Universidade Federal de Pelotas. Instituto de Física e Matemática Pró-reitoria de Ensino. Módulo de Limites. Aula 01. Projeto GAMA

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1 Universidade Federal de Pelotas Instituto de Física e Matemática Pró-reitoria de Ensino Atividades de Reforço em Cálculo Módulo de Limites Aula 0 208/ Projeto GAMA Grupo de Apoio em Matemática

2 Ideia Intuitiva de Limite Como motivação para o estudo de ites, considere a função y = x 2. Pergunta: Ao aproximarmos x de 2, os valores de y se aproximam de algum número? Para responder esta pergunta, vamos considerar alguns valores de x próximos de 2 e verificar se y se aproxima de algum número. x,9,99,999 y = x 2 3,6 3,960 3,99600 x 2, 2,0 2,00 y = x 2 4,4 4,040 4,00400,9999, , , ,000 2,0000 4, ,00004 Resposta: Ao aproximarmos x de 2, aparentemente aos valores de y se aproximam de 4.

3 Ideia Intuitiva de Limite Observe, no gráfico da função quadrática y = x 2 que, ao aproximarmos x de 2 veremos que os valores de y se aproximam de 4. y 6 5 Note que podemos tornar y tão próximo de 4 quanto queiramos, desde que x esteja suficientemente próximo de 2. Dizemos que O ite da função y = x 2 quando x tende a 2 é igual a x Denota-se, ou x 2 x2 = 4 x 2 4 quando x 2

4 Definição de Limite Definição: Diz-se que o ite f x é igual a L, quando x tende a a, e escrevese: f x = L x a quando pudermos tornar os valores de f x tão próximos de L quanto queiramos, desde que tomemos valores de x suficientemente próximos (mas diferentes) de a. De forma equivalente, podemos escrever: Ou: Ou ainda: O ite de f x quando x tende a a é igual a L. O ite bilateral de f x quando x tende a a é igual a L. f x L quando x a.

5 Limites Laterais Quando escreve-se x a se quer dizer que x se aproxima de a. Vamos estudar duas formas particulares de aproximar x de a: Primeira forma: x se aproxima de a por valores menores que a. Notação: x a Se lê: x tende a a pela esquerda. Dizer que x tende a a pela esquerda significa que pode-se tomar valores de x tão próximos de a quanto queiramos, mas menores que a. Exemplo: Se x tende a 2 pela esquerda. y x 2,5,9,99,999 Cada vez se considera valores de x mais próximos de 2, mas que sejam menores que 2. 2 y x a x x

6 Limites Laterais Segunda forma: x se aproxima de a por valores maiores que a. y Notação: x a + Se lê: x tende a a pela direita. a x x Dizer que x tende a a pela direita significa que pode-se tomar valores de x tão próximos de a quanto queiramos, mas maiores que a. Exemplo: Se x tende a 2 pela direita. x 2 + Cada vez se considera valores de x mais próximos de 2, mas que sejam maiores que 2. y 2,00 2,0 2, 2,5 2 3 x

7 Limites Laterais Definição: Diz-se que o ite de f(x) é igual a L, quando x tende a a pela esquerda, e escreve-se f x = L x a quando pudermos tornar os valores de f(x) tão próximos de L quanto queiramos, desde que tomemos valores de x suficientemente próximos de a, mas menores que a. Notação: f x = L x a f x L quando x a y L f x se aproxima de L quando x se aproxima de a por valores menores que a. x a x

8 Limites Laterais Definição: Diz-se que o ite de f(x) é igual a L, quando x tende a a pela direita, e escreve-se f x = L x a + quando pudermos tornar os valores de f(x) tão próximos de L quanto queiramos, desde que tomemos valores de x suficientemente próximos de a, mas maiores que a. Notação: f x = L x a + y f x L quando x a + L f x se aproxima de L quando x se aproxima de a por valores maiores que a. a x x

9 Limite Bilateral Teorema: O ite (bilateral) de f(x) quando x tende a a é igual a L se e somente se os ites laterais existem e são iguais a L. f x = L x a f x = L x a + f x = L x a y L a x

10 Limite Bilateral Exemplo: Use o gráfico dado da f para determinar cada expressão, se ela existir. (a) f x x + y (b) f x x (c) f x x (d) f( ) (e) f x x (f) f x x + (g) x f x (h) f() (i) f x x 0 + (j) f x x 0 (k) x 0 f x (l) f(0) (m) f x x 3 (n) f x x 3 + (o) x 3 f x (p) f(3) x

11 Limite Bilateral Exemplo: Em cada caso, use o gráfico da função identidade para determinar o valor do ite dado. (a) x + x (b) x x (c) x x (d) x 0 x 0 (e) x π x (f) f x x 2 (g) x x e (h) x x 3 2 Considerando o gráfico da função identidade, tem-se π 2 e 3 2 y x y = x

12 Propriedades dos ites Seja c uma constante, e suponha que existam os ites: f(x) x a Vamos estudar as propriedades dos ites: e g(x) x a Propriedade da soma/diferença [f x ± g x ] = f x ± g(x) x a x a x a O ite da soma/diferença é a soma/diferença dos ites Exemplos: x 0 x2 + 2x + 3 = x 0 x 2 + x 0 2x + 3 x ex + x = x ex + x x x 3 x2 x 4 = x 2 x 4 x 3 x 3 x 0 3 x cos 2x = x 0 x 2 + x 0 cos2x

13 Propriedades dos ites Propriedade da multiplicação por constante Exemplo: c f x = c f x x a x a O ite da função multiplicada por uma constante é igual a constante multiplicada pelo ite 2 log 2 x = 2 log 2 x x 5 x 5 Propriedade do Produto [f x g x ] = f x g(x) x a x a x a O ite do produto é o produto dos ites Exemplos: x 0 e2x cos x 2 = x 0 e 2x x 0 cos x 2

14 Propriedades dos ites Exemplo: Propriedade do Quociente x a f x g x = x f x x a g x x a x x e x = g x 0 x a x (x3 + 4 x) x ex O ite do quociente é o quociente dos ites Propriedade da Potência x a f x n = x a f x n n R O ite da potência é a potência do ite Exemplo: [2x + x ]0 = 0 (2x + ) x

15 Propriedades dos ites x a Propriedade da Raiz n f x = n f x x a O ite da raiz é a raiz do ite Exemplo: x 3 5 x 2 + 2x = 5 (x 2 + 2x ) x 3 Exemplo: Propriedade do Módulo O f(x) = f x x a x a x π tan x = 4 x π tan x 4 ite do módulo é o módulo dos ites Todas as propriedades de ites vistas nesta aula continuam válidas se consideramos os ites laterais f(x) e f(x) ou g(x) e g(x) x a x a + x a x a + em vez do ite bilateral.

