3. Limites e Continuidade

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1 3. Limites e Continuidade 1 Conceitos No cálculo de limites, estamos interessados em saber como uma função se comporta quando a variável independente se aproxima de um determinado valor. Em outras palavras, queremos saber quais são os valores, da imagem da função dada pela equação, quando a variável independente se aproxima de um determinado valor independente da função estar ou não definida em, ou seja, pode ou não existir. Assim, dizemos que queremos determinar o valor do limite de quando tende a e escreve-se: Podemos analisar o comportamento da função quando a variável independente se aproxima do valor desejado, atribuindo valores sempre menores do que (aproximação pela esquerda de ou atribuindo valores sempre maiores do que (aproximação pela direita de. Dizemos nestas análises que queremos determinar os limites laterais da função quando tende a pela esquerda ou pela direita, respectivamente, e escreve-se: Se tanto pela direita quanto pela esquerda, os valores da imagem da função tenderem a um mesmo número, isto é, dizemos que o limite da função, quando existe e é igual a e usamos a notação: Teorema O limite da função quando se aproxima de um determinado valor a existe e é igual a se, e somente se, os limites laterais existirem e forem iguais, isto é, se, e somente se, consequentemente Observe que para o cálculo do limite da função quando necessidade de saber o valor da função em não há Cálculo I - 1

2 Exemplo 1: Seja a função queremos determinar Tabela de aproximações: As tabelas de aproximações são utilizadas para determinar o valor da imagem de uma função quando a variável independente se aproxima de um determinado valor. Limite Lateral à esquerda Podemos nos aproximar de 1 atribuindo a valores próximos de 1, porém menores do que 1, ou seja, uma aproximação pela esquerda. x 0,5 0,7 0,9 0,99 0,999 1,5 1,7 1,9 1,99 1,999 Parece que a função se aproxima do número real 2 quando o limite de quando tende a 1 pela esquerda parece ser 2.. Ou seja, Limite Lateral à direita Podemos nos aproximar de 1 atribuindo a valores próximos de 1, porém maiores do que 1, ou seja, uma aproximação pela direita. x 3 2,5 1,1 1,01 1, ,5 2,1 2,01 2,001 Parece que a função se aproxima do número real 2 quando. Ou seja, o limite de quando tende a 1 pela esquerda parece ser 2. Utilizo a palavra parece, pois apenas alguns pontos foram analisados. Quando, tanto pela direita quanto pela esquerda, a imagem da função tende a um mesmo valor real igual a 2, isto é,. Nestas condições podemos dizer que o limite de quando tende a 1 é igual a 2. Observe que a função está definida em e que. Assim, o limite da função quando é igual ao valor da imagem da função em. Nestas condições podemos afirmar que a função é contínua em. Continuidade da função em um ponto Se uma função é contínua em, então Cálculo I - 2

3 Exemplo 2: Calcule, sendo Tabela de aproximações: Limite Lateral à esquerda 1 1,5 1,9 1,99 1, ,5 7,7 7,97 7,997 lim 2 = 8 Parece que quanto mais nos aproximamos de 2 pela esquerda, mais próximo de 8 está a função. Ou seja, o limite de quando tende a 2 pela esquerda parece ser 8. Limite Lateral à direita x 3 2,5 2,1 2,01 2,001 f(x 11 9,5 8,3 8,03 8,003 lim 2 + = 8 Parece que quanto mais nos aproximamos de 2 pela direita, mais próximo de 8 está a função. Ou seja, o limite de quando tende a 2 pela direita parece ser 8. Tanto pela direita quanto pela esquerda obtivemos o mesmo valor real para a imagem da função, portanto, podemos dizer que o limite de quando tende a 2 é igual a 8. Cálculo I - 3

4 Vamos agora determinar o domínio da função. Para que um número real, devemos ter, então: seja Isto significa que a função não é definida em, ou seja,. Neste caso, o limite da função quando função não esteja definida em. Assim, existe e é igual a 8, embora a Na representação gráfica desta função, indicamos o ponto por um ponto aberto isto causa um buraco no gráfico da função para ressaltar que não existe. Como, a função não é contínua em Quando o limite de uma função existe quando e não existe, dizemos que a função possui uma descontinuidade removível em porque, se quisermos, podemos estabelecer um valor para de tal forma que a função se torne contínua em. No exemplo, a função seria contínua em se fosse igual ao valor encontrado para o limite da função quando. Assim, a função seria contínua em se ela fosse redefinida como: { Descontinuidade removível Se uma função possui descontinuidade removível em, então OBS: A descontinuidade da função em função for redefinida com a exigência: poderá ser removida se a Cálculo I - 4

