positivo. Vamos de seguida aprender a lidar com séries cujos termos não são necessariamente positivos. Designaremos estas séries por séries de termos de sinal não definido. De entre estas, existem umas especiais chamadas séries alternadas. Definição 2.4. Uma série alternada é aquela cujos termos são alternadamente positivos e negativos. Exemplo 2.8. As seguintes séries são alternadas: ( ) n n = ( ) n n n+ = Teorema 2. (Critério de Leibniz). Se (b n ) é uma sucessão decrescente tal que limb n = 0, então a série alternada ( ) n b n é convergente. Exemplo 2.9. A série alternada ( ) n é convergente pois (b n n) = ( ) é uma sucessão n decrescente, isto é, b n b n+ para todo o n e limb n = 0. Esta série designa-se por série harmónica alternada. Exemplo 2.0. OcritériodeLeibniznãopodeseraplicadoàsériealternada n 2n ( ) 3n pois o limite lim 2n = 2 0. No entanto, éfácil verificar que as subsucessões dos termos 3n 3 pares e dos termos ímpares têm limites diferentes, donde se conclui que não existe o limite n 2n do termo geral ( ). Assim, pelo teste da divergência, a série dada é divergente. 3n Exercício 2.7. Determine a natureza das séries de termo geral indicado: (a) ( )n n,n 2, n 2 2 ( )n+ (b),n 2, lnn ( )n (c), (d) ( ) n, n2 n n+3 n 2 +3 (e) ( )n 3n 4n, n2 (f) ( )n+, n 3 + cos(nπ) (g), n 3/4 (h) ( ) nnn n!.

14 Convergência absoluta. Dada uma série a n podemos considerar a série a n = a + a a n + cujos termos são os valores absolutos dos termos da série original. Definição 2.5. Uma série a n é dita absolutamente convergente se a série dos valores absolutos a n for convergente. Para determinarmos se uma série é absolutamente convergente basta aplicar os testes que estudamos para séries de termos positivos. Notemos que se a série original a n tiver todos os termos positivos, então ela coincide com a série dos valores absolutos. Neste caso a noção de convergência absoluta coincide com a noção de convergência. Nos exemplos seguintes veremos que nem sempre é este o caso. Exemplo 2.. Vimos no exemplo 2.9 que a série harmónica alternada ( ) n é n convergente, mas esta série não é absolutamente convergente uma vez que a série dos valores absolutos ( )n n = n é divergente. Exemplo 2.2. Usando o critério de Leibniz é fácil verificar que a série alternada é convergente. Além disso esta série é também absolutamente convergente uma vez que a série dos valores absolutos ( ) n = é uma série-p com p = 2 >, logo convergente. n 2 n 2 Definição 2.6. Uma série é dita simplesmente convergente se for convergente mas não absolutamente convergente. Como vimos, a série harmónica é simplesmente convergente. Teorema 2.2. Se a série a n é absolutamente convergente, então a série a n é convergente e a n a n. Demonstração. Observemos que 0 a n + a n 2 a n, para todo o n. Como por hipótese a n converge, também a série 2 a n converge e, pelo teste de comparação para série de termos positivos, podemos concluir que a série a n + a n também converge. ( ) n n 2

15 5 Mas então a n converge, pois podemos expressar esta série como a soma de duas séries convergentes a n = (a n + a n ) a n. Designemospor(s n )epor(s n )assucessões dassomasparciaisdasséries a n e a n. Pela desigualdade triangular podemos escrever s n := a +a 2 + +a n a + a a n = s n. Assim, obtemos lim s n lims n, ou seja, a n a n. Exemplo 2.3. A série a série cosn n 2 = cosn n 2 é absolutamente convergente. Com efeito, se considerarmos cosn, notamos que cosn n 2 n 2 converge, pelo teste de comparação, a série n 2 n 2, uma vez que cosn. Como cosn n 2 é convergente. Exercício 2.8. Averigúe se as seguintes séries são absolutamente convergentes: sinn (a) n, (b) ( ) n 2 n, (c) ( ) nn3 3 n. Exercício 2.9. Mostre que se a série de termo geral a n é absolutamente convergente, o mesmo se passa com a série de termo geral b n = n+2 n a n Rearranjos. Se arranjarmos a ordem dos termos numa soma finita, então é claro que o valor da soma permanecerá inalterado. Mas esse nem sempre é o caso para uma série. Definição 2.7. Por rearranjo de uma série a n queremos designar uma série obtida desta mudando a ordem dos seus termos. Exemplo 2.4. A série a +a 2 +a 5 +a 3 +a 8 +a 4 + é um rearranjo da série a n. Teorema 2.3. Se a n for uma série absolutamente convergente com soma s, então qualquer rearranjo de a n tem a mesma soma s. Mostraremos de seguida que o teorema anterior não é válido se a série não for absolutamente convergente. Exemplo 2.5. Já vimos que a série harmónica alternada ( ) n = + + n é simplesmente convergente. Além disso, pode provar-se que ( ) n = ln2. 5 n Daqui segue que ( ) n 2 n = ln2 + = 8 2.

16 6 Podemos adicionar zeros à série anterior sem alterar a sua soma (2.) = ln2 2, pois embora cada termo na sucessão das somas parciais da nova série seja repetido, o seu limite não se altera. Somando a série harmónica alternada com a série (2.), obtemos a série ln2 + = ln = 3 2 ln2. Ou seja, a série , que é um rearranjo da série harmónica alternada, tem soma diferente da soma da série harmónica alternada. Sobre o comportamento das séries simplesmente convergentes, temos o seguinte resultado obtido por Riemann: Teorema 2.4. Se a n for simplesmente convergente e r for um número real qualquer, então existe um rearranjo de a n que tem soma igual a r Produto de Cauchy. Definição 2.8. Sejam (a n ) e (b n ) duas sucessões. A convolução de a n por b n é a sucessão (u n ) dada por u 0 =a 0 b 0 u =a 0 b +a b 0 u 2 =a 0 b 2 +a b +a 2 b 0. u n =. n a k b n k k=0 Teorema 2.5. Sejam a n e b n duas séries absolutamente convergentes. Então a série u n, cujo termo geral é a convolução dos termos gerais das séries dadas, é absolutamente convergente e Exemplo 2.6. A série 7 < e tem soma 7 n u n = k=0 ( )( ) u n = a n b n. é absolutamente convergente, pois é geométrica de razão 7 n = 7. A convolução de ( ) por si própria dá origem à sucessão 6 7 n 7 k 7 = n k n n+ = n 7 n 7n n 7. n

17 7 Portanto, ( n+ = 7 n 7 n )( ) = 7 n ( ) Pode acontecer que a n e b n sejam ambas convergentes, não absolutamente, e o produto de Cauchy u n seja divergente. Exemplo 2.7. A série ( ) n termo geral a n = ( ) n n por si próprio é Tem-se, portanto, n é simplesmente convergente e a convolução do seu u n = ( ) n ( n + 2 n + + n ). u n n n + n n + + n n = n + n + + n = n n =. Daqui conclui-se que limu n 0 e, portanto, a série u n diverge. 3.. Sucessões de funções. 3. Séries de funções Definição 3.. Uma sucessão de funções (f n ) n N é uma lista infinita de funções reais f n : D R com o mesmo domínio D R. Tal como nas sucessões reais podemos escrevê-las por extenso: (f,f 2,...,f n,...). Exemplo 3.. Para cada n, as funções f n : [0,] R x x n = f n (x) definem a sucessão de funções (f n ) n N. Notemos que a função limite é descontínua em x =. Definição 3.2. Dada uma sucessão de funções (f n ) n N e uma função f : D R, dizemos que (f n ) n N converge pontualmente para f, e escrevemos f n f ou limf n = f se para todoox D asucessãonumérica(f n (x)) n N convergeparaf(x). Simbolicamente, f n f se fixado x D, ε > 0 n 0 N : n n 0 f n (x) f(x) < ε. A função f diz-se a função limite pontual da sucessão (f n ) n N em D. Notemosquenaconvergência pontualaordemn 0 nãodependeapenasdeεmastambém do ponto x D considerado. Exemplo 3.2. Consideremos novamente a sucessão de funções (f n ) n N definida no exemplo 4.6. Fixado x [0,], { limf n (x) = limx n 0, se 0 x < =, se x =.

18 8 Considerando a função f : [0,] R, definida por f(x) = 0 se 0 x <, e f() =, concluímos que limf n (x) = f(x), para todo o x D, isto é, f n f pontualmente. Exemplo 3.3. A sucessão de funções f n (x) = nx2 +x definidas em R converge pontualmente n para a função f(x) = x 2, pois limf n (x) = limx 2 + x = n x2 para cada x R. Se, na definição 3.2 a ordem n 0 for independente de x, diremos que temos convergência uniforme. Isto é, quando for possível, para qualquer ε > 0 dado, obter um n 0 N que sirva para todos os pontos x D, diremos que f n f uniformemente em D. Definição 3.3. A sucessão de funções (f n ) n N converge uniformemente para a função f se ε > 0 n 0 N : n n 0 f n (x) f(x) < ε, para todo o x D. Notemos que se f n f uniformemente em D, então também f n f pontualmente em D. A importância do conceito de convergência uniforme resulta do facto de haver resultados que são válidos quando temos convergência uniforme e que não se verificam quando temos apenas convergência pontual. Teorema 3.. Se f n f uniformemente em D e f n são funções contínuas, então f é também contínua em D. O corolário seguinte é particularmente útil quando pretendemos mostrar que não temos convergência uniforme. Corolário 3.2. Se f n são funções contínuas em D, f n f pontualmente e f não é contínua, então a convergência não é uniforme. Exemplo 3.4. Vimos no exemplo 3.2 que a sucessão de funções (x n ) n N converge pontualmente para a função f. Uma vez que as funções x n são contínuas e que f é descontínua em x =, podemos concluir que a convergência x n f não é uniforme. Exercício 3.. Analise a convergência pontual e uniforme das seguintes sucessões de funções nos intervalos indicados: () f n (x) = e nx em [0,]. (2) f n (x) = nx2 +nx 2 em R. (3) f n (x) = nxe nx em R Séries de funções. Definição 3.4. Uma série de funções reais definidas em D R é uma expressão da forma f n ou f +f 2 + +f n +, onde (f n ) n N é uma sucessão de funções. O termo geral dessa sucessão é o termo geral da série. Dada uma sucessão de funções (f n ) n N definidas em D R, consideremos a sucessão de funções (s n ) n N definidas por s n : D R x s n (x) = f (x)+ +f n (x)

19 9 e chamada a sucessão das somas parciais. Se a sucessão (s n ) n N for convergente, dizemos que a série f n é convergente e ao seu limite chamamos soma da série. Caso contrário a série diz-se divergente. Definição 3.5. Dizemos que a série de funções f n converge uniformemente em D se a sucessão das somas parciais (s n ) n N for uniformemente convergente em D para uma função s. Teorema 3.3. Se as funções f n : D R R forem contínuas em D e a série converge uniformemente em D, então a função soma f = f n é contínua em D. f n Demonstração. Por hipótese, sucessão das somas parciais s n = f + +f n f uniformemente em D. Além disso, a continuidade das funções f n implicam a continuidade de s n. Assim, pelo teorema 3., f é contínua em D. Teorema 3.4 (Critério de Weierstrass). Se existir uma sucessão numérica (a n ) n N tal que () n N, x D, f n (x) a n, (2) a n converge, então as séries f n e f n são uniformemente convergentes em D. Exemplo 3.5. A série sin(nx) n 2 é uniformemente convergente em R pois sin(nx) n 2 = sin(nx) n 2 n 2, x R, n N e a série n converge. 2 Também a série ( ) n n 2 +x 2 é uniformemente convergente em R pois ( ) n n 2 +x 2 n 2, x R, n N e a série n converge. 2 Portanto, pelo teorema 3.3 as séries sin(nx) n 2 e ( ) n n 2 +x 2 definem funções contínuas em R, pois estas convergem uniformemente e os seus termos gerais são funções contínuas Propriedades da convergência uniforme. Teorema 3.5. Seja (f n ) n N uma sucessão de funções onde, para cada n N, f n : [a,b] R é contínua. Se a série f n converge uniformemente em [a,b], então a soma da série é uma função contínua e b a f n (x)dx = b a f n (x)dx.

20 20 Exemplo 3.6. Pelo critério de Weierstrass, é fácil mostrar que a série 2 n +x 2 é uniformemente convergente. Como as funções são contínuas em R, temos 2 n +x 2 ( ) dx = 0 2 n +x n +x 2dx = 2 n 0 [ ] π = 2 narctg(x) = 0 2 n 4 = π ( ) n = π 2 = π Exercício 3.2. Calcule: π ( ) ( ) n sin(x) dx. 3 n +x 2dx Teorema 3.6. Seja (f n ) n N uma sucessão de funções onde, para cada n N, f n : [a,b] R é derivável. Suponhamos que para um certo ponto c [a,b], a série numérica f n (c) é convergente. Se a série f n converge uniformemente em [a,b] para uma função T(x), então a série f n converge uniformemente para uma função S(x) que satisfaz S (x) = T(x), isto é, ( f n (x)) = Exemplo 3.7. Consideremos a série concluímos que a série das derivadas f n(x). ( ) n 3 n sin(x). Aplicando o critério de Weierstrass, ( ) n 3 n cos(x) converge uniformemente no intervalo [0,π]. Além disso, fazendo x = 0 obtemos a série convergente. Assim, temos ( ) ( ) n sin(x) = 3 n 3.4. Séries de Potências. ( ) ( ) n sin(x) = 3 n ( ) n 3 n que é absolutamente ( ) n cos(x). 3 n Definição 3.6. Uma série de potências é uma série de funções da forma a n (x x 0 ) n, com x 0 R, fixo, chamado o centro da série e (a n ) n N uma sucessão numérica. Esta série é também designada por série de potências em x x 0, série de potências centrada em x 0 ou série de potências em torno de x 0. Nota 3.. No termo correspondente a n = 0 convencionamos (x x 0 ) 0 =, mesmo quando x = x 0.