16 Propriedades dos ites Exemplo: Dado que f x = 4 x 2 g x = 2 x 2 h x = 0 x 2 encontre, se existir, o ite. Caso não exista, explique por quê? (a) x 2 [f x + 5g x ] (b) x 2 g(x) 3 3f(x) (d) x 2 g(x) Solução: Como sabemos os cada um dos ites individualmente, precisamos simplesmente utilizar as propriedades para calcular os ites: (a) x 2 [f x + 5g x ] = = 6 h(x) (c) f(x) (e) x 2 x 2 g(x) g x h(x) (f) x 2 f(x) (d) x 2 3f x g(x) = = 6 (b) x 2 [g x ] 3 = 2 3 = 8 (c) x 2 f x = 4 = 2 h x (e) = 0 = 0 x 2 g(x) 2 g x h(x) (f) x 2 f(x) = = 0

17 Exercícios Propostos

18 Exercícios ) Use o gráfico dado da f para determinar cada expressão, se ela existir. Se não existir, explique por quê? (a) x 0 f(x) (b) x 0 + f(x) 2 (c) x 0 f(x) (d) f(0) (e) x 2 f(x) 2 (f) f(x) x 2 + (g) x 2 f(x) (h) f(2) (i) x 5 f(x) (j) x 5 + f(x) (k) x 5 f(x) (l) f(5) (m) x 7 f(x) (n) x 7 + f(x) (o) x 7 f(x) (p) f(7) y x

19 Exercícios 2) Use o gráfico dado da f para determinar cada expressão, se ela existir. Se não existir, explique por quê? (a) x 0 f(x) (b) x 0 + f(x) 3 (c) x 0 f(x) (d) f(0) (e) x f(x) 3 (f) x + f(x) (g) x f(x) (h) f() (i) x 2 f(x) (j) x 2 + f(x) (k) x 2 f(x) (l) f(2) (m) x 4 f(x) (n) x 4 + f(x) (o) x 4 f(x) (p) f(4) y x

20 Exercícios 3) Esboce o gráfico de uma função f qualquer que satisfaça todas as condições dadas: (a) f x = 2 x x + f x = 2 f = 2 (b) f x = 2 x 3 f x = 2 x 2 f x = 4 x 3 + f 2 = f 3 = 3 (c) f x = x f x = 2 x 2 f x = 0 x + f x = 2 x 0 x 2 + f x = 3 f = 2 (d) f x = 3 x 2 f x = 3 x 2 + f x = x 0 f x = 3 f = f 2 = 0 x +

21 Monitorias!! Não esqueça de procurar os monitores do GAMA para melhor esclarecer suas dúvidas!! Os horários e locais de monitorias podem se encontrados na página do Projeto: O GAMA possui monitorias de: Pré-cálculo e Matemática Elementar (e disciplinas equivalentes) ALGA Álgebra Linear e Geometria Analítica (e disciplinas equivalentes) Cálculo, Cálculo A e Cálculo I (e disciplinas equivalentes) Certificado de 20 horas para quem procurar a monitoria do GAMA por pelo menos 5 vezes dentro do mesmo semestre letivo.

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23 Limites infinitos Como motivação para o estudo de ites infinitos, considere a função f x = x 2 2 Pergunta: Quando x tende a 2, o que acontece com f x? Para responder esta pergunta, vamos considerar alguns valores de x próximos de 2. x f(x) x f(x),9,99,999, , 2,0 2,00 2, Resposta: Ao aproximarmos x de 2, os valores de f(x) se tornam cada vez maiores, ou seja, tendem a infinito.

24 Limites infinitos Matematicamente, se representa o comportamento da função x 2 x 2 2 = + x 2 + x 2 2 = + Se lê: o ite de f quando x tende a 2 pela esquerda é igual a mais infinito. Se lê: o ite de f quando x tende a 2 pela direita é igual a mais infinito. x 2 x 2 + De forma semelhante, se pode concluir que x 2 2 = x 2 2 = Se lê: o ite de f quando x tende a 2 pela esquerda é igual a menos infinito. Se lê: o ite de f quando x tende a 2 pela direita é igual a menos infinito.

25 Limites infinitos Os gráficos das funções do exemplo anterior são dados por: y y f x = x x 2 2 f x = x Note que, em ambos os casos, as funções tendem a infinito quando x se aproxima de 2. x

26 Limites infinitos No geral, tem-se: Expressão Significado Se lê x a f(x) = + ou f x = x a x a + f(x) = + f(x) ou f x = x a + f(x) = + x a f(x) ou f x = x a f(x) cresce (ou decresce) infinitamente quando x tende a a pela esquerda. cresce (ou decresce) infinitamente quando x tende a a pela direita. cresce (ou decresce) infinitamente quando x tende a a. O ite de f(x) quando x tende a a pela esquerda é igual a mais (ou menos) infinito. O ite de f(x) quando x tende a a pela direita é igual a mais (ou menos) infinito. O ite de f(x) quando x tende a a é igual a mais (ou menos) infinito.

27 Assíntotas verticais Se pelo menos um dos casos abaixo acontece f x = + f x = + f x = f x = x a x a + x a x a + então a reta x = a é chamada de assíntota vertical do gráfico de f. Graficamente, as assíntotas verticais são geralmente representadas por retas verticais tracejadas, como nas figuras abaixo. Assíntota vertical em x = a. f x = + x a f x = + x a + a x f x = x a f x = x a + a x Assíntota vertical em x = a.

28 Assíntotas verticais Exemplo: Com base no gráfico abaixo, determine: (a) f(x) x 3 + y (b) f(x) 6 x (c) f(x) x 3 4 (d) x 0 f(x) (e) x 0 + f(x) (f) x 0 f(x) (g) x 3 f(x) (h) x 3 + f(x) (i) x 3 f(x) x (j) As assíntotas verticais: x = 3, x = 0 e x = 3

29 Assíntotas verticais Exemplo: Considere o gráfico da função Determine: (a) x 0 x y = x y (b) x 0 + x (c) x 0 x + (d) Esta função possui assíntotas verticais? Sim, uma assíntota vertical em x = x 2 3 4

30 Assíntotas verticais Exemplo: Considere o gráfico da função tangente y 2 y = tan x 2π 3π 2 π π 2 2 π 2 π 3π 2 2π 5π 2 3π x Determine: (a) x π tan x 2 + (b) x 3π + 2 (d) O gráfico desta função possui assíntotas verticais? tan x (c) x 5π 2 Sim, o gráfico da função tangente possui infinitas assíntotas verticais da forma x = π + kπ, onde k Z. 2 tan x

31 Limites infinitos e funções quocientes Observação: Lembre que, quando dividimos um número positivo por números positivos próximos de zero, o resultado da divisão será um número muito grande. Exemplo: Dividindo o número 5 por (a) (b) 0, (c) 0,0 (d) 0,00 temos (a) 5 = 5 (b) 0, = 5 (c) 0,0 = (d) 0,00 = 5000 Note que, quanto mais próximo de zero está o denominador, maior será o resultado da divisão!! Um raciocínio análogo pode ser usado quando consideramos o ite de uma função quociente, quando o numerador tende a uma constante positiva e o denominador tende a zero por valores positivos!! C > 0 f x x a g(x) = O resultado do ite será igual a mais infinito!