5 Exemplo 3 Calcule, sendo { Tabela de aproximações: Limite Lateral à esquerda Queremos que se aproxime de 2 por valores menores do que 2. De acordo com a definição da função, se a função é dada por. 1 1,5 1,9 1,99 1, ,25 3,61 3,9601 3,996 Parece que quanto mais nos aproximamos de 2 pela esquerda, mais próximo de 4 está o valor da função. Ou seja, o limite de quando tende a 2 pela esquerda parece ser 4. Limite Lateral à esquerda Queremos que se aproxime de 2 por valores maiores do que 2. De acordo com a definição da função, se a função é dada por. 3 2,5 2,1 2,01 2, ,5 6,1 6,01 6,001 Parece que quanto mais nos aproximamos de 2 pela direita, mais próximo de 6 está o valor da função. Ou seja, o limite de quando tende a 2 pela direita parece ser 6. Observe que obtivemos valores diferentes para a função quando nos aproximamos de 2 pela esquerda e pela direita. Ou seja, a imagem da função não tende a um único valor. O fato dos limites laterais serem diferentes significa que não existe o limite de quando tende a 2. Pela definição da função,, então o ponto pertence ao domínio da função, ou seja, está definida em e Mas o fato da função estar definida em não interfere na existência do limite. Observe que o gráfico da função apresenta um salto mostrando claramente a descontinuidade em. O fato do limite não existir faz com que esta descontinuidade não possa ser removida. Dizemos que a função possui uma descontinuidade essencial em. Cálculo I - 5

6 Descontinuidade essencial Se uma função possui descontinuidade essencial em, então Independente de existir ou não. Unicidade do Limite: A existência do limite da função quando não está relacionada com a existência da imagem da função. Se o limite de uma função num determinado ponto existe, então ele é único. Se e então Noção Intuitiva de Limite: Se então podemos tornar os valores de tão próximo de quanto quisermos, bastando tomar valores de suficientemente próximos de, com Definição de Limite: Seja uma função definida num intervalo aberto qualquer que contenha a, exceto possivelmente em a. O limite de quando tende a a é e denota-se Se dado um valor, existir em correspondência pela função um valor tal que sempre que se tenha. Cálculo I - 6

7 2- Técnicas para o cálculo dos Limites Propriedades: Se e existem, e é um número real qualquer, então: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Exemplos: Calcule os limites indicados e analise a continuidade da função Valor da função em. Portanto a função é contínua em Cálculo I - 7

8 Como está definida em, podemos aplicar a Propriedade 6. Valor da função em. Portanto a função é contínua em { Como a função é definida por equações diferente à direita e à esquerda de, vamos calcular os limites laterais: Limite lateral à esquerda Para a função assume o valor Limite lateral à direita Para a função assume o valor Como os limites laterais são iguais a 8, podemos dizer que o limite existe e é igual a 8. Cálculo I - 8

9 Valor da função em. Para a função assume o valor: Comparando os valores do limite da função quando função em, temos: e o valor da Portanto a função é descontínua em Podemos dizer que o valor do limite ter em para se tornar contínua., descontinuidade removível. seria o valor que a função deveria { Como a função é definida por equações diferente à direita e à esquerda de, vamos calcular os limites laterais: Limite lateral à esquerda Limite lateral à direita Como os limites laterais são diferentes conclui-se que o limite da função quando não existe. Valor da função em. Para a função assume o valor: Embora a função esteja definida em, pois, o limite da função quando não existe, portanto a função possui uma descontinuidade essencial (não removível em Cálculo I - 9