21 2 Para cada x R podemos considerar a série numérica a n (x x 0 ) n que se obtém substituindo no termo geral a variável x pelo número x. Coloca-se então a questão de determinar para que valores de x converge a série. Claro que para x = x 0 só o primeiro termo é não nulo, igual a, sendo todos os restantes iguais a zero. Portanto, para x = x 0 a série é sempre convergente. É assim natural perguntar se a série de potências converge para algum ponto diferente de x 0, e em caso afirmativo indagar qual o conjunto de todos os tais números, conjunto esse que designaremos por intervalo de convergência. Exemplo 3.8. A série n!x n converge apenas para x = 0. De facto, para x 0, fazendo a n = n!x n e aplicando o teste da razão à série dos valores absolutos obtemos lim a n+ a n = lim(n+) x = +. Istosignificaqueexisteumaordemn 0 apartirdaqualtodosostermosverificam a n+ a n >, ou equivalentemente, a n+ > a n para todo o n n 0, pelo que lim a n 0. Claro que isto implica lima n 0 e, pelo teste da divergência, a série n!x n diverge. Exemplo 3.9. Mostremos que a série converge para todos os valores de x R. Com x 0 e a n = xn n!, temos lim a n+ a n = lim x n x n n! = 0, para todo o x R. Pelo teste da razão a série dos valores absolutos é convergente, pelo que a série original é absolutamente convergente, e portanto convergente, para todo o x R. Exemplo 3.0. Consideremos agora a série (x 3) n e notemos que para x 0, lim x 3 n+ n+ n n x 3 = lim x 3 n n n+ = x 3. Pelo critério da razão a série é absolutamente convergente para x 3 <. Além disso, o argumento usado no exemplo 3.8 permite concluir que a série diverge para x 3 >. Resta averiguar o que acontece quando x 3 =, ou seja, quando x = 2 e x = 4. No primeiro caso obtemos a série harmónica alternada ( ) n, que é convergente, enquanto n que no segundo caso obtemos a série harmónica, que diverge. Portanto, a série dada converge para todo o x [2,4[. n

22 22 Teorema 3.7. Seja a n (x x 0 ) n. Então, existem apenas três possibilidades: () a série converge somente para x = x 0 ; (2) a série converge absolutamente para todo o x R; (3) existe um número positivo R > 0 tal que a série converge absolutamente se x x 0 < R e diverge se x x 0 > R. Convenciona-se R = 0 no primeiro caso e R = no segundo. Ao número R chama-se raio de convergência No terceiro caso, a convergência nos extremos do intervalo ]x 0 R,x = x 0 +R[ tem de ser verificada directamente. Além disso, no caso da série convergir nalgum dos extremos essa convergência pode ser absoluta ou apenas simples. Definição 3.7. O intervalo de convergência de uma série de potências é o intervalo formado por todos os valores de x para os quais a série converge. No primeiro caso do teorema do raio de convergência temos apenas {x 0 }, no segundo R =],+ [ e no terceiro caso, existem quatro possibilidades: ]x 0 R,x 0 +R[, [x 0 R,x 0 +R[, ]x 0 R,x 0 +R], [x 0 R,x 0 +R]. Exercício 3.3. Determine o raio e o intervalo de convergência das seguintes séries de potências: x n (a) n+, (b) 3 n x n ( ) n x n, (c), n! (d) (g) n! 2 nxn, (e) 5 n n 2xn, ( 2) n x n+ n xn, (h) ( ), n+ n x n (f) lnn, (i) n=2 ( ) n x 2n, (2n)! (x 3) n ( ) n+ (x+) n (j), (k), (l) 2 n n ( ) n 3 (x+5) n Continuidade e convergência uniforme de uma série de potências. Teorema 3.8. Seja a n (x x 0 ) n uma série de potências com raio de convergência R > 0. Se a série converge absolutamente no ponto c > x 0, então a série converge uniformemente no intervalo [ c,c] ]x 0 R,x 0 +R[. Demonstração. Dado x [ c,c], temos x x 0 c x 0. Portanto, podemos escrever a n (x x 0 ) n a n (c x 0 ) n. Como a série a n (c x 0 ) n é, por hipótese, convergente, concluímos pelo critério de Weierstrass que a série a n (x x 0 ) n converge uniformemente em [ c,c].

23 23 Como corolário do teorema anterior concluímos que uma série de potências a n (x x 0 ) n com raio de convergência R > 0 (ou R = ) converge uniformemente em qualquer intervalo fechado contido no seu intervalo de convergência ]x 0 R,x 0 + R[. A série de potências é assim uma função contínua em qualquer intervalo fechado contido em ]x 0 R,x 0 +R[. Pode provar-se mais, isto é, uma série de potências é sempre uma função contínua em todo o domínio de convergência pontual. Atendendo aos teoremas 3.5 e 3.6, é agora fácil concluir as propriedades de derivação e integração de uma série de potências. Teorema 3.9. Seja a n (x x 0 ) n uma série de potências. Seja f :]x 0 R,x 0 +R[ R a respectiva função soma, onde R 0 é o raio de convergência da série de potências. () A série na n (x x 0 ) n que se obtém derivando termo a termo, tem o mesmo raio de convergência, R, e a sua função soma é f. (2) A série a n (x x n+ 0) n+ que se obtém primitivando termo a termo, tem o mesmo raio de convergência, R, e a sua função soma é uma primitiva de f. Nota 3.2. Uma série de potências de x x 0 com raio de convergência R > 0 possui derivadas de todas as ordens em qualquer ponto do intervalo ]x 0 R,x 0 +R[. Nota 3.3. Embora o teorema anterior diga que o raio de convergência permanece o mesmo quando uma série de potências é diferenciada ou integrada, isso não significa que o intervalo de convergência permanece o mesmo. Pode acontecer a série original convergir num extremo enquanto que a série diferenciada diverge nesse ponto. Exemplo 3.. O intervalo de convergência da série de potências intervalo de convergência da sua derivada ( ) x n ( ) x n = = é [,[. n 2 n 2 x n n x n n 2 é [,], mas o A partir do conhecimento do desenvolvimento em série de potências de algumas funções é possível, usando o teorema anterior, definir desenvolvimentos em série de potências de outras funções. Exemplo 3.2. Vejamos como determinar o desenvolvimento em série de potências de algumas funções a partir da igualdade x n =, x <. x Escrevendo +x = ( x), obtemos +x = ( x) = ( x) n = ( ) n x n,

24 24 válido para x <, ou seja, x <. Usando o mesmo raciocínio temos +x = 2 ( x 2 ) = ( ) n x 2n, para x 2 <, ou seja, para x <. Integrando termo a termo esta última igualdade, obtemos ( arctg(x) = ( ) n x )dx 2n = ( ) n x 2n dx = ( ) n x2n+ 2n+, válido para x <. Exemplo 3.3. Consideremos agora a função ( x) 2. Derivando a expressão obtemos ( ) ( x) = x n = 2 válido para x <. x = (x n ) = x n nx n = (n+)x n, Exercício 3.4. Desenvolva em série de potências de x as funções a seguir indicadas, e determine os respectivos intervalos de convergência: (a) (d) 3.6. Série de Taylor. (+x) 2, (b) x 2 (+x) 2, (c) x 2, 3+x (e) ln( x), (f) x x 2 4x+3. Teorema 3.0. Seja f a função soma da série de potências a n (x x 0 ) n definida no interior do intervalo de convergência D =]x 0 R,x 0 +R[, com R > 0. Então a função f admite derivadas de qualquer ordem em D e a n = f(n) (x 0 ). n! Demonstração. Temos f(x 0 ) = a 0, pois convencionámos (x x 0 ) 0 = para todo o x R. Derivando a série, obtemos f (x) = na n (x x 0 ) n, donde f (x 0 ) = a. Derivando sucessivamente e fazendo x = x 0 obtemos como pretendíamos provar. f (x 0 ) = 2a 2,...,f (n) (x 0 ) = n!a n,

25 25 Deste teorema concluí-se que uma função f(x) não pode ser a soma de duas séries de potências de x x 0 diferentes com raio de convergência não nulo, pois da igualdade f(x) = a n (x x 0 ) n = b n (x x 0 ) n obtemos a n = b n = f(n) (x 0 ), para todo o n 0. n! Definição 3.8 (Série de Taylor). Sejaf :]a,b[ R uma função que admite derivadas de qualquer ordem nos pontos de ]a,b[. Seja x 0 ]a,b[. A série de Taylor de f em torno de x 0 é a série de potências de centro em x 0 dada por f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n. n! O termo geral da sucessão das somas parciais n f (k) (x 0 ) s n (x) = (x x 0 ) k k! k=0 chama-se polinómio de Taylor de grau n de f no ponto x 0. Dada uma qualquer função com derivadas de qualquer ordem em x 0, podemos sempre construir a sua série de Taylor. Coloca-se então a questão de saber qual a relação entre a função f e a sua série de Taylor. Como veremos no exemplo seguinte, nem sempre a série de Taylor de uma uma função converge para essa função. { e x 2, x 0 Exemplo 3.4. A função f(x) = admite derivadas de qualquer ordem 0, x = 0 numa vizinhança do ponto 0, tendo-se f (n) (0) = 0, para n 0. Assim, a sua série de Taylor em torno do ponto 0, dada por 0x n = 0 = 0, converge em todo o R para a função nula, e portanto não converge para a função f em nenhuma vizinhança da origem. Definição 3.9. Uma função f :]a,b[ R diz-se analítica em x 0 ]a,b[ se existe uma série de potências a n (x x 0 ) n tal que f(x) seja a soma dessa série para todo o x numa vizinhança de x 0, isto é para todo o x ]x 0 ǫ,x 0 +ǫ[ ]a,b[, com ǫ > 0. Nota 3.4. Se f :]a,b[ R for analítica em x 0 ]a,b[ então f é soma da sua série de Taylor numa vizinhança de x 0, ou seja f(x) = f (n) (x 0 ) (x x n! 0 ) n para todo o x ]x 0 ǫ,x 0 +ǫ[. Nota 3.5. Se f é analítica em x 0, f tem derivadas de qualquer ordem numa vizinhança desse ponto e todas as suas derivadas são funções analíticas.

26 26 Exemplo 3.5. A função f :],[ R definida por x para todo o x ],[. x = x n é analítica em 0, pois Quando pretendemos representar funções por séries de Taylor temos necessidade de identificar quais as funções analíticas num certo ponto. Para tal, na próxima secção vamos apresentar critérios de analiticidade Fórmula de Taylor. Critérios de analiticidade. Teorema 3. (FórmuladeTaylorcomrestodeLagrange). Seja f :]a,b[ R uma função que admite derivadas contínuas em ]a,b[ até à ordem n+ e seja x 0 ]a,b[. Então para qualquer x ]a,b[, existe c estritamente entre x e x 0 tal que f(x) = f(x 0 )+f (x 0 )(x x 0 )+ f (x 0 ) 2! onde (x x 0 ) f(n) (x 0 ) (x x 0 ) n +r n (x), n! r n (x) = f(n+) (c) (n+)! (x x 0) n+. A r n (x) chama-se resto de Lagrange da Fórmula de Taylor de ordem n. Exemplo 3.6. Vamos usar a fórmula de Taylor para mostrar que sin(x) x para x 0. Fazendo n = 0 e x 0 = 0, obtemos sin(x) = sin(0)+r 0 (x), onde r n (x) = (cos(c))x, para algum 0 < c < x. Como x 0 e cos(c), segue que sin(x) x. A fórmula de Taylor definida em cima permite-nos obter um primeiro critério de analiticidade. Teorema 3.2 (Primeiro critério de analiticidade). Seja f uma função indefinidamente diferenciável numa vizinhança de x 0. Então f é analítica em x 0 se e só se o resto de Lagrange de f de ordem n é convergente para zero. Demonstração. Denotando por s n o termo geral da sucessão das somas parciais associada à série de Taylor de f em torno de x 0, podemos escrever, pela fórmula de Taylor, f(x) = s n (x)+r n (x), ou ainda r n (x) = s n (x) f(x). Portanto, a série de Taylor de f em torno de x 0 converge para f numa vizinhança de x 0 se e só se lims n (x) = f(x) se e só se limr n (x) = 0. Exemplo 3.7. Notando que todas as derivadas de e x em torno do ponto 0 são iguais a, a série de Taylor desta função em torno da origem é dada por x n n!.

27 27 Mostremos que esta série converge para a função e x em todo R. Da fórmula de Taylor de grau n, temos para cada x R, e x = +x+ x2 x + + xn n! +r n(x), onde r n (x) = ec (n+)! xn+ para algum c < x. Então, para cada x R fixo, temos que pois como a série numérica limr n (x) = lim x n+ ec (n+)! xn+ = 0, (n+)! é convergente, o seu termo geral tende para zero. Assim, pelo primeiro critério de analiticidade, podemos escrever (3.) e x x n =, para todo o x R. n! Notemos ainda que desta igualdade podemos retirar várias propriedades da exponencial. Por exemplo, derivando termo a termo obtemos ( ) x (e x ) n nx n x n = = = n! n! (n )! = ex. Fazendo x = 0 em (3.), obtemos a célebre igualdade e = n!. Podemos ainda justificar, através da fórmula anterior, o conhecido limite e x lim =. x 0 x de facto, de (3.) podemos escrever e x = x + x2 + x3 + = x( + x + x2 + ). 2! 3! 2! 3! Logo, para x 0 tem-se e x = + x x 2! + x2 3! + que é uma série de potências convergente em R e, como tal, contínua para qualquer x R. Assim, pondo h(x) = + x + x2 +, temos 2! 3! e x lim = limh(x) = h(0) =. x 0 x x 0 Teorema 3.3 (Segundo critério de analiticidade). Seja f uma função indefinidamente diferenciável numa vizinhança de x 0. Se existirem um número real M > 0 e uma vizinhança de x 0 tais que nessa vizinhança se tenha f (n) (x) M para todo o n 0, então nessa vizinhança, f coincide com a sua série de Taylor em torno do ponto x 0. Exemplo 3.8. As funções sin(x) e cos(x) são indefinidamente diferenciáveis e as suas derivadas são sempre sin(x), cos(x), sin(x) e cos(x). Como ±sin(x), ±cos(x) para todo o x R, as séries de Taylor de sin(x) e de cos(x) em torno da origem coincidem com estas funções em R:

28 28 e sin(x) = cos(x) = ( ) n x 2n+ (2n+)! ( ) n x2n (2n)!. Exercício 3.5. Determine as séries de Taylor das seguintes funções em torno da origem, indicando os respectivos raios de convergência. (a) e x, (b) sin(x), (c) cos(x), (d) e x2, (e) e x/2, (f) sin(x 4 ), (g)x 2 e x, (h) sin(x 2 ), (i) xcos(x). 4. Séries de Fourier Quando tentava solucionar um problema relacionado com a condução do calor, Joseph Fourier necessitou de expressar uma função f como uma série trigonométrica da forma (4.) a 0 + (a n cos(nx)+b n sin(nx)). Esta série, chamada trigonométrica ou de Fourier, tem período 2π, e a sua utilização no estudo de fenómenos periódicos, como por exemplo ondas de som, movimento da Terra ou batimento cardíaco, é por vezes mais vantajosa do que a utilização das séries de potências. Definição 4.. Uma função f : R R é dita periódica de de período T R se f(x+t) = f(t), para todo o x R. Claro que se T é um período da função f, então também kt é um período de f, para todo o k Z, uma vez que e f(x+kt) = f(x+(k )T +T) = f(x+(k )T) = = f(x), se k Z + f(x T) = f(x T +T) = f(x). Portanto, sem perda de generalidade podemos considerar apenas períodos positivos. O intervalo de regularidade de f é qualquer intervalo de comprimento T. Na maior parte dos casos, vamos considerar os intervalos de regularidade [0,T] ou [ T 2, T 2 ]. Definição 4.2. Chamamos período fundamental de uma função periódica ao menor dos períodos positivos. Vamos, no entanto, daqui em diante chamar apenas período ao período fundamental. Exemplo 4.. As funções sin(x) e cos(x) são periódicas com período 2π, pois sin(x+2π) = sin(x) e cos(x) = cos(x+2π), para todo o x R. Exemplo 4.2. A função f : R R definida por f(x) = x [x], onde [x] representa o maior inteiro que não excede x é periódica com período. O gráfico desta função está representado em baixo.