32 Limites infinitos e funções quocientes Observação: Lembre que, quando dividimos um número positivo por números negativos próximos de zero, o resultado da divisão será um número muito grande, mas negativo. Exemplo: Dividindo o número 5 por (a) (b) 0, (c) 0,0 (d) 0,00 temos 5 (a) = 5 (b) 0, = (c) 5 0,0 = (d) 0,00 = 5000 Note que, quanto mais próximo de zero está o denominador, menor será o resultado da divisão!! Um raciocínio análogo pode ser usado quando consideramos o ite de uma função quociente, quando o numerador tende a uma constante positiva e o denominador tende a zero por valores negativos!! C > 0 f x x a g(x) = 0 O resultado do ite será menos infinito!

33 Limites infinitos e funções quocientes Exemplo: Os ites são infinitos, pois x + x 0 + x x + x 0 x = = 0 x + x 0 + x O numerador tende a. O ite tende a +. O denominador tende a zero por valores positivos. O numerador tende a. O ite tende a. O denominador tende a zero por valores negativos. 4 e 3 x + x 0 x 2 y y = x + x x

34 Limites infinitos e funções quocientes O quadro a seguir resume o que acontece com as funções quocientes quando o numerador tende a uma constante e o denominador tende a zero: Descrição Representação Resultado O numerador tende a uma constante positiva e o denominador tende a zero por valores positivos. O numerador tende a uma constante positiva e o denominador tende a zero por valores negativos. O numerador tende a uma constante negativa e o denominador tende a zero por valores positivos. O numerador tende a uma constante negativa e o denominador tende a zero por valores negativos. f x x a g(x) f x x a g(x) f x x a g(x) f x x a g(x) Observação: As mesmas regras valem se trocarmos "x a" por "x a + " ou "x a. C > C > 0 0 C < C <

35 Limites infinitos e funções quocientes Exemplo: Calcule os ites: 2x + (a) x + x (b) x x 2 x 2 (c) (d) cos x 2 x 0 + x x 4 + x Solução: Note que em todos os casos o numerador tende a uma constante e o denominador tende a zero. Portanto, todos os ites são infinitos. Para determinar se a resposta é + ou, precisamos analisar o sinal do numerador e do denominador. (a) (b) 2x + x + x x x 2 x > 0 = + 6 > 0 (c) cos x 2 x 0 + x 4 = (d) = + x + x 0 < < 0 0 =

36 Limites infinitos e funções quocientes Descrição O numerador tende a mais infinito e o denominador tende a uma constante positiva. O numerador tende a menos infinito e o denominador tende a uma constante positiva. O numerador tende a mais infinito e o denominador tende a uma constante negativa. O numerador tende a menos infinito e o denominador tende a uma constante negativa. Representação + f x x a g(x) C > 0 f x x a g(x) C > 0 + f x x a g(x) C < 0 f x x a g(x) C < 0 Resultado + + Observação: As mesmas regras valem se trocarmos "x a" por "x a + " ou "x a ".

37 Limites infinitos e funções quocientes Exemplo: Calcule os ites: (a) x π 2 tan x 2x (b) x 0 + ln x x 2 5x+ cot x (c) x π + 3 x (d) x 0 x cos x 2 Solução: Note que em todos os casos o numerador tende a infinito e o denominador tende a uma constante. Portanto, todos os ites são infinitos. Para determinar se a resposta é + ou, precisamos analisar o sinal do numerador e do denominador. tan x (a) x π 2x 2 + = + π 0 cot x (c) x π + 3 x + = 3 π 0 (b) x 0 + ln x x 2 5x+ = 0 (d) x 0 x cos x 2 = + 0

38 Exercícios Propostos

39 Exercícios ) Com base no gráfico abaixo, determine: y x 2 (a) (b) f(x) x 4 f(x) x 4 + (c) x 4 f(x) (d) f(x) + x (e) f(x) x + (f) x f(x)

40 Exercícios ) Com base no gráfico abaixo, determine: y x 2 (g) x 2 f(x) (h) x 2 + f(x) (i) x 2 f(x) (j) x 4 f(x) 3 (k) x 4 + f(x) (l) x 4 f(x)

41 Exercícios ) Com base no gráfico abaixo, determine: y x 2 (m) As assíntotas verticais. x = 4 x = x = 2 x = 4

42 Exercícios 2) Determine os ites abaixo: x + 5 (a) x 2 x 2 (g) x 5 x 3 x x 3 (b) x 2 x 2 + x 2 5x + 2 (h) x 2 + x 2 4x + 4 x (c) x + x + (i) 2 3x x 0 + x + x + 5 (d) x 3 + x (j) 5 2 x x 3 2x 6 + (e) (f) x x 2 x 5 x 3 x 2 9 x 4 (k) x 0 + sin x 0 (l) x π tan x

43 Exercícios 2) Determine os ites abaixo: (m) x + 3 x ln x x 4 (n) x ln x + cot x (s) x π + x (t) x 0 + log 3 x x + π + (o) x 9 25 x x 9 (u) x 0 + log 2 x x 2 + 3x 2 (p) (q) 5 + x x 0 x 2 x π 2 tan x 2x + + (v) 2 ln x x x+3 2x + csc x (x) x π x (r) x π 2 + tan x 2x (z) x π 2 + sec x 2 2x

44 Monitorias!! Não esqueça de procurar os monitores do GAMA para melhor esclarecer suas dúvidas!! Os horários e locais de monitorias podem se encontrados na página do Projeto: O GAMA possui monitorias de: Pré-cálculo e Matemática Elementar (e disciplinas equivalentes) ALGA Álgebra Linear e Geometria Analítica (e disciplinas equivalentes) Cálculo, Cálculo A e Cálculo I (e disciplinas equivalentes) Certificado de 20 horas para quem procurar a monitoria do GAMA por pelo menos 5 vezes dentro do mesmo semestre letivo.

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46 Limites no infinito função Como motivação para o estudo de ites no infinito, considere a f x = x Pergunta: Quando x tende a ou +, o que acontece com f x? Para responder esta pergunta, vamos considerar alguns valores de x e os valores correspondentes de f(x). x f(x) x f(x) , 0, , 0, , , , , , ,0000 Resposta: Ao fazermos x ou x +, aparentemente os valores de f(x) se tornam cada vez mais próximos de 0.

47 Limites no infinito x + x = 0 O gráfico da função f x = x está representado ao lado. Note que: Se x então f(x) 0. Se x + então f(x) 0. x x = 0 Em geral, se escreve: Se lê: o ite de f quando x tende a menos infinito é igual a 0. Se lê: o ite de f quando x tende a mais infinito é igual a 0. y x Esta função é chamada de função recíproca.

