EQUAÇÕES DIFERENCIAIS: MÉTODOS DE SÉRIES I

Transcrição

1 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS: MÉTODOS DE SÉRIES I MAURICIO A. VILCHES Departamento de Análise - IME UERJ

2 Copyright by Mauricio A. Vilches c Todos os direitos reservados Proibida a reprodução parcial ou total

3 3 PREFÁCIO Nestas notas abordaremos todos os tópicos da ementa das disciplinas Cálculo Diferencial e Integral IV e Complementos de Equações Diferenciais oferecidas pelo Departamento de Análise do IME-UERJ. O Volume I, é dedicado ao estudo das soluções por séries de potências das equações diferenciais ordinárias. Historicamente, o primeiro que utilizou sistematicamente as séries de potências foi Isaac Newton, em 665, em seu famoso Teorema Binomial, ele publicou seus resultados no livro "A Treatise of the Methods of Series and Fluxions". Isaac Newton descobriu que qualquer equação pode ser resolvida, utilizando séries de potências com coeficientes indeterminados, os quais podem ser sempre obtidos. A rigorosa teoria da convergência das séries é devida a Augustin-Louis Cauchy e Niels Henrik Abel, entre outros. Posteriormente, a teoria das séries de potências converte-se na teoria das Funções Analíticas. As chamadas séries de Taylor, foram inicialmente utilizadas pelo matemático escocês James Gregory; posteriormente, foram formalmente introduzidas pelo matemático inglês Brook Taylor, em 75. Porém quem divulgou e popularizou as séries de Taylor foi Joseph-Louis Lagrange am 77. Se a série de Taylor é centrada em zero, é chamada de Maclaurin. Colin Maclaurin foi um matemático escosês que as utilizou no século XVIII. Na atualidade, muitas funções importantes em Matemática podem ser expressas como séries de potências ou Taylor, as quais são a generalização dos polinômios, no seguinte sentido: Uma função pode ser aproximada usando um número finito de termos de sua série de Taylor. O teorema de Taylor indica estimativas quantitativas sobre o erro cometido ao utilizar tal aproximação. O polinômio formado pelos n primeiros termos da série de Taylor é dito polinômio de Taylor de grau n e se aproxima da função de forma bastante razoável, para certos tipos de problemas. Em geral, notamos que uma função pode não ser igual a sua série de Taylor, mesmo que convirga em todos os pontos. Por outro lado, as funções que são

4 4 iguais a sua série de Taylor, num determinado domínio aberto, são chamadas analíticas nesse domínio. O capítulo dois, sobre o estudo da convergências das séries de funções pode ser podem ser revistos posteriormente, quando o leitor esteja interessado nos fundamentos matemáticos das soluções da equações direnciais ordinárias e parciais. Os pré-requisitos básicos deste livro podem ser visto em [VC], [VC] e [NP]. Desejo agradecer de forma muito especial a minha colega professora Maria Luiza Corrêa pela leitura rigorosa dos manuscritos, além dos inúmeros comentários e observações, os quais permitiram dar clareza aos tópicos estudados. Mauricio A. Vilches Rio de Janeiro

5 Conteúdo SEQUÊNCIAS E SÉRIES NUMÉRICAS 7. Introdução Sequências Numéricas Séries Numéricas Testes de Convergência Teste (de divergência) Teste (de Comparação) Teste 3 (da Integral) Teste 4 (do Quociente I) Séries Alternadas Teste 5 (Séries alternadas) Convergência Absoluta Teste 6 ( do Quociente I I) Teste 7 (da Raiz) Exercícios SEQUÊNCIAS E SÉRIES DE FUNÇÕES 3. Introdução Sequências de Funções Convergência Uniforme Séries de Funções SÉRIES DE POTÊNCIAS 4 3. Introdução Séries de Potências Funções Analíticas Séries de Taylor Exercícios SOLUÇÕES ANALÍTICAS DE EDO S LINEARES Introdução Equações Diferenciais Ordinárias Soluções em Torno de Pontos Regulares

6 6 CONTEÚDO 4.4 Equações Diferenciais Ordinárias de Segunda Ordem Determinação da Solução Exemplos A Equação de Legendre Exemplos e Aplicações Exercícios MÉTODO DE FROBENIUS Introdução Soluções em Torno de Pontos Singulares A Equação Indicial Exemplos e Aplicações Exercícios A EQUAÇÃO DE BESSEL 9 6. Introdução A Edo de Bessel Edo de Bessel de Ordem Zero Primeira Solução: Segunda Solução: Função Gama Edo de Bessel de Ordem ν > Primeira solução: Segunda Solução A Edo de Bessel de Ordem ν = / Exemplos e Aplicações Exercícios Bibliografia 47

7 Capítulo SEQUÊNCIAS E SÉRIES NUMÉRICAS. Introdução Neste capítulo apresentaremos apenas o essencial sobre sequências e séries, o mínimo, para estudar as soluções analíticas de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO), as convergências das séries de Fourier e a validade das soluções das Equações Diferenciais Parciais (EDP) que estudaremos. Às pessoas interessadas nas demostrações ou que desejem aprofundar-se nos assuntos deste capítulo, indicamos [LE] e [RW] na bibliografia.. Sequências Numéricas Denotemos por N o conjunto dos números naturais e por R o conjunto dos números reais. Definição.. Uma sequência de números reais é uma função: f : N R. Observação... As notações clássicas para sequências são: f(n) = a n, o termo geral da sequência.. A sequência é denotada por: ( an ) n N = ( a, a,......, a n,... ). 7

8 8 CAPÍTULO. SEQUÊNCIAS E SÉRIES NUMÉRICAS 3. Não confundir a sequência ( a n )n N com {a, a,......, a n,... } que é o conjuntoimagem da função que define a sequência. Exemplo.. ( ) [] Seja n n N = (,, 3,..., n,... ) ; o conjunto-imagem é: { n / n N}. [] Seja ( n )n N = (,,..., n,... ) ; o conjunto-imagem é: { n / n N}. [3] Seja ( ( ) n) n N = (,,,..., ( ) n,... ) ; o conjunto-imagem é: {, } Figura.: Gráficos das sequências ( ) ( ) e n n Definição.. Uma sequência ( a n converge para o número real L quando para )n N todo ε > 0 existe n 0 N tal que a n L < ε para todo n > n 0. Observação... Se a sequência ( a n converge para L, denotamos: )n N lim a n = L; n + o número L é dito o limite da sequência.

9 .. SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS 9. Uma sequência é dita divergente se não converge. 3. Logo, a sequência ( a n diverge quando, para nehum número real L, se tem )n N lim a n = L, ou seja, se existe ε > 0 tal que para cada n 0 N existe n > n 0 tal n + que a n L ε. Exemplo.. [] A sequência (n) n N = (,, 3,..., n,...), claramente, diverge. Pois: lim n n + não existe. ( ) [] A sequência converge a zero. n n N De fato, dado ε > 0 devemos determinar um número n 0 N tal que para todo n > n 0 : n 0 < ε = n < ε desde que n > ε. Como ε pode não ser um número natural, escolhemos n 0 > ε. Logo, para todo n > n 0, temos: n < ε. Logo: lim n + n = 0. [3] A sequência constante (k) n N, k R converge para k. Logo: lim k = k. n + Proposição.. Se uma sequência converge para L e para M, então, L = M. Isto é, se o limite de uma sequência existe, êle é único. Observação.. Se (a n ) n N converge, então, ( a n ) n N converge. A recíproca é falsa. Veja o exemplo seguinte.