29 Exemplo 4.3. Para cada n N e cada L R \ {0}, fixos, as funções definidas por f(x) = sin ( ) ( nπx L e g(x) = cos nπx ) L são periódicas com período T = 2L, pois n ( ( nπ f(x+t) = sin x+ 2L )) ( nπx ) ( nπx ) = sin L n L +2π = sin = f(x) L e analogamente g(x+t) = g(x). Definição 4.3. Uma função f diz-se seccionalmente contínua no intervalo [ L, L] se tiver neste intervalo apenas um número finito de descontinuidades, todas de primeira espécie. Isto é, se f tem um número finito de descontinuidade em a,a 2,...,a n, para algum n 0, com L = a 0 < a < a 2 < < a n < a n+ = L, é contínua em ]a i,a i+ [, i = 0,,...,n, e existem os limites laterais f(a + i ) = lim f(x) e f(a x a + i ) = lim f(x). i x a i Nota 4.. Se f é contínua em x i então f(x + i ) = f(x i ). Nota 4.2. Uma função seccionalmente contínua em [ L, L] é integrável neste intervalo. Exemplo 4.4. A função f cujo gráfico está representado em baixo, não é seccionalmente contínua em [, ], pois embora só tenha um ponto de descontinuidade neste intervalo e f(0 ) = 0, verifica lim x 0 +f(x) = Exemplo 4.5. A função f : R R definida por f(x) = x [x] é seccionalmente contínua em R.

30 30 Voltemos então à série (4.) e suponhamos que esta é uniformemente convergente para a função contínua f(x) no intervalo [ π,π], isto é, (4.2) f(x) = a 0 + (a n cos(nx)+b n sin(nx)), π x π. Vamos determinar qual a relação entre os coeficientes a n e b n e a função f. Integrando termo a termo, obtemos π π π π f(x)dx = a 0 dx+ (a n cos(nx)dx+b n π Uma vez que segue que π π π cos(nx)dx = π π π π sin(nx)dx = 0, a 0 = f(x)dx. 2π π Multiplicando a equação (4.2) por cos(mx), m, obtemos π π f(x)cos(mx)dx = π ) sin(nx)dx. π π π = a 0 cos(mx)dx+ (a n cos(nx)cos(mx)dx+b n sin(nx) cos(mx)dx). π } {{ } π π } {{ } =0 =0 Atendendo a que { π π, n = m cos(nx) cos(mx)dx = 0, n m, obtemos então π π a m = f(x)cos(mx)dx, m. π π Analogamente, multiplicando a equação (4.2) por sin(mx), m, obtemos b m = π π π f(x)sin(mx)dx, m. Definição 4.4. Seja f uma função seccionalmente contínua no intervalo [ π, π]. Então a série de Fourier de f é a série de funções a 0 + (a n cos(nx)+b n sin(nx)), onde os coeficientes a n e b n definem-se por π a 0 = 2π π π f(x)dx, a n = π πf(x)cos(nx)dx e b n = π e designam-se por coeficientes de Fourier. π π f(x) sin(nx)dx

31 3 Nota 4.3. Nesta definição não é dito que f(x) é a soma da sua série de Fourier. Apenas se diz que associada a uma qualquer função f seccionalmente contínua no intervalo [ π, π], existe uma certa série chamada série de Fourier. Coloca-se então a questão de saber qual a relação entre f e a sua série de Fourier. A resposta a esta questão é dada no próximo teorema. Exemplo 4.6. Consideremos a função definida em [ π, π] por { 0, π x < 0 f(x) =, 0 x < π. Os coeficientes de Fourier de f são dados por e a n = π b n = π π π a 0 = 2π π πf(x)cos(nx)dx = π πf(x)sin(nx)dx = π A série de Fourier de f é, então π π π 0 f(x)dx = 2π 0 π 0 cos(nx)dx = π sin(nx)dx = π dx = 2, [ sin(nx) n [ cos(nx) n ] π 0 ] π 0 = 0, para n, = { 0, n par 2, n ímpar. nπ a 0 +a cos(x)+a 2 cos(2x)+ +b sin(x)+b 2 sin(2x)+b 3 sin(3x)+ = sin(2k )x. π(2k ) Teorema 4. (Convergência da série de Fourier). Seja f uma função periódica de período 2π. Se f e f forem seccionalmente contínuas no intervalo [ π,π], então a série de Fourierde f é convergenteem R e a sua soma, emcada ponto x, é igual à médiaaritmética dos limites laterais de f, f(x + )+f(x ). 2 Nota 4.4. Se f é contínua em x, então f(x + ) = f(x ) e f(x+ )+f(x ) 2 = f(x), ou seja, a série de Fourier converge para f(x) nos pontos de continuidade da função f. Exemplo 4.7. Seja f a função periódica de período 2π definida no intervalo [ π,π] por { 0, π x < 0 f(x) =, 0 x < π. É fácil verificar que tanto f como a sua derivada são seccionalmente contínuas no intervalo [ π,π]. A função f é contínua no ponto x = e descontínua em x = 0. Assim, a sua série de Fourier, que vimos no exemplo 4.6 ser dada por sin(2k )x, π(2k ) converge para f() = no ponto x =, e converge para f(0+ )+f(0 ) x = 0. = 0+ = no ponto

32 Séries de Fourier de funções pares e ímpares. Se f é uma função par em [ L,L], isto é, se f( x) = f(x) para todo o x [ L,L], então L L f(x)dx = 2 L 0 f(x)dx. Se f é uma função ímpar em [ L,L], isto é, se f( x) = f(x) para todo o x [ L,L], então L L f(x)dx = 0. Além disso, o produto de duas funções pares ou de duas funções ímpares é uma função par, enquanto que o produto de uma função par por uma função ímpar é uma função ímpar. Daqui segue que se f é uma função par no intervalo [ π,π], então os coeficientes de Fourier b n = 0, n, enquanto que se f é uma função ímpar em [ π,π], então os coeficientes de Fourier a n = 0, n 0. Ou seja, as séries de Fourier de funções pares são séries de cossenos a 0 + a n cos(nx), com π a 0 = f(x)dx e a n = 2 f(x) cos(nx)dx, π 0 π 0 enquanto que as séries de Fourier de funções ímpares são séries de senos b n sin(nx), com b n = 2 π π 0 π f(x) sin(nx)dx Séries de Fourier de funções com período 2L. Se a função f tem período diferente de 2π, podemos obter a sua série de Fourier fazendo uma mudança de variável. Suponhamos então que f é uma função seccionalmente contínua em [ L, L] com período 2L, isto é, f(x+2l) = f(x) para todo o x. Fazendo t = πx g(t) = f(x) = f então a função g é seccionalmente contínua, tem período 2π e x = ±L corresponde a t = ±π. A série de Fourier de g é então a 0 + (a n cos(nt)+b n sin(nt)), onde π ( Lt π a 0 = π g(t)dt, 2π π a n = b n = π πg(t)cos(nt)dt, π Substituindo a variável t = πx, obtemos então: L ), π π L e g(t) sin(nt)dt.

33 33 Definição 4.5. Seja f uma função seccionalmente contínua no intervalo [ L, L]. Então a série de Fourier de f é a série de funções ( ( nπx ) ( nπx )) a 0 + a n cos +b n sin, L L onde os coeficientes de Fourier são dados por a n = L L L f(x)cos a 0 = 2L L L f(x)dx, ( nπx ) dx e b n = L L L L f(x)sin ( nπx ) dx. L Nota 4.5. O teorema da convergência da série de Fourier é, naturalmente, válido para funções com período 2L. Exemplo 4.8. Determinemos a série de Fourier da função definida por f(x) = x, para x, e f(x+2) = f(x) para todo o x. O gráfico desta função está indicado em baixo. 2 2 Tanto a função f como a sua derivada são seccionalmente contínuas no intervalo [, ]. Além disso, notemos que f é uma função par. Determinemos então os coeficientes a n de Fourier de f, pondo L = na definição anterior: e para n, temos a n = a 0 = 2 f(x)dx = 2 0 ( x)dx+ 2 f(x)cos(nπx)dx = 2 n 2 π 2(cos(nπ) ) = Assim, a série de Fourier de f é dada por 2 4 cos((2k )πx). (2k ) 2 π2 Por fim, e uma vez que a função f é contínua, podemos escrever f(x) = 2 0 xdx = 2, { 0, se n é par 4, se n é ímpar. n 2 π 2 4 cos((2k )πx), para todo o x. (2k ) 2 π2 As séries de Fourier podem ser usadas para determinar a soma de algumas séries numéricas. Por exemplo, no caso anterior, para x = 0 a série de Fourier vale f(0) = 0. Assim, 0 = 2 4 (2k ) 2 π cos(0), 2

34 34 ou seja, π 2 8 = (2k ) 2 π 2. Exercício 4.. Para cada uma das seguintes funções, periódicas de período 2π, definidas no intervalo [ π, π] pela expressão correspondente, determine: () os coeficientes de Fourier de f; (2) a série de Fourier de f; (3) os valores de x R para os quais a função coincide com a soma da sua série de Fourier. {, π x < 0 (a) f(x) =, 0 x < π ; (b) f(x) = x; { 0, π x < 0 (c) f(x) = cos(x), 0 x < π ; (d) f(x) = x 2.

35 35 5. Números Complexos O conjunto dos números complexos é o conjunto {(a,b) : a,b R} dos pares ordenados, munido das seguintes operações: (a,b)+(c,d) = (a+c,b+d) (a,b)(c,d) = (ac bd,ad+bc) Estas operações são comutativas, associativas e a multiplicação é distributiva relativamente à adição. Os pares (0,0)e(,0) são os elementos neutros da adição e multiplicação, respectivamente. O subconjunto {(a,0) : a R} de C identifica-se com o conjunto dos reais R através da bijecção (a,0) a. Denotando então o par (a,0) com o real a e o par (0,) com a letra i, obtemos a fórmula algébrica dos números complexos (a,b) = (a,0)+(0,)(b,0) = a+bi. Notemos que i 2 =. Se z = a+bi C, chamamos a a a parte real de z e escrevemos a = Re(z). Chamamos a b parte imaginária de z e escrevemos b = Im(z). Quando Re(z) = 0 o número complexo z diz-se um imaginário puro. Em C não existe qualquer relação de ordem compatível com as operações. De facto, notemos que enquanto que i > 0 conduz a i 2 = > 0!!! i > 0 conduz a ( i) 2 = > 0!!! Portanto, não faz sentido usar os símbolos < ou entre números complexos a menos que se trate de números reais. O módulo do número z = a + bi é o número real não negativo z = a 2 +b 2, e o conjugado de z é z = a bi. Proposição 5.. Sejam z,z e z 2 números complexos. Então: () z = z se e só se Im(z) = 0 se e só se z R. (2) z = z. (3) z ±z 2 = z ±z 2 e z z 2 = z z 2. (4) zz = z 2. (5) z = 0 se e só se z = 0. (6) Se z 0, z = z. z 2 (7) z z 2 = z z 2 e z z z 2 z 2 se z 2 0. (8) z z 2 z ±z 2 z + z 2. Dado n N, a sua divisão por 4 permite-nos escrever n = 4k + r, com 0 r < 4 e k N. Assim, as potências de i são dadas por, r = 0 i n = i 4k+r = (i 4 ) k i r = i r i, r = =., r = 2 i, r = 3 Onúmerocomplexo z = a+bipodeser visto comoumvector noplanocompontoinicial (0,0) e final (a,b). O comprimento de z é a distância de z à origem, i.e., é z = a 2 +b 2.

36 36 b z = a+bi Nesta representação, o módulo z z 2 representa a distância de z a z 2. Seja z C\{0}. À medida do ângulo que a semi-recta com origem em O e que contêm z, faz com a parte positiva do eixo Ox, chamamos argumento de z (arg(z)). Portanto, cada número complexo z 0 tem uma infinidade de argumentos diferindo um dos outros por múltiplos de 2π. Ao argumento de z pertencente ao intervalo ] π,π], chamamos argumento principal de z e representamo-lo por Arg(z). a b θ a z = (a,b) ( z,θ) Designando por θ um valor de arg(z), obtemos a = z cos(θ) e b = z sin(θ). Um argumento θ de z 0 satisfaz as equações cos(θ) = Re(z) z e sin(θ) = Im(z). z O número complexo z 0 pode então ser escrito na forma z = z (cos(θ)+isin(θ)), chamada forma polar ou trigonométrica dum complexo. Para cos(θ) + i sin(θ) usa-se por vezes a abreviatura cis(θ). Exemplo 5.. O argumento do número complexo z = i é o conjunto e o seu argumento principal é Arg(i) = π 2. arg(i) = {2kπ + π,k Z}, 2 Proposição 5.2 (Multiplicação e divisão de complexos na forma polar). Sejam z cis(θ) e z i cis(θ i ), i =,2, números complexos. Então: () z cis(θ ) z 2 cis(θ 2 ) = z z 2 cis(θ +θ 2 ). (2) z cis(θ) = z cis( θ). (3) z cis(θ) = z cis( θ). (4) z cis(θ ) z 2 cis(θ 2 ) = z z 2 cis(θ θ 2 ). (5) ( z cis(θ)) n = z n cis(nθ), n Z - Fórmula de De Moivre. Notemos que pela alínea (), arg(z z 2 ) = arg(z )+arg(z 2 ). No entanto, em geral Arg(z z 2 ) Arg(z )+Arg(z 2 ), como se pode comprovar fazendo z = = cis(π) e z 2 = 5i = 5cis( π 2 ). O argumento principal de z z 2 = 5cis( π 2 ) é Arg(z z 2 ) = π 2, mas Arg(z )+Arg(z 2 ) = π + π 2.