48 Limites no infinito No geral, ites do tipo f(x) x Os valores de x diminuem sem cota, isto é, x tende a menos infinito. e f(x) x + Os valores de x aumentam sem cota, isto é, x tende a mais infinito. são chamados de ites no infinito.

49 Propriedades dos ites no infinito Supondo que existam os ites f x e g(x) x + x + as propriedades dadas na Aula 0 continuam válidas para ites no infinito. Propriedade da soma/diferença [f x ± g x ] = f x ± g(x) x + x + x + Propriedade da multiplicação por constante c f x = c f x x + x + Propriedade da Potência f x n = f x n x + x + x + Propriedade da Raiz n f x = n f x x + Propriedade do Produto [f x g x ] = f x g(x) x + x + x + Propriedade do Quociente x + f x g x = f x x + g x x + g x 0 x a Propriedade do Módulo f(x) = x + f x x + Obs.: Estas propriedades continuam válidas ao trocar + por.

50 Assíntotas horizontais Se os ites no infinito existem, e digamos, f x = a x f x = b x + então as retas y = a e y = b são chamadas de assíntotas horizontais do gráfico de f. Graficamente, as assíntotas horizontais são geralmente representadas por retas horizontais tracejadas, como nas figuras abaixo. Assíntota horizontal em y = b. y b f x = b x + f x = a x a Assíntota horizontal em y = a. x

51 Assíntotas horizontais Exemplo: Considere o gráfico abaixo. y = 2 y y = x 2 Como f x = 2 x f x = x + então este gráfico possui duas assíntotas horizontais, dadas por y = e y = 2. e

52 Assíntotas horizontais Exemplo: Considere o gráfico abaixo. y y = x Como f x = 2 x e f x = 2 x + então este gráfico possui uma única assíntota horizontal, dada por y = 2.

53 Limites no infinito e funções quocientes Teorema: Se r for um número racional positivo, então: (d) x x + Exemplo: Calcule os ites: 5 (a) (b) x x x + x (c) x x = 2 x 2 x + x 2 x r = 0 = x x 2 x r = 0 x quando for possível calcular este ite para x. Solução: 5 (a) = 0 (b) = 5 = 5 0 x x x + x x + 0 (c) e x x x 2 x x 2 + x 2 x 2 (d) x = 0 x 2 x + 0 x 2 = x x + x 2 0 =

54 Limites no infinito e funções quocientes Exemplo: Calcule o ite: 2x 3 + 3x 2 x + x + x 3 + 2x Solução: 2x 3 + 3x 2 x + x + x 3 + 2x = 2 x3 = x x2 x 3 x x 3 + x 3 x + x 3 x x x 3 Portanto, x + 2x 3 + 3x 2 x + x 3 x 3 = + 2x x 3 = x + 2x 3 + 3x 2 x + x + x 3 + 2x x x 2 + x 3 = + 2 x 2 = = 2

55 Limites no infinito e funções quocientes Exemplo: Calcule o ite: 5x 2 + 2x 3 x 2x Solução: 5x 2 + 2x 3 x 2x x2 = x x x 3 3 x 3 x 2 x3 x x 3 Portanto, = x 5x 2 + 2x 3 x 2x x 2 + 2x 3 x 3 2x 3 = + 3 x x + 2 = x 2 3 x 3 = x x 3 = = 0

56 Limites no infinito e funções quocientes Exemplo: Calcule o ite: Solução: x + Portanto, = x + x + x x + x x x = x + = x + x + x x 2 x x 2 + x = x + x x 2 + = x x x 2 + x = x + x x + =.

57 Limites no infinito e funções quocientes Exemplo: Calcule o ite: x 2x x 2 + 5x 2 Solução: x = x 2x x 2 + 5x 2 = Portanto, 2x x x x 2 + 5x 2 x 2 x = x x 2x x x 2 + 5x 2 x = x x + 5 x 2 x 2 = 0 2x x 2 + 5x 2 = 2. 2x x x 2 + 5x 2 x = 2

58 Limites infinitos no infinito Como motivação para o estudo de ites infinitos no infinito, considere a função f x = x 2 Pergunta: Quando x tende a ou +, o que acontece com f x? Para responder esta pergunta, vamos considerar alguns valores de x e os valores correspondentes de f(x). x f(x) x f(x) Resposta: Ao fazermos x ou x +, aparentemente os valores de f(x) se tornam cada vez maiores. Escreve-se x x2 = + e x + x2 = +

59 Limites infinitos no infinito Matematicamente, se representa o comportamento deste tipo de função como: f x = x f x = + x f x = x + f x = + x + Se lê: o ite de f quando x tende a menos infinito é igual a menos infinito. Se lê: o ite de f quando x tende a menos infinito é igual a mais infinito. Se lê: o ite de f quando x tende a mais infinito é igual a menos infinito. Se lê: o ite de f quando x tende a mais infinito é igual a mais infinito. Estes ites são chamados de ites infinitos no infinito.

60 Funções quocientes Situação Resultado Situação Resultado f x x + g(x) f x x + g(x) f x x + g(x) f x x + g(x) C > C > 0 0 C < C < f x x + g(x) f x x + g(x) f x x + g(x) f x x + g(x) + C > 0 C > 0 + C < 0 C < Observação: As mesmas regras valem se trocarmos "x + " por "x ".

61 Funções quocientes Exemplo: Calcule os ites: x 2 + (a) x 2 x + (b) x + 5 e 2x Solução: Precisamos analisar o sinal do numerador e do denominador para determinar a resposta do ite. (a) x 2 + x 2 x = + (b) = > 0 x + e 2x 5 < 0 0 +

62 Funções polinomiais e funções racionais Para calcular ites no infinito de funções polinomiais ou funções racionais, basta considerar os monômios de maior grau, que são também chamados de termos dominantes, para calcular o ite. Exemplo: Calcule os ites: (a) x x5 00x 4 + 2x x 3 2x x (b) x + 3x 3 + Solução: (a) x x5 00x 4 + 2x x 3 2x x (b) x + 3x x 3 = x + 3x 3 = x x5 = = x = 25 3

63 Exercícios Propostos

64 Exercícios ) Calcule os seguintes ites: (a) R.: 0 x 5x + 6 (b) 3 5 x + x 2 + (c) (d) (e) (f) 2 x + x 2 x + 2x 2 x x + x 5 x 5x 2 2 x + 3 5x 2 2 x + 3 R.: 2 R.: + R.: 3 R.: 5 R.: 5 (g) (h) (i) (j) (k) (l) x x4 x + (x6 + 2x) x (x7 + 2x 4 3x 3 ) x (x3 + 7x 4 2x 5 ) x 2 5x + 6 x x + 3 x R.: + x 2 4x + 2 2x 2 7x + x 4 + x 3 3 (m) x 0 3x R.: + R.: R.: 2 R.: + R.: R.: +

65 Exercícios 2) Em cada caso, verifique se a função dada possui assíntotas horizontais e\ou verticais. No caso afirmativo, determine as equações destas assíntotas. (a) f x = 2x2 x 2 + Assíntotas verticais: Não tem! Assíntotas horizontais: y = 2 (b) (c) f x = x2 + 5x 2 x 2 9 f x = x2 + 2 x 5 Assíntotas verticais: x = ±3 Assíntotas horizontais: y = Assíntotas verticais: x = 5 Assíntotas horizontais: y = ± (d) f x = x3 + x x 2 5x + 6 Assíntotas verticais: x = 2 e x = 3 Assíntotas horizontais: Não tem! (e) f x = 3x3 + x x 2 + 2x + 2 Assíntotas verticais: Não tem! Assíntotas horizontais: Não tem!

