Notas de Análise Matemática III

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1 Ricardo Mamede Notas de Análise Matemática III (Mestrado integrado em Engenharia Electrotécnica e de Computadores) Departamento de Matemática - Universidade de Coimbra 2008/2009

2 2 Conteúdo. Sucessões Numéricas 3 2. Séries Numéricas Séries de termos positivos 2.2. Séries com termos de sinal não definido Convergência absoluta Rearranjos Produto de Cauchy 6 3. Séries de funções Sucessões de funções Séries de funções Propriedades da convergência uniforme Séries de Potências Continuidade e convergência uniforme de uma série de potências Série de Taylor Fórmula de Taylor. Critérios de analiticidade Séries de Fourier Séries de Fourier de funções pares e ímpares Séries de Fourier de funções com período 2L Números Complexos Subconjuntos de C Funções complexas Limites e continuidade Diferenciabilidade Condições de Cauchy-Riemann Sucessões e séries de números complexos Séries de potências Integração de funções complexas de variável real Integração de funções complexas de variável complexa O Teorema de Cauchy Fórmula integral de Cauchy Série de Laurent e teorema dos resíduos Classificação das singularidades isoladas 68 Referências 74

3 3. Sucessões Numéricas Definição.. Uma sucessão numérica é uma lista de números reais {a,a 2,...,a n,...} indexada pelos números inteiros n (também consideramos sucessões que começam num inteiro k ). Ao termo a n chamamos termo geral da sucessão. Formalmente, uma sucessão é uma função do conjunto dos números naturais nos números reais a : N R n a n. Usaremos várias formas para denotar uma sucessão: pelo seu termo geral (a n ), ou {a,a 2,...,a n,...} ou (a n ) ou (a n) n N. Exemplo.. () ( n ), ( n ), n+ n+ n N {, 2, 3,..., n,...} n+ (2) ( ( ) n 3),n 3, n 3, {0,, 2, 3,..., n 3,...}. n=3 (3) ( cos ( nπ 6 )) ( (, cos nπ )), {, 3,,0,...,cos( ) nπ 6 n N 2 2 6,...}. Definição.2. Uma sucessão (a n ) diz-se limitada se existirem a,b R tais que a a n b, n N. Ou, equivalentemente, se existir c > 0 tal que a n < c, n N. Exemplo.2. A sucessão de termo geral é limitada uma vez que 0, para n. n n Também a sucessão de termo geral cos ( ) ( nπ 6 é limitada, pois cos nπ ) 6, para n. Definição.3. Uma sucessão (a n ) tem limite l, ou converge para l, e escrevemos lima n n = l ou lima n = l ou a n l, se pudermos tornar os termos a n tão perto de l quanto quisermos ao fazermos n suficientemente grande. Simbolicamente, escrevemos ε > 0 n 0 N : n n 0 a n l < ε. a n (l ε,l+ε) Se existir um l nestas condições dizemos que a sucessão converge. Caso contrário diremos que a sucessão diverge. É claro que toda a sucessão convergente é limitada, mas uma sucessão pode ser limitada e não ter limite. Por exemplo, as sucessões ( ) n, cos(n), sin(n) não têm limite mas são limitadas. É também fácil constatar que a convergência e o limite de uma sucessão não se alteram se a ela retirarmos ou acrescentarmos um número finito de termos. Notemos ainda que a partir da definição é imediato verificar que lim a n = 0 se e só se lima n = 0. Recordando que para uma função real de variável real f se tem limf(x) x + = l ε > 0 M > 0 : x D f e x M f(x) l < ε,

4 4 podemos concluir que a diferença entre estas duas definições de limite está unicamente no domínio onde as funções estão definidas. Como N está contido em R podemos facilmente estabelecer o seguinte resultado: Teorema.. Se limf(x) x + = l então lim n f(n) = l. Este resultado pode ser usado para calcular limites de sucessões efectuando a sua extensão a uma função de R em R onde temos outros instrumentos para calcular limites. Exemplo.3. Se quisermos calcular o limite da sucessão lnn, podemos considerar a função n f(x) = ln(x) definida em R + e calcular o seu limite quando x tende para +. Como se x trata de um limite indeterminado, podemos utilizar a regra de L Hôpital para mostrar que lim ln(x) x x + Pelo teorema anterior, segue que lim lnn n = 0. Os resultados para limites de funções reais de variável real quando x + permitemnos obter a chamada álgebra dos limites para sucessões: Teorema.2. Sejam (a n ) e (b n ) duas sucessões convergentes para a e b, respectivamente, e seja c R. Então: () lim(a n ±b n ) = a±b, (2) lim(a n b n ) = ab, (3) lim(ca ( n ) = ca, a (4) lim n bn = a se b 0. b Notemos que na alínea (4) do teorema anterior, se limb n 0 então existe uma ordem a partir da qual b n 0, pelo que a sucessão an b n está bem definida para n n 0. Definição.4. Dizemos que lima n = + se para cada número positivo M existe um inteiro n 0 tal que a n > M sempre que n n 0. Simbolicamente, escrevemos Equivalentemente, lima n = se e só se = 0. M > 0 n 0 N : n n 0 a n > M. M > 0 n 0 N : n n 0 a n < M. Exercício.. Calcule os limites das seguintes sucessões: (a) u n = 3+5n2 n+n 2, (b) u n = 2n 3 n+, (c) u n = sin( n ) (d) u n = 2n n 2 +, (e) u n = ( ) n sin n, (f) u n = ln(n3 ) 2n (g) u n = n n n n, n 2, (h) u n = n+( )n n ( ) n, (i) u n = n n+ n, (j) u n = en +e n e 2n, (k) u n = lnn ln2n (l) u n = + n 2+e n, (m) u n = +( )n n, (n) u n = n3 2n 2 +, (o) u n = np e n, p > 0.

5 5 Teorema.3. Uma subsucessão de uma sucessão {a,a 2,a 3,...} é qualquer lista infinita de termos daquela. Temos, por exemplo, a subsucessão dos termos pares (a 2n ) = {a 2,a 4,a 6,...}, ou a subsucessão dos termos ímpares (a 2n ) = {a,a 3,a 5,...}, ou a subsucessão dos termos cuja ordem é um número primo {a 2,a 3,a 5,a 7,a,a 3,...}. Exemplo.4. Se considerarmos a sucessão ( ) n, a sua subsucessão dos termos pares é {,,,...}, e a dos termos ímpares é {,,,...}. É consequência da definição que toda a subsucessão de uma sucessão convergente para l é também convergente para l. Portanto, se uma sucessão possuir duas subsucessões convergentes para limites diferentes então a sucessão original é divergente. Se a subsucessão dos termos pares e a dos termos ímpares tiverem o mesmo limite, então a sucessão original é também convergente para o mesmo limite. Teorema.4 (Sucessõesenquadradas). Sejam(a n ) n N, (b n ) n N e (a n ) n N sucessõesnuméricas tais que () a n b n c n, para todo o n n 0 ; (2) a n e c n são convergentes com igual limite l. Então b n é convergente e limb n = l. Exemplo.5. Utilizando o teorema das sucessões enquadradas é fácil verificar que De facto, temos Como lim0 = lim = 0 temos o resultado. n lim n! n n = 0. 0 n! n = 2 n n n n n = ( 2 3 n ) n nn n n. Exercício.2. Use o teorema das sucessões enquadradas para calcular os limites das seguintes sucessões: (a) u n = ( ) n n!, (b) u n = cos(n)e n, (c) u n = n n 4 +2n 2 +7, (d) u n =, (e) u n+ n = (2n ), (f) u (2n) n n = +( )n. n Teorema.5. Se (a n ) n N é uma sucessão limitada e (b n ) n N é uma sucessão convergente para zero, então lima n b n = 0. Exemplo.6. Uma vez que e se verifica ( 5+e n = 5+ ) n 2 e n n e n 6 e lim n 2 = 0 podemos concluir que lim 5+e n n 2 = 0. Definição.5. Seja (a n ) n N uma sucessão.