10 3- Indeterminação Matemática Muitas vezes, ao tentarmos utilizar as propriedades do cálculo dos limites, obtemos uma indeterminação matemática. Chamamos de indeterminação matemática as operações cujo resultado pode ser qualquer número real ou infinito. São indeterminações matemáticas as operações: Exemplo: Calcule o limite indicado: Ao tentarmos usar as propriedades de cálculo dos limites, obtemos uma indeterminação matemática do tipo Devemos observar que para ser uma função real devemos ter. Assim, não pertence ao domínio de, ou seja, a função não está definida em. Isto significa que é descontínua em, pois. Mas este fato não impede que o limite exista. Como calcular este limite, se não é possível utilizar a propriedade dos quocientes e o cálculo de nos leva a uma indeterminação matemática? Indeterminação Matemática do Tipo Sempre que encontrarmos uma indeterminação do tipo devemos simplificar a expressão da função envolvida utilizando fatoração e ou racionalização. Uma vez removida a indeterminação podemos utilizar as propriedades dos limites. Cálculo I - 10

11 Fatorando e simplificando a função do exemplo anterior temos: Observe que quando calculamos o limite desta função sabemos que o denominador é um número próximo de zero, mas não igual a zero. Assim é possível fazer as simplificações. No caso do cálculo do valor de a simplificação não pode ser feita, pois se o denominador da função se anula, portanto, No exemplo temos: e. A função é descontínua em, descontinuidade removível, pois o limite existe e é igual a 2. Assim, podemos dizer que se fosse igual a 2 a função seria contínua em. Exemplos: Calcule os limites indicados: Cálculo I - 11

12 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( Cálculo I - 12

13 4- Limites Laterais Infinitos Vamos analisar a função e sua continuidade em. Sabemos que não pertence ao domínio de, assim, logo a função é descontínua em Sabemos também que este fato não impede que o limite da função quando tende a zero exista. Utilizando as tabelas de aproximações, vamos calcular Tabela de aproximações: Limite lateral à esquerda -0,1-0,01-0,001-0,0001-0, Observamos que à medida que nos aproximamos de 0 pela esquerda a função decresce indefinidamente. Limite lateral infinito Limite lateral à direita 0,1 0,01 0,001 0,0001 0, Observamos que à medida que nos aproximamos de 0 pela direita a função cresce indefinidamente. Limite lateral infinito OBS: e não são números reais, apenas indicam um número muito pequeno e um número muito grande, respectivamente. Para determinar se existe o limite da função quando devemos comparar os limites laterais à esquerda e à direita. Como o limite não existe em termos reais a função possui uma descontinuidade essencial em. Observe que a função jamais toca a reta vertical, pois. Esta reta é chamada assíntota vertical. Cálculo I - 13

14 Assíntota Dizemos que uma reta é assíntota de uma curva quando um ponto ao mover-se ao longo da curva se aproxima desta reta. Ou seja, a distância de um ponto da curva a essa reta tende para zero quando o ponto se afasta ao infinito sobre a curva. Assíntota Vertical Seja uma função descontínua em, ou seja, Chama-se assíntota vertical a reta se pelo menos um dos limites laterais é infinito. Ou seja, pelo menos uma das situações é satisfeita: Limites laterais infinitos Gráfico 1 O limite de quando tende a pela direita cresce indefinidamente a 2 O limite de quando tende a pela esquerda cresce indefinidamente a 3 O limite de quando tende a pela direita decresce indefinidamente a 4 O limite de quando tende a pela esquerda decresce indefinidamente a Cálculo I - 14

15 Dizer que (não existe nem finito nem infinito significa que Dizer que (cresce indefinidamente significa que Dizer que (decresce indefinidamente significa que 5- Técnicas para o Cálculo dos Limites Laterais Infinitos Vimos que se uma função é descontínua em e então ao nos aproximarmos de pela direita e/ou pela esquerda a função cresce e/ou descresce indefinidamente e que a reta é chamada de assíntota vertical. Assim, ao tentarmos substituir por na expressão de obteremos limites do tipo. Embora não exista limite finito (número real para a função, a função poderá ter um comportamento único de crescer ou decrescer indefinidamente quando, ou seja, poderá ter limite infinito. Limites do tipo com Quando nos depararmos com um limite do tipo sabemos que a função cresce ou decresce indefinidamente quando se aproxima de, ou pela direita ou pela esquerda. Devemos então fazer a análise dos sinais dos limites laterais infinitos, compará-los e verificar se há limite infinito. Cálculo I - 15