66 Monitorias!! Não esqueça de procurar os monitores do GAMA para melhor esclarecer suas dúvidas!! Os horários e locais de monitorias podem se encontrados na página do Projeto: O GAMA possui monitorias de: Pré-cálculo e Matemática Elementar (e disciplinas equivalentes) ALGA Álgebra Linear e Geometria Analítica (e disciplinas equivalentes) Cálculo, Cálculo A e Cálculo I (e disciplinas equivalentes) Certificado de 20 horas para quem procurar a monitoria do GAMA por pelo menos 5 vezes dentro do mesmo semestre letivo.

67 Universidade Federal de Pelotas Instituto de Física e Matemática Pró-reitoria de Ensino Atividades de Reforço em Cálculo Módulo de Limites Aula / Projeto GAMA Grupo de Apoio em Matemática

68 Funções contínuas Definição: Uma função f é contínua em um número x = a se forem satisfeitas as seguintes condições: ) f a existe; 2) Existe o ite f(x); 3) f(x) = f a. x a x a Do contrário, se diz que a função f é descontínua em x = a. Observação: As condições acima dizem que: ) f a existe. Quer dizer que o número a pertence ao domínio da função f, ou seja, é possível calcular f(a). 2) Existe o ite x a f x. Quer dizer que os ites laterais existem e são iguais entre si. 3) x a f(x) = f a. Quer dizer que valores encontrados em ) e 2) são iguais entre si. f x = f(x) x a x a +

69 Funções contínuas Exemplos: Determine se a função representada pelo gráfico a seguir é contínua em cada número dado. Justifique. (a) x = 2 (b) x = (c) x = 0 Solução: (a) Como f 2 = 5 (d) x = (e) x = 2 (f) x = 3 f(x) = 5 x 2 então f é contínua em x = 2. (b) Como e f e f(x) = 3 x então f é descontínua em x = y x

70 Funções contínuas Exemplos: Determine se a função representada pelo gráfico a seguir é contínua em cada número dado. Justifique. (a) x = 2 (b) x = Solução: (c) Como f 0 = 0 e (d) x = (e) x = 2 (c) x = 0 (f) x = 3 f(x) = 0 x 0 então f é contínua em x = 0. (d) Como f = e f(x) = 3 x então f é descontínua em x = y x

71 Funções contínuas Exemplos: Determine se a função representada pelo gráfico a seguir é contínua em cada número dado. Justifique. (a) x = 2 (b) x = Solução: (e) Como (d) x = (e) x = 2 (c) x = 0 (f) x = 3 f 2 = 0 f(x) x 2 então f é descontínua em x = 2. (f) Como f 3 = 2 e f(x) = 2 x 3 então f é contínua em x = 3. e y x

72 Funções contínuas Exemplo: Considere a função f x = x +, se x x 2 3x + 4, se x > (a) Verifique se f é contínua em x =. (b) Esboce o gráfico desta função. Solução: É necessário verificar cada uma das condições abaixo! ) f existe. Sim! f = + = 2. 2) Existe o ite x f x. Sim! f x = x x (x + ) = 2 f(x) = x + x +(x2 3x + 4) = 2 3) x f(x) = f. Sim! Conclui-se então que f é contínua em x =.

73 Funções contínuas Exemplo: Considere a função f x = (a) Verifique se f é contínua em x =. (b) Esboce o gráfico desta função. Solução: A função dada foi definida por duas sentenças, portanto: y = x + em (, ] Função do primeiro grau! O gráfico é uma reta! y = x 2 3x + 4 em (, + ) Função do segundo grau! O gráfico é uma parábola! x +, se x x 2 3x + 4, se x > y x

74 Classificação de descontinuidades Descontinuidade removível: Existe o ite f(x) x a mas uma das seguintes situações acontece: (i) f(x) f a. ou (ii) f não está definida em x = a. x a Neste caso, se diz que a função f possui uma descontinuidade removível em x = a. Exemplo: Em cada caso, classifique a descontinuidade da função em x = 2. (a) y (b) f y 3 3 o gráfico de f tem um furo em x = a x existe existe f(x) f(2) x 2 x 2 Descontinuidade removível em x = 2. porém f(x) f x g existe não existe g(x) g(2) x 2 Descontinuidade removível em x = 2.

75 Classificação de descontinuidades Descontinuidade em salto: Os ites laterais existem e são diferentes entre si, ou seja, (i) f(x) existe (ii) f(x) existe x a x a + (iii) f(x) f(x). x a x a + Neste caso, se diz que a função f possui uma descontinuidade em salto em x = a. o gráfico de f tem um salto em x = a. Exemplo: Em cada caso, classifique a descontinuidade da função em x = 2. (a) y (b) y g x f x 2 = f(x) x 2 x = f(x) f x = 2. x 2 x 2 + Descontinuidade em salto em x = 2. Descontinuidade em salto em x = 2.

76 Classificação de descontinuidades Descontinuidade infinita: Um dos ites laterais é infinito ( ou + ), ou seja, ocorre pelo menos uma das situações: f(x) = x a f(x) = + x a f(x) = x a + f(x) = + x a + Neste caso, se diz que a função f possui uma descontinuidade infinita em x = a. o gráfico de f tem uma assíntota vertical em x = a. Exemplo: Em cada caso, classifique a descontinuidade da função em x = 2. (a) f y (b) y g x x x 2 + f(x) = f x =. x 2 x 2 + Descontinuidade infinita em x = 2. Descontinuidade infinita em x = 2.

77 Funções contínuas Exemplo: Considere a função f x = (a) f é contínua em x =? (b) f é contínua em x =? (c) Esboce o gráfico de f. 2x + 5, se x < 4x 2, se < x <, se x Solução: (a) Como ) f existe? Sim! f =. 2) Existe o ite x f x. Não! f x = x x 4x2 = 3 f(x) = = x + x + Conclui-se portanto que f é descontínua em x =.