6 6 Se a n a n+ para todo o n N, isto é, se a a 2 a 3 a n então (a n ) n N diz-se crescente. Se a n a n+ para todo o n N, isto é, se então (a n ) n N diz-se decrescente. a a 2 a 3 a n Uma sucessão que seja decrescente ou crescente diz-se monótona. Exemplo.7. As sucessões ( n ) e (2n ( )n ) são monótonas enquanto que a sucessão ( ) n não é monótona. Como vimos atrás, nem toda a sucessão limitada á convergente. No entanto, temos o seguinte resultado: Teorema.6. Toda a sucessão monótona e limitada é convergente. Exemplo.8. Vamos utilizar o resultado anterior para estudar o comportamento da sucessão (r n ) n N, com r um número real fixado. Quando r >, temos r n+ r n = r n (r ) > 0, pelo que (r n ) n N é crescente. Além disso, escrevendo r = +h e utilizando o binómio de Newton, podemos escrever e, como todas as parcelas são positivas, r n = (+h) n = +nh+ n(n ) h r n > +nh. Uma vez que lim+nh = +, também limr n = +. Quando r = obtemos a sucessão constante r n = n = convergente para. Se 0 < r <, temos r n+ r n = r n (r ) < 0 pelo que (r n ) n N é decrescente. Além disso, Fazendo r = h, então h > e 0 < r n = h n <. Ou seja (r n ) n N é monótona e limitada, logo convergente. Como limh n = +, temos limr n = 0. Quando r = 0 obtemos a sucessão constante r n = 0 n = 0 convergente para 0. Finalmente, ser < 0, temosr < 0,r 2 > 0,r 3 < 0,..., peloque(r n ) n N nãoémonótona. Além disso, podemos escrever r n = ( ) n ( r) n. Se < r < 0, lim( r) n = 0, donde limr n = 0. Se r = obtemos a sucessão divergente ( ) n e se r <, de (r n ) n N podemos extrair duas subsucessões a,a 3,a 5,... e pelo que (r n ) n N é divergente. a 2,a 4,a 6,... +,

7 7 Temos, portanto, +, se r > limr n, se r = =. 0, se < r < não existe, se r Dado um número real a 0, facilmente obtemos +, se r > limar n a, se r = =. 0, se < r < não existe, se r Uma sucessão da forma (ar n ) n N diz-se uma progressão geométrica de razão r. Cada termo é obtido do anterior por multiplicação pelo número r, chamado razão. Exemplo.9. Consideremos a sucessão (b n ) n N, onde para cada n N, b n = a+ar +ar 2 + ar n. É imediato verificar que esta sucessão diverge para r =. Quando r, como rb n = ar +ar 2 + ar n +ar n+, subtraindo estas relações obtemos b n = a arn+ = a rn+ r r. Do exemplo anterior, concluímos então que limb n = a, se r < r e que (b n ) n N diverge para r. Exemplo.0. A sucessão (a n ) n N, onde para cada n N, ( a n = + n) n, é convergente. De facto, pode provar-se que esta sucessão é monótona e limitada. Ao seu limite chamamos e (número de Neper): ( lim + n) n = e 2,78 2. Séries Numéricas Se tentarmos adicionar os termos de uma sucessão infinita (a n ) n N obtemos uma expressão da forma a +a 2 +a 3 + +a n + a que chamamos soma infinita de números reais ou série numérica e representaremos por a n. A sucessão (a n ) n N diz-se o termo geral da série. Mas faz sentido falar numa soma com um número infinito de parcelas? É impossível obter um número real como soma dos termos da sucessão (n) n N, +2+3+

8 8 A soma dos n primeiros termos é n(n+) que se torna muito grande quando n aumenta. n Mas se começarmos a adicionar os n primeiros termos da sucessão (( ) n ), progressão 2 n N geométrica de razão, obtemos ( ) ( ) n = n+ 2 = 2 n. À medida que n aumenta as somas parciais estão cada vez mais próximas de. Assim, parece razoável que ( ) n =. 2 Definição 2.. Dada uma série a n, denotamos por (s n ) n N a sua n-ésima soma parcial s n = a + +a n = n a k. k= A sucessão (s n ) n N dada por s = a s 2 = a +a 2 s 3 = a +a 2 +a 3. é dita a sucessão das somas parciais da série a n. Se a sucessão (s n ) n N for convergente e lims n = s R, então a série a n é dita convergente e escrevemos a n = r. O número s diz-se a soma da série. Caso contrário, a série é dita divergente. Exemplo 2.. Como vimos em cima, a série n é divergente e a série ( ) n 2 é convergente com soma. Exemplo 2.2. A série de Mengoli n(n+)

9 9 converge e a sua soma é. Com efeito, =, pelo que a sua n-ésima soma n(n+) n n+ parcial pode ser escrita como s n = n(n+) = n n+ = n+ Assim lims n = e, portanto, =. n(n+) Exemplo 2.3. A série harmónica n édivergente. Defacto,consideremosasubsucessão (s 2 n) n N dasucessãodassomasparciais (s n ) n N e notemos que s 2 = + 2 ) ) s 2 2 = + ( > + ( = s 2 3 = + ( ) ( ) 8 > + ( ) ( ) 8. = s 2 n > + n 2 Portanto, (s n ) n N possui uma subsucessão ilimitada, pelo que (s n ) n N não é convergente. Concluí-se então que a série harmónica é divergente. Definição 2.2. Uma série a n diz-se geométrica se o seu termo geral for o termo geral de uma progressão geométrica ar n, onde a,r R. Ou seja, é uma série da forma ar n = a+ar +ar 2 +ar 3 + Pelo exposto no exemplo.9, obtemos o seguinte resultado. Teorema 2.. Seja ar n uma série geométrica. Se a = 0 então a série converge e a sua soma é zero. Se a 0 então: () a série diverge para r ; (2) a série converge para a se r <. r

10 0 Por outras palavras, a soma de uma série geométrica convergente é termo razão. Exercício 2.. Averigúe se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. (a) , (b) Exercício 2.2. Determine a natureza das seguintes séries, indicando a sua soma no caso da série ser convergente: 2 (a) 3 n, (b) 3 n 2 n+3, (c) ( ) n, (d) 2 Teorema 2.2. Se a série a n é convergente, então lima n = 0. ( ) n, (e) 2 2 2n 3 n. Demonstração. Seja(s n ) n N asucessão dassomasparciaisassociadaàsérie. Considerando t n = s n, podemos considerar a sucessão (t n ) n N como uma subsucessão de (s n ) n N e como tal convergente para o mesmo limite. Assim, lima n = lims n t n = 0. Nota 2.. A uma série associamos duas sucessões: a sucessão (s n ) n N das somas parciais associada à série e a sucessão (a n ) n N dos seus termos. Se a n for convergente, a sua soma é s = lims n e lima n = 0. O recíproco deste teorema é falso: se lima n = 0 não podemos concluir que a série converge. De facto, a série diverge e lim = 0. n n a n Corolário 2.3 (Teste paraadivergência). Se lima n 0, então a série a n é divergente. Exemplo 2.4. As séries ( ) n, não convergem para zero. Nota 2.2. Seja k N e n=k termos. Então () a natureza das séries n e n n+ são divergentes, pois os seus termos gerais a série que se obtém de a n omitindo os seus primeiros k n=k e a n coincide mas; (2) no caso convergente as suas somas podem não coincidir. De facto, se a n = s tem-se n=k = s (a +...+a k ). Exercício 2.3. Mostre que a série x n, onde x n = { +e n, se n < 0 6 2, se n 0, 6 3 n