16 Exemplos: Calcule os limites indicados e determine as equações das assíntotas verticais caso existam. Desejamos calcular o limite da função Se tentarmos uma substituição direta teremos: quando,ou seja Sabemos que é impossível dividir um número real por zero, mas como estamos calculando o limite da função o valor atribuído para está próximo de 2, mas não é 2. Portanto o denominador está próximo de zero, mas não é zero. O resultado da divisão de um número real por um número próximo de zero será um número muito grande (+ ou um número muito pequeno. Precisamos então fazer a análise de sinal dos limites laterais. Limite lateral à esquerda Imagine um número muito próximo de 2, porém menor do que 2, por exemplo 1,99. Substituindo este valor na função observamos que denominador também será positivo. Como o numerador é um número positivo, a divisão de dois números positivos terá sinal positivo. Então: Limite lateral à direita Imagine um número muito próximo de 2, porém maior do que 2, por exemplo 2,01. Substituindo este valor na função observamos que o denominador será positivo. Como o numerador é um número positivo, a divisão de dois números positivos terá sinal positivo. Então: Tanto pela direita quanto pela esquerda, a função cresce indefinidamente quando Dizemos então que existe limite infinito quando. Devemos lembrar que se e que se pelo menos um dos limites laterais for infinito, a reta é assíntota vertical. Cálculo I - 16

17 O limite decresce indefinidamente. é assíntota vertical Assíntota vertical: Assíntota vertical: Não tem assíntota vertical, pois o limite é finito. Cálculo I - 17

18 Assíntota vertical: 6 Limites no Infinito Estamos interessados em saber o comportamento de uma função quando a variável independente cresce ou decresce indefinidamente, ou seja, quando ou, respectivamente. Exemplo 1 Exemplo 2 Exemplo 3 quando a função cresce indefinidamente. quando a função decresce indefinidamente quando a função decresce indefinidamente. quando a função decresce indefinidamente quando a função cresce indefinidamente. quando a função se aproxima de um valor real A reta é chamada de assíntota horizontal Assíntota Horizontal Uma função dada pela equação e/ou quando tem assíntotas horizontais OBS: Uma função pode apresentar assíntotas horizontais diferentes ou apresentar somente uma das assíntotas horizontais. Cálculo I - 18

19 7- Técnicas para o Cálculo dos Limites no Infinito Multiplicação por um número real positivo Multiplicação por um número real negativo Multiplicação entre infinitos Soma ou subtração com um número real Soma entre infinitos Potência, onde é um número natural diferente de zero { Divisão de um número real por infinito Indeterminações matemáticas Indeterminações matemáticas dos tipos Sempre que encontrarmos estas indeterminações em funções polinomiais, devemos colocar em evidência o maior grau do polinômio tanto do numerador quanto do denominador, fazer as simplificações e calcular o limite. Cálculo I - 19

20 Indeterminações matemáticas dos tipos Sempre que encontrarmos esta indeterminação, devemos transformála uma indeterminação do tipo ou do tipo e aplicar as técnicas correspondentes. Exemplos: Calcular os limites indicados e determine a equação da assíntota horizontal (A.H. caso exista. Cálculo I - 20

21 Cálculo I - 21

22 8- Técnicas para Determinar as Assíntotas Horizontais e Verticais Existência das Assíntotas Horizontais e Verticais Uma função dada pela equação e/ou quando tem assíntotas horizontais Técnica: Calcular os limites no infinito. Uma função dada pela equação equação, quando tem assíntota vertical de Técnica: procurar os pontos de descontinuidade da função e calcular os limites laterais. Exemplos: Encontre as assíntotas horizontais e verticais das funções indicadas e esboce o gráfico da função próximo de suas assíntotas: Assíntotas Horizontais Para saber se a função tem assíntotas horizontais, é preciso analisar o comportamento da função quando a variável independente assume valores muito grandes ou muito pequenos (limites no infinito. A reta é assíntota horizontal quando Cálculo I - 22

23 A reta é assíntota horizontal quando Assíntotas Verticais Sabemos que para uma reta de equação ser uma assíntota vertical da curva da função, pelo menos um dos limites laterais da função quando deve ser infinito, consequentemente,, ou seja, a função não está definida em. Vamos inicialmente encontrar os valores de domínio da função. A função não terá imagem real se: que não pertencem ao A função pode ter assíntota quando e/ou quando mas para a reta ser assíntota vertical também devemos ter uma das condições: Primeira candidata à assíntota vertical: Analisando os limites laterais da função quando Basta um limite lateral ser infinito para afirmar que a reta assíntota vertical. é Com o objetivo de esboçar o gráfico da função, vamos calcular o limite lateral à direita e verificar a existência do limite da função quando. Como os limites laterais são diferentes, dizemos que finito nem infinito quando. não possui limite Cálculo I - 23