10 0 CAPÍTULO. SEQUÊNCIAS E SÉRIES NUMÉRICAS Exemplo.3. [] A sequência (( ) n ) n N diverge, pois, seus termos oscilam entre + e ; logo, a sequência não tem limite. [] Por outro lado, a sequência ( ( ) n ) n N é convergente. Definição.3. Uma sequência ( a n )n N é limitada se existe k R+ tal que a n k para todo n N. Caso contrário, é dita ilimitada. Proposição.. Se a sequência ( a n é convergente, então, é limitada. )n N Exemplo.4. [] A sequência ( n ) diverge, pois é ilimitada. n N [] A sequência ( n ) diverge, pois é ilimitada. n N [3] A sequência (( ) n ) n N é limitada e diverge. Logo, a recíproca da propriedade anterior não vale. Proposição.3. Se a n b n c n para todo n > n 0 e: lim a n = lim c n = L, então, lim b n = L. n + n + n + Exemplo.5. [] Estudemos a convergência da sequência : ( ) cos(n) n. n N Figura.: Gráfico dos 5 primeiros termos da sequência

11 .. SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS Como: n cos(n) n n, pela propiedade anterior: cos(n) lim n + n = 0. convergem a L e M, respectiva- Proposição.4. Se as sequências ( ) a n e ( b n N n )n N mente, então: [ ]. Se α e β R, então lim α an + β b n = α L + β M. n + [ ]. lim an b n = L M. n + a n 3. lim = L, se M 0. n + b n M Exemplo.6. [] Considere as sequências lim n + lim n + n = [ + n [] Pela propiedade anterior: ( ) ( e + ). Então: n n N n n N lim ] n + [ n ] [ = n lim n + = lim n + + lim n + ] [ n n =. lim n + ] = 0, n lim n + lim n + lim n + [ 5 n + ( + ) ] = =, n [ ] [ 5 + ] = 5 0 = 0, n n n + = 0. Por que?

12 CAPÍTULO. SEQUÊNCIAS E SÉRIES NUMÉRICAS Proposição.5. Seja a sequência ( a n )n N tal que a n > 0 para todo n N. Se a n+ lim = L <, n + a n então, a sequência ( a n converge para zero. )n N Exemplo.7. Estude a convergência das seguintes sequências : ( ) k n [] tal que k 0. Como: n! n N a n+ k lim = lim n + a n n + n + = 0 <, a sequência converge para zero. ( ) n k [] tal que k >. Como: k n n N a sequência converge para zero. [ a n+ lim = lim + ] k = n + a n n + k n k <, Proposição.6. Sejam f : A R R tal que N A e n N, então: lim a n = L. n + lim f(x) = L. Se f(n) = a n, x Figura.3: Gráfico de f(x) e f(n) = a n

13 .3. SÉRIES NUMÉRICAS 3 Exemplo.8. [] Estude a convergência da sequência : ( ln ( n n )) Note que ln ( n n ) = ln(n) ; então consideremos: n definida em A = (0, + ); então: ln(x) lim x + x n N. f(x) = ln(x) x = lim x + x = 0, onde na última igualdade aplicamos o teorema de l Hôpital; logo, a sequência converge para zero. [] Em particular: lim n + n n =..3 Séries Numéricas Considere a sequência ( a n e construamos a partir desta sequência, a seguinte nova )n N sequência : S = a S = a + a = S + a S 3 = a + a + a 3 = S + a 3 S 4 = a + a + a 3 + a 4 = S 3 + a 4. S n = a + a + a a n = S n + a n.. Se a sequência ( S n ) n N converge para o número S, escrevemos:

14 4 CAPÍTULO. SEQUÊNCIAS E SÉRIES NUMÉRICAS a n = a + a + a a n +... = S. (.) Definição.4.. A expressão (.) é dita a série infinita com termo geral a n.. Em tal caso, dizemos que a série (.), converge para S. 3. Caso contrário, ou seja, se a sequência ( S n ) n N é divergente, a série é dita divergente. 4. O número S é dito a soma da série (.) e a sequência ( S n ) n N é dita sequência das somas parciais ou reduzidas da série. Exemplo.9. Estude a convergência das seguintes séries: [] A série geométrica. Seja r R: r n = + r + r + r r n Temos: S n = + r + r + r r n () r S n = r + r + r 3 + r r n (). Fazendo ()-(), temos: ( r) S n = r n ; logo: lim S n = n + lim n + [ ] r n r =, se r <. r Se r a série diverge. Como aplicação direta da série geométrica:

15 .3. SÉRIES NUMÉRICAS 5. A série: converge e a série: diverge.. Escrever 4, , como fração. n 3 = [ ] n n 3 5 n = [ ] n 5 n 0, = n +... = 4 0 = 4 n 0 = 40 n 9. [] n (n + ). Note que podemos reescrever: a n = n (n + ) = n n + ; logo, a nésima soma parcial é S n = n + e: então: [3] n + + n. lim S n = n + lim n + [ ] = ; n + n (n + ) =.

16 6 CAPÍTULO. SEQUÊNCIAS E SÉRIES NUMÉRICAS Note que podemos reescrever: a n = n + + n = n + n; logo, a nésima soma parcial é S n = n +, e: o qual não existe; logo, a série diverge. [4] Determine o termo geral da série Note que a = S =, e: Logo, lim S [ ] n = lim n +, n + n + a n e estude sua convergência, se: S n = n + 3 n + 4, n N. a n = S n S n = n + 3 n + 4 n + n + 3 = 5 (n + 3) (n + 4). a n = + n= 5 (n + 3) (n + 4) = lim S n + 3 n = lim n + n + n + 4 =. Observação.. A seguir apresentaremos alguns testes para decidir se uma série converge..4 Testes de Convergência.4. Teste (de divergência) Se a série: converge, então: a n lim a n = 0. n +

17 .4. TESTES DE CONVERGÊNCIA 7 O teste é utilizado para provar que uma série é divergente, ou seja: Se lim a n 0, n + então, a n diverge. Exemplo.0. Estude a convergência das seguintes séries: [] Como [] Como [3] n = n lim n + n n n +. lim n + = 0, o teste é inconclusivo! n n + =, a série diverge. arctg ( n + 5). Como lim arctg( n + 5) π =, a série diverge. n +.4. Teste (de Comparação) Seja a série a n, tal que 0 a n para todo n N.. Se b n é uma série convergente tal que 0 a n b n, n N, então, a série: a n converge.

18 8 CAPÍTULO. SEQUÊNCIAS E SÉRIES NUMÉRICAS. Se c n é uma série divergente tal que 0 c n a n, n N, então, a série: a n diverge. Exemplo.. [] Estude a convergência da série: n 3 n+. Note que: para todo n N. Por outro lado, a série a n = n 3 n+ < 3 n, 3 é uma série geométrica de razão. Logo, a série converge. n 3 Proposição.7. Se a n e b n são séries convergentes, então: para todo α, β R. [ ] α an + β b n = α a n + β b n, Exemplo..

19 .4. TESTES DE CONVERGÊNCIA 9 Discuta a convergência da série: 3 n n 6 n. Observamos que não podemos separar esta série em duas, pois não sabemos se cada uma delas converge. Por outro lado: 3 n n 6 n = n 3 n. As séries geométricas: e são convergentes e: n 3n =, n 3 = 3 n. Pela propiedade anterior: 3 n n 6 n = n 3 = n. Observação.3. Nem sempre é possível achar a soma de uma série; nós estamos apenas interessados em decidir se uma série converge ou diverge. Considere a seguinte série: n = n Seja f : N R tal que f(n) = n e g : (0, + ) R tal que g(x) = x ; logo, f(n) = g(n) para todo n N.