11 é convergente. Teorema 2.4 (Álgebra das séries). Sejam a n e b n duas séries convergentes com somas s e t, respectivamente. Então, dado c R, () (a n +b n ) e ca n são ambas convergentes; (2) a soma de (a n +b n ) é s+t e a soma de ca n é cs. Corolário 2.5. Se a n é convergente e b n é divergente, então a série (a n +b n ) é divergente. Demonstração. Se (a n +b n ) fosse convergente, então pelo teorema anterior também a série b n = seria convergente, o que é um absurdo. (a n +b n ) Exemplo 2.5. A série +2 n é convergente, pois é a soma das séries geométricas convergentes 3 n = 3 e ( 2 n 3 n 2 3) = 3. A sua soma é, pois, igual a Já a série +4 n 2 3 n diverge pois é a soma de uma série convergente com uma divergente. Exercício 2.4. Determine a natureza das séries de termo geral indicado: (a) 2n +3 n+ 6 n, (b) b n 2 n(n+) + 2 n, (c) n(n+) + n. 2.. Séries de termos positivos. Em geral é difícil encontrar a soma exacta de uma série. Conseguimos fazê-lo nos casos anteriores porque foi fácil encontrar uma fórmula simples para a n-ésima soma parcial s n. Mas geralmente não é simples calcular lims n. Iremos pois desenvolver vários testes que nos permitirão concluir se uma série de termos positivos é convergente ou divergente sem calcular a sua soma explicitamente. Teorema 2.6. Sejam a n e b n duas séries. Suponhamos que 0 a n b n, para todo o n n 0. Então, () se b n é convergente, então a n é também convergente; (2) se a n é divergente, então b n é também divergente. Exemplo 2.6. A série e a série 2 n + é convergente, uma vez que 0 2 n + 2 n 2 n converge pois é uma série geométrica de razão 2 <.

12 2 Definição 2.3. Seja p R. A série-p, ou de Dirichlet, correspondente é Se 0 < p, temos n p > n. Uma vez que a série harmónica n. n p é divergente, pelo teste de comparação concluímos que a série-p é divergente para 0 < p. Em geral, temos o seguinte resultado: Teorema 2.7. A série-p é divergente se p e convergente se p >. n p Teorema 2.8 (Teste de comparação do limite). Sejam a n e b n duas séries de termos positivos. Se lim an b n R +, isto é, não é zero nem +, então as séries têm a mesma natureza. Exemplo 2.7. A série 2 n é convergente. De facto, lim 2 n 2 n = lim 2n 2 n = R+ e a série 2 n é geométrica de razão 2 do limite, obtemos o resultado. <, logo convergente. Pelo teste de comparação Teorema 2.9 (Critério da razão ou d Alembert). Seja a n uma série de termos positivos. () Se lim a n+ a n = L < a série a n é convergente. (2) Se lim a n+ a n = L > ou lim a n+ a n = + a série a n é divergente. (3) Se lim a n+ a n = nenhuma conclusão pode ser retirada sobre a convergência ou divergência da série a n. Teorema 2.0 (Critério daraizoudecauchy). Seja a n uma série de termos positivos. () Se lim n a n = L < a série a n é convergente. (2) Se lim n a n = L > ou lim n a n = + a série a n é divergente. (3) Se lim n a n = nenhuma conclusão pode ser retirada sobre a convergência ou divergência da série a n.

13 3 Exercício 2.5. Determine a natureza das séries de termo geral indicado: (a) n! 2 n+, (b) 8n n! n n, (c) n! (2n)!, (d) n n, (e) ( nsin π 3n) n, (f) ( n 4 tan 4 ( π 3n ))n, (g) ( n 2 4 n 2 ) 2n, (h) sin( n) 2 n, (i) sin ( ) ( ) n 2 n, (j) n 3 +3n+7, (k) π 5, (l), n 4 2n 3 +5 n n (m) 2n2 +3n 5+n 5, (n) n3 3 n, (o) (2n) n!, (p) 2 n. Exercício 2.6. Mostre que lim n! e n = Séries com termos de sinal não definido. Até ao momento só analisamos testes para séries com termos de sinal positivo. Vamos de seguida aprender a lidar com séries cujos termos não são necessariamente positivos. Designaremos estas séries por séries de termos de sinal não definido. De entre estas, existem umas especiais chamadas séries alternadas. Definição 2.4. Uma série alternada é aquela cujos termos são alternadamente positivos e negativos. Exemplo 2.8. As seguintes séries são alternadas: ( ) n n = ( ) n n n+ = Teorema 2. (Critério de Leibniz). Se (b n ) é uma sucessão decrescente tal que limb n = 0, então a série alternada ( ) n b n é convergente. Exemplo 2.9. A série alternada ( ) n é convergente pois (b n n) = ( ) é uma sucessão n decrescente, isto é, b n b n+ para todo o n e limb n = 0. Esta série designa-se por série harmónica alternada. Exemplo 2.0. OcritériodeLeibniznãopodeseraplicadoàsériealternada n 2n ( ) 3n pois o limite lim 2n = 2 0. No entanto, éfácil verificar que as subsucessões dos termos 3n 3 pares e dos termos ímpares têm limites diferentes, donde se conclui que não existe o limite n 2n do termo geral ( ). Assim, pelo teste da divergência, a série dada é divergente. 3n Exercício 2.7. Determine a natureza das séries de termo geral indicado: (a) ( )n n,n 2, n 2 2 ( )n+ (b),n 2, lnn ( )n (c), (d) ( ) n, n2 n n+3 n 2 +3 (e) ( )n 3n 4n, n2 (f) ( )n+, n 3 + cos(nπ) (g), n 3/4 (h) ( ) nnn n!.

