Sequências numéricas:

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1 Sequências numéricas: Sequências de número com uma lógica entre elas. Exemplos: P.A. P.G. Sequência Fibonacci (1;1;2;3;5;8;13;...) Uma sequência pode ser Convergente : tem um limite bem definido. Divergente : se oscila ou tende ao infinto. Critérios de convergência: 1. Sendo termo geral da sequência, ela converge se e somente se: lim = L R (real e finito). n Exemplo: 2. Se for crescente e limitada superiormente. Crescente: se n > m > a m

2 Limitada superiormente se existe um número real M tal que para qualquer n, < M Exemplo: Cálculo do L:

3 Coisas que você tem que saber: sen Limite fundamental: lim n n = 1 n 0 Relações do número de Euler: n+1 1 ) n e ( + n1 ) n ( n ( n+1) n 1 e ( n n+α ) n e α Séries numéricas: Soma de uma quantidade infinita de termos que tem um resultado finito. Se é uma sequênciumérica, R S n = a 1 + a , dizemos que a série é convergente se lim S n = L (L R ). Escrevemos n = L. Lembrar das fórmulas de P.G.! Termo geral: = a 1 * q n 1 a 1* (1 q ) Soma de até : (não é utilizados exercícios) a 1 S n = 1 q n S = a 1 Soma de TODOS os termos, quando q < 1 : 1 q (IMPORTANTE!)

4 Teorema: Se é convergente, então lim = 0, mas a recíprocão n é verdadeira. O teorema acima serve simplesmente para demonstrar divergência (usar em séries cujo limite do termo geral é obviamente diferente de zero). Séries harmônicas (decora essa porra): Do tipo 1 n α, sendo que : α = 1 d iverge (harmônica) α = 0 d iverge (todos os termos são 1, soma de valor infinito) α < 0 d iverge (expoente negativo, inverte a fração, soma vai ao infinito) 0 < α < 1 d iverge (pelo crit. da comparação, maior que harmônica) α > 1 C ONV ERGE

5 Critérios de convergência: 1. Critério da Comparação, b n sequências numéricas, com 0 b n. Então: converge converge b n diverge diverge b n A idea por trás desse critério é que se uma série é menor que outra limitada (convergente), ela só pode também ser limitada e portanto convergente. Já caso ela seja maior que outra infinita (divergente), ela também deve ser infinita. 2. Critério da Comparação no Limite an, b n sequências numéricas, com 0 < e 0 < b n. Fazendo lim = L : 0 < L <, então : o u ambas convergem ou ambas divergem L =, então : converge converge b n b n diverge diverge L = 0, então : converge converge b n n bn

6 A ideia desse critério é parecida com a do da comparação simples.embora a explicação a seguir não tenhenhum rigor matemático, ajuda compreensão. Basta fazer uma comparação com o cálculo de limite do quociente de 2 funções. Se o valor do limite da razão for um número natural, é porque ou tanto numerador quanto denominador são naturais, ou seja, as séries convergem para determinado valor, ou porque ambas tendem a infinito e portanto divergem (lembrem de L Hospital). Já se L tende a infinito e o numerador converge (ou seja, é um número natural ), o denominador deve tender a zero (e portanto converge). Já se o denominador diverge (tende ao infinito), o numerador tem que ser ainda maior para a razão também tender ao infinito e portanto ele diverge também. No caso que o limite da razão tende a zero e o denominador converge, ou seja, é um número natural, então o numerador deve tender a zero e portanto converge também.

7 3. Critério da Integral Sendo, e considerando uma função contínua f (x) f(x) =, num n=0 intervalo [ p; [ onde todo n p, que obedece os seguintes critérios: Então, se positiva ( f (x) > 0 ) decrescente lim f(x) = 0 x diverge também). p f(x) dx converge converge (e se uma divergir, a outra n=0 A seguinte imagem ilustra a ideia do critério da integral. Se a soma da área embaixo da função (ou seja, a integral da função) convergir, a soma das barrinhas (ou seja, o valor da série) também converge pois é menor.