20 0 CAPÍTULO. SEQUÊNCIAS E SÉRIES NUMÉRICAS R R R 3 R4 R5 3 Figura.4: Gráfico de g Note que as áreas dos retângulos R i são A(R ) =, A(R ) =, em geral : A(R n ) = n. Se tiramos o retângulo R a soma das áreas dos retângulos restantes será menor que a área sob a o gráfico de g; logo: Isto motiva o seguinte Teste: S n + n dx, para todo n N. x.4.3 Teste 3 (da Integral) Seja f : [, + ) R contínua, decrescente e positiva tal que f(n) = a n. Temos:. Se a integral imprópria: + f(x) dx converge, então a n converge.

21 .4. TESTES DE CONVERGÊNCIA.. Se a integral imprópria: diverge, então a n diverge. + f(x) dx Figura.5: Gráficos de f(x) e f(n) = a n Exemplo.3. Estude a convergência das seguintes séries: [] Seja α > 0, e: n = + α + α 3 + α α n α Consideremos f : [, + ) R tal que f(x) = ; f é contínua, decrescente e positiva xα e f(n) = n. α Se α 0: + dx b x = lim dx α b + x = lim α b + x α α b = lim b + b α α ; logo, se α > a integral converge; se α < a integral diverge. Segue de imediato, que a integral também diverge se α =, pois: Logo: + dx b x = lim dx b + x = lim ln(b) = ; b +

22 CAPÍTULO. SEQUÊNCIAS E SÉRIES NUMÉRICAS Então, por exemplo:. A série. A série n diverge. n converge { n = converge se α > α diverge se 0 < α. 3. Em geral, fazendo k = n + l, onde l R, temos: { (n + l) = α k = converge se α > α diverge se 0 < α. k=l 4. Então, por exemplo: [] ln(n) n. (n + ) diverge, (n + 5) converge, n + 8 diverge. Consideremos f : [, + ) R tal que f(x) = ln(x) ; f é contínua, decrescente e x positiva e f(n) = ln(n) n. + ln(x) x b ln(x) dx = lim b + x logo, a integral diverge. Portanto, a série diverge. dx = lim b + ( ) ln(b) ;

23 .5. SÉRIES ALTERNADAS Teste 4 (do Quociente I) Seja a série a n tal que a n 0 e:. Se L <, a série converge.. Se L >, a série diverge. 3. Se L =, o teste é inconclusivo. L = a n+ lim. n + a n Exemplo.4. [] Estude a convergência da série: Note que a n+ a n [ ] n n = k ; então: n + a n+ lim = lim n + a k n n + k n n! n n, k > 0. [ ] n [ n = lim n + k ] n = k n + n + e.. Se k e <, isto é, k < e, a série converge.. Se k e >, isto é, k > e, a série diverge. 3. se k = e, o teste é inconclusivo..5 Séries Alternadas Definição.5. A série se é do tipo: a n é dita alternada se a n a n+ < 0 para todo n, ou seja, ( ) n a n.

24 4 CAPÍTULO. SEQUÊNCIAS E SÉRIES NUMÉRICAS.5. Teste 5 (Séries alternadas) Seja a série alternada: tal que:. a n a n+ para todo n e. lim n + a n = 0. ( ) n a n Então, a série alternada converge. Exemplo.5. [] A série: ( ) n converge. n De fato, a n = n ; como n < n +, então, n + < n n [] A série: converge? ( ) n Observamos que: para todo n N e lim a n = 0. n + n ( ) = n ( ) n n n. De fato, a n = n n + ; como n < n+, então, n para todo n N e lim n n a n n = 0, n + pois por L Hopital: Logo, a série converge. Observação.4. Se lim x + x = 0. x a n converge para S; denotemos por: ɛ(n) = S S n, o erro de aproximação da série pela n-ésima soma parcial.

25 .6. CONVERGÊNCIA ABSOLUTA 5 Proposição.8. Se a série alternada: ( ) n a n converge para S, então: ɛ(n) a n+, n N. Observação.5. Isto é, o erro máximo de aproximar a série alternada por sua n-ésima soma parcial não exede a n+. Exemplo.6. [] Aproxime a série ( ) ( n + )!, pela soma parcial S 5. A série alternada claramente converge; por outro lado: S 5 = 3! + 5! 7! + 9! = ; logo: ( ) ( n + )! com erro máximo de a 6 =! Convergência Absoluta Definição.6.. A série a n converge absolutamente se. Se a série converge a n diverge, então, é dita condicionalmente convergente. a n e a n converge.

26 6 CAPÍTULO. SEQUÊNCIAS E SÉRIES NUMÉRICAS Teorema.. Se a série a n converge absolutamente então a n converge. Prova: Segue do teste de comparação; de fato, primeiro temos a seguinte desiguladade geral: Como a n converge, temos que a n ) converge e: a n a n a n = 0 a n + a n a n. a n = a n converge; por comparação, a série (a n + a n ) como é diferença de séries convergentes, temos que a n ; a n converge. (a n + A recíproca do Teorema anterior é falsa. Exemplo.7. ( ) n []. A série: converge condicionalmente. n ( ) n [] A série: converge absolutamente. n.6. Teste 6 ( do Quociente I I) Seja a série então, se: a n e:. L <, a série L = lim a n+ a n ; n + a n converge absolutamente.

27 .6. CONVERGÊNCIA ABSOLUTA 7. L >, a série a n diverge. 3. Se L =, o teste é inconclusivo. Exemplo.8. [] Estude a convergência da série: lim a n+ a n = n + logo, a série converge absolutamente. [] Estude a convergência da série: n + n!. lim n + ( ) n n! n n. n + = 0 < ; [ ] lim a n+ n [ n a n = lim = lim ] n = n + n + n + n + e < ; logo, a série converge absolutamente..6. Teste 7 (da Raiz) Seja a série a n e: L = lim n + n an ; então, se:. L <, a série. L >, a série a n converge absolutamente. a n diverge.

28 8 CAPÍTULO. SEQUÊNCIAS E SÉRIES NUMÉRICAS 3. Se L =, o teste é inconclusivo. Exemplo.9. Estude a convergência das séries: ( ) n 4 n []. n n lim n + n an = logo, a série converge absolutamente. ( ) n n + []. n lim n + n an = lim n + logo, o teste é inconclusivo. Por outro lado: ( n + lim a n = lim n + n + n e a série diverge. 4 n n n + lim n + n ) n = lim n + n n = 0 < ; = ; ( + n) n = e 0,

29 .7. EXERCÍCIOS 9.7 Exercícios. Determine se as seguintes séries convergem: (a) (b) (c) (d) 3 n (n + 4) 5 n n 3 + n + n 5 n+ (n + ) n! n + (e) (f) (g) (h) n 0 0 n n n 0 n+ ( n)! n [ n n + ] n Determine se as seguintes séries convergem absolutamente: (a) (b) (c) (d) ( ) n ln(n) n ( ) n e n ( ) n n! n + n! ( 5) n (e) (f) (g) (h) ( ) n 4 n 3 n + ( ) n n 0 0 n ( 6 n) 3n (5 n 3 + 3) n ( ) n ln(e n + e n ). Aproxime as séries, pela soma parcial indicada e determine o erro máximo: (a) (b) (c) (d) ( ) n ; S 0 n! ( ) n n n ; S 7 ( ) n (n + ) ; S 5 n+ 8 ( ) n n + n ; S 8 (e) (f) (g) (h) cos(n π) 5 n ; S 7 ( ) n 4 n 3 n + ; S 6 ( ) n n 4 + ; S 0 ( 5) n ; S 6 n n!