14 Convergência absoluta. Dada uma série a n podemos considerar a série a n = a + a a n + cujos termos são os valores absolutos dos termos da série original. Definição 2.5. Uma série a n é dita absolutamente convergente se a série dos valores absolutos a n for convergente. Para determinarmos se uma série é absolutamente convergente basta aplicar os testes que estudamos para séries de termos positivos. Notemos que se a série original a n tiver todos os termos positivos, então ela coincide com a série dos valores absolutos. Neste caso a noção de convergência absoluta coincide com a noção de convergência. Nos exemplos seguintes veremos que nem sempre é este o caso. Exemplo 2.. Vimos no exemplo 2.9 que a série harmónica alternada ( ) n é n convergente, mas esta série não é absolutamente convergente uma vez que a série dos valores absolutos ( )n n = n é divergente. Exemplo 2.2. Usando o critério de Leibniz é fácil verificar que a série alternada é convergente. Além disso esta série é também absolutamente convergente uma vez que a série dos valores absolutos ( ) n = é uma série-p com p = 2 >, logo convergente. n 2 n 2 Definição 2.6. Uma série é dita simplesmente convergente se for convergente mas não absolutamente convergente. Como vimos, a série harmónica é simplesmente convergente. Teorema 2.2. Se a série a n é absolutamente convergente, então a série a n é convergente e a n a n. Demonstração. Observemos que 0 a n + a n 2 a n, para todo o n. Como por hipótese a n converge, também a série 2 a n converge e, pelo teste de comparação para série de termos positivos, podemos concluir que a série a n + a n também converge. ( ) n n 2

15 5 Mas então a n converge, pois podemos expressar esta série como a soma de duas séries convergentes a n = (a n + a n ) a n. Designemospor(s n )epor(s n )assucessões dassomasparciaisdasséries a n e a n. Pela desigualdade triangular podemos escrever s n := a +a 2 + +a n a + a a n = s n. Assim, obtemos lim s n lims n, ou seja, a n a n. Exemplo 2.3. A série a série cosn n 2 = cosn n 2 é absolutamente convergente. Com efeito, se considerarmos cosn, notamos que cosn n 2 n 2 converge, pelo teste de comparação, a série n 2 n 2, uma vez que cosn. Como cosn n 2 é convergente. Exercício 2.8. Averigúe se as seguintes séries são absolutamente convergentes: sinn (a) n, (b) ( ) n 2 n, (c) ( ) nn3 3 n. Exercício 2.9. Mostre que se a série de termo geral a n é absolutamente convergente, o mesmo se passa com a série de termo geral b n = n+2 n a n Rearranjos. Se arranjarmos a ordem dos termos numa soma finita, então é claro que o valor da soma permanecerá inalterado. Mas esse nem sempre é o caso para uma série. Definição 2.7. Por rearranjo de uma série a n queremos designar uma série obtida desta mudando a ordem dos seus termos. Exemplo 2.4. A série a +a 2 +a 5 +a 3 +a 8 +a 4 + é um rearranjo da série a n. Teorema 2.3. Se a n for uma série absolutamente convergente com soma s, então qualquer rearranjo de a n tem a mesma soma s. Mostraremos de seguida que o teorema anterior não é válido se a série não for absolutamente convergente. Exemplo 2.5. Já vimos que a série harmónica alternada ( ) n = + + n é simplesmente convergente. Além disso, pode provar-se que ( ) n = ln2. 5 n Daqui segue que ( ) n 2 n = ln2 + = 8 2.

16 6 Podemos adicionar zeros à série anterior sem alterar a sua soma (2.) = ln2 2, pois embora cada termo na sucessão das somas parciais da nova série seja repetido, o seu limite não se altera. Somando a série harmónica alternada com a série (2.), obtemos a série ln2 + = ln = 3 2 ln2. Ou seja, a série , que é um rearranjo da série harmónica alternada, tem soma diferente da soma da série harmónica alternada. Sobre o comportamento das séries simplesmente convergentes, temos o seguinte resultado obtido por Riemann: Teorema 2.4. Se a n for simplesmente convergente e r for um número real qualquer, então existe um rearranjo de a n que tem soma igual a r Produto de Cauchy. Definição 2.8. Sejam (a n ) e (b n ) duas sucessões. A convolução de a n por b n é a sucessão (u n ) dada por u 0 =a 0 b 0 u =a 0 b +a b 0 u 2 =a 0 b 2 +a b +a 2 b 0. u n =. n a k b n k k=0 Teorema 2.5. Sejam a n e b n duas séries absolutamente convergentes. Então a série u n, cujo termo geral é a convolução dos termos gerais das séries dadas, é absolutamente convergente e Exemplo 2.6. A série 7 < e tem soma 7 n u n = k=0 ( )( ) u n = a n b n. é absolutamente convergente, pois é geométrica de razão 7 n = 7. A convolução de ( ) por si própria dá origem à sucessão 6 7 n 7 k 7 = n k n n+ = n 7 n 7n n 7. n

17 7 Portanto, ( n+ = 7 n 7 n )( ) = 7 n ( ) Pode acontecer que a n e b n sejam ambas convergentes, não absolutamente, e o produto de Cauchy u n seja divergente. Exemplo 2.7. A série ( ) n termo geral a n = ( ) n n por si próprio é Tem-se, portanto, n é simplesmente convergente e a convolução do seu u n = ( ) n ( n + 2 n + + n ). u n n n + n n + + n n = n + n + + n = n n =. Daqui conclui-se que limu n 0 e, portanto, a série u n diverge. 3.. Sucessões de funções. 3. Séries de funções Definição 3.. Uma sucessão de funções (f n ) n N é uma lista infinita de funções reais f n : D R com o mesmo domínio D R. Tal como nas sucessões reais podemos escrevê-las por extenso: (f,f 2,...,f n,...). Exemplo 3.. Para cada n, as funções f n : [0,] R x x n = f n (x) definem a sucessão de funções (f n ) n N. Notemos que a função limite é descontínua em x =. Definição 3.2. Dada uma sucessão de funções (f n ) n N e uma função f : D R, dizemos que (f n ) n N converge pontualmente para f, e escrevemos f n f ou limf n = f se para todoox D asucessãonumérica(f n (x)) n N convergeparaf(x). Simbolicamente, f n f se fixado x D, ε > 0 n 0 N : n n 0 f n (x) f(x) < ε. A função f diz-se a função limite pontual da sucessão (f n ) n N em D. Notemosquenaconvergência pontualaordemn 0 nãodependeapenasdeεmastambém do ponto x D considerado. Exemplo 3.2. Consideremos novamente a sucessão de funções (f n ) n N definida no exemplo 4.6. Fixado x [0,], { limf n (x) = limx n 0, se 0 x < =, se x =.

18 8 Considerando a função f : [0,] R, definida por f(x) = 0 se 0 x <, e f() =, concluímos que limf n (x) = f(x), para todo o x D, isto é, f n f pontualmente. Exemplo 3.3. A sucessão de funções f n (x) = nx2 +x definidas em R converge pontualmente n para a função f(x) = x 2, pois limf n (x) = limx 2 + x = n x2 para cada x R. Se, na definição 3.2 a ordem n 0 for independente de x, diremos que temos convergência uniforme. Isto é, quando for possível, para qualquer ε > 0 dado, obter um n 0 N que sirva para todos os pontos x D, diremos que f n f uniformemente em D. Definição 3.3. A sucessão de funções (f n ) n N converge uniformemente para a função f se ε > 0 n 0 N : n n 0 f n (x) f(x) < ε, para todo o x D. Notemos que se f n f uniformemente em D, então também f n f pontualmente em D. A importância do conceito de convergência uniforme resulta do facto de haver resultados que são válidos quando temos convergência uniforme e que não se verificam quando temos apenas convergência pontual. Teorema 3.. Se f n f uniformemente em D e f n são funções contínuas, então f é também contínua em D. O corolário seguinte é particularmente útil quando pretendemos mostrar que não temos convergência uniforme. Corolário 3.2. Se f n são funções contínuas em D, f n f pontualmente e f não é contínua, então a convergência não é uniforme. Exemplo 3.4. Vimos no exemplo 3.2 que a sucessão de funções (x n ) n N converge pontualmente para a função f. Uma vez que as funções x n são contínuas e que f é descontínua em x =, podemos concluir que a convergência x n f não é uniforme. Exercício 3.. Analise a convergência pontual e uniforme das seguintes sucessões de funções nos intervalos indicados: () f n (x) = e nx em [0,]. (2) f n (x) = nx2 +nx 2 em R. (3) f n (x) = nxe nx em R Séries de funções. Definição 3.4. Uma série de funções reais definidas em D R é uma expressão da forma f n ou f +f 2 + +f n +, onde (f n ) n N é uma sucessão de funções. O termo geral dessa sucessão é o termo geral da série. Dada uma sucessão de funções (f n ) n N definidas em D R, consideremos a sucessão de funções (s n ) n N definidas por s n : D R x s n (x) = f (x)+ +f n (x)