37 37 Definição 5.. Dizemos que w é a n-ésima raiz de z 0 se w n = z, onde n é um inteiro positivo. Exercício 5.. Mostre que i e i são raízes índice 2 do número z = i. Sejam w = w cis(φ) e z = z cis(θ) tais que w n = z. Dois números complexos escritos na forma polar são iguais se e só se têm o mesmo módulo e os argumentos diferem entre si num múltiplo de 2π. Assim, { w n w n = z = z se e só se nφ = θ +2kπ, com k Z { w = n z se e só se φ = θ+2kπ, k = 0,,...,n. n Para cada k = 0,,...,n, obtemos n raízes distintas, todas com o mesmo módulo n z mas com diferentes argumentos. Devido à periodicidade do seno e do cosseno, para k n obtemos as mesmas raízes, visto que se k = n+m, com m = 0,,...,n, obtemos e φ = θ +2(n+m)π n ( θ+2mπ sin(φ) = sin n Recapitulando, as raízes de índice n de z 0 são w k = n ( θ+2kπ z cis n = θ+2mπ n ), cos(φ) = cos +2π ( θ+2mπ n ), k = 0,,...,n, e n z = {w0,w,...,w n }. Asraízesdeíndicendeumnúmerocomplexoz 0estãosituadassobreacircunferência de centro na origem e raio n z. Além disso, a diferença entre os argumentos de duas raízes consecutivas é 2π. n Exercício 5.2. Determine as raízes de índice 3 dos números z = i e z = +i e representeas geometricamente. 5.. Subconjuntos dec. Sejaz 0 = x 0 +y 0 i C. Como z z 0 = (x x 0 ) 2 +(y y 0 ) 2 é a distância entre z = x+yi e z 0, os números complexos z que satisfazem a equação z z 0 = ρ, ρ > 0, pertencem à circunferência de centro z 0 e raio ρ. Exemplo 5.2. () z = representa a circunferência de centro 0 e raio. (2) z +3i = 5 z ( 3i) = 5 representa a circunferência de centro (, 3) e raio 5. Em coordenadas polares, a circunferência de centro na origem e raio ρ > 0 pode ser escrita como {ρcis(θ),0 θ 2π} = {z : z = ρ}. Adicionando o número z 0 à expressão anterior, obtemos uma expressão para a circunferência de centro z 0 e raio ρ: {z 0 +ρcis(θ),0 θ 2π}. ).

38 38 Definição 5.2. Seja z 0 C e r > 0. A bola aberta de centro z 0 e raio r é o conjunto B(z 0,r) = {z : z z 0 < r}. Também se chama vizinhança de z 0 à bola aberta B(z 0,r). A bola fechada de centro z 0 e raio r é o conjunto B(z 0,r) = {z : z z 0 r}. Definição 5.3. Seja S C. Dizemos que S é um subconjunto aberto se qualquer ponto z S possui uma vizinhança contida em S, ou seja, z S r > 0 : B(z,r) A. Exemplo 5.3. O conjunto S = {z C : Re(z) > } éaberto. Defacto, dadoz = a+bi S com a >, tomemos r = a e notemos que B(z,r) S. Ou seja, qualquer ponto de S possui uma vizinhança contida em S, logo S é aberto: b z a S Exemplo 5.4. O conjunto S = {z C : Re(z) } não é aberto, pois qualquer vizinhança de z = possui pontos que não estão em S: S Exemplo 5.5. A bola aberta B(z 0,r) é um conjunto aberto, mas a bola fechada B(z 0,r) não é um conjunto aberto. Já o conjunto C\B(z 0,r) é aberto. Definição 5.4. Sejam z,w C. O segmento de recta de z para w é o conjunto [z,w] = {( t)z +tw : 0 t }. Definição 5.5. Um conjunto S C diz-se conexo se, quaisquer que sejam z,w S, existir uma curva contínua totalmente contida em S, que une z a w. Exemplo 5.6. A bola aberta B(z 0,r) (bem como a bola fechada B(z 0,r)) é um conjunto conexo. z z 0 w

39 39 Nota 5.. Se S C é aberto e conexo, então quaisquer que sejam z,w S, existe uma linha poligonal composta por segmentos horizontais e verticais, totalmente contida em S, que une z a w. Definição 5.6. Um conjunto S C diz-se limitado se existir r > 0 tal que S {z : z < r} = B(0,r). 6. Funções complexas Uma função complexa é uma correspondência f : A C, onde A R ou A C. No primeiro caso, dizemos que se trata de uma função complexa de variável real, no segundo trata-se de uma função complexa de variável complexa. Uma função real de variável real é uma função com valores reais e cujo domínio é um subconjunto de R. Como R C, toda a função real é também uma função complexa. O maior conjunto de números complexos onde a função f está definida chama-se domínio de f. Exemplo 6.. A expressão z + pode ser determinada para qualquer z C \ {0}, pelo z que define uma função complexa de domínio D f = C\{0}. Toda a função complexa pode ser expressa em termos da sua parte real e imaginária f(z) = Ref(z)+iImf(f), x D f. Por exemplo, pondo z = x+yi, podemos escrever a função f(z) = z 2 na forma f(x+yi) = (x+yi) 2 = (x 2 y 2 ) +i(2xy) = Ref(z)+iImf(z), }{{}}{{} Ref(z) Imf(z) onde Ref(z) e Imf(z) são definidas por e Ref : C R x+iy x 2 y 2 Imf : C R x+iy 2xy As funções Ref e Imf podem também ser vistas como funções reais de duas variáveis reais Ref : R R (x,y) x 2 y 2 e Imf : R R (x,y) 2xy Toda a função complexa é completamente determinada pela sua parte real e imaginária. Portanto, uma função complexa w = f(z) podeser definida porduas funções reaisde duas variáveis reais u(x,y) = Ref(z) e v(x,y) = Imf(z).

40 Limites e continuidade. Definição 6.. Seja f : A C C uma função complexa. Admitamos que f está definida numa vizinhança de z 0 (não necessariamente em z 0 ): B(z 0,δ)\{z 0 } = {z : 0 < z z 0 < δ} A. Dizemos que limf(z) = w z z 0 se a distância de f(z) a w puder ser tornada tão pequena quanto se queira desde que se tome z suficientemente próximo de z 0, isto é, Ou ainda, ǫ > 0 δ > 0 : z A (B(z 0,δ)\{z 0 }) f(z) B(w,ǫ). ǫ > 0 δ > 0 : z A, 0 < z z 0 < δ f(z) w < ǫ. Nota 6.. É fácil de verificar que o limite lim z z 0 f(z), quando existe, é único. Exemplo 6.2. Mostremos que lim z = w. z w Para tal, fixemos ǫ > 0. Pretendemos mostrar a existência de δ > 0 tal que se z B(w,δ) = {z : z w < δ}, então z w < ǫ. Ora uma vez que z w z w, basta tomar δ := ǫ, pois Exercício 6.. Mostre que: () lim z w z = w. (2) lim z w Re(z) = Re(w). (3) lim z w Im(z) = Im(w). z w < ǫ z w z w δ = ǫ. Podemos passar o cálculo dos limites duma função complexa para o cálculo de limites de funções reais de duas variável reais. Se temos f(z) = Ref(z)+iImf(z), limref(z) = Re(w) z z limf(z) = w se e só se 0 z z 0 limimf(z) = Im(w) z z 0 Exemplo 6.3. Seja f(z) = z 2 + i. Fazendo z = x + yi, temos f(z) = u(x,y)+v(x,y)i, com u(x,y) = x 2 y 2 e v(x,y) = 2xy +. Uma vez que e obtemos lim f(z) = 3i. z +i lim u(x,y) = 0 (x,y) (,) lim v(x,y) = 3 (x,y) (,) Obtemos ainda as seguintes propriedades..

41 4 Proposição 6.. Sejam f e g funções complexas e seja c C. Se limf(z) = L e z z0 limg(z) = M, então: z z 0 () limcf(z) = cl. z z0 (2) limf(z)±g(z) = L±M. z z0 (3) limf(z)g(z) = LM. z z0 f(z) (4) lim = L, desde que m 0. z z0 g(z) M Exemplo 6.4. Consideremos novamente a função f(z) = z 2 +i. Então, lim f(z) = z +i (+i)2 +i = 3i. Exercício 6.2. Dados números complexos a 0,a,...,a n, com a n 0, dizemos que a função p(z) = a n z n + +a z +a 0 é um polinómio de grau n. Se p(z) e q(z) são dois polinómios, chamamos função racional a r(z) = p(z) q(z). Mostre que: () se p(z) é um polinómio e w C, então lim z w p(z) = p(w). (2) se r(z) é uma função racional e w pertence ao domínio de r(z), então lim z w r(z) = r(w). É notória a semelhança entre as definições de limite de funções complexas e de funções reais. Existe, no entanto, uma diferença importante: enquanto que no caso das funções reais temos limf(x) = L se e só se lim f(x) = L e lim f(x) = L, no caso das funções x x0 x x 0 x x + 0 complexas não há direcções privilegiadas. Portanto, devemos ter limf(z) = w independentemente da forma como z se aproxima de z 0. Este facto pode ser utilizado como um z z0 critério para a não existência de um limite. Proposição 6.2. Se limf(z) = L, quando z se aproxima de z 0 segundo uma curva, e z z0 limf(z) = L 2, L L 2, quando z se aproxima de z 0 segundo uma outra curva, então z z 0 não existe limf(z) = L, limf(z). z z0 z z0 Exemplo 6.5. Utilizemos o critério anterior para mostrar que não existe o limite z lim z 0 z. Para tal, façamos z tender para a origem ao longo do eixo real, isto é, z = x+0i 0. Para estes pontos temos z lim z 0 z = lim y=0,x 0 x+yi x yi = lim x x 0x =.

42 42 Fazendo agora z tender para a origem ao longo do eixo imaginário, isto é, z = 0+yi 0, obtemos z lim z 0 z = lim x+yi x=0,y 0x yi = lim yi y 0 yi =. z Concluímos assim que lim não existe. z 0 z Definição 6.2. A função complexa f : A C é contínua em z 0 C se z 0 A e lim z z 0 f(z) = f(z 0 ). Portanto, para falarmos de continuidade de f em z 0 C temos de ter () f definida em z 0 ; (2) existência do limite lim z z0 f(z), e (3) lim z z0 f(z) = f(z 0 ). Se alguma destas condições não se verificar, dizemos que f é descontínua em z 0. As propriedades algébricas dos limites de funções complexas permitem-nos obter a seguinte proposição. Proposição 6.3. Sejam f e g duas funções complexas contínuas em z 0 C. Então: () cf é contínua em z 0, para qualquer c C. (2) f ±g é contínua em z 0. (3) fg é contínua em z 0. (4) f g é contínua em z 0 desde que g(z 0 ) 0. Exemplo 6.6. Umpolinómioéuma funçãocontínua emc. Umafunçãoracionalécontínua em todos os pontos do seu domínio. Uma vez que o limite, quando z tende para z 0, de uma função f(z) é w se e só se o limite das suas partes reais e imaginárias é Re(w) e Im(w), respectivamente, obtemos o seguinte resultado. Proposição 6.4. Suponhamos que f(x+yi) = u(x,y)+iv(x,y). Então f é contínua em x+iy se e só se u e v são contínuas em (x,y) Diferenciabilidade. Definição 6.3. Seja f : A C uma função complexa, com A aberto. Dizemos que f é diferenciável em z 0 A se existir o limite f(z 0 +h) f(z 0 ) lim, (h C). h 0 h A este limite chamamos a derivada de f em z 0, que se denota por f (z 0 ). Dizemos que f é diferenciável em A se for diferenciável em todos os pontos de A. Nota 6.2. Fazendo h = z z 0 na definição de derivada de f em z 0, obtemos f (z 0 ) = lim h 0 f(z 0 +h) f(z 0 ) h = lim z z0 f(z) f(z 0 ) z z 0. As regras familiares da derivação de funções reais de variável real são também válidas no caso complexo. Proposição 6.5. Sejam f e g funções complexas e c C. Então:

43 43 () (c) = 0. (2) (cf(z)) = cf (z). (3) (f(z)±g(z)) = f (z)±g (z). (4) (f(z)g(z)) = f (z)g(z)+f(z)g (z). (5) (f(g(z))) = f (g(z))g (z). ( f(z) g(z) ) (6) = f (z)g(z) f(z)g (z). (g(t)) 2 (7) (z n ) = nz n, para n N. Nota 6.3. Há funções que embora tendo derivada, ela não pode ser calculada usando estas regras. Proposição 6.6. Se f é diferenciável em z 0 C, então f é contínua em z 0. f(z) f(z Demonstração. Por hipótese, os limites lim 0 ) z z0 z z 0 0, respectivamente. Portanto, e lim z z0 (z z 0 ) existem e são f (z 0 ) e f(z) f(z 0 ) lim (f(z) f(z 0 )) = lim (z z 0 ) = f (z 0 )0 = 0, z z 0 z z0 z z 0 ou seja, lim z z0 f(z) = f(z 0 ) e f é contínua em z 0. O recíproco deste resultado é falso, como se pode verificar com a função f(z) = Re(z). Já vimos que esta função é contínua em C, mas não possui derivada em nenhum ponto, pois dado z C, temos f(z +h) f(z) lim =, h 0 h quando h tende para a origem ao longo do eixo real, e f(z +h) f(z) lim h 0 h = 0, quando h tende para a origem ao longo do eixo imaginário. No caso particular das funções complexas de variável real temos f : A R C, f f(x+h) f(x) (x) = lim (h R) h 0 h Ref(x+h) Ref(x) = lim +i Imf(x+h) Imf(x) h 0 h h = (Ref) (x)+i(imf) (x). Teorema 6.7 (Regra de L Hôpital). Sejam f e g funções complexas diferenciáveis numa vizinhança de z 0 tais que f(z 0 ) = g(z 0 ) = 0 e g (z 0 ) 0. Então, lim z z 0 f(z) g(z) = f (z 0 ) g (z 0 ).