30 30 CAPÍTULO. SEQUÊNCIAS E SÉRIES NUMÉRICAS

31 Capítulo SEQUÊNCIAS E SÉRIES DE FUNÇÕES. Introdução Este capítulo não é, inicialmente impresindível para o entendimento dos próximos capítulos e pode ser deixado para quando o leitor necessite ter um conhecimento mais profundo sobre convergências.. Sequências de Funções Seja A R e: F ( A, R ) = {f / f : A R} o conjunto das funções reais definidas sobre A. Definição.. Uma sequência de funções é uma correspondência que associa a cada número natural uma única função: que denotamos por f(n) = f n : A R. f : N F ( A, R ), Observação.. A sequência de funções é denotada por: ( f n. Para todo x A, a )n N sequência ( f n (x) ) é uma sequência numérica. n N Exemplo.. [] Seja A = [0, ] e ( x n) n N = ( x, x, x 3,... ). [] Seja A = [0, + ) e ( n x )n N = ( x, x,..., n x,... ). 3

32 3 CAPÍTULO. SEQUÊNCIAS E SÉRIES DE FUNÇÕES Definição.. Uma sequência de funções ( f n )n N tais que f n : A R, converge pontualmente ou, simplesmente para a função f : A R se para todo x A e para todo ε > 0 existe n 0 N tal que f n (x) f(x) < ε para todo n n 0. Observação... O número n 0 = n(ε, x), depende tanto de ε como do ponto x.. Uma sequência de funções é dita divergente se não converge. 3. Se a sequência de funções ( f n converge pontualmente para f, para todo x )n N A fixado, tem-se: lim f n(x) = f(x); n + f(x) é dito o limite pontual da sequência. Exemplo.. [] Seja A = [0, ]. A sequência ( x n) n N = (, x, x, x 3,...) converge pontualmente para a função f : [0, ] R definida por: f(x) = lim n + xn = { 0 se x [0, ) se x = [] Seja A = R. A sequência ( f n )n N tal que f n(x) = para a função f : R R definida por: f(x) = lim n + n x + n x = lim n + [3] Seja A = R. A sequência ( f n )n N tal que f n(x) = para a função f : R R definida por: f(x) = [ lim + x n = e n + n] x.. n x converge pontualmente + n x x = 0. n + n x ( + x n) n converge pontualmente

33 .. SEQUÊNCIAS DE FUNÇÕES Figura.: Gráficos de f (x), f 0 (x) e f 00 (x) Observação... Dada uma sequência de funções ( f n )n N em que cada f n seja contínua em A e ( ) fn convirja pontualmente a uma função f, nada nos garante que f seja contínua. n N. De fato, no primeiro exemplo, as f n (x) = x n são contínuas em [0, ] mas convergem pontualmente para uma função descontínua. Vejamos outro exemplo: Exemplo.3. Seja A = [0, ] e: n n x se 0 < x < f n (x) = n 0 nos outros casos. lim f n(x) = 0 em [0, ], mas: n + Como 0 0 dx = 0, temos: 0 lim n + 0 f n (x) dx = /n 0 f n (x) dx (n n x) dx =. 0 [ ] lim f n(x) dx. n +

34 34 CAPÍTULO. SEQUÊNCIAS E SÉRIES DE FUNÇÕES Figura.: Gráficos de f i (x), para i =,, 3, 4, 5.3 Convergência Uniforme Os exemplos apresentados indicam que a convergência pontual de uma sequência de funções não é suficiente para preservar as propriedades das funções que formam a sequência; daí a necessidade da seguinte definição: Definição.3. Uma sequência de funções ( f n converge uniformente para a função )n N f se para todo ε > 0 existe n 0 N tal que f n (x) f(x) < ε para todo n n 0 seja qual for x A. O número n 0 = n(ε), depende somente de ε. Observação.3.. Em geral, provar que uma sequência de funções converge uniformemente é bastante complicado.. Uma possível interpretação da continuidade uniforme é a seguinte: Fixada uma faixa de largura ε em torno do gráfico de f, a partir de um certo n 0, os gráficos das funções f n ficam dentro desta faixa. 3. Claramente, se uma sequência de funções converge uniformemente para f, converge pontualmente para f. A recíproca é falsa. Veja o primeiro exemplo. 4. A seguinte proposição é útil para verificar se uma sequência converge uniformemente.

35 .3. CONVERGÊNCIA UNIFORME 35 Proposição.. Seja a sequência de funções (f n ) n N definidas sobre A R. Se existe uma sequência numérica ( a n que converge para zero e: )n N f n (x) f(x) a n, para todo x A, então, a sequência de funções (f n ) n N converge uniformente para f. Exemplo.4. ( ) cos(n x) [] A sequência n De fato, observe que: como a sequência n N converge uniformemente para zero. cos(n x) n 0 n ; ( ) n n N converge para zero, a sequência de funções converge uniformente para zero. Figura.3: Gráficos de f 5 (x), f 0 (x) e f 5 (x) Teorema.. Seja a sequência de funções (f n ) n N tal que converge uniformente para f.. Se as f n são contínuas em A, então f é contínua em A e: [ ] lim lim f n (x) n + x x 0 [ = lim x x0 lim f n(x) n + ] = lim x x0 f(x).

36 36 CAPÍTULO. SEQUÊNCIAS E SÉRIES DE FUNÇÕES. Se as f n são integráveis em A, então f é integrável em A e: b lim n + a f n (x) dx = b a [ ] lim f n(x) dx = n + b a f(x) dx, se [a, b] A. Exemplo.5. [] Considere a sequência de funções (f n ) n N tal que f n (x) = sen(n x). n Claramente a sequência converge uniformente para a função f(x) = 0. Suponhamos que podemos derivar em x a sequência ; isto é: f n(x) = cos(n x), logo; f n(0) = e a sequência () n N converge para e não para f (0) = 0. Teorema.. Seja a sequência de funções (f n ) n N tais que as f n são diferenciáveis em A. Se a sequência (f n ) n N converge pontualmente para f e a sequência (f n) n N converge uniformente para g, então f é derivável em A e f = g. O seguinte teorema nos diz que toda função contínua pode ser aproximada uniformemente por polinômios. Teorema.3. (Aproximação de Weierstrass) Seja f : [a, b] R contínua; então existe uma sequência de funções (P n ) n N, onde P n (x) são polinômios, que converge uniformemente para f em [a, b].

37 .4. SÉRIES DE FUNÇÕES 37.4 Séries de Funções Com as considerações feitas no parágrafo sobre as séries númericas, seja a sequência de funções (f n ) n N, x A e construamos a sequência de funções ( S n ) n N tal que: S n (x) = f (x) + f (x) + f 3 (x) f n (x). Se a sequência ( S n (x)) n N converge pontualmente para S(x), dizemos que a série de funções converge pontualmente e escrevemos: f n (x) = S(x). Se a sequência ( S n (x)) n N converge uniformemente para S(x), dizemos que a série de funções converge uniformemente e escrevemos: f n = S. Exemplo.6. [] Seja A = [0, ] e f n tal que: f n (x) = A n-ésima soma parcial da série é: { x n = x n x n n >. S n (x) = x n ; logo, a sequência das somas parciais converge pontualmente em A para a função f, onde { 0 se x [0, ) f(x) = se x =. Mas, a série não converge uniformemente em A. De fato, dado 0 < ε < e n 0 N, seja x = ( ε) /n 0 em: m n=n 0 f n (x) = x m x n0 ;