19 9 e chamada a sucessão das somas parciais. Se a sucessão (s n ) n N for convergente, dizemos que a série f n é convergente e ao seu limite chamamos soma da série. Caso contrário a série diz-se divergente. Definição 3.5. Dizemos que a série de funções f n converge uniformemente em D se a sucessão das somas parciais (s n ) n N for uniformemente convergente em D para uma função s. Teorema 3.3. Se as funções f n : D R R forem contínuas em D e a série converge uniformemente em D, então a função soma f = f n é contínua em D. f n Demonstração. Por hipótese, sucessão das somas parciais s n = f + +f n f uniformemente em D. Além disso, a continuidade das funções f n implicam a continuidade de s n. Assim, pelo teorema 3., f é contínua em D. Teorema 3.4 (Critério de Weierstrass). Se existir uma sucessão numérica (a n ) n N tal que () n N, x D, f n (x) a n, (2) a n converge, então as séries f n e f n são uniformemente convergentes em D. Exemplo 3.5. A série sin(nx) n 2 é uniformemente convergente em R pois sin(nx) n 2 = sin(nx) n 2 n 2, x R, n N e a série n converge. 2 Também a série ( ) n n 2 +x 2 é uniformemente convergente em R pois ( ) n n 2 +x 2 n 2, x R, n N e a série n converge. 2 Portanto, pelo teorema 3.3 as séries sin(nx) n 2 e ( ) n n 2 +x 2 definem funções contínuas em R, pois estas convergem uniformemente e os seus termos gerais são funções contínuas Propriedades da convergência uniforme. Teorema 3.5. Seja (f n ) n N uma sucessão de funções onde, para cada n N, f n : [a,b] R é contínua. Se a série f n converge uniformemente em [a,b], então a soma da série é uma função contínua e b a f n (x)dx = b a f n (x)dx.

20 20 Exemplo 3.6. Pelo critério de Weierstrass, é fácil mostrar que a série 2 n +x 2 é uniformemente convergente. Como as funções são contínuas em R, temos 2 n +x 2 ( ) dx = 0 2 n +x n +x 2dx = 2 n 0 [ ] π = 2 narctg(x) = 0 2 n 4 = π ( ) n = π 2 = π Exercício 3.2. Calcule: π ( ) ( ) n sin(x) dx. 3 n +x 2dx Teorema 3.6. Seja (f n ) n N uma sucessão de funções onde, para cada n N, f n : [a,b] R é derivável. Suponhamos que para um certo ponto c [a,b], a série numérica f n (c) é convergente. Se a série f n converge uniformemente em [a,b] para uma função T(x), então a série f n converge uniformemente para uma função S(x) que satisfaz S (x) = T(x), isto é, ( f n (x)) = Exemplo 3.7. Consideremos a série concluímos que a série das derivadas f n(x). ( ) n 3 n sin(x). Aplicando o critério de Weierstrass, ( ) n 3 n cos(x) converge uniformemente no intervalo [0,π]. Além disso, fazendo x = 0 obtemos a série convergente. Assim, temos ( ) ( ) n sin(x) = 3 n 3.4. Séries de Potências. ( ) ( ) n sin(x) = 3 n ( ) n 3 n que é absolutamente ( ) n cos(x). 3 n Definição 3.6. Uma série de potências é uma série de funções da forma a n (x x 0 ) n, com x 0 R, fixo, chamado o centro da série e (a n ) n N uma sucessão numérica. Esta série é também designada por série de potências em x x 0, série de potências centrada em x 0 ou série de potências em torno de x 0. Nota 3.. No termo correspondente a n = 0 convencionamos (x x 0 ) 0 =, mesmo quando x = x 0.

21 2 Para cada x R podemos considerar a série numérica a n (x x 0 ) n que se obtém substituindo no termo geral a variável x pelo número x. Coloca-se então a questão de determinar para que valores de x converge a série. Claro que para x = x 0 só o primeiro termo é não nulo, igual a, sendo todos os restantes iguais a zero. Portanto, para x = x 0 a série é sempre convergente. É assim natural perguntar se a série de potências converge para algum ponto diferente de x 0, e em caso afirmativo indagar qual o conjunto de todos os tais números, conjunto esse que designaremos por intervalo de convergência. Exemplo 3.8. A série n!x n converge apenas para x = 0. De facto, para x 0, fazendo a n = n!x n e aplicando o teste da razão à série dos valores absolutos obtemos lim a n+ a n = lim(n+) x = +. Istosignificaqueexisteumaordemn 0 apartirdaqualtodosostermosverificam a n+ a n >, ou equivalentemente, a n+ > a n para todo o n n 0, pelo que lim a n 0. Claro que isto implica lima n 0 e, pelo teste da divergência, a série n!x n diverge. Exemplo 3.9. Mostremos que a série converge para todos os valores de x R. Com x 0 e a n = xn n!, temos lim a n+ a n = lim x n x n n! = 0, para todo o x R. Pelo teste da razão a série dos valores absolutos é convergente, pelo que a série original é absolutamente convergente, e portanto convergente, para todo o x R. Exemplo 3.0. Consideremos agora a série (x 3) n e notemos que para x 0, lim x 3 n+ n+ n n x 3 = lim x 3 n n n+ = x 3. Pelo critério da razão a série é absolutamente convergente para x 3 <. Além disso, o argumento usado no exemplo 3.8 permite concluir que a série diverge para x 3 >. Resta averiguar o que acontece quando x 3 =, ou seja, quando x = 2 e x = 4. No primeiro caso obtemos a série harmónica alternada ( ) n, que é convergente, enquanto n que no segundo caso obtemos a série harmónica, que diverge. Portanto, a série dada converge para todo o x [2,4[. n