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9 4. Critério da Razão Considere uma série > 0. Calculando L < 1 converge L > 1 diverge L = 1 n ada se conclui a lim n+1 = L : n an Caso L for menor que 1 significa que par grande o suficiente a sequência se torna uma P.G. de razão menor que 1 e portanto converge. 5. Critério da Raiz Considere uma série > 0. Calculando L < 1 converge L > 1 diverge L = 1 n ada se conclui lim n n = L :

10 Se a raiz infinita for menor que 1, ao elevarmos ela ao infinito para retornarmos ao valor original ela vai tender a zero. Portanto, par grande o suficiente, todos os termos são 0 e portanto a sequência converge. 6. Critério da Leibniz (para séries alternadas somente) Considere uma série alternada do tipo ( 1) n an. Se: n=0 > 0 lim = 0 n decrescente Então ( 1) n an é convergente. n=0 A seguinte imagem ilustra e exemplifica a ideia por trás desse critério.

11 Convergência absoluta e condicional (para séries alternadas): converge absolutamente se converge. converge condicionalmente se converge mas diverge

12 Erro de aproximação (para séries alternadas): Considere uma série alternada. Sendo L o valor verdadeiro da soma da série, e S n um valor aproximado dessa soma após k passos, o erro da aproximação é dado por L S n. Mas, como a cada passo o sinal é invertido, o erro após k passos é sempre menor que o valor do termo após k+1 passos. Basta então fazermos a k+1 e rro.

13 Resolução de provas Nos últimos anos, as provas de cálculo tem seguido um certo padrão. Questão 1: Pergunta se algumas sequências são convergentes ou não e, em caso positivo, para você definir o valor para que convergem. Muitas vezes, pergunta de 2 sequências: uma ele dá o termo geral e você prova que converge/ diverge fazendo o limite. Nesse tipo de questão, vale lembrar de 2 sacadas meio clássicas : α+βn ( n ) n Qualquer coisa do tipo pode ser transformada em uma potência de e. Expoentes estranhos, presença de ln substituir o termo geral por eln termo geral pedido., calcular o limite do expoente, elevar e a esse limite e achar o limite Sempre lembre da possibilidade de usar L Hospital no cálculo dos limites! Na outra sequência, te dá a logica, e não um termo geral propriamente dito. Nesses casos, é mais fácil provar convergência mostrando que ela é limitada inferiormente (muitas vezes >0, pois é positiva) e decrescente. Para provar a decrescência, pode se calcular a razão de 2 termos gerais consecutivos, +1 an, que deve ser < 1, ou provar que +1 é sempre negativo. Para achar o valor para o qual ela converge nesse caso, substitua tanto +1 quanto por L na equação que os relaciona e achar o valor de L. Questão 2 Pede para analisar a convergência de 3 sequências. Algumas dicas são: Fatorial? Critério da razão Algo isolado elevado? Critério da raiz 1/ln n * n e suas variações, funções aparentemente meio bizarras? Pode ser critério da integral Quociente de polinômios de graus diferentes? Comparação no limite com harmônica de grau = diferença dos graus dos polinômios, para igualar os graus.

14 Algo que lembre mais ou menos um harmônica? Tente analisar se é possível usar comparação/ comparação no limite Alternada? Leibniz! Depois verificar a convergência do módulo para saber se é absoluta ou condicional Questão 3 Pede para achar o valor de determinada variável para qual uma sequência converge. De forma geral, essa variável pode aparecer como (x α) n numa série alternada (série de potência) ou como parte de um expoente. No primeiro caso, utilizar critérios da raiz ou razão no módulo para achar os valores que satisfazem a relação de ser < 1, onde portanto a sequência converge absolutamente. Para os valores no limite, onde a razão/ raiz = 1, analisar isoladamente (provavelmente em um dos casos deve se utilizar Leibniz). No segundo caso, tentar comparar com alguma harmônica, achando então os valor do expoente para qual a sequência converge. Lembre se sempre de explicitar da maneira mais clara possível os valores para que a sequência diverge, converge absolutamente e converge condicionalmente. Parão ter erro em séries de potência, sempre fazer: Converge absolutamente dentro do intervalo Diverge fora do intervalo O que acontece no limite inferior do intervalo? O que acontece no limite superior do intervaço?