38 38 CAPÍTULO. SEQUÊNCIAS E SÉRIES DE FUNÇÕES então, x m x n 0 = ( ε) m/n 0 ε e se m for suficientemente grande: ( ε) m/n 0 < ε e: m f n (x) = xm x n0 > ε, n=n 0 para x = ( ε) /n 0. Observação.. Da mesma forma que para as sequências de funções determinar a convergência uniforme de uma série é bastante complicado. O seguinte teorema clássico é o mais útil para decidir se uma série de funções converge uniformente. Teorema.4. (Teste M de Weierstrass:) Seja f n tal que f n : A R. Se:. f n (x) M n para todo x A e para todo n N.. A série numérica Então, M n converge. f n converge uniformemente e absolutamente para alguma função : f : A R. Exemplo.7. [] Seja Como: cos(n x) n n, x R. cos(n x) n n n 3/ para todo x R e a série:

39 .4. SÉRIES DE FUNÇÕES 39 n 3/ converge, a série dada converge uniformemente em R [] Seja Como: Figura.4: Gráficos dos 000 primeiros somandos de [] cos n (x), x (0, + ). n + x para todo x R e a série (0, + ). cos n (x) n + x n converge, a série dada converge uniformemente em n Figura.5: Gráficos dos 000 primeiros somandos de [] Os teoremas do parágrafo anterior, no caso de séries de funções, assumem a seguinte forma:

40 40 CAPÍTULO. SEQUÊNCIAS E SÉRIES DE FUNÇÕES Teorema.5. Seja f n uniformemente converge para f em A.. Se cada f n é contínua em x 0 A, então f é contínua em x 0 A.. Se cada f n é integrável em [a, b] A, então f é integrável em [a, b] e: b a f n (x) dx = b a f n (x) dx. Finalmente: Teorema.6. Seja f n onde as f n são diferenciáveis em [a, b]:. Se para algum c [a, b] a série numérica f n (c) converge.. A série f n converge uniformemente em [a, b], então: f n converge uniformemente para uma função diferenciável em [a, b].

41 Capítulo 3 SÉRIES DE POTÊNCIAS 3. Introdução 3. Séries de Potências Definição 3.. Uma série de potências em torno de x 0, ou de potências de x x 0, é uma série de funções, do tipo: a n (x x 0 ) n = a 0 + a (x x 0 ) + a (x x 0 ) + +a 3 (x x 0 ) (3.) onde a i, x 0 R. Se x 0 = 0 em (3.), então: a n x n = a 0 + a x + a x + a 3 x a n x n (3.) Observação 3... Todas as séries do tipo (3.) podem ser escritas como em (3.), fazendo a mudança t = x x 0. a n (x x 0 ) n = a n t n.. Logo, por comodidade, estudaremos as séries do tipo (3.). 4

42 4 CAPÍTULO 3. SÉRIES DE POTÊNCIAS 3. Note que dada a série de potências (3.) fazendo x = x 0, a série de potências se transforma numa série numérica. 4. Toda série de potências do tipo (3.) converge se x = 0. Teorema 3.. Seja uma série de potências do tipo (3.):. Se existe x 0 0 tal que a série numérica: a n x n 0 converge, então (3.) converge absolutamente em ( x 0, x 0 ). Se existe x 0 tal que a série numérica a n x n diverge, então (3.) diverge em (, x ) ( x, + ). Definição 3.. O conjunto: D = {x R / a n x n converge} é chamado domínio de convergência de (3.). Observação 3... Note que D, pois 0 D.. É possível provar que D é um intervalo centrado em x 0 = 0, que pode ser aberto, fechado, semi-aberto ou reduzir-se a um ponto. Veja [LE]. 3. Se D é um conjunto limitado e ρ é a menor cota superior de D, então ρ é chamado raio de convergência da série de potências.

43 3.. SÉRIES DE POTÊNCIAS 43 Definição 3.3. Se D é um conjunto ilimitado, então dizemos que (3.) tem raio de convergência ρ = +. Se D é um conjunto limitado, então dizemos que (3.) tem raio de convergência ρ < +. Teorema 3.. Considere a série de potências: com raio de convergência ρ: a n x n. Se ρ = 0 a série converge somente para x = 0.. Se ρ = + a série (3.) converge absolutamente para todo x R. 3. Se 0 < ρ < + a série (3.) converge absolutamente no intervalo ( ρ, ρ) e diverge em ( ρ, ) (ρ, + ). Definição 3.4. O intervalo ( ρ, ρ) é dito de convergência da série de potências (3.). Observação 3.. Nos extremos do intervalo, ou seja, em x = ±ρ, nada se pode afirmar e a série pode convergir ou divergir. Proposição 3.. Seja ρ o raio de convergência da série de potências (3.); então para todo r > 0 tal que r < ρ, a série de potências (3.) converge uniformente em [ r, r]. Prova: Segue diretamente do teorema de Weierstrass. Exemplo 3.. Estude a convergência das seguintes séries de potências: [] x n = + x + x + x 3 + x x n De forma análoga ao que fizemos para determinar a convergência da série geométrica, podemos verificar que para todo x 0, temos que:

44 44 CAPÍTULO 3. SÉRIES DE POTÊNCIAS e diverge se x >. x n = x se x < [] n! x n = + x + x + 6 x x n! x n Para todo x 0 0 a série numérica diverge, pois Teorema 3.3. Seja lim n! n + xn 0 0. a n x n. Então, o raio de convergência da série é: ρ = lim a n n + a n+ Observação 3.. Equivalentemente, se Exemplo 3.. ρ = a n x n, o raio de convergência da série é: lim n + an. Estude a convergência das seguintes séries de potências: [] x n n!. ρ = lim n + a n a n+ n = lim (n + ) = +. n + Logo, a série converge absolutamente para todo x R. [] (x + ) n n n. ρ = lim n + an = n lim n n =. n + Logo, a série converge absolutamente para todo x tal que x+ <, isto é, no intervalo ( 3, ).

45 3.. SÉRIES DE POTÊNCIAS 45 Observação 3.3. Nenhum teorema dá informação sobre a convergência nos extremos do intervalo de convergência. Estes devem ser estudados separadamente. Assim, se x = 3; a série converge. Se x = ; (x + ) n n n ( 3 + ) n = n n = ( ) n n n = ( ) n n ; (x + ) n n n = = ( + ) n n ; n n a série diverge. Logo a série de potências converge absolutamente em [ 3, ) Figura 3.: Gráfico dos 000 primeiros somandos de [] [3] ( ) n x n n (n!). ρ = lim n + a n a n+ = lim 4 (n + n + ) = +, a série converge absolutamente para todo x R.

46 46 CAPÍTULO 3. SÉRIES DE POTÊNCIAS Figura 3.: Gráfico dos 000 primeiros somandos de [3] [4] (4 x 3) n. n ρ = lim n + n n =, onde para calcular o limites utilizamos logaritmo. Logo, a série converge absolutamente para todo x tal que 4x 3 <, isto é, no intervalo (, ). Se x = ; ( 3) n n = ( ) n n, a série converge. Se x = ; (4 3) n n = n, a série diverge. Logo a série de potências converge absolutamente em [, ).

47 3.3. FUNÇÕES ANALÍTICAS Figura 3.3: Gráfico dos 000 primeiros somandos de [4] Observação 3.4. A seguir, responderemos à seguinte questão: "Dada uma função f, existe uma série de potências com raio de convergência ρ > 0 que seja igual a f?. A resposta é não. As funções que podem ser representadas por séries de potências formam uma classe especial de funções. 3.3 Funções Analíticas Definição 3.5. Uma função é analítica no ponto x 0 se pode ser escrita como uma série de potências em x x 0, com raio de convergência ρ > 0. Seja f uma função analítica em x 0 ; então: f : (x 0 ρ, x 0 + ρ) R é tal que: f(x) = a n (x x 0 ) n ; x x 0 < ρ. Proposição 3.. Se f é analítica em x 0 ; então:. f é contínua em (x 0 ρ, x 0 + ρ).