78 Funções contínuas Exemplo: Considere a função f x = (a) f é contínua em x =? (b) f é contínua em x =? (c) Esboce o gráfico de f. 2x + 5, se x < 4x 2, se < x <, se x Solução: (b) Como ) f existe? Não! Conclui-se que f é descontínua em x =.

79 Funções contínuas Exemplo: Considere a função (a) f é contínua em x =? f x = (b) f é contínua em x =? (c) Esboce o gráfico de f. Solução: A função dada foi definida por três sentenças, portanto: y = 2x + 5 em (, ) Função do primeiro grau! y = 4x 2 em (, ) Função do segundo grau! y = em [, + ) Função constante! 2x + 5, se x < 4x 2, se < x <, se x y x

80 Continuidade lateral Definição: Uma função f é contínua à direita em um número a se forem satisfeitas as seguintes condições: ) f a existe; 2) Existe o ite x a + f(x); 3) f(x) = f a. x a + Definição: Uma função f é contínua à esquerda em um número a se forem satisfeitas as seguintes condições: ) f a existe; 2) Existe o ite x a f(x); 3) f(x) = f a. x a Exemplo: A função f x = 4 x 2 é contínua em [ 2, 2], sendo contínua à direita em x = 2 e contínua à esquerda em x = y x

81 Propriedades das funções contínuas Continuidade da Soma/diferença: Sejam f e g funções contínuas em x = a. Então f ± g é contínua em x = a. Isto é, a soma/diferença de funções contínuas é uma função contínua. Continuidade do produto: Sejam f e g funções contínuas em x = a. Então f g é contínua em x = a. Isto é, o produto de funções contínuas é uma função contínua. Continuidade do quociente: Sejam f e g funções contínuas em x = a tais que g a 0. Então f é contínua em x = a. g Isto é, o quociente de funções contínuas é uma função contínua.

82 Continuidade das funções elementares Continuidade das funções polinomiais: As funções polinomiais são contínuas em todos números reais. Isto é, se f é uma função polinomial, então: Exemplo: Calcule o ite: f(x) = f(a). x a x 3 x2 3x + 2 Solução: Como a função f x = x 2 3x + é polinomial, o ite acima pode ser calculado facilmente como: x 3 (x2 3x + 2) = = 2.

83 Continuidade das funções elementares Continuidade das funções racionais: As funções racionais são contínuas em todos números dos seu domínios. Isto é, se f é uma função racional (quociente de duas funções polinomiais) e a D(f), então: f(x) = f(a). x a Exemplo: Calcule o ite: x 2 x 3 2x 4 x + 3 Solução: Como a função f é racional e 2 D(f), o ite acima pode ser calculado facilmente como: x 2 x 3 2x 4 x + 3 = (2) 3 2(2) 4 (2) + 3 = 7 33.

84 Continuidade das funções elementares Continuidade das funções raízes: As funções raízes são contínuas em todos números dos seu domínios. Isto é, se f é uma função raiz e a D(f), então: Exemplo: Calcule os ites: (a) x 6 x f(x) = f(a). x a x 32 Solução: Os ites acima podem ser calculados facilmente como: (a) x 6 x (b) = 6 = 4 2 = 4. 5 x (b) x 32 5 x = 5 32 = = 2.

85 Continuidade das funções elementares Continuidade das funções trigonométricas: As funções trigonométricas são contínuas em todos números dos seu domínios. Isto é, se f é uma função trigonométrica e a D(f), então: Exemplo: Calcule os ites: f(x) = f(a). x a (a) x π sin x 3 (b) x π tan x 4 Solução: Os ites acima podem ser calculados facilmente como: (a) x π sin x 3 = sin π 3 = 3 (b) tan x 2. = tan π 4 =. x π 4

86 Continuidade das funções elementares Continuidade das funções exponenciais e logarítmicas: As funções exponenciais e logarítmicas são contínuas em todos números dos seu domínios. Isto é, se f é uma função exponencial ou uma função logarítmica e a D(f), então: f(x) = f(a). x a Exemplo: Calcule os ites: (a) x 5 2x (b) log 3 x x 9 Solução: Os ites acima podem ser calculados facilmente como: (a) x 5 2x = 2 5 = 32. (b) log 3 x x 9 = log 3 9 = 2.

87 Continuidade das funções elementares Continuidade da função composta: Se uma função f é contínua em x = a e a função g é contínua em f(a) então a função composta gof é contínua em x = a. Isto é, Exemplo: Calcule os ites: (a) x cos(x2 ) (f g)(x) = (f g)(a). x a (b) x 2 x 3 + 2x Solução: Utilizando a continuidade da função composta temos: (c) x 23 tan x 0 (a) cos(x2 ) = x cos 2 = cos 0 =. (b) x 2 x 3 + 2x = = 2 = 2 3. (c) x 0 23 tan x = 2 3 tan 0 = = 2 3 = 8.

88 Exercícios Propostos

89 Exercícios ) Determine se a função representada pelo gráfico a seguir é contínua em cada número dado. (a) x = 6 (b) x = 5 (c) x = 4 (d) x = 3 (e) x = 2 Não Sim Não Sim Não y (f) x = (g) x = 2 (h) x = 0 Não Sim Sim x

90 Exercícios ) Determine se a função representada pelo gráfico a seguir é contínua em cada número dado. (i) x = (j) x = 5 4 (k) x = 2 (l) x = 3 (m) x = π Não Sim Não Não Sim y (n) x = 4 (o) x = 5 (p) x = 6 Sim Não Sim x

91 Exercícios 2) Usando as propriedades dos ites, diga se as funções abaixo são contínuas nos pontos dados. (a) f x = x + 3, se x 5 3x 7, se x > 5 em x = 5 Contínua em x = 5. (b) f x = x2 2x +, se x 3 7, se x = 3 em x = 3 Descontínua em x = 3. (c) f x = 2 x, se x <, se x = x 2 x, se x > em x = Descontínua em x =. (d) f x = sin x, se x < 0 0, se x = 0 2 3x, se x > 0 em x = 0 Contínua em x = 0.

92 Exercícios 2) Usando as propriedades dos ites, diga se as funções abaixo são contínuas nos pontos dados. (e) f x = x 2, se x 0 em x = 0 Descontínua em x = 0. 2, se x = 0 (f) f x = 2x + 6 x + 3, se x 3 2, se x = 3 em x = 3 Contínua em x = 3. (g) f x = 3 5x + 7, se x < 4 x, se x > 4 em x = 4 Descontínua em x = 4. (h) f x = x 2 25 x 5, se x < 5 0, se x = 5 0x 50 x 5, se x > 5 em x = 5 Contínua em x = 5.