44 44 Demonstração. Uma vez que f(z 0 ) = g(z 0 ) = 0 podemos escrever pois g(z 0 ) 0. f(z) f(z 0 ) f(z) lim z z 0 g(z) = lim z z 0 z z 0 g(z) g(z 0 = f (z 0 ) ) g (z 0 ), z z 0 Como aplicação da regra de L Hôpital, calculemos o limite lim z 0 z 2 3z+2 2z. Fazendo f(z) = z 2 3z e g(z) = 2z, temos f(0) = g(0) = 0 e g (0) = 2 0. Portanto, z 2 3z +2 lim = f (0) z 0 2z g (0) = Condições de Cauchy-Riemann. Teorema 6.8. Seja f(z) = u(x, y) + iv(x, y) uma função complexa diferenciável em z = x + yi. Então, existem as derivadas parciais de u e v em (x,y) e satisfazem as condições de Cauchy-Riemann δu δx = δv δy e δu δy = δv δx. Demonstração. Se f é diferenciável em z = x+yi, então existe o limite f(z +h) f(z) (6.) lim h 0 h Escrevendo h = h +ih 2, temos = f (z). u(x+h,y +h 2 )+iv(x+h,y +h 2 ) u(x,y) iv(x,y) (6.) = lim. h +ih 2 0 h +ih 2 Este limite é independente da forma como h se aproxima da origem. Façamos então h tender para a origem ao longo eixo real, ou seja, com h 2 = 0. Obtemos assim f u(x+h,y)+iv(x+h,y) u(x,y) iv(x,y) (z) = lim h 0 h u(x+h,y) u(x,y) v(x+h,y) v(x,y) = lim +ilim h 0 h h 0 h (6.2) = δu δx (x,y)+iδv δx (x,y). Fazendo agora h tender para a origem ao longo do eixo imaginário, ou seja, com h = 0, obtemos (6.3) f u(x,y +h 2 )+iv(x,y +h 2 ) u(x,y) iv(x,y) (z) = lim h2 0 ih 2 u(x,y +h 2 ) u(x,y) = lim h2 0 ih 2 = i δu δv (x,y)+ δy δy (x,y) = δv δy (x,y) iδu δy (x,y). +ilim h2 0 v(x,y +h 2 ) v(x,y) ih 2

45 45 De (6.) e (6.2) vem pelo que f (z) = δu δx (x,y)+iδv δv (x,y) = δx δy (x,y) iδu δy (x,y), δu δx = δv δy e δu δy = δv δx. O facto de as condições de Cauchy-Riemann se verificarem num ponto z não significa que a função seja diferenciável nesse ponto. No entanto, se f não satisfaz estas condições num certo ponto, podemos concluir que f não é diferenciável nesse ponto. As condições de Cauchy-Riemann constituem, portanto, uma condição necessária mas não suficiente para f ser diferenciável num ponto. Quando a função é diferenciável estas condições dão-nos um método de derivar funções em que não é possível usar as regras de derivação. Exemplo 6.7. Seja f(z) = x + 4yi. Apesar de contínua, esta função não é diferenciável em nenhum ponto uma vez que com u(x,y) = x e v(x,y) = 4y, temos δu δx = δv δy = 4 Exemplo 6.8. Sejaf(z) = 2x 2 +y+i(y 2 x) edefinamosu(x,y) = 2x 2 +y ev(x,y) = y 2 x. Então δu δv = 4x δx δx = δu δy = δv δy = 2y, e as condições de Cauchy-Riemann são satisfeitas apenas na recta 4x = 2y, ou seja, na recta y = 2x. Fora desta recta a função não é diferenciável. Pode acontecer que uma função satisfaça as condições de Cauchy-Riemann em z mas não seja diferenciável em z. No entanto, acrescentando mais algumas condições às condições de Cauchy-Riemann podemos garantir a diferenciabilidade da função em z. Teorema 6.9 (Condição suficiente de diferenciabilidade). Seja f(z) = u(x, y) + iv(x, y) uma função complexa. Se as quatro derivadas parciais de u e v forem contínuas numa vizinhança de (x,y) e satisfazem as condições de Cauchy-Riemann em (x,y), então f é diferenciável em (x, y) e f (z) = δu δx (x,y)+iδv δv (x,y) = δx δy (x,y) iδu δy (x,y). Exemplo 6.9. Consideremos novamente a função f(z) = 2x 2 +y +i(y 2 x) analisada no exemplo 6.8. Vimos que esta função satisfaz as condições de Cauchy-Riemann sobre a recta {(x,2x) : x R}. Além disso, as derivadas parciais de u e v são funções contínuas em qualquer ponto de C. Portanto, f é diferenciável nesta recta e f (z) = δu δx (x,2x)+iδv (x,2x) = 4x i. δx

46 46 Vamos de seguida descrever algumas consequências do teorema anterior. Antes, porém, relembremos alguns resultados de Análise Real. Seja f : I R uma função real de variável real diferenciável em I R. Se I é um intervalo e f (x) = 0 em I, então f é constante em I. No entanto, se I não for um intervalo não podemos concluir que f seja constante em I, como se pode comprovar com a função { 2, x (0,) f(x) = 3, x (3,4). Temos f (x) = 0 para todo o x (0,) (3,4), mas f não é constante. A função f é apenas constante nos intervalos (0,) e (3,4). Para funções f : I R 2 R reais de duas variáveis reais, pode provar-se que se as derivadas parciais se anulam δf δf (x,y) = δx δy (x,y) = 0 para todos os pontos de I, então f é constante em todo o segmento de recta vertical e horizontal contido em I. Teorema 6.0. Seja f : A C C uma função complexa com A aberto e conexo. Se f (z) = 0 em A então f é uma função constante em A. Demonstração. Sendo f(x+iy) = u(x,y)+iv(x,y), temos f (z) = δu δx = δv δy δv (x,y)+ (x,y)i = 0+0i δx δu (x,y) (x,y)i = 0 0i. δy Portanto, as derivadas de u e v anulam-se em A, pelo que podemos concluir que u e v são funções constantes em todo o segmento de recta vertical e horizontal contido em A. Como f(x+iy) = u(x,y)+iv(x,y), também f é constante em todo o segmento de recta vertical e horizontal contido em A. Sejam então z e w elementos de A. Como A é aberto e conexo, existe um caminho composto por segmentos horizontais e verticais, totalmente contido em A, que une z a w. Denotemos esses segmentos por [z,z ],[z,z 2 ],...,[z n,w]. Temos então f(z) = f(z ) = f(z 2 ) = = f(z n ) = f(w), ou seja, f é constante no conjunto A. Teorema 6.. Seja f : A C C uma função complexa com A aberto e conexo. Se f é diferenciável e Ref(z) é constante em A, então f é constante em A. Demonstração. Sendo f(x + iy) = u(x,y) + iv(x,y), temos u(x,y) = k para todo o x + yi A. Assim, as derivadas parciais de u anulam-se em A. Pelas condições de Cauchy-Riemann, também as derivadas parciais de v se anulam em A. Assim, podemos concluir que f (z) = 0 e, pelo teorema anterior, f é constante em A.

47 Sucessões e séries de números complexos. Definição 6.4. Umasucessão emcéumalista{z,z 2,...,z n,...}denúmeroscomplexos. Ou seja, é uma função do conjunto dos números naturais N no conjunto dos números complexos z : N C n z n Dizemos que a sucessão (z n ) de números complexos converge para w C, ou tem limite w, e escreve-se z n w ou limz n = w, se Ou seja, z n w se e só se z n w 0. ǫ > 0 n 0 N : n n 0 z n w < ǫ. É válida para as sucessões complexas a chamada álgebra dos limites conhecida para funções reais. Além disso, temos as seguintes propriedades. Proposição 6.2. Seja (z n ) uma sucessão de números complexos. () limz n = w se e só se limre(z n ) = Re(w) e limim(z n ) = Im(w). (2) z n 0 se e só se z n 0. (3) Se z n w então z n w. Demonstração. () Notemos que z n w = (Re(z n ) Re(w))+i(Im(z n ) Im(w)) Re(z n ) Re(w), Im(z n ) Im(w). Assim, se z n w 0, também Re(z n ) Re(w) 0 e Im(z n ) Im(w) 0. Reciprocamente, suponhamos que Re(z n ) Re(w) 0 e Im(z n ) Im(w) 0. Pela desigualdade triangular podemos escrever 0 z n w Re(z n ) Re(w) + Im(z n ) Im(w) 0, isto é, z n w 0. (2) é consequência da definição. (3) Temos z n w se e só se z n w 0. Como 0 z n w z n w, concluímos que também z n w 0, ou seja, z n w. Exemplo 6.0. A sucessão z n = in n converge para 0 uma vez que i n n = n 0. Exemplo 6.. Mostremos que a sucessão z n = 3+ni converge para 2 + i. Para tal, n+2ni 5 5 comecemos por escrever z n na forma algébrica z n = 2n2 +3n 5n 2 O resultado é consequência dos limites lim 2n2 +3n 5n 2 = 2 5 +i 6n+n2 5n 2. e lim 6n+n2 5n 2 = 5.

48 48 Exemplo 6.2. Seja z C, fixo, e consideremos a sucessão (z n ). É caro que se z <, então z n 0 visto que z n = z n 0. É fácil verificar que n e que se z =, z, z n não tem limite. Além disso, como a sucessão de números reais z n é divergente para z >, pela alínea (3) da proposição anterior concluímos que z n é divergente. Ou seja, z n é convergente se e só se z < ou z =. Definição 6.5. Uma série de números complexos é uma expressão da forma z n ou z +z 2 + +z n +, onde (z n ) é uma sucessão de números complexos. A série diz-se convergente se a sucessão das somas parciais s n = n z k for convergente. Neste caso, dizemos que s = lims n é a k= soma da série e escrevemos z n = s. Uma série que não seja convergente diz-se divergente. Valem para séries complexas as seguintes propriedades satisfeitas pelas séries numéricas. Proposição 6.3. () Se a série z n converge, então limz n = 0. (2) Acrescentar ou suprimir um número finito de parcelas a uma série não afecta a sua natureza. Mas no caso de ser convergente, afecta a sua soma. (3) Se a série z n converge com limite s e c C, então cz n é também convergente com soma cs. (4) Se as séries z n e u n convergem e têm somas S e T, respectivamente, então a série (z n +u n ) converge e tem soma S +T. A divergência da série n mostra que o recíproca da condição exibida na alínea () é falsa. Tal como no caso real, esta alínea dá-nos o chamado teste para a divergência: se o termo geral de uma série não converge para 0, então essa série diverge. É fácil verificar que a série z n converge se e só se as séries numéricas Re(z n ) e Im(z n ) convergem e, nesse caso, z n = Re(z n )+i Im(z n ). Exemplo 6.3. Consideremos a série geométrica de razão z C : z n = z 0 +z + +z n +

49 49 Uma vez que s n = z 0 + z + +z n = zn, pelo exemplo 6.2 e pela alínea () da z proposição 6.3 concluímos que a sucessão s n converge se e só se z < e, neste caso, lims n =. z ( +2i 5 Exemplo 6.4. A série (+2i) n = 5 n +2i 5 = 5 < a série é convergente e 5 ( ) n +2i = 5 ) n é geométrica de razão +2i. Uma vez que 5 +2i 5 Definição 6.6. A série z n diz-se absolutamente convergente se a série numérica de termos não negativos z n for convergente. Proposição 6.4. Toda a série z n absolutamente convergente é convergente e, neste caso, temos z n z n. Demonstração. Suponhamos que z n = x n +iy n e que a série z n = x 2 n +yn 2 converge. Uma vez que x n x 2 n +y2 n e y n x 2 n +y2 n, podemos invocar o critério de comparação para concluir que as séries x n e y n são convergentes. Portanto as séries x n e y n são convergentes, pelo que também a série z n converge. A prova da desigualdade z n z n é igual à efectuada para o caso real. Definimos igualmente o produto de Cauchy de duas séries z n e v n absolutamente convergentes com somas S e T, respectivamente, como sendo a série n z k v n k, a qual é convergente e tem soma ST. k= A função exponencial complexa. A série z n z2 = +z + n! 2! + z3 3! +.

50 50 converge absolutamente para todo o z C, uma vez que o mesmo acontece com a sua série dos módulos. Designamos por função exponencial complexa, e denotamos por e z, a soma desta série, isto é, e z z n = n!. Notemos que quando z = x+0i R, obtemos e x x n = n!. Ou seja, a função exponencial complexa coincide com a função exponencial real sobre o eixo real. De igual modo definimos as funções trigonométricas complexas sin(z) e cos(z) como a soma das séries absolutamente convergentes em C e sin(z) = cos(z) = ( ) n z 2n+ (2n+)! = z z3 3! + z5 5! ( ) n z2n (2n)! = z2 2! + z4 4! Também estas funções estendem no plano complexo as funções sin(x) e cos(x) definidas para a variável real. Exercício 6.3. Mostre que cos( z) = cos(z) e sin( z) = sin(z). Somando de forma apropriada cos(z) com i sin(z) obtemos a famosa fórmula de Euler (6.4) e iz = cos(z)+isin(z), válida para todo o número complexo z C. Em particular, também vale (6.5) e iz = cos( z)+isin( z) = cos(z) isin(z). Somando as equações 6.4 e 6.5, vem e iz +e iz = 2cos(z) cos(z) = eiz +e iz. 2 Subtraindo as equações 6.4 e 6.5, vem e iz e iz = 2isin(z) sin(z) = eiz e iz. 2i Nota 6.4. Pela fórmula de Euler, se y R podemos escrever e iy = cis(y). Listamos de seguida algumas propriedades da função exponencial complexa. Proposição 6.5. Sejam z e w números complexos. Então: () e z+w = e z e w. (2) e z 0, (e z ) = e z e ez = e z w. e w (3) Se z = x+iy então e x e iy = e x cis(y) é a forma polar de e z. (4) e z = e z. (5) e z = e Re(z). (6) arg(e z ) = {Im(z)+2kπ, k Z}.