48 48 CAPÍTULO 3. SÉRIES DE POTÊNCIAS. f é integrável para todo [a, b] (x 0 ρ, x 0 + ρ) e: b f(x) dx = b a a [ ] a n (x x 0 ) n dx = = b a n (x x 0 ) n dx a a n (x x 0 ) n+ b n +. a Teorema 3.4. Se f é analítica em x 0 então, f é analítica em x 0 e: f (x) = n a n (x x 0 ) n ; x x 0 < ρ. Do teorema, segue o seguinte corolário imediato: Corolário 3.. Se f é analítica em x 0, então a n-ésima derivada f (n) é analítica em x 0. Exemplo 3.3. [] Sabemos que: x n =, se x <. Logo, a função: x f(x) = x é analítica somente para x <. Note que o domínio de f é R {}.

49 3.3. FUNÇÕES ANALÍTICAS [] A função Note que: Figura 3.4: Gráficos de f e de f como função analítica, respectivamente + x é analítica? onde f é dada no exercício anterior. Logo: se x <, isto é se x < : [3] A função g(x) = Note que: onde f(x) = x. Logo: + x = f( x ) = ( x) é analítica? g(x) = f( x ) = + x, ( x ) n = ( ) n x n, ( ) n x n = + x. f (x) = ( x) = f (x) = ( x), d dx xn = n x n,

50 50 CAPÍTULO 3. SÉRIES DE POTÊNCIAS se x < : n x n = ( x). Em particular, podemos calcular a série de potências de: x ( x) = x n x n = n x n, x <. Logo, para x = <, temos que: n n =. Calculemos para x = 3 <, então: n n 3 n = 6. [4] A função g(x) = arctg(x) é analítica? Note que: Logo: dx = arctg(x) + c. + x arctg(x) = = = dx + x + c = ( ) n ( ) n x n+ n + x n dx + c + c se x <. Por outro lado, 0 = arctg(0) = c, logo: arctg(x) = ( ) n x n+. n + ( ) n x n dx + c

51 3.3. FUNÇÕES ANALÍTICAS 5 [5] Consideremos a função: J 0 (x) = ( ) n x n n (n!). J 0 é claramente analítica para todo x R. J 0 é chamada função de Bessel de ordem zero. [6] Que função representa a série: Seja: f(x) = então f é analítica para todo x R. Logo: x n n!? x n n! ; f (x) = d x n dx n! = x n (n )! = k=0 x k k! = f(x), e f (x) = f(x); então, f(x) = c e x. Por outro lado, = f(0) = c, e: Em particular, temos: e x = x n n!. e = n! = n! +... e ( ) n = n! = ( )n +... n! Logo, para n = 0, temos:

52 5 CAPÍTULO 3. SÉRIES DE POTÊNCIAS e e Seja a > 0: logo: a x = a x = e x ln(a) = (x ln(a)) n, n! [ ] (ln(a)) n x n x R. n! [7] Sabemos que não é possível calcular: 0 e t dt. Porém, podemos calcula-lá por um valor aproximado e avaliar o erro cometido. Figura 3.5: Gráfico de f(t) = e t Como: e x = x n n!, então para todo t R (por que?):

53 3.4. SÉRIES DE TAYLOR 53 ( t ) n e t = n! ( ) n t n =. n! Integrando, termo a termo: A última série é alternada com: 0 e t dt = = = a n = 0 ( ) n t n dt n! ( ) n t n+ ( n + ) n! ( ) n ( n + ) n!. ( n + ) n!. Não é difícil provar que a série converge. Então, o erro: e(n) = 0 e t dt S n a n+ onde S n é a n-ésima soma parcial da série alternada. Por exemplo, se n = 0: 0 e o erro: 0 e(0) a = 3.4 Séries de Taylor e t dt Se f é uma função analítica em x 0 = 0, então:

54 54 CAPÍTULO 3. SÉRIES DE POTÊNCIAS f(x) = Que relação existe entre a n e f? a n x n. Observação 3.5. Notemos que: f(x) = a 0 + a x + a x + a 3 x 3 + a 4 x a n x n f (x) = a + a x + 3 a 3 x + 4 a 4 x n a n x n f (x) = a + 6 a 3 x + a 4 x n (n ) a n x n f (3) (x) = 6 a a 4 x + 60 a 5 x n (n ) (n ) a n x n f (4) (x) = 4 a a 5 x a 6 x... + n (n ) (n ) (n 3) a n x n Logo: f(0) = a 0 = 0! a 0, f (0) = a =! a, f (0) = a =! a, f (3) (0) = 6 a 3 = 3! a 3, f (4) (x) = 4 a 4 = 4! a 4,. f (n) (0) = n (n ) (n ) (n 3)... a n = n! a n,. Logo, temos que: Em geral, se : f(x) = Então, provamos o seguinte teorema: a n = f (n) (0). n! a n (x x 0 ) n = a n = f (n) (x 0 ). n!

55 3.4. SÉRIES DE TAYLOR 55 Teorema 3.5. Se f é analítica em x 0 ; então: f(x) = f (n) (x 0 ) n! (x x 0 ) n, x x 0 < ρ. Definição 3.6. Esta série é chamada série de Taylor de f centrada em x 0. Observação A série de Taylor no caso de x 0 = 0 é também dita de MacLaurin.. Do teorema segue que se f for analítica em x 0, então f é de classe C em x 0. A recíproca é falsa. Exemplo 3.4. [] Seja a função: f(x) = { e /x se x 0 0 se x = 0. f é de classe C em 0, mas tem série de Taylor nula em 0. Figura 3.6: Gráfico de f(t) = e /x [] Ache a série de Taylor de f(x) = sen(x) em torno de x 0 = 0.

56 56 CAPÍTULO 3. SÉRIES DE POTÊNCIAS f(x) = sen(x), f (x) = cos(x) = sen ( x + π ), f (x) = sen(x) = sen ( x + π ), f (3) (x) = cos(x) = sen ( x + 3π ). f (n) (x) = sen ( x + nπ ). Logo, f (n) (0) = 0 para todo n N e f (n+) (0) = ( ) n ; então: para todo x R. (Verifique!). sen(x) = ( ) n x n+, ( n + )! [3] Ache a série de Taylor de f(x) = cos(x) em torno de x 0 = 0. Sabemos que: Então: [ cos(x) = (sen(x)) = ] ( ) n x n+. ( n + )! [ cos(x) = ] ( ) n x n+ = ( n + )! ( n + ) ( ) n x n ( n + )! = ( ) n x n. ( n)! Logo: para todo x R. (Verifique!). cos(x) = ( ) n x n ( n)! [4] Ache a série de Taylor de f(x) = ln ( + x) em torno de 0. Utilize esta série para x calcular:

57 3.4. SÉRIES DE TAYLOR 57 ( n + ) 3 n+. Seja f(x) = ln ( + x), então f (x) =. Pelos exemplos anteriores, sabemos que: x x f (x) = x = x n, se x <. Por outro lado, pelo Teorema Fundamental do Cálculo: f(x) = x f (t) dt = x 0 0 t n dt = x n+ n +, se x <, temos: ln ( + x) x n+ = x n +. Note que: f(/3) = ln ( + ) 3 = ln() 3 ln() = ln ( + [ ) 3 = 3 + ]. ( n + ) 3 3 n+ Logo: ln() = ( n + ) 3n+ 3. Proposição 3.3. Se f e g são funções analíticas em x 0, então:. α f + β g é analítica em x 0.. f g é analítica em x 0.