24 Segunda candidata à assíntota vertical: Analisando os limites laterais da função quando Basta apenas um limite lateral ser infinito para afirma que a reta é assíntota vertical. Assíntotas Horizontais A função terá assíntota horizontal quando os limites no infinito forem números finitos. Cálculo do limite infinito quando A reta é assíntota horizontal quando Cálculo I - 24

25 Cálculo do limite infinito quando Assíntotas Verticais Para ter assíntota vertical de equação a função não pode estar definida em, ou seja, Devemos então verificar o domínio da função para identificar as possíveis candidatas à assíntota vertical. Candidatas à assíntota vertical A função não terá imagem real se: Observe que a inequação nunca será satisfeita, portanto a função terá imagem real, qualquer que seja. A função é definida em todo o seu domínio, portanto não existe, consequentemente, não existe assíntota vertical. Cálculo I - 25

26 9- Continuidade de Funções Uma função é continua em um ponto de seu domínio,, se: Dizer que, significa que. Dizer que significa que está definida em e seu valor é. Tipos de descontinuidades a Descontinuidade removível em Quando existir, e não existir, a função apresenta uma descontinuidade removível, pois seria o valor que deveria ter para que a função fosse continua em. b Descontinuidade essencial em (não removível Quando o limite da função quando não existe ( ou não é um número real ( a função apresenta uma descontinuidade não removível, independente da função estar ou não definida em. O gráfico da função apresentará um salto ou uma assíntota vertical. Dizer que uma função é contínua em um intervalo significa que ela é contínua em todos os números deste intervalo. Exemplos de funções contínuas em todos os pontos de seu domínio. i Polinômios ii Seno e co-seno iii Exponencial iv Logarítmica. v Racional Cálculo I - 26

27 Exemplos I Verifique a continuidade das funções abaixo nos pontos indicados. Classifique o tipo de descontinuidade caso exista. { em x=0 Análise da continuidade em a Cálculo do limite da função quando. Quando pela esquerda tem-se. Quando pela direita. Então: b Cálculo do valor da função em Quando tem-se. Então: Conclusão: Como não existe a função possui uma descontinuidade essencial em, apesar de estar definida em, pois { em x=0 e em x=2 Análise da continuidade em a Cálculo do limite da função quando. Cálculo I - 27

28 b Cálculo do valor da função em Conclusão: Função continua em. Análise da continuidade em a Cálculo do limite da função quando b Cálculo do valor da função em Conclusão: Como não existe a função possui uma descontinuidade essencial em, apesar de estar definida em. { em x=1 Quando a função assume o valor, então Conclusão: Como não existe o limite da função quando a função apresenta uma descontinuidade essencial em, apesar de existir. Cálculo I - 28

29 II Determine se possível o valor de de modo que as funções sejam contínuas nos pontos indicados { em t=2 Para a função ser contínua em devemos ter Mas e, então { em Para a função ser contínua em devemos ter Mas e então Cálculo I - 29

30 10 Limites Fundamentais Limite Fundamental Trigonométrico O limite fundamental trigonométrico trata de um limite cuja indeterminação é do tipo Exemplos: Calcule os limites indicados ( ( ( ( ( ( ( Cálculo I - 30

31 Limite Fundamental Exponencial O limite fundamental exponencial trata de um limite cuja indeterminação é do tipo é assíntota horizontal 1-1 O número e é um número irracional e vale aproximadamente, e=2, Como o número e é encontrado em diversos fenômenos naturais, a função exponencial é considerada uma das funções mais importantes da matemática. Exemplos: Calcule os limites indicados [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Cálculo I - 31

32 [ ] Consequências do Limite Fundamental Exponencial Prova: Substituindo: Prova: Substituindo: ( ( Cálculo I - 32

33 Exemplos: Calcule os limites indicados [ ] ( [ ] [ ] ( ( Cálculo I - 33