93 Exercícios 3) Determine o valor de m para que a função abaixo seja contínua em x = 2. f x = 2 x 3, se x < 2 m, se x = 2 x 2 4 x 2, se x > 2 m = 4 4) Determine o valos de k para que g(x) seja contínua em x = 3. g x = x 2 9 x + 3, se x 3 k, se x = 3 k = 6

94 Monitorias!! Não esqueça de procurar os monitores do GAMA para melhor esclarecer suas dúvidas!! Os horários e locais de monitorias podem se encontrados na página do Projeto: O GAMA possui monitorias de: Pré-cálculo e Matemática Elementar (e disciplinas equivalentes) ALGA Álgebra Linear e Geometria Analítica (e disciplinas equivalentes) Cálculo, Cálculo A e Cálculo I (e disciplinas equivalentes) Certificado de 20 horas para quem procurar a monitoria do GAMA por pelo menos 5 vezes dentro do mesmo semestre letivo.

95 Universidade Federal de Pelotas Instituto de Física e Matemática Pró-reitoria de Ensino Atividades de Reforço em Cálculo Módulo de Limites Aula / Projeto GAMA Grupo de Apoio em Matemática

96 Indeterminações Nesta aula, iremos estudar algumas formas indeterminadas que aparecem muito frequentemente no Cálculo. As indeterminações mais frequentes são representadas por: Quociente de duas funções tais que, no ite, a função do numerador e a do denominador tendem a zero simultaneamente. Quociente de duas funções tais que, no ite, a função do numerador e a do denominador tendem a infinito simultaneamente. Diferença de duas funções tais que, no ite, ambas tendem a infinito simultaneamente. Produto de duas funções tais que, no ite, uma tende a zero e outra tende a infinito. Potência de duas funções tais que, no ite, a base tende a um e o expoente tende a infinito Potência de duas funções tais que, no ite, a base e o expoente tende a zero simultaneamente. Potência de duas funções tais que, no ite, a base tende a infinito e o expoente tende a zero.

97 Indeterminações Nesta aula, estudaremos quatro tipos de indeterminações Exemplos: x 2 x 2 4 x 2 x Indeterminação do tipo 0 0 x + x x + Indeterminação do tipo x 3x 2 4 2x 2 4x + 4 Indeterminação do tipo x 0 x (x2 + ) Indeterminação do tipo 0

98 Indeterminações Exemplo: Calcule o ite x 2 4 x 2 x 2 x 2 Solução: Primeiramente note que x 2 x 2 4 x 2 x 2 0 (2)2 4 = 4 4 = = 4 4 = 0 Indeterminação do tipo 0 0 Note que: x 2 x 2 4 x 2 x 2 (x + 2)(x 2) = x 2 (x + )(x 2) = x + 2 x 2 x + = 4 3. x 2 4 = (x + 2)(x 2) x 2 x 2 = (x + )(x 2) Observação: O fator x 2 que causava a indeterminação no exemplo acima pode ser simplificado por meio de uma fatoração e conseguimos constatar que, neste caso, o ite existe e é igual a 4 3.

99 Indeterminações Exemplo: Calcule o ite Solução: Primeiramente note que 2x 8 x 4 x 2 2x 8 x 4 x = 8 8 = = 2 2 = 0 Indeterminação do tipo 0 0 Note que: 2x 8 x 4 x 2 2x 8 = x 4 x 2 x + 2 x + 2 = 2(x 4)( x + 2) x 4 x 4 = x 4 2 ( x + 2) = 2 ( 4 + 2) = 8 2x 8 = 2(x 4) x 2 x + 2 = x = x 4

100 Indeterminações Exemplo: Calcule o ite Solução: Primeiramente note que x x 3 2x x 5 + 7x 4 4x x x 3 2x x 5 + 7x 4 4x Indeterminação do tipo Como neste caso temos uma função racional (quociente de duas funções polinomiais), basta considerar os monômios de maior grau : x x 3 2x x 5 + 7x 4 4x = x x 3 3x 5 = x 3x 2 = 0.

101 Indeterminações Exemplo: Calcule o ite Solução: Primeiramente note que Note que: x x = x x 2 + x x x x = x x x 2 + x x x 2 = x x x 2 x 2 + x 2 + = x Indeterminação do tipo = + =. x 2 0 x x x 2 + x 2

102 Indeterminações Exemplo: Calcule o ite: x + x x + Solução: Como Indeterminação x x + x + do tipo temos uma indeterminação do tipo. Para calcular este ite, fazemos: x x + x + x + x x + = x + x + x + x + x 2 x + 2 = x + x + x + x 2 = x 2 x x 2 x 2 x + x x 2 + x x 4 + x 4 = x + = x + x 2 x x + x + = x x x 2 x + x 3 + x x 2 x x 2 x + x + x 2 = +.

103 Indeterminações Exemplo: Calcule o ite: Solução: Como x + x + x (x2 + ) 0 x (x2 + ) + Indeterminação do tipo 0 temos uma indeterminação do tipo 0. x + Para calcular este ite, fazemos: x (x2 + ) = x + x 2 x + x + 0 = x + x3 2 + x = +.

104 Indeterminações Exemplo: Calcule o ite: x + ( 2x 00) x2 Solução: Como x + temos uma indeterminação do tipo 0. 0 ( 2x 00) x2 + Indeterminação do tipo 0 x + Para calcular este ite, fazemos: ( 2x 00) = x2 x + 2x x 2 00 x 2 = x + 2 x x 2 = 0.

105 Exercícios Propostos

106 Exercícios ) Calcule os ites indicados: x 2 9 a) 6 x 3 x 3 x 2 6 b) x 4 x 2 8x + 6 c) f) x 2 6x + 9 x x 3 x 2 x 2 x 2 2x 6 x 3 + x 2 6x + 9 g) d) x 2 x + x2 + 0 e) 3 x + x 2 ( x 5) + x 0 x 2 9x + 20 h) x + x i) j) k) x 2 + x x 2 2 x + 6 x + l) x 22 m) n) + x x + x x + x + 4x x x x 3 + 4x 2 + 5x + 2 x x 2 + 2x + 2 4x

107 Exercícios ) Calcule os ites indicados: a) d) g) x + x 2 x x b) x c) s 9 x 4 4x 2x 2 8x s 3 s x 4 x 2 7x + 2 3x 2 + x e) x + x 2 3 7x 49 x 2 f) + x 7 + x (x 4)(4 x 2 ) x 4 x 2 4x k) l) m) h) x + x 5 h 0 x 2 3x2 + x 2x i) x 3 x x x j) x 3 x x x x 5 x h h 6 x 2 3 x x 3 2x 3 + n) x 2

108 Monitorias!! Não esqueça de procurar os monitores do GAMA para melhor esclarecer suas dúvidas!! Os horários e locais de monitorias podem se encontrados na página do Projeto: O GAMA possui monitorias de: Pré-cálculo e Matemática Elementar (e disciplinas equivalentes) ALGA Álgebra Linear e Geometria Analítica (e disciplinas equivalentes) Cálculo, Cálculo A e Cálculo I (e disciplinas equivalentes) Certificado de 20 horas para quem procurar a monitoria do GAMA por pelo menos 5 vezes dentro do mesmo semestre letivo.