51 5 (7) A exponencial complexa e z é uma função periódica de período 2πi. (8) O contradomínio da exponencial complexa é C\{0}. (9) A exponencial complexa é diferenciável e (e z ) = e z. Demonstração. ()Umavezqueasérie calcular o produto de Cauchy e z e w = z n k=0 n! éabsolutamenteconvergenteemc,podemos n z n k (n k)! Por outro lado, usando o binómio de Newton podemos escrever n ( n ) e z+w (z +w) n k z n k w k n k=0 n! = = = n! n! k!n!(n k)! zn k w k = e z e w. w k k! k=0 (2) Temos e z e z = e 0 = cos(0)+isin(0) =, pelo que e z 0 e (e z ) = e z. Daqui vem ez e w = e z w. (3) é consequência de () e (6) é consequência da forma polar de e z. (4) Pondo z = x+iy, temos e iy = cos(y)+isin(y) = cos(y) isin(y) = cos( y)+isin( y) = e iy. Assim, podemos escrever e z = e x e iy = e x e iy = e x e iy = e x iy = e z. (5) Com z = x+iy, temos e z = e x e iy = e x = e Re(z). (7) Com z = x+iy, obtemos e z+2kπi = e x e (y+2kπ)i = e x e yi = e z. (8) Fixemos a R. Então, e a+iy = e a e iy, com y a variar em R, representa a circunferência de centro na origem e raio e a. Ou seja, a exponencial complexa transforma as rectas verticais x = a, a R em circunferências centradas na origem e raio e a > 0. Como a exponencial complexa é periódica de período 2πi, ela transforma a banda {z C : π < Im(z) π} = {z = x+iθ C : π < θ π, x R}, chamada região fundamental, no conjunto {e x e iθ, π < θ π, x R} = C\{0}. (9) Podemos escrever e z = e x e iy = e x cos(y) +ie x sin(y). As derivadas parciais de u e v }{{}}{{} u(x,y) v(x,y) são contínuas em todo o plano e δu δx (x,y) = ex cos(y) = δv δy (x,y) δu δy (x,y) = ex sin(y) = δv δx (x,y) Portanto, e z é diferenciável em C e (e z ) = δu δx (x,y)+iδv δx (x,y) = ez.

52 52 Exercício 6.4. Calcule as derivadas das seguintes funções: () z 2 e z+. (2) ie iz. (3) sin(z). (4) cos(z) O logaritmo complexo. Fixemos um complexo z 0. Se e w = z, então e w = e Re(w) = z e arg(e w ) = Im(w) = arg(z). Ou seja, e w = z w = ln z +iarg(z), com ln z o logaritmo real de z. Definição 6.7. Seja z C\{0}. Então é chamado logaritmo complexo de z. log(z) = ln z +iarg(z) Notemos que cada número complexo z 0 tem uma infinidade de logaritmos, todos com parte real ln z, e diferindo uns dos outros por 2πi. Quando naquela expressão se toma o argumento principal de z obtém-se o chamado logaritmo principal de z Log(z) = ln z + iarg(z). Além disso, segue imediatamente da definição que e log(z) = z. Exercício 6.5. Calcule os seguintes logaritmos: () log(i) e Log(i). (2) log(e) e Log(e). (3) log(+i) e Log(+i). (4) log( 2) e Log( 2). As seguintes propriedades do logaritmo complexo seguem da definição e das propriedades análogas satisfeitas pelo logaritmo real. Proposição 6.6. Sejam z,z 2 números complexos não nulos e n N. () log(z z 2 ) = log(z )+log(z 2 ). (2) log( z z 2 ) = log(z ) log(z 2 ). (3) log(z n) = nlog(z ). Proposição 6.7. O logaritmo principal é a função inversa da exponencial complexa quando restrita ao seu domínio fundamental. Demonstração. Já sabemos que e Log(z) = z, para todo o z 0. Seja então z = x + iy, com π < y π. Temos Portanto, Arg(e z ) = y e ou seja, Log(e z ) = z se π < Re(z) π. e z = e x e arg(e z ) = y +2kπ, k Z. Log(e z ) = ln(e x )+iy = x+iy = z,

53 53 A igualdade e Log(z) = z verifica-se para todo o número complexo não nulo, mas já a igualdade Log(e z ) = z só se verifica se z pertence à região fundamental da exponencial. Por exemplo, + 3 πi não está nesta região e 2 ) ) Log (e +3 2 πi = lne+iarg (e 3 2 πi = π 2 i πi. Analisemos de seguida a diferenciabilidade do logaritmo principal. É claro que Log(z) não é contínua em z = 0 pois não está definida neste ponto. É também descontínua no semi-eixo negativo real, pois se x R, o limite lim Log(z) não existe: z x enquanto que lim z x z=x+yi,y>0 lim z x z=x+yi,y<0 Log(z) = lim y 0 z=x+yi,y>0 Log(z) = lim y 0 z=x+yi,y<0 ln z +iarg(z) = ln z +iπ, ln z +iarg(z) = ln z iπ. Portanto, Log(z) é descontínua em R 0. Consideremos então z 0 um elemento de {z : z > 0 e π < arg(z) < π} e calculemos o limite (6.6) lim z z0 Log(z) Log(z 0 ) z z 0. Para tal façamos a mudança de variável Log(z) = w, notando que quando z z 0, temos w w 0 = Log(z 0 ). Usando a regra de L Hôpital, obtemos ou seja, w w 0 (6.6) = lim w w 0 e w e = lim w 0 w w 0 e = w e =, w 0 z 0 (Log(z)) = z para todo o z {z : z > 0 e π < arg(z) < π}. Em particular, Log(z) é contínua neste intervalo. Exercício 6.6. Determine a derivada das seguintes funções, indicando o respectivo domínio de diferenciabilidade: () f(z) = Log(2z i). z 2 + (2) f(z) = Log(2+iz). Exercício 6.7. Determine todos os complexos z que satisfazem e iz e iz = i. e iz +e iz 7. Séries de potências Seja z 0 C. Uma série de potências de z z 0 é uma série do tipo a n (z z 0 ) n = a 0 +a (z z 0 )+a 2 (z z 0 ) 2 + onde os coeficientes a 0,a,a 2... formam uma sucessão de números complexos. Tal como no caso das séries de potências reais, temos o seguinte resultado:

54 54 Teorema 7.. Dada uma série de potências a n (z z 0 ) n, três situações podem ocorrer: () A série converge apenas para z = z 0. (2) A série converge para qualquer z C. (3) Existe um R > 0 tal que a série converge absolutamente se z z 0 < R e diverge se z z 0 > R. Ao número real R chama-se raio de convergência da série e estende-se a definição dizendo que R = 0 na situação () e R = na situação (2). No caso R > 0, nada se pode dizer em geral sobre a natureza da série sobre os pontos da circunferência z z 0 = R. Exemplo 7.. Consideremos a série z n n. Aplicando o teste da razão à série dos módulos obtemos lim z n+ n z n = lim n+ z n n+ = z. Portanto, a série converge absolutamente se z < e diverge se z >. Consideremos então os pontos z = e z = pertencentes à circunferência z =. No primeiro caso, obtemos a série divergente n n = n, enquanto que no segundo caso obtemos a série convergente ( ) n n. Proposição 7.2. As séries a n (z z 0 ) n, na n (z z 0 ) n e a n (z z n+ 0) n+ têm todas o mesmo raio de convergência. Além disso, a série f(z) = a n (z z 0 ) n pode ser derivada termo a termo na bola aberta B(z 0,R) e f (z) = na n (z z 0 ) n. Notemos que em particular, a soma de uma série de potências é uma função contínua na bola B(z 0,R). Corolário 7.3. A série f(z) = a n (z z 0 ) n tem derivadas de todas as ordens na bola B(z 0,R) e a n = f(n) (z 0 ). n! Definição 7.. Dada uma função f com derivadas de todas as ordens no ponto z 0, chamamos série de Taylor de f em torno de z 0 à série f (n) (z 0 ) (z z 0 ) n. n!

55 55 Definição 7.2. Dizemos que a função F(z) é uma primitiva de f(z) se F (z) = f(z), para todo o ponto pertencente ao domínio de f, e escrevemos F(z) = f(z)dz. O teorema seguinte afirma que podemos integrar termo a termo uma série de potências com raio de convergência R > 0. Teorema 7.4. Se f(z) = a n (z z 0 ) n, para todo o z B(z 0,R), então para z B(z 0,R). f(z)dz = a n (z z 0 ) n dz = a n n+ (z z 0) n+ Exercício 7.. Determine os raios de convergência das seguintes séries: (a) z n z n n (b) (c) n 2 2 n(z +2i)n (d) z n n n (e) n!z n. Exercício 7.2. Determine um desenvolvimento em série de potências de z 2i da função f(z) = 3+i, indicando o respectivo o raio de convergência. z+i Exercício 7.3. Determine o raio de convergência e a soma da série de potências (n+)z n. (Sugestão: primitive termo a termo). 8. Integração de funções complexas de variável real Definição 8.. Consideremos uma função complexa de variável real f : [a,b] R C x Re(f(x))+iImf(x), contínua no intervalo [a,b]. Chama-se integral de f em [a,b], e representa-se por b f(t)dt, a ao número complexo b b b f(x)dx := Ref(x)dx+i Imf(x)dx. a a a Nota 8.. Como estamos a supor a continuidade de f no intervalo [a,b], o mesmo se passa com as funções reais de variável real Ref(x) e Imf(x), pelo que o integral de f em [a,b] existe e é finito. Notemos ainda que ( b ) b ( b ) b Re f(x)dx = Ref(x)dx e Im f(x)dx = Imf(x)dx. a a a a Por exemplo, o integral da função f(x) = 2+ix em [0,] é dado pelo número 0 2+ixdx := 0 2dx+i 0 xdx = [2x] 0 +i [ x 2 Listamos de seguida algumas consequências da definição anterior. 2 ] 0 = 2+ i 2.

56 56 Proposição 8.. Sejam f,g : [a,b] C funções complexas de variável real contínuas em [a, b]. Então: () b f(x)+g(x)dx = b f(x)dx+ b g(x)dx. a a a (2) b kf(x)dx = k b f(x)dx, para qualquer k R. a a (3) a f(x)dx = 0 e a f(x)dx = b f(x)dx. a b a (4) Se a c b, então b f(x)dx = c f(x)dx+ b f(x)dx. a a c (5) b f(x)dx b a f(x) dx. a (6) Se F for uma primitiva de f, então b f(x)dx = F(b) F(a). a (7) Se φ : [c,d] [a,b] for uma bijecção crescente, com derivada contínua, em [c,d], então b a f(x)dx = d c f(φ(s))φ (s)ds. (8) Se φ : [c,d] [a,b] for uma bijecção decrescente, com derivada contínua, em [c,d], então b a f(x)dx = d c f(φ(s))φ (s)ds. Demonstração. Faremos apenas a prova de (5). As restantes propriedades são consequências da definição e das respectivas propriedades para funções reais de variável real. A desigualdade é claramente válida se Suponhamos então que com r > 0. Então e podemos escrever b a b a b a f(x)dx = 0. f(x)dx = re iθ f(x)dx = r r = b b f(x)dx = e iθ f(x)dx e iθ a a ( b ) b = Re e iθ f(x)dx = Re ( e iθ f(x) ) dx = b a b a a e iθ f(x) b dx = e iθ f(x) dx f(x) dx. 9. Integração de funções complexas de variável complexa Definição 9.. Seja A um subconjunto de C. Um caminho em A é uma função contínua γ : [a,b] R A t γ(t). a a

57 57 A γ(a) chamamos origem e a γ(b) extremidade do caminho. Se γ(a) = γ(b), dizemos que o caminho é fechado. Ao conjunto {γ} := {γ(t) : t [a,b]} chamamos a imagem de γ. Exemplo 9.. O caminho definido por γ(t) = u( t) +vt, para 0 t, tem origem γ(0) = u, extremidade γ() = v e a sua imagem é o segmento {γ} = [uv]. Exemplo 9.2. A imagem do caminho γ(t) = re it, 0 t 2π é a circunferência de centro 0 e raio r. É um caminho fechado pois γ(0) = γ(2π) = r. A circunferência é percorrida no sentido contrario ao do ponteiro dos relógios. Notemos que o caminho γ(t) = re 2it, 0 t 2π, tem igualmente por imagem a circunferência de centro 0 e raio r, mas neste caso a circunferência é percorrida duas vezes. Já γ(t) = u+re it, 0 t 2π, representa a circunferência de centro u e raio r. Nota 9.. É claro que diferentes caminhos podem ter a mesma imagem. Por exemplo, os caminhos γ (t) = 2(t+it), 0 t, e γ 2 2(t) = t 2 +it 2, 0 t têm ambos por imagem o segmento de recta [0,+i]. Dado um caminho γ : [a,b] C, definimos o caminho oposto de γ como sendo o caminho definido por γ : [a,b] C t γ(a+b t). A imagem de γ é igual à imagem de γ e temos γ (a) = b e γ (b) = a. Dado um caminho γ : [a,b] A consideremos uma bijecção crescente ψ : [c,d] [a,b]. Então γ ψ : [c,d] A é um caminho em A com a mesma origem, extremidade e imagem que γ. Dizemos que γ ψ é obtido de γ por mudança de parâmetro. Nota 9.2. Sendo [a,b] um qualquer intervalo, a função ψ : [0,] [a,b] definida por ψ(t) = ( t)a+bt é uma bijecção crescente. Através desta bijecção podemos considerar qualquer caminho, por mudança de parâmetro, definido no intervalo [0, ], ou em qualquer outro intervalo. Se γ e γ 2 são dois caminhos tais que a extremidade de γ é a origem de γ 2, definimos o caminho γ γ 2 cuja origem é a origem de γ, a extremidade é a extremidade de γ 2 e {γ γ 2 } = {γ } {γ 2 }. Exemplo 9.3. A imagem de γ (t) = t, t, é o segmento [,], enquanto que a imagem de γ 2 (t) = e it, 0 t π, é a parte da circunferência de centro 0 e raio situada nos dois primeiros quadrantes. Como γ () = γ 2 (0) =, podemos construir o caminho γ γ 2, cuja imagem é representada em baixo. γ 2 γ