22 22 Teorema 3.7. Seja a n (x x 0 ) n. Então, existem apenas três possibilidades: () a série converge somente para x = x 0 ; (2) a série converge absolutamente para todo o x R; (3) existe um número positivo R > 0 tal que a série converge absolutamente se x x 0 < R e diverge se x x 0 > R. Convenciona-se R = 0 no primeiro caso e R = no segundo. Ao número R chama-se raio de convergência No terceiro caso, a convergência nos extremos do intervalo ]x 0 R,x = x 0 +R[ tem de ser verificada directamente. Além disso, no caso da série convergir nalgum dos extremos essa convergência pode ser absoluta ou apenas simples. Definição 3.7. O intervalo de convergência de uma série de potências é o intervalo formado por todos os valores de x para os quais a série converge. No primeiro caso do teorema do raio de convergência temos apenas {x 0 }, no segundo R =],+ [ e no terceiro caso, existem quatro possibilidades: ]x 0 R,x 0 +R[, [x 0 R,x 0 +R[, ]x 0 R,x 0 +R], [x 0 R,x 0 +R]. Exercício 3.3. Determine o raio e o intervalo de convergência das seguintes séries de potências: x n (a) n+, (b) 3 n x n ( ) n x n, (c), n! (d) (g) n! 2 nxn, (e) 5 n n 2xn, ( 2) n x n+ n xn, (h) ( ), n+ n x n (f) lnn, (i) n=2 ( ) n x 2n, (2n)! (x 3) n ( ) n+ (x+) n (j), (k), (l) 2 n n ( ) n 3 (x+5) n Continuidade e convergência uniforme de uma série de potências. Teorema 3.8. Seja a n (x x 0 ) n uma série de potências com raio de convergência R > 0. Se a série converge absolutamente no ponto c > x 0, então a série converge uniformemente no intervalo [ c,c] ]x 0 R,x 0 +R[. Demonstração. Dado x [ c,c], temos x x 0 c x 0. Portanto, podemos escrever a n (x x 0 ) n a n (c x 0 ) n. Como a série a n (c x 0 ) n é, por hipótese, convergente, concluímos pelo critério de Weierstrass que a série a n (x x 0 ) n converge uniformemente em [ c,c].

23 23 Como corolário do teorema anterior concluímos que uma série de potências a n (x x 0 ) n com raio de convergência R > 0 (ou R = ) converge uniformemente em qualquer intervalo fechado contido no seu intervalo de convergência ]x 0 R,x 0 + R[. A série de potências é assim uma função contínua em qualquer intervalo fechado contido em ]x 0 R,x 0 +R[. Pode provar-se mais, isto é, uma série de potências é sempre uma função contínua em todo o domínio de convergência pontual. Atendendo aos teoremas 3.5 e 3.6, é agora fácil concluir as propriedades de derivação e integração de uma série de potências. Teorema 3.9. Seja a n (x x 0 ) n uma série de potências. Seja f :]x 0 R,x 0 +R[ R a respectiva função soma, onde R 0 é o raio de convergência da série de potências. () A série na n (x x 0 ) n que se obtém derivando termo a termo, tem o mesmo raio de convergência, R, e a sua função soma é f. (2) A série a n (x x n+ 0) n+ que se obtém primitivando termo a termo, tem o mesmo raio de convergência, R, e a sua função soma é uma primitiva de f. Nota 3.2. Uma série de potências de x x 0 com raio de convergência R > 0 possui derivadas de todas as ordens em qualquer ponto do intervalo ]x 0 R,x 0 +R[. Nota 3.3. Embora o teorema anterior diga que o raio de convergência permanece o mesmo quando uma série de potências é diferenciada ou integrada, isso não significa que o intervalo de convergência permanece o mesmo. Pode acontecer a série original convergir num extremo enquanto que a série diferenciada diverge nesse ponto. Exemplo 3.. O intervalo de convergência da série de potências intervalo de convergência da sua derivada ( ) x n ( ) x n = = é [,[. n 2 n 2 x n n x n n 2 é [,], mas o A partir do conhecimento do desenvolvimento em série de potências de algumas funções é possível, usando o teorema anterior, definir desenvolvimentos em série de potências de outras funções. Exemplo 3.2. Vejamos como determinar o desenvolvimento em série de potências de algumas funções a partir da igualdade x n =, x <. x Escrevendo +x = ( x), obtemos +x = ( x) = ( x) n = ( ) n x n,

24 24 válido para x <, ou seja, x <. Usando o mesmo raciocínio temos +x = 2 ( x 2 ) = ( ) n x 2n, para x 2 <, ou seja, para x <. Integrando termo a termo esta última igualdade, obtemos ( arctg(x) = ( ) n x )dx 2n = ( ) n x 2n dx = ( ) n x2n+ 2n+, válido para x <. Exemplo 3.3. Consideremos agora a função ( x) 2. Derivando a expressão obtemos ( ) ( x) = x n = 2 válido para x <. x = (x n ) = x n nx n = (n+)x n, Exercício 3.4. Desenvolva em série de potências de x as funções a seguir indicadas, e determine os respectivos intervalos de convergência: (a) (d) 3.6. Série de Taylor. (+x) 2, (b) x 2 (+x) 2, (c) x 2, 3+x (e) ln( x), (f) x x 2 4x+3. Teorema 3.0. Seja f a função soma da série de potências a n (x x 0 ) n definida no interior do intervalo de convergência D =]x 0 R,x 0 +R[, com R > 0. Então a função f admite derivadas de qualquer ordem em D e a n = f(n) (x 0 ). n! Demonstração. Temos f(x 0 ) = a 0, pois convencionámos (x x 0 ) 0 = para todo o x R. Derivando a série, obtemos f (x) = na n (x x 0 ) n, donde f (x 0 ) = a. Derivando sucessivamente e fazendo x = x 0 obtemos como pretendíamos provar. f (x 0 ) = 2a 2,...,f (n) (x 0 ) = n!a n,

25 25 Deste teorema concluí-se que uma função f(x) não pode ser a soma de duas séries de potências de x x 0 diferentes com raio de convergência não nulo, pois da igualdade f(x) = a n (x x 0 ) n = b n (x x 0 ) n obtemos a n = b n = f(n) (x 0 ), para todo o n 0. n! Definição 3.8 (Série de Taylor). Sejaf :]a,b[ R uma função que admite derivadas de qualquer ordem nos pontos de ]a,b[. Seja x 0 ]a,b[. A série de Taylor de f em torno de x 0 é a série de potências de centro em x 0 dada por f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n. n! O termo geral da sucessão das somas parciais n f (k) (x 0 ) s n (x) = (x x 0 ) k k! k=0 chama-se polinómio de Taylor de grau n de f no ponto x 0. Dada uma qualquer função com derivadas de qualquer ordem em x 0, podemos sempre construir a sua série de Taylor. Coloca-se então a questão de saber qual a relação entre a função f e a sua série de Taylor. Como veremos no exemplo seguinte, nem sempre a série de Taylor de uma uma função converge para essa função. { e x 2, x 0 Exemplo 3.4. A função f(x) = admite derivadas de qualquer ordem 0, x = 0 numa vizinhança do ponto 0, tendo-se f (n) (0) = 0, para n 0. Assim, a sua série de Taylor em torno do ponto 0, dada por 0x n = 0 = 0, converge em todo o R para a função nula, e portanto não converge para a função f em nenhuma vizinhança da origem. Definição 3.9. Uma função f :]a,b[ R diz-se analítica em x 0 ]a,b[ se existe uma série de potências a n (x x 0 ) n tal que f(x) seja a soma dessa série para todo o x numa vizinhança de x 0, isto é para todo o x ]x 0 ǫ,x 0 +ǫ[ ]a,b[, com ǫ > 0. Nota 3.4. Se f :]a,b[ R for analítica em x 0 ]a,b[ então f é soma da sua série de Taylor numa vizinhança de x 0, ou seja f(x) = f (n) (x 0 ) (x x n! 0 ) n para todo o x ]x 0 ǫ,x 0 +ǫ[. Nota 3.5. Se f é analítica em x 0, f tem derivadas de qualquer ordem numa vizinhança desse ponto e todas as suas derivadas são funções analíticas.