58 58 CAPÍTULO 3. SÉRIES DE POTÊNCIAS Exemplo 3.5. [] Ache a série de Taylor de f(x) = cosh(x) em torno de 0. Sabemos que cosh(x) = ex + e x e que: e x x n = é analítica. Logo: n! cosh(x) = [] Analogamente: = = [ x n n! + ( + ( ) n ) xn n! x n ( n)! senh(x) = ] ( x) n = [ n! x n+ ( n + )!. x n n! + ] ( ) n x n n! Proposição 3.4. A representação em série de potências de uma função analítica é única. Prova: De fato, se f, g : ( ρ, ρ) R são tais que: f(x) = a n x n e g(x) = Se f (n) (0) = g (n) (0) para todo n N; então: a n = f (n) (0) n! = g(n) (0) n! b n x n. = b n, para todo n N. Então, f(x) = g(x), para todo x ( ρ, ρ). Observação 3.6. Em particular, se: a n x n = 0 a n = 0, n.

59 3.5. EXERCÍCIOS Exercícios. Calcule o raio e o intervalo de convergência das seguintes séries de potências: (a) (b) (c) (d) (e) (f) ( ) n x n n (x + ) n x n+ (n + )! x n n + n n x n + n (3 x + ) n n n (g) (h) (i) (j) (k) (x ) n + n (x ) n n n (8 x 3) n ( ) n x n ( ) n x n 3 n+ ( n + ). Determine a série de Taylor das seguintes funções, em torno do ponto dado: (a) f(x) = e x, x 0 = (b) f(x) = cos ( x ), x 0 = 0 (c) f(x) = x e x, x 0 = 0 (d) f(x) = x, x 0 = (e) f(x) = ln(x + ), x 0 = 0 (f) f(x) = x cosh(x), x 0 = 0 (g) f(x) = x senh(x), x 0 = 0 (h) f(x) = (x ) e x, x 0 = (i) f(x) = x sen(x), x 0 = 0 x (j) f(x) = 3, x x 0 = 0 3. Esboce o gráfico de cada função do ítem e da sua respectiva série de Taylor para n =,, 3. sen(x) 4. Utilizando a série de Taylor de f(x) = sen(x) ao redor de x 0 = 0, calcule lim. x 0 x 5. Polinômios de Taylor Sejam I R um intervalo aberto, x 0 I e f : I R tal que f é de classe C n+ em x x 0 < ρ, então: P n (x) = n i=0 f (i) (x 0 ) i! (x x 0 ) i.

60 60 CAPÍTULO 3. SÉRIES DE POTÊNCIAS O polinômio P n (x) é dito n-ésimo polinômio de Taylor de f ao redor de x 0 Denotamos e definimos o resto por: Assim podemos escrever: R n (x) = f(x) P n (x). f(x) = P n (x) + R n (x). R n (x) Se lim x x0 (x x 0 ) = 0 e f n+ (x) < M, x x n 0 < ρ, é possível verificar que o erro e(n), da aproximação da função pelo polinômio de Taylor é: para x x 0 < ρ. e(n) = f(x) P n (x) = R n (x) M (n + )! x x 0 n+, (a) Calcule sen() com um erro menor que 0 4. (b) Calcule ln ( 5) com um erro menor que (c) e.00 com um erro menor que Utilizando P 7 (x), calcule o valor aproximado de: (a) 0 e x3 dx (c) ln(x + ) x dx (b) 0 sen(x ) dx (d) e x x + dx 7. Qual é o erro, se consideramos: (a) cos(x ) x4 (b) ln(x + ) x x + x3 3 (c) cosh(x) + x (d) x e x x + x 3 + x4 (e) x arctg(x) x + x4 3 (f) e sen(x) + x + x

61 3.5. EXERCÍCIOS 6 8. Defina J 0 (x) = ( ) n x n n (n!) : (a) Determine o domínio da função J 0. (b) Verifique que J 0 satisfaz a edo de Bessel de ordem zero: x J 0 (x) + x J 0(x) + x J 0 (x) = Seja α R. A seguinte série é chamada binomial: (a) Verifique que: + α (α )... (α n + ) x n. n! ( + x) α = + α (α )... (α n + ) x n. n! (b) Ache o raio de convergência da série. (c) Se α = m N, verifique que: (d) Se f(x) = ( + x) m = + x +, calcule f (0) (0). m ( ) m x n. n (e) Na teoria da relatividade especial a massa de um objeto se movendo a uma velocidade v é dada por: m = m 0 Ω(v), onde Ω(v) = v /c, m 0 é a massa do objeto em repouso e c é a velocidade da luz. A energia cinética do objeto é dada por: [ ] K(v) = m c m 0 c = m 0 c Ω(v). Determine a série de Taylor de K = K(v) em torno de Utilize a série binomial indicada para calcular as seguintes integrais:

62 6 CAPÍTULO 3. SÉRIES DE POTÊNCIAS (a) Se f(x) = 0. 3, calcule + x 0 dx 3 + x (b) Se f(x) = ( x) /3, calcule (c) Se f(x) = ( x) 4, calcule ( x3 ) dx dx ( + 5 x ) 4. Se f é g são funçõs analíticas em x 0 ; verifique que: (a) f + g é analítica em x 0. Calcule o raio de convergência. (b) f g é analítica em x 0. Calcule o raio de convergência. (c) Se f(x) = a n x n e g(x) = b n x n ; então: f(x) g(x) = [ n ] a j b n j x n. j=0 Determine a série de de potências de f(x) = e x sen(x).

63 Capítulo 4 SOLUÇÕES ANALÍTICAS DE EDO S LINEARES 4. Introdução Neste capítulo indicamos a leitura em [NP] do capítulo que estuda das edo s lineares de segunda ordem e [KO]. Nós utilizaremos as notações de [NP]. Algumas provas dos teoremas podem ser vistas no Apêndice. 4. Equações Diferenciais Ordinárias Consideremos a edo linear de ordem n: P n (x) y (n) + P n (x) y (n ) + P n (x) y (n ) P 0 (x) y = h(x), (4.) onde P i = P i (x) e h = h(x) são funções definidas num intervalo aberto I. Definição 4.. O ponto x 0 é dito regular de (4.) se P n (x 0 ) 0. Caso contrário é dito singular. Note que se P n = P n (x) é contínua e x 0 é um ponto regular de (4.), então, existe ε > 0 tal que P n (x) 0 para todo x (x 0 ε, x 0 + ε). Exemplo 4.. [] Equação de Airy: y + x y = 0. Nesta equação todos os pontos são regulares. A edo de Airy é utilizada na teoria da difração. 63

64 64 CAPÍTULO 4. SOLUÇÕES ANALÍTICAS DE EDO S LINEARES [] Equação de Bessel de ordem ν 0: x y + x y + (x ν ) y = 0. P (x) = x = 0, se e somente se x = 0; logo, x = 0 é o único ponto singular da edo de Bessel. Esta edo é utilizada no estudo da vibração de membranas. [3] Equação de Hermite de ordem p R: y x y + p y = 0. Nesta equação todos os pontos são regulares. Um tipo especial de solução da edo de Hermite (os polinômios) são utilizados na Mecânica Quântica para estudar as soluções da equação de Schrödinger para osciladores harmônicos. [4] Equação de Laguerre de ordem p R: x y + ( x) y + p y = 0. P (x) = x = 0, se e somente se x = 0; logo, x = 0 é o único ponto singular da edo. Um tipo especial de solução da edo de Laguerre (os polinômios) são utilizados na Mecânica Quântica no estudo do átomo de hidrogênio. [5] Equação de Legendre: ( x ) y x y + α (α + ) y = 0, α R. P (x) = x = 0, se e somente se x = ±; logo, x = e x = são os únicos pontos singulares da edo de Legendre. Esta edo aparece no estudo das soluções da equação de potencial em esferas. 4.3 Soluções em Torno de Pontos Regulares Seja x 0 ponto regular de (4.); então podemos reescrever a edo (4.): y (n) + A n (x) y (n ) + A n (x) y (n ) A 0 (x) y = H(x). (4.) Teorema 4.. Se x 0 é um ponto regular de (4.) tal que A 0, A,... A n, H são funções analíticas em x x 0 < ρ, ρ > 0, então toda solução de (4.) definida em x 0 é analítica em x 0.