58 58 Consideremos um caminho γ : [a,b] C e suponhamos que γ existe e é contínua. O comprimento de γ, denotado comp(γ), é dado pelo integral comp(γ) = b a γ (t) dt. Exemplo 9.4. Se γ(t) = re it, 0 t 2π, então comp(γ) = 2πr é o perímetro da circunferência de centro 0 e raio r. De facto, comp(γ) = 2π 0 rie it dt = 2π 0 rdt = 2πr. Exemplo 9.5. Já o caminho γ(t) = re 2it, 0 t 2π, tem comprimento comp(γ) = 4πr, pois 2π comp(γ) = 2π 2rie 2it dt = 2rdt = 4πr. 0 0 Seja γ : [a,b] C um caminho com derivada contínua e suponhamos que ψ : [c,d] [a,b] é uma bijecção crescente. Então, γ ψ : [c,d] C é um caminho com a mesma imagem que γ. O comprimento de γ é dado por comp(γ) = b a γ (t) dt. Efectuando a mudança de variável t = ψ(s), obtemos dt = ψ (s)ds e então comp(γ) = d c γ (ψ(s))ψ (s) ds = d c (γ ψ) (s) ds. Ou seja, o comprimento de uma curva não depende da parametrização usada. Definição 9.2. Seja f : A C uma função contínua, com A C, e seja γ : [a,b] A um caminho com derivada contínua. Define-se o integral de f ao longo de γ como sendo o número complexo b f(z)dz = f(γ(t))γ (t)dt. γ a Nota 9.3. () Para o integral existir, a função f tem de estar definida na imagem de γ e, para o cálculo desse integral, só interessam os valores de f nessa imagem. (2) Ambas as funções f γ e γ são contínuas no intervalo [a,b]. (3) Quando num integral se indicar a circunferência C(u,r) de centro u e raio r > 0 está-se a considerar a parametrização u+re it, 0 t 2π. Exemplo 9.6. Calculemos o integral γ z 2 dz,

59 59 onde γ(t) = e it, com 0 t π. Como f(z) = z 2 é contínua em C e γ (t) = ie it é contínua em [0, π] podemos escrever π z 2 dz = (e it ) 2 ie it dt γ 0 π = ie 3it dt 0 [ ] e 3it π = i 3i 0 = 3 ( ) = 2 3. Analisemos algumas das propriedades deste integral. Proposição 9.. O integral não depende do parâmetro usado no caminho, i.e., se γ ψ for uma caminho obtido de γ por mudança de parâmetro, tem-se f(z)dz = f(z)dz. γ ψ Demonstração. Seja γ : [a,b] C um caminho com derivada contínua e ψ : [c,d] [a,b] é uma bijecção crescente. Efectuando a mudança de variável t = ψ(s) temos dt = ψ (s)ds γ e, portanto γ f(z)dz = = b a d f(γ(t))γ (t)dt = d f(γ ψ(s))(γ ψ) (s)ds = c γ ψ c f(γ(ψ(s)))γ (ψ(s))ψ (s)ds f(z)dz. O integral de uma função complexa ao longo de caminhos generaliza o integral de funções de uma variável real em intervalos: Proposição 9.2. Se o caminho γ : [a,b] [a,b] for definido por γ(t) = t, então b f(z)dz = f(t)dt. As seguintes propriedades seguem directamente da definição. γ Proposição 9.3. Sejam f e g funções complexas contínuas no conjunto A C, k C e γ,γ dois caminhos em A com derivadas contínuas. Então: () Se γ é um caminho constante γ(t) = k, então f(z)dz = 0. γ (2) γ f(z)+g(z)dz = γ f(z)dz + γ g(z)dz. (3) γ kf(z)dz = k γ f(z)dz. (4) Se a extremidade de γ coincide com a origem de γ, então γ γ f(z)dz = γ f(z)dz + γ f(z)dz. a

60 60 Exemplo 9.7. Sejaf(z) = z 3 econsideremos oscaminhosγ (t) = 3t, 0 t,γ 2 (t) = 3e it, 0 t π 2 eγ 3(t) = ( t)3i, 0 t. Asimagensdostrês caminhosestão representadas em baixo. 3i γ 2 γ 3 γ 3 Uma vez que γ () = γ 2 (0) = 3 e γ 2 (π/2) = γ 3 (0) = 3i, podemos calcular o integral de f(z) ao longo do caminho γ γ 2 γ 3 : f(z)dz = f(z)dz + f(z)dz + f(z)dz γ γ 2 γ 3 γ γ 2 γ 3 = 3 0 3t3dt+ 3 = = 0. π 2 0 3e it 3ie it dt+ 3 0 ( t)3i( 3i)dt Proposição 9.4. Se f é uma função complexa contínua definida em A C e γ é um caminho contido em A com derivada contínua, então f(z)dz = f(z)dz. γ Demonstração. Sejaγ : [a,b] A. Então γ (s) = γ(a+b s) = γ ξ,ondeξ : [a,b] [a,b] é definida por ξ(s) = a+b s. Assim, b b f(z)dz = f (γ ξ(s))(γ ξ) (s)ds = f (γ ξ(s))γ (ξ(s))ξ (s)ds. γ a Efectuado a mudança de variável t = ξ(s), temos dt = ξ (s)ds e então a f(z)dz = f(γ(t))γ (t)dt γ b b γ γ = f(γ(t))γ (t)dt a = f(z)dz. Vamos de seguida obter um majorante para o integral de f ao longo de um caminho. Proposição 9.5. Sejam f uma função contínua definida em A C e γ : [a,b] A um caminho com derivada contínua. Então f(z)dz comp(γ)m, onde M = max{ f(z) : z {γ}}. γ a

61 6 Demonstração. Uma vez que γ f(z)dz = b a f(γ(t))γ (t)dt, podemos usar a alínea (5) da proposição 8. para escrever b f(z)dz f(γ(t))γ (t) dt γ a b = M M γ (t) dt a b a γ (t) dt = comp(γ)m. Nota 9.4. Notemos que o número real M definido na proposição anterior existe pois estamos a assumir que f(γ(t)) é uma função contínua no intervalo fechado [a,b]. Proposição 9.6. Sejam f uma função contínua definida em A C e γ : [a,b] A um caminho com derivada contínua. Se F é uma primitiva de f em A, então f(z)dz = F(γ(b)) F(γ(a)). γ Demonstração. Comecemos por notarquese F éuma primitiva def ema, então afunção F γ é uma primitiva de (f γ)γ em A. Assim, b f(z)dz = f(γ(t))γ (t)dt = [F γ(t)] b a = F(γ(b)) F(γ(a)). γ a Exemplo 9.8. O integral C(u,r) (z u) kdz = 0, k 2, pois C(u,r) é um caminho fechado e (z u) k+ (z u) kdz =. k + Notemos no entanto que z u dz = C(u,r) 2π 0 2π u+e it u ieit dt = idt = 2πi. 0

62 O Teorema de Cauchy. Deste ponto em diante consideraremos apenas caminhos fechados. Dado um caminho fechado supor-se-á, salvo indicação em contrário, que ele é percorrido uma só vez e deixando a parte de dentro do lado esquerdo. Definição 9.3. Uma singularidade de uma funçãof éumponto ondenão existe derivada. Teorema 9.7 (Teorema de Cauchy). Seja f : A C uma função diferenciável no conjunto aberto A C, e seja γ um caminho fechado contido em A. Se f não tiver singularidades dentro de γ, então f(z)dz = 0. γ Nota 9.5. O teorema de Cauchy dá apenas uma condição suficiente para o anulamento do integral de uma função ao longo de um certo caminho fechado. Por exemplo, (z 2) 2dz = 0 C(2,2) e tem uma singularidade dentro de C(2,2). Portanto, para o integral f(z)dz se (z 2) 2 γ anular não é necessário que f tenha todas as singularidades fora de γ. Como consequência do teorema de Cauchy podemos concluir que o integral f(z)dz γ de uma função que seja diferenciaável em todo o plano complexo se anula qualquer que seja o caminho fechado γ. Em particular, e z dz = sin(z)dz = cos(z)dz = p(z)dz = 0, onde p(z) é um qualquer polinómio. γ γ γ Exemplo 9.9. A função racional f(z) = z5 +2z+3 é diferenciável em C\{ i,+i}, pois z 2 2z+2 estes números anulam o denominador de f(z). Assim, f(z)dz = 0, pois i = +i = 2 >. C(0,) γ Teorema 9.8 (Teorema da deformação do caminho). Seja f uma função diferenciável num conjunto aberto A C e sejam γ e γ 2 caminhos fechados em A, com γ dentro de γ 2. Se f não tiver singularidades entre γ e γ 2, tem-se f(z)dz = f(z)dz. γ γ 2 Demonstração. Sejam a e b a origem (e extremidade) de γ e γ 2, respectivamente. Consideremos um caminho γ com derivada contínua unindo o ponto a ao ponto b, e totalmente contido entre γ e γ 2 :

63 63 γ 2 a γ γ b Consideremos então o caminho fechado γ = γ 2 γ γ γ. Como f(z) não tem singularidades no interior de γ, temos 0 = f(z)dz = f(z)dz + f(z)dz + f(z)dz + γ γ 2 γ γ = f(z)dz f(z)dz f(z)dz + f(z)dz γ 2 γ γ γ = f(z)dz f(z)dz. γ 2 γ Ou seja, f(z)dz = f(z)dz. γ γ 2 γ f(z)dz Notemos que se f não tem singularidades dentro de γ então o caminho γ pode ser deformado até ao caminho constante e, nesse caso, o integral anula-se. Exemplo 9.0. Sejaγ umcaminhofechado cujaimageméoquadradocomvértices ±3±3i. Como a função tem apenas uma singularidade no ponto i, podemos escrever z i z i dz = dz = 2πi, z i pois z i γ C(i,) não possui singularidades entre γ e C(i,): i γ 2 O próximo resultado permite-nos calcular integrais ao longo de caminhos fechados dentro dos quais a função integranda possui um número finito de singularidades. Teorema 9.9. Seja f uma função diferenciável num conjunto aberto A C e seja γ um caminho fechado contido em A. Se as singularidades de f dentro de γ são z,...,z p,

64 64 então γ f(z)dz = p k= C(z k,r k ) f(z)dz, onde os raios r k são suficientemente pequenos para que as p circunferênciasestejam dentro de γ e dentro de cada uma exista apenas uma singularidade de f. Exemplo 9.. Calculemos o valor do integral z 2 + dz. C(0,4) Uma vez que z 2 + = (z+i)(z i), a função f(z) = dz tem singularidades nos pontos z 2 + ±i, os quais se encontram dentro da circunferência C(0, 4). Assim, podemos escrever C(0,4) z 2 + dz = C(i,) z 2 + dz + C( i,) z 2 + dz. z+i Relativamente ao primeiro integral do segundo membro da igualdade anterior, temos C(i,) z 2 + dz = C(i,) (z i)(z +i) dz = i/2 C(i,) z i + i/2 z +i dz = i 2 C(i,) z i dz + i 2 C(i,) z +i dz = i 2 2πi+0, visto que a função não tem singularidades dentro da circunferência C(i,). Analogamente se conclui que pelo que C( i,) C(0,4) z 2 + dz = i 2 2πi, dz = 0. z Fórmula integral de Cauchy. Teorema 9.0 (Fórmula integral de Cauchy). Seja f uma função diferenciável num conjunto aberto A C. Seja uma circunferência C(z 0,r) contida em A e suponhamos que f não tem singularidades dentro de C(z 0,r). Então, para todo o u B(z 0,r), f(u) = 2πi C(z 0,r) f(z) z u dz. Nota 9.6. Este resultado estabelece o valor da função f num ponto z em função dum integral ao longo de um caminho. Este resultado pode também ser usado para calcular o valor de um integral ao longo de um caminho, pois para todo o u B(z 0,r), f(z) dz = 2πif(u), z u C(z 0,r) desdequef nãotenhasingularidadesdentrodeb(z 0,r),comosepodeverificarnoexemplo seguinte.

65 65 Exemplo 9.2. Consideremos o integral C(0,) e z z dz. Uma vez que a exponencial complexa não tem singularidades dentro de C(0, ), temos e z z dz = e0 2πi = 2πi. C(0,) Teorema 9. (Fórmula integral de Cauchy para derivadas). Seja f uma função diferenciável num conjunto aberto A C. Seja uma circunferência C(z 0,r) contida em A e suponhamos que f não tem singularidades dentro de C(z 0,r). Então, para todo o u B(z 0,r), f (n) (u) = n! 2πi C(z 0,r) f(z) (z u) n+dz. Exemplo 9.3. Consideremos o integral C(0,) z + z 4 +2iz 3dz. A função integranda tem singularidades nos pontos 0 e 2i, pois z 4 2iz 3 = z 3 (z +2i), mas apenas o ponto 0 se situa no interior da circunferência C(0, ). Assim, podemos escrever C(0,) z + z 4 +2iz 3dz = C(0,) z+ z+2i z 3 dz, onde a função g(z) = z+ não tem singularidades no interior de C(0,). Uma vez que z+2i g (0) = 2 4i, obtemos então (2i) 3 z + 2πi z 4 +2iz3dz = 2! g (0) = πi 2 4i (2i). 3 C(0,) Sabemos que podemos derivar e integrar termo a termo uma série de potências dentro da maior bola aberta B(z 0,r) onde a série convirja. Podemos agora colocar a questão ao contrário: dada uma função diferenciável numa bola aberta B(z 0,r) é possível representála por meio de uma série de potências de z z 0? A resposta a esta questão é dada pelo teorema de Taylor, cuja prova se obtém como consequência da fórmula integral de Cauchy. Teorema 9.2 (Teorema de Taylor). Seja f uma função diferenciável num conjunto aberto A C e seja B(z 0,r) A. Então, nessa bola, f(z) = a n (z z 0 ) n, onde para n 0. a n = f(n) (z 0 ) n! = f(z) 2πi C(z 0,r) (z z 0 ) n+dz

66 66 Nota 9.7. ()Arepresentaçãof(z) = a n (z z 0 ) n éválidanamaiorbolaabertacentrada em z 0 inteiramente contida em A. (2) Em C, toda a função diferenciável numa bola aberta é analítica. (3) Notemos que de acordo com o teorema de Taylor, temos f (n) (z 0 ) = n! 2πi C(z 0,r) f(z) (z z 0 ) n+dz, para n 0. Ou seja, uma função diferenciável num conjunto aberto A C admite derivadas de todas as ordens nos pontos de A. Exercício 9.. Represente a função f(z) = como soma de uma série de potências i+z de z (4 2i), indicando o raio da maior bola aberta centrada em 4 2i onde tal desenvolvimento é válido Série de Laurent e teorema dos resíduos. Consideremos o problema de desenvolver a função z 2 +z 4 em série de potências de z. Pondo o termo z 2 em evidência no denominador obtemos z 2 +z = 4 z 2 (+z 2 ) = z 2 +z = 2 z 2 ( z 2 ) = ( z 2 ) n = +z 4 z 6 +z 8 + ) z 2 z 2( z2 = z 2 +z2 z 4 +z 6 para todo o 0 < z <. Esta representação não é uma série de Taylor mas sim um exemplo de uma série de Laurent, que analisaremos de seguida. Definição 9.4. Dizemos que z 0 é uma singularidade isolada de f se existir 4m número real r > 0 tal que f é diferenciável em B(z 0,r)\{z 0 }. O ponto 0 é uma singularidade isolada da função f considerada em cima, pois os únicos zeros de z 2 +z 4 são 0,i e i. Assim, f é diferenciável em C\{0,±i}. Em particular, f é diferenciável em B(0,)\{0}. Teorema 9.3. Seja f uma função diferenciável num conjunto aberto A C e seja {z : R < z z 0 < R 2 } uma coroa circular contida em A. Então, nessa coroa circular tem-se f(z) = a n (z z 0 ) + a n n (z z 0 ) n, onde a n = f(z) 2πi C(z 0,r) (z z 0 ) n+dz para n = 0,±,±2,... e R < r < R 2. A esta série chama-se série de Laurent ou desenvolvimento em série de Laurent de f. A primeira parte desta série é designada por parte principal e a segunda por parte analítica.