26 26 Exemplo 3.5. A função f :],[ R definida por x para todo o x ],[. x = x n é analítica em 0, pois Quando pretendemos representar funções por séries de Taylor temos necessidade de identificar quais as funções analíticas num certo ponto. Para tal, na próxima secção vamos apresentar critérios de analiticidade Fórmula de Taylor. Critérios de analiticidade. Teorema 3. (FórmuladeTaylorcomrestodeLagrange). Seja f :]a,b[ R uma função que admite derivadas contínuas em ]a,b[ até à ordem n+ e seja x 0 ]a,b[. Então para qualquer x ]a,b[, existe c estritamente entre x e x 0 tal que f(x) = f(x 0 )+f (x 0 )(x x 0 )+ f (x 0 ) 2! onde (x x 0 ) f(n) (x 0 ) (x x 0 ) n +r n (x), n! r n (x) = f(n+) (c) (n+)! (x x 0) n+. A r n (x) chama-se resto de Lagrange da Fórmula de Taylor de ordem n. Exemplo 3.6. Vamos usar a fórmula de Taylor para mostrar que sin(x) x para x 0. Fazendo n = 0 e x 0 = 0, obtemos sin(x) = sin(0)+r 0 (x), onde r n (x) = (cos(c))x, para algum 0 < c < x. Como x 0 e cos(c), segue que sin(x) x. A fórmula de Taylor definida em cima permite-nos obter um primeiro critério de analiticidade. Teorema 3.2 (Primeiro critério de analiticidade). Seja f uma função indefinidamente diferenciável numa vizinhança de x 0. Então f é analítica em x 0 se e só se o resto de Lagrange de f de ordem n é convergente para zero. Demonstração. Denotando por s n o termo geral da sucessão das somas parciais associada à série de Taylor de f em torno de x 0, podemos escrever, pela fórmula de Taylor, f(x) = s n (x)+r n (x), ou ainda r n (x) = s n (x) f(x). Portanto, a série de Taylor de f em torno de x 0 converge para f numa vizinhança de x 0 se e só se lims n (x) = f(x) se e só se limr n (x) = 0. Exemplo 3.7. Notando que todas as derivadas de e x em torno do ponto 0 são iguais a, a série de Taylor desta função em torno da origem é dada por x n n!.

27 27 Mostremos que esta série converge para a função e x em todo R. Da fórmula de Taylor de grau n, temos para cada x R, e x = +x+ x2 x + + xn n! +r n(x), onde r n (x) = ec (n+)! xn+ para algum c < x. Então, para cada x R fixo, temos que pois como a série numérica limr n (x) = lim x n+ ec (n+)! xn+ = 0, (n+)! é convergente, o seu termo geral tende para zero. Assim, pelo primeiro critério de analiticidade, podemos escrever (3.) e x x n =, para todo o x R. n! Notemos ainda que desta igualdade podemos retirar várias propriedades da exponencial. Por exemplo, derivando termo a termo obtemos ( ) x (e x ) n nx n x n = = = n! n! (n )! = ex. Fazendo x = 0 em (3.), obtemos a célebre igualdade e = n!. Podemos ainda justificar, através da fórmula anterior, o conhecido limite e x lim =. x 0 x de facto, de (3.) podemos escrever e x = x + x2 + x3 + = x( + x + x2 + ). 2! 3! 2! 3! Logo, para x 0 tem-se e x = + x x 2! + x2 3! + que é uma série de potências convergente em R e, como tal, contínua para qualquer x R. Assim, pondo h(x) = + x + x2 +, temos 2! 3! e x lim = limh(x) = h(0) =. x 0 x x 0 Teorema 3.3 (Segundo critério de analiticidade). Seja f uma função indefinidamente diferenciável numa vizinhança de x 0. Se existirem um número real M > 0 e uma vizinhança de x 0 tais que nessa vizinhança se tenha f (n) (x) M para todo o n 0, então nessa vizinhança, f coincide com a sua série de Taylor em torno do ponto x 0. Exemplo 3.8. As funções sin(x) e cos(x) são indefinidamente diferenciáveis e as suas derivadas são sempre sin(x), cos(x), sin(x) e cos(x). Como ±sin(x), ±cos(x) para todo o x R, as séries de Taylor de sin(x) e de cos(x) em torno da origem coincidem com estas funções em R:

28 28 e sin(x) = cos(x) = ( ) n x 2n+ (2n+)! ( ) n x2n (2n)!. Exercício 3.5. Determine as séries de Taylor das seguintes funções em torno da origem, indicando os respectivos raios de convergência. (a) e x, (b) sin(x), (c) cos(x), (d) e x2, (e) e x/2, (f) sin(x 4 ), (g)x 2 e x, (h) sin(x 2 ), (i) xcos(x). 4. Séries de Fourier Quando tentava solucionar um problema relacionado com a condução do calor, Joseph Fourier necessitou de expressar uma função f como uma série trigonométrica da forma (4.) a 0 + (a n cos(nx)+b n sin(nx)). Esta série, chamada trigonométrica ou de Fourier, tem período 2π, e a sua utilização no estudo de fenómenos periódicos, como por exemplo ondas de som, movimento da Terra ou batimento cardíaco, é por vezes mais vantajosa do que a utilização das séries de potências. Definição 4.. Uma função f : R R é dita periódica de de período T R se f(x+t) = f(t), para todo o x R. Claro que se T é um período da função f, então também kt é um período de f, para todo o k Z, uma vez que e f(x+kt) = f(x+(k )T +T) = f(x+(k )T) = = f(x), se k Z + f(x T) = f(x T +T) = f(x). Portanto, sem perda de generalidade podemos considerar apenas períodos positivos. O intervalo de regularidade de f é qualquer intervalo de comprimento T. Na maior parte dos casos, vamos considerar os intervalos de regularidade [0,T] ou [ T 2, T 2 ]. Definição 4.2. Chamamos período fundamental de uma função periódica ao menor dos períodos positivos. Vamos, no entanto, daqui em diante chamar apenas período ao período fundamental. Exemplo 4.. As funções sin(x) e cos(x) são periódicas com período 2π, pois sin(x+2π) = sin(x) e cos(x) = cos(x+2π), para todo o x R. Exemplo 4.2. A função f : R R definida por f(x) = x [x], onde [x] representa o maior inteiro que não excede x é periódica com período. O gráfico desta função está representado em baixo.

29 Exemplo 4.3. Para cada n N e cada L R \ {0}, fixos, as funções definidas por f(x) = sin ( ) ( nπx L e g(x) = cos nπx ) L são periódicas com período T = 2L, pois n ( ( nπ f(x+t) = sin x+ 2L )) ( nπx ) ( nπx ) = sin L n L +2π = sin = f(x) L e analogamente g(x+t) = g(x). Definição 4.3. Uma função f diz-se seccionalmente contínua no intervalo [ L, L] se tiver neste intervalo apenas um número finito de descontinuidades, todas de primeira espécie. Isto é, se f tem um número finito de descontinuidade em a,a 2,...,a n, para algum n 0, com L = a 0 < a < a 2 < < a n < a n+ = L, é contínua em ]a i,a i+ [, i = 0,,...,n, e existem os limites laterais f(a + i ) = lim f(x) e f(a x a + i ) = lim f(x). i x a i Nota 4.. Se f é contínua em x i então f(x + i ) = f(x i ). Nota 4.2. Uma função seccionalmente contínua em [ L, L] é integrável neste intervalo. Exemplo 4.4. A função f cujo gráfico está representado em baixo, não é seccionalmente contínua em [, ], pois embora só tenha um ponto de descontinuidade neste intervalo e f(0 ) = 0, verifica lim x 0 +f(x) = Exemplo 4.5. A função f : R R definida por f(x) = x [x] é seccionalmente contínua em R.