109 Universidade Federal de Pelotas Instituto de Física e Matemática Pró-reitoria de Ensino Atividades de Reforço em Cálculo Módulo de Limites Aula / Projeto GAMA Grupo de Apoio em Matemática

110 Teorema do Confronto Em alguns ites, é bastante trabalhoso obter o valor do ite diretamente. Neste caso, se torna útil uma tentativa de cálculo utilizando o Teorema do Confronto. Este teorema afirma que se uma função f está itada por outras duas funções, g e h, em uma vizinhança do a e se g e h tiverem o mesmo ite quando x a, então f também terá esse ite x a. Teorema do Confronto Suponha que g(x) f(x) h(x) para qualquer x em um intervalo abertos contendo a, exceto possivelmente em a. Suponha também que g x = h(x) = L x a x a Então f x = L x a Observação: O Teorema do Confronto continua válido se substituirmos x a por x a + ou x a.

111 Teorema do Confronto Exemplo: Dada a função f: R R e suponha que g(x) f(x) h(x), onde g x = x 2 + 4x 3 e h x = x 2 4x + 5. Determine x 2 f(x). Solução: Como e x 2 + 4x 3 f x x 2 4x + 5 x 2 x2 + 4x 3 = (2) 3 = x 2 (x2 4x + 5) = 2 2 4(2) + 5 = segue do Teorema do Confronto que: f x =. x 2

112 Teorema do Confronto Exemplo: Determine Solução: Como cos x x cos x 0 + x. y = y y = cos x temos x x x cos x x y = Como x = 0 x 0 + e x = 0 x 0 + y temos, pelo Teorema do Confronto, que y = x cos x x cos x 0 + x = 0. x

113 Limites Fundamentais Existem alguns ites que são chamados de ites fundamentais. São eles: sin x x 0 x = primeiro ite fundamental x + + x x = e segundo ite fundamental a x x 0 x = ln a (onde a > 0) terceiro ite fundamental Observação: Note que os três ites fundamentais são indeterminações. sin x x 0 x 0 x + + x 0 x a x x 0 x 0 0 Indeterminação do tipo 0 0 Indeterminação do tipo Indeterminação do tipo 0 0

114 Limites Fundamentais O primeiro ite fundamental é dado por: sin x x 0 x = Exemplos: Calcule os ites: (a) x 0 sin 8x 8x (b) x 0 sin 5x 2x (c) x 0 sin 3x sin 7x Importante: Em geral, para calcular um ite fundamental, utilizamos uma substituição conveniente na variável do ite.

115 Limites Fundamentais (a) x 0 sin 8x 8x Solução: Fazemos u = 8x Substituição sin 5x (b) x 0 2x Solução: Fazemos Se u = 8x e x 0 então u 0. Portanto sin 8x sin u = x 0 8x u 0 u =. u = 5x Substituição Se u = 5x e x 0 então u 0. Portanto sin 5x x 0 2x = sin 5x x 0 2x 5 5 = 5 2 sin 5x x 0 5x = 5 2 sin u u 0 u = 5 2.

116 Limites Fundamentais (c) x 0 sin 3x sin 7x Solução: Neste caso, vamos reescrever o ite dado da seguinte forma: sin 3x x 0 sin 7x = 3 7 x 0 3x sin 3x = 3x x 0 sin 7x 7x 7x sin 3x 3x sin 7x 7x = x 0 = 3 sin 3x 7 x 0 3x sin 7x 7x x 0 sin 3x 3x sin 7x 7x 3x 7x = 3 7 = 3 7.

117 Limites Fundamentais O segundo ite fundamental é dado por: x + + x x = e No ite acima, o valor do ite permanece o mesmo se trocarmos + por. Por este motivo, é comum escrever-se x ± no ite acima, ou seja, x ± + x x = e Exemplos: Calcule os ites: (a) x + + 4x 4x (b) x + 3 x 2x (c) x 0 + x x Importante: Em geral, para calcular um ite fundamental, utilizamos uma substituição conveniente na variável do ite.

118 Limites Fundamentais (a) x + + 4x 4x Solução: Fazemos u = 4x Substituição Se u = 4x e x + então u +. Portanto x + + 4x 4x = u + + u u = e.

119 Limites Fundamentais (b) x + 3 x 2x Solução: Fazemos u = x 3 Substituição Se u = x 3 e x + então u. Portanto x + 3 x 2x = x + + x 3 2x = x + + x 3 x 3 ( 6) = x + + x 3 x 3 6 = u + u u 6 = e 6.

120 Limites Fundamentais (c) x 0 + x x Solução: Fazemos u = x Substituição Se u = x e x 0 então u. Portanto + x x = x 0 u ± + u u = e. Importante: O ite + x x = e x 0 dado pelo exemplo acima também é chamado de segundo ite fundamental.

121 Limites Fundamentais O terceiro ite fundamental é dado por: a x x 0 x = ln a (onde a > 0) Exemplos: Calcule os ites: (a) x 0 2 3x 3x (b) x 0 e x x 4 x (c) x 0 3 5x 3 2x x Importante: Em geral, para calcular um ite fundamental, utilizamos uma substituição conveniente na variável do ite.

122 Limites Fundamentais (a) x 0 2 3x 3x Solução: Fazemos u = 3x Substituição Se u = 3x e x 0 então u 0. Portanto 2 3x x 0 3x = u 0 2 u u = ln 2.

123 Limites Fundamentais (b) e x x 0 + x 4 x Solução: Fazemos Se u = x e x 0 + então u 0. u = x Substituição Portanto e x x 0 + x 4 x = e x x 0 + x( x 4) e u = u 0 u u 4 = ln e 4 = 4.

124 Limites Fundamentais (c) x 0 3 5x 3 2x x Solução: Fazemos u = 3x Substituição Se u = 3x e x 0 então u 0. Portanto 3 5x 3 2x x 0 x = x 0 3 2x (3 3x ) x = x 0 3 2x 33x x = 3 2x 33x 3 x 0 x 3 = x 0 3 2x+ 33x 3x = 3 u 0 3 u u = 3 ln 3.

125 Exercícios Propostos

126 Exercícios ) Mostre que 2) Se encontre x 2 4x + 7 f x 4x 9, para todo x 0, 3) Dado que, para todo x tem-se, encontre 4) Prove que x 0 x2 sin x = 0. f(x). x 4 g x 2 3 x 2 g(x). x xsen x 0 x = 0.

127 Exercícios 5) Utilizando os ites fundamentais, calcule: (a) x 0 sin 3x x sin x (b) x 0 2x (c) x 0 sin πx sin 3x (d) x 0 cos x x x 2 (e) x 0 cos x (f) x 0 tan x x 3 2 π (g) x 0 (h) x + + x (i) + x 5x x 0 (j) x + x sin x + x (k) x 0 2e x 2 x (l) x 0 e 3x e x 2x x+3 e 2 5 e e 2 3

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