67 67 Nota 9.8. () Notemos que os coeficientes da série de Laurent, e portanto a própria série de Laurent, são univocamente determinados por f e z 0. (2) Se f é diferenc iável em todo o disco z z 0 < R 2, então a n = 0, para n e a n = f(n) (z 0 ), n! para n = 0,,2,..., ou seja, neste caso a série de Laurent reduz-se à série de Taylor. (2) O coeficiente de a de z z 0 satisfaz ou seja, a = 2πi 2πia = C(z 0,r) C(z 0,r) f(z) (z z 0 ) 0dz f(z)dz. Exemplo 9.4. Uma vez que e z = para todo o z C, obtemos o desenvolvimento em série de Laurent para todo o z > 0. z n n! e z = z n n! Exercício 9.2. Ache as séries de Laurent das seguintes funções nas coroas circulares indicadas: (a) z +, 0 < z < (b) ez z z2, 0 < z < (c) (z 3) 5, 0 < z 3 < (d)sin( ), 0 < z < z (e) z 2 +, 0 < z +i < 2 (f), 0 < z < e em 0 < z <. z( z) Definição 9.5. Na situação do teorema de Laurent, se R = 0, isto é, se z 0 é uma singularidade isolada de f, o coeficiente a de z z 0 na série de Laurent de f chama-se resíduo de f em z 0 e denota-se por Res(f,z 0 ). Temos assim, 2πiRes(f,z 0 ) = f(z)dz. C(z 0,r) O próximo resultado, conhecido como teorema dos resíduos, é consequência do teorema 9.9.

68 68 Teorema 9.4. Seja f uma função diferenciável num conjunto aberto A C e seja γ um caminho fechado contido em A. Se as singularidades de f dentro de γ são z,...,z p, então p f(z)dz = 2πi Res(f,z k ) γ k= Exemplo 9.5. Usemos o teorema dos resíduos para calcular o integral z( z) dz. C(0,2) Comecemos por notar que a função f(z) = tem singularidades nos pontos z = 0 e z( z) z =, ambos dentro da circunferência C(0,2). Calculemos então os resíduos Res(f,0) e Res(f, ). Temos f(z) = z z = z n = z n = z z ++z +z2 + para todo o 0 < z <, pelo que Res(f,0) =. Relativamente ao ponto, temos f(z) = zz + = z ( (z )) = ( (z )) n z = ( ) n (z ) n = z + (z )+(z )2 + para 0 < z <, pelo que Res(f,) =. Assim, dz = 2πi(Res(f,0)+Res(f,)) = 0. z( z) C(0,2) Exercício 9.3. Considere a função g definida por g(z) =. Determine um (z )(z 2) desenvolvimento em série de Laurent de g válido em 0 < z < Classificação das singularidades isoladas. Definição 9.6. Seja z 0 uma singularidade isolada de f. Se na série de Laurent de f a n (z z 0 ) + a n n (z z 0 ) n houver apenas um número finito de coeficientes a n não nulos, z 0 diz-se um pólo de f. Se f(z) = a m (z z 0 ) + + a +a m 0 +a (z z 0 )+a 2 (z z 0 )+, z z 0 com a m 0, diz-se que z 0 é um pólo de ordem m. Um pólo de ordem chama-se pólo simples. Exemplo 9.6. O número 0 é um pólo simples de z z 2, pois z z 2 = z, para 0 < z.

69 69 Exemplo 9.7. O número 0 é um pólo de ordem 2 de ez, pois z 2 e z z = z n 2 z n! = z + 2 z + 2! + z 3! +, para 0 < z. Exemplo 9.8. O número 0 não é um pólo de sin(z), pois z sin(z) = ( ) n z 2n+ z 2 z (2n+)! = ( ) n z 2n (2n+)! para 0 < z. = z2 3! + z4 5!, O próximo resultado estabelece um critério para uma singularidade isolada de f ser um pólo de ordem m. Proposição 9.5. O número z 0 é um pólo de ordem m de f se e só se for possível escrever f(z) = g(z) (z z 0 ) m com g uma função diferenciável numa vizinhança B(z 0,r) de z 0 tal que g(z 0 ) 0. Demonstração. Se z 0 é um pólo de ordem m de f, podemos escrever f(z) = a m (z z 0 ) n + + a z z 0 +a 0 +a (z z 0 )+a 2 (z z 0 )+ para todo o z B(z 0,r)\{z 0 } com a m 0. Multiplicando ambos os membros desta expressão por (z z 0 ) m, obtemos (z z 0 ) m f(z) = a m + +a (z z 0 ) m + a n (z z 0 ) n+m, } {{ } g(z) com g diferenciável em B(z 0,r) e tal que g(z 0 ) = a m 0. Reciprocamente, se f(z) = g(z) (z z 0 com g diferenciável em B(z ) m 0,r), podemos escrever g(z) = a n (z z 0 ) n, com a 0 = g(z 0 ) 0, pelo que f(z) = a (z z 0 ) m n (z z 0 ) n tem um pólo de ordem m no ponto z 0. Definição 9.7. Seja h uma função diferenciável em B(z 0,r). Dizemos que h tem um zero de ordem m em z 0 se h(z 0 ) = h (z 0 ) = = h (m ) (z 0 ) = 0 e h (m) (z 0 ) 0. Um zero de ordem diz-se um zero simples.

70 70 O próximo resultado segue de forma simples da definição de zero de ordem m de uma função. Proposição 9.6. Seja h uma função diferenciável em B(z 0,r). Então, h tem um zero de ordem m se e só se for possível escrever h(z) = (z z 0 ) m φ(z), onde φ é diferenciável em B(z 0,r) e φ(z 0 ) 0. Como consequência deste resultado obtemos o seguinte Corolário 9.7. Sejam g e h duas funções diferenciáveis numa vizinhança de z 0 tais que h tem um zero de ordem m em z 0 e g(z 0 ) 0. Então, tem um pólo de ordem m em z 0. f(z) = g(z) h(z) Demonstração. Basta notar que podemos escrever h(z) = (z z 0 ) m φ(z), com φ diferenciável numa vizinhança de z 0 e φ(z 0 ) 0. Assim, f(z) = g(z) h(z) = g(z) (z z 0 ) m φ(z) = com g(z) φ(z) diferenciável numa vizinhança de z 0 e g(z 0) φ(z 0 ) 0. g(z) φ(z) (z z 0 ) m, Exemplo 9.9. Seja f(z) = sin(z). A função sin(z) tem zeros nos pontos kπ, k Z. Se z 0 é um destes pontos, temos sin(z 0 ) = 0 e cos(z 0 ) 0. Portanto, a função sin(z) tem um zero simples no ponto z 0. Pelo corolário anterior, f tem um pólo simples em z 0. Exemplo Consideremos agora a função f(z) = ez. z 3 O ponto 0 é zero simples de e z, pelo que podemos escrever e z = zφ(z), com φ(0) 0. Portanto, f(z) = zφ(z) = φ(z) z 3 z, 2 com φ(0) 0. Pelo corolário anterior, 0 é um pólo de ordem 2 de f. Teorema 9.8. Seja f uma função diferenciável num conjunto aberto A C e seja z 0 uma singularidade isolada de f. Se f tem um pólo simples em z 0, então Res(f,z 0 ) = lim z z0 (z z 0 )f(z).

71 7 Demonstração. Se z 0 é pólo simples de f podemos escrever com a 0. Daqui segue que f(z) = a z z 0 +a 0 +a (z z 0 )+a 2 (z z 0 ) 2 +, lim(z z 0 )f(z) = a. z z 0 De forma alternativa, podemos calcular o resíduo num pólo simples da seguinte forma: Corolário 9.9. Sejam g e h funções diferenciáveis numa vizinhança de z 0 tais que h tem um zero simples em z 0 e g(z 0 ) 0. Então, a função f(z) = g(z) tem um pólo simples h(z) em z 0 e Res(f(z),z 0 ) = g(z 0) h (z 0 ). Demonstração. Pelo teorema anterior, temos g(z) Res(f(z),z 0 ) = lim z z0 h(z) (z z 0) = lim = g(z 0) h (z 0 ). z z 0 g(z) z z0 h(z) Relativamente a pólos de ordem m > temos o seguinte critério: Teorema Seja f uma função diferenciável num conjunto aberto A C e seja z 0 uma singularidade isolada de f. Se f tem um pólo de ordem m em z 0, então Res(f,z 0 ) = (m )! lim d m z z 0 dz m (z z 0) m f(z). Demonstração. Se z 0 é pólo de ordem m de f podemos escrever f(z) = a m (z z 0 ) + + a +a m 0 +a (z z 0 )+a 2 (z z 0 ) 2 +, z z 0 com a m 0, ou ainda, (z z 0 ) m f(z) = a m + +a (z z 0 ) m +a 0 (z z 0 ) m +a (z z 0 ) m+ +a 2 (z z 0 ) m+2 + Derivando esta igualdade m vezes vem: d m dz m (z z 0) m f(z) = (m )!a +m!(z z 0 )a 0 + Tomando limites obtemos d m lim z z 0 dz m (z z 0) m f(z) = (m )!a.

72 72 Exemplo 9.2. A função f(z) = tem um pólo de ordem 3 no ponto pois ez z Assim, d 2 e z z(z ) 3 não se anula em. Neste ponto, temos Res(f,) = 2! lim z dz 2(z z 0) 3 f(z) = 2! lim e z z dz 2 z = e 2. C(,/2) d 2 f(z)dz = 2πiRes(f,) = πie pois o ponto é a única singularidade de f dentro da circunferência C(,/2). Exemplo Calculemos o integral C(0,5) sin(z) dz. Como vimos no exemplo 9.9, a função tem pólos simples nos pontos kπ, k Z. sin(z) Destes, apenas os pontos π, 0, π estão dentro da circunferência C(0, 5). Temos pelo que ( ) Res sin(z),0 = (sin(z)) z=0 ( ) Res sin(z),π = (sin(z)) z=π ( ) Res sin(z), π = = (sin(z)) z= π C(0,5) = cos(0) =, = cos(π) =, cos( π) =, dz = 2πi( ) = 2πi. sin(z) Analisemos por fim as singularidades que não são pólos. Definição 9.8. Seja f uma função diferenciável num conjunto aberto A C e seja z 0 uma singularidade isolada de f. Se na série de Laurent de f a n (z z 0 ) n n= todososcoeficientes a n comn < 0 foremiguaisazero, o ponto z 0 diz-se uma singularidade aparente de f. Neste caso, Res(f,z 0 ) = 0 e a singularidade pode ser removida definindo f em z 0 por f(z 0 ) = a 0 : de facto, se f(z) = a n (z z 0 ) n, para todo z B(z 0,r)\{z 0 }, definimos a função f(z) = { a 0, z = z 0 f(z), z z 0.

73 73 Esta função é diferenciável em B(z 0,r) e f(z) = a n (z z 0 ) n, para todo z B(z 0,r). Exemplo Uma vez que o ponto 0 é um zero simples de sin(z), podemos escrever sin(z) = zφ(z), com φ diferenciável em C e φ(0) 0. Podemos então concluir que a função sin(z) = zφ(z) = φ(z) z z tem uma singularidade aparente no ponto 0. Definição 9.9. Seja f uma função diferenciável num conjunto aberto A C e seja z 0 uma singularidade isolada de f. Se na série de Laurent de f a n (z z 0 ) n n= houver uma infinidade de coeficientes a n, com n <, diferentes de zero, então z 0 diz-se uma singularidade essencial de f. Exemplo A função e z tem uma singularidade essencial no ponto 0, pois e z = z n n! = + 3!z + 3 2!z + 2 z +. Exercício 9.4. Cadaumadasseguintesfunçõestemumasingularidadeisoladaemz 0 = 0. Para cada caso, classifique a singularidade indicando, no caso de se tratar de um pólo, a sua ordem. (a) z z 2, (b) z 2, (d)cos(z), (g) sin(z), z z 4 (e) cos(z) z (j) cos(z) z 2,, (h) e z, (k)z7 sin( z ). Exercício 9.5. Usando o teorema dos resíduos calcule os seguintes integrais: z 3 + (a) (z +)(z ) 3, (e) sin(z), (b) (c) (d) C(,3) C(0,2) C(i,) C(,) sin(z) z 2 (z ), z z 2 +, (f) (g) (z +)(z ) 3, (h) C(0,5) C(,/2) C(0,) C(0,r) ( z) 3, z z 2 +2z +5, (+z)e z, com r > 0.

74 74 Referências [] Dennis Zill, A first Course in Complex Analysis with Applications, Jones and Bartlett Mathematics Publ., [2] Glyn James Pearson, Advanced Modern Engineering Mathematics ( capítulo 4 Séries de Fourier, secções 4., 4.2), Prentice Hall, Third edition, [3] João Filipe Queiró, Análise Complexa Aplicada (Seccções -3). [4] Carlos Sarrico, Análise Matemática Leituras e Exercícios (Sucessões e séries de funções. Convergência pontual e uniforme.), Gradiva, Colecção Trajectos Ciência, 997. [5] James Stewart, Cálculo (volume II, Capítulo Sucessões e séries), Editora Thomson, 5 edição, 2006.