65 4.4. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS DE SEGUNDA ORDEM 65 Observação 4... Os métodos que estudaremos a seguir podem ser utilizados em edo s lineares de qualquer ordem.. Nestas notas estudaremos apenas o caso de ordem n =, pois é onde se encontram as edo s mais importantes da Física-Matemática. 3. Dentre as edo s de segunda ordem, estudaremos as homogêneas, pois os métodos para achar soluções particulares de edo continuam válidos. Veja [NP]. 4. Uma observação imediata, que será fundamental, é se uma série de potências: a n (x x 0 ) n = 0, então a n = 0, n. Segue diretamente do fato que a n = f (n) (x 0 ). n! 4.4 Equações Diferenciais Ordinárias de Segunda Ordem Consideremos a edo de segunda ordem homogênea: Seja x 0 um ponto regular de (4.3); então: P (x) y + P (x) y + P 0 (x) y = 0. (4.3) y + p(x) y + q(x) y = 0. (4.4) Observação 4... Se x 0 é ponto regular de (4.3); como P 0 (x), P (x) e P (x) são analíticas, então p(x) e q(x) em (4.4) são analíticas.. Por outro lado, se x 0 ṕonto singular de (4.3), P 0 (x), P (x) e P (x) são polinômios sem fatores comuns então p(x) e q(x) em (4.4) não são analíticas. 3. A observação anterior somente é válida para polonômios. Veja o exemplo a seguir.

66 66 CAPÍTULO 4. SOLUÇÕES ANALÍTICAS DE EDO S LINEARES Exemplo 4.. [] Considere a edo: x y + cos(x) y + x 3 y = 0. Então, x 0 = 0 é ponto singular da edo e: p(x) = P (x) x q(x) = P 0(x) x = cos(x) x = x = ( ) n x n ( n)! ambas analíticas em x 0 = Determinação da Solução Seja: P (x) y + P (x) y + P 0 (x) y = 0. Suponha que x 0 = 0 é um ponto regular da edo. Como p = p(x) e q = q(x) são analíticas, então as séries de potências que as representam tem raio de convergência ρ > 0 e ρ > 0, respectivamente. Seja ρ o menor entre ρ e ρ e: p(x) = Procuramos soluções do tipo: p n x n, q(x) = y(x) = q n x n x < ρ. a n x n, x < ρ. Derivando formalmente esta série, temos: y (x) = n a n x n = (n + ) a n+ x n, y (x) = n (n ) a n x n = n= (n + ) (n + ) a n+ x n ;

67 4.5. DETERMINAÇÃO DA SOLUÇÃO 67 onde na primeira série trocamos n por n e na segunda série trocamos n por n. Então: [ ][ ] p(x) y (x) = p n x n (n + ) a n+ x n = k=0 [ n ] (k + ) p n k a k+ x n [ ][ ] q(x) y(x) = q n x n a n x n = Então a edo (4.3) pode ser reescrita como: [ (n + ) (n + ) a n+ + [ n ] q n k a k x n. k=0 n [ ] ] (k + ) pn k a k+ + q n k a k x n = 0. k=0 Pela unicidade das série de potências, temos: (n + ) (n + ) a n+ + n [ ] (k + ) pn k a k+ + q n k a k = 0, n = 0,,,.... (4.5) k=0 A expressão (4.5) é dita a recorrência da série e determina a n em função das constantes arbitrárias a 0 e a. Por exemplo: n = 0 a = q 0 a 0 + p 0 a n = a 3 = p a + q a 0 + p 0 a + q 0 a 6 = (p 0 q 0 q ) a 0 + ( p + p 0 q 0 ) a 6 Agora devemos mostrar que a solução y = y(x) converge se x < ρ. Seja 0 < r < ρ, então as séries númericas p(r) e q(r) convergem; em particular, os termos gerais destas séries tendem a zero; logo são limitados; isto é, existe M > 0 tal que: p n r n M e q n r n M, para todo n N. Utilizando (4.5), obtemos:

68 68 CAPÍTULO 4. SOLUÇÕES ANALÍTICAS DE EDO S LINEARES (n + ) (n + ) a n+ M n [ (k + ) ak+ + a r n k ] r k Denotemos por: b 0 = a 0, b = a e: k=0 n [ (k + ) ak+ + a k ] r k + M a n+ r. k=0 (n + ) (n + ) b n = M n [ ] (k + ) bk+ + b r n k r k + M b n+ r. (4.6) k=0 Note que 0 a n b n, para todo n N. Se trocamos n por n e n por n em (4.6), obtemos: n (n + ) b n = M n [ ] (k + ) bk+ + b r n k r k + M b n r k=0 n (n ) b n = M n [ ] (k + ) bk+ + b r n k r k + M b n r. k=0 Multiplicando a primeira igualdade por n e utilizando a segunda igualdade, obtemos: r n (n ) b n+ = M r n n [ ] (k + ) bk+ + b k r k + r M (n b n b n ) + M b n r n k=0 = n (n ) b n M b n r + r M (n b n b n ) + M b n r n Logo: Então, a série + = [n (n ) + r M n + M r n ] b n. b n b n+ = r n (n + ) = lim (n ) n + M n r + M rn n + b n b n+ = r. b n x n converge para x < r, como a n b n, temos que a solução y = y(x) tambem converge. Não é difícil verificar que a solução obtida satisfaz a edo (4.3). Logo, provamos:

69 4.6. EXEMPLOS 69 Corolário 4.. Se p = p(x) e q = q(x) são analíticas em x 0, então (4.4) possui duas soluções linearmente independentes, analíticas, cada uma da forma: y(x) = a n (x x 0 ) n ; o raio de convergência de qualquer destas soluções é no mínimo a distância (no plano) de x 0 ao ponto singular (real ou complexo) mais próximo. [] A edo de Legendre: ( x ) y x y + α (α + ) y = 0, α R. P (x) = x ; os únicos pontos singulares são e. Por exemplo, o ponto x 0 = 0 é um ponto regular da edo; então, as soluções analíticas no ponto 0 devem ter raio de convergência ρ <. [] A edo: (x + 9) y + x y + x y = 0. P (x) = x + 9; logo, os únicos pontos singulares (complexos) são 3i e 3i. Por exemplo, o ponto x 0 = 4 é um ponto regular da edo; então, as soluções analíticas no ponto 4 devem ter raio de convergência ρ < 5. Corolário 4.. Nas condições do corolário anterior, dados a 0, a R, então, existe uma única solução y analítica em x 0 tal que: { y(x 0 ) = a 0 y (x 0 ) = a. A seguir, apresentamos o primeiro exemplo de como achar as soluções de uma edo. Tentaremos fazer todos os detalhes importantes do desenvolvimento. 4.6 Exemplos [] Ache a solução geral da edo: As funções: (x ) y + 4 x y + y = 0.