30 30 Voltemos então à série (4.) e suponhamos que esta é uniformemente convergente para a função contínua f(x) no intervalo [ π,π], isto é, (4.2) f(x) = a 0 + (a n cos(nx)+b n sin(nx)), π x π. Vamos determinar qual a relação entre os coeficientes a n e b n e a função f. Integrando termo a termo, obtemos π π π π f(x)dx = a 0 dx+ (a n cos(nx)dx+b n π Uma vez que segue que π π π cos(nx)dx = π π π π sin(nx)dx = 0, a 0 = f(x)dx. 2π π Multiplicando a equação (4.2) por cos(mx), m, obtemos π π f(x)cos(mx)dx = π ) sin(nx)dx. π π π = a 0 cos(mx)dx+ (a n cos(nx)cos(mx)dx+b n sin(nx) cos(mx)dx). π } {{ } π π } {{ } =0 =0 Atendendo a que { π π, n = m cos(nx) cos(mx)dx = 0, n m, obtemos então π π a m = f(x)cos(mx)dx, m. π π Analogamente, multiplicando a equação (4.2) por sin(mx), m, obtemos b m = π π π f(x)sin(mx)dx, m. Definição 4.4. Seja f uma função seccionalmente contínua no intervalo [ π, π]. Então a série de Fourier de f é a série de funções a 0 + (a n cos(nx)+b n sin(nx)), onde os coeficientes a n e b n definem-se por π a 0 = 2π π π f(x)dx, a n = π πf(x)cos(nx)dx e b n = π e designam-se por coeficientes de Fourier. π π f(x) sin(nx)dx

31 3 Nota 4.3. Nesta definição não é dito que f(x) é a soma da sua série de Fourier. Apenas se diz que associada a uma qualquer função f seccionalmente contínua no intervalo [ π, π], existe uma certa série chamada série de Fourier. Coloca-se então a questão de saber qual a relação entre f e a sua série de Fourier. A resposta a esta questão é dada no próximo teorema. Exemplo 4.6. Consideremos a função definida em [ π, π] por { 0, π x < 0 f(x) =, 0 x < π. Os coeficientes de Fourier de f são dados por e a n = π b n = π π π a 0 = 2π π πf(x)cos(nx)dx = π πf(x)sin(nx)dx = π A série de Fourier de f é, então π π π 0 f(x)dx = 2π 0 π 0 cos(nx)dx = π sin(nx)dx = π dx = 2, [ sin(nx) n [ cos(nx) n ] π 0 ] π 0 = 0, para n, = { 0, n par 2, n ímpar. nπ a 0 +a cos(x)+a 2 cos(2x)+ +b sin(x)+b 2 sin(2x)+b 3 sin(3x)+ = sin(2k )x. π(2k ) Teorema 4. (Convergência da série de Fourier). Seja f uma função periódica de período 2π. Se f e f forem seccionalmente contínuas no intervalo [ π,π], então a série de Fourierde f é convergenteem R e a sua soma, emcada ponto x, é igual à médiaaritmética dos limites laterais de f, f(x + )+f(x ). 2 Nota 4.4. Se f é contínua em x, então f(x + ) = f(x ) e f(x+ )+f(x ) 2 = f(x), ou seja, a série de Fourier converge para f(x) nos pontos de continuidade da função f. Exemplo 4.7. Seja f a função periódica de período 2π definida no intervalo [ π,π] por { 0, π x < 0 f(x) =, 0 x < π. É fácil verificar que tanto f como a sua derivada são seccionalmente contínuas no intervalo [ π,π]. A função f é contínua no ponto x = e descontínua em x = 0. Assim, a sua série de Fourier, que vimos no exemplo 4.6 ser dada por sin(2k )x, π(2k ) converge para f() = no ponto x =, e converge para f(0+ )+f(0 ) x = 0. = 0+ = no ponto

32 Séries de Fourier de funções pares e ímpares. Se f é uma função par em [ L,L], isto é, se f( x) = f(x) para todo o x [ L,L], então L L f(x)dx = 2 L 0 f(x)dx. Se f é uma função ímpar em [ L,L], isto é, se f( x) = f(x) para todo o x [ L,L], então L L f(x)dx = 0. Além disso, o produto de duas funções pares ou de duas funções ímpares é uma função par, enquanto que o produto de uma função par por uma função ímpar é uma função ímpar. Daqui segue que se f é uma função par no intervalo [ π,π], então os coeficientes de Fourier b n = 0, n, enquanto que se f é uma função ímpar em [ π,π], então os coeficientes de Fourier a n = 0, n 0. Ou seja, as séries de Fourier de funções pares são séries de cossenos a 0 + a n cos(nx), com π a 0 = f(x)dx e a n = 2 f(x) cos(nx)dx, π 0 π 0 enquanto que as séries de Fourier de funções ímpares são séries de senos b n sin(nx), com b n = 2 π π 0 π f(x) sin(nx)dx Séries de Fourier de funções com período 2L. Se a função f tem período diferente de 2π, podemos obter a sua série de Fourier fazendo uma mudança de variável. Suponhamos então que f é uma função seccionalmente contínua em [ L, L] com período 2L, isto é, f(x+2l) = f(x) para todo o x. Fazendo t = πx g(t) = f(x) = f então a função g é seccionalmente contínua, tem período 2π e x = ±L corresponde a t = ±π. A série de Fourier de g é então a 0 + (a n cos(nt)+b n sin(nt)), onde π ( Lt π a 0 = π g(t)dt, 2π π a n = b n = π πg(t)cos(nt)dt, π Substituindo a variável t = πx, obtemos então: L ), π π L e g(t) sin(nt)dt.

33 33 Definição 4.5. Seja f uma função seccionalmente contínua no intervalo [ L, L]. Então a série de Fourier de f é a série de funções ( ( nπx ) ( nπx )) a 0 + a n cos +b n sin, L L onde os coeficientes de Fourier são dados por a n = L L L f(x)cos a 0 = 2L L L f(x)dx, ( nπx ) dx e b n = L L L L f(x)sin ( nπx ) dx. L Nota 4.5. O teorema da convergência da série de Fourier é, naturalmente, válido para funções com período 2L. Exemplo 4.8. Determinemos a série de Fourier da função definida por f(x) = x, para x, e f(x+2) = f(x) para todo o x. O gráfico desta função está indicado em baixo. 2 2 Tanto a função f como a sua derivada são seccionalmente contínuas no intervalo [, ]. Além disso, notemos que f é uma função par. Determinemos então os coeficientes a n de Fourier de f, pondo L = na definição anterior: e para n, temos a n = a 0 = 2 f(x)dx = 2 0 ( x)dx+ 2 f(x)cos(nπx)dx = 2 n 2 π 2(cos(nπ) ) = Assim, a série de Fourier de f é dada por 2 4 cos((2k )πx). (2k ) 2 π2 Por fim, e uma vez que a função f é contínua, podemos escrever f(x) = 2 0 xdx = 2, { 0, se n é par 4, se n é ímpar. n 2 π 2 4 cos((2k )πx), para todo o x. (2k ) 2 π2 As séries de Fourier podem ser usadas para determinar a soma de algumas séries numéricas. Por exemplo, no caso anterior, para x = 0 a série de Fourier vale f(0) = 0. Assim, 0 = 2 4 (2k ) 2 π cos(0), 2