ANÁLISE MATEMÁTICA II

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1 ANÁLISE MATEMÁTICA II Acetatos de Ana Matos Séries Numéricas DMAT

2 Séries Numéricas Definições básicas Chama-se série numérica a uma expressão do tipo a a 2, em geral representada por, ou, onde é uma sucessão de números reais. a, a 2, termos da série termo geral da série. Designam-se por somas parciais da série S a, S 2 a a 2, S 3 a a 2 a 3, Chama-se soma parcial de ordem n da série S n n i a i a ou seja a S n a a 2. A S n chama-se sucessão das somas parciais da série. Ana Matos - AMII 3/4 Séries Num. -

3 Definição: Diz-se que é uma série convergente se a sucessão das suas somas parciais, S n, for convergente. Neste caso, ao número real chama-se soma da série. S lims n Por abuso de notação, escreve-se também S. Uma série que não é convergente diz-se divergente. Diz-se que duas séries têm a mesmatureza se forem ambas convergentes ou ambas divergentes. Observação: Associadas à série temos duas sucessões:, a sucessão a partir da qual definimos a série; S n, a sucessão das suas somas parciais. A natureza da série é determinada pela convergência ou não da sucessão das suas somas parciais. O facto de ser convergente não garante que a série seja convergente. Questão: Diga qual é atureza da série de termo geral, isto é, de. Ana Matos - AMII 3/4 Séries Num. - 2

4 . A série n é divergente, pois S n 2n n. n 2, pelo que lims n. 2. A série n é divergente, pois S n se n é ímpar 0 se n é par, pelo que S n não tem limite. 3. Para a série tem-se 2 2, pelo que S n a 2 2 n 2 2 n 2. Portanto a série é convergente e a sua soma é 2. Nota: Podemos considerar séries indexadas em 0 ou p, com p. As definições e propriedades são análogas às das séries indexadas em. Ana Matos - AMII 3/4 Séries Num. - 3

5 Séries Geométricas Séries Importantes Definição: Chama-se série geométrica de razão r e primeiro termo a à série ar aarar 2 ar, em que r e a são números reais não nulos. Tem-se que S n a. rn r, se r a.n, se r, pelo que se r, a série é convergente e a sua soma é S a r ; se r, a série é divergente. Então, a série geométrica é convergente sse r ; neste caso, a sua soma é S a r. Ana Matos - AMII 3/4 Séries Num. - 4

6 Séries Redutíveis ou de Mengoli Chamam-se séries redutíveis, séries de Mengoli ou séries telescópicas às séries que se podem escrever na forma u n u nk, onde k é um número natural (fixo) e u n é uma sucessão real. Exemplos:. A série nn pode escrever-se na forma n, pelo que é uma série de Mengoli, com k e u n n. 2. A série n n2 é uma série de Mengoli, com k 2 e u n n. Ana Matos - AMII 3/4 Séries Num. - 5

7 Convergência duma série de Mengoli: º Caso: se k, a série escreve-se na forma pelo que u n u, S n u u 2 u 2 u 3 u n u u u. Portanto: a) se u n é convergente, a série é convergente e a sua soma é S u limu n ; b) se u n é divergente, a série é divergente. 2º Caso: se k, então Portanto: S n u u 2 u k u u n2 u nk. a) se u n é convergente, a série u n u nk é convergente e a sua soma é S u u 2 u k k limu n (note-se que limu limu nk limu n ; b) se u n é divergente, nada se pode concluir sem estudar directamente a sucessão S n. Ana Matos - AMII 3/4 Séries Num. - 6

8 Séries de Dirichlet Chama-se série de Dirichlet a qualquer série da forma n p, onde p é um número real (fixo). Chama-se série harmónica à série de Dirichlet para p, ou seja à série n. A série harmónica é divergente. De facto, como será provado mais adiante: Convergência duma série de Dirichlet: Sendo p um número real, então: se p, se p, n p n p é convergente; é divergente. Ana Matos - AMII 3/4 Séries Num. - 7

9 Propriedades gerais das Séries Comecemos por observar que atureza de uma série não é alterada se modificarmos ou suprimirmos um número finito dos seus termos. No entanto a sua soma é, em geral, alterada. Proposição: Se, a partir de certa ordem, u n v n, então u n v n têm a mesmatureza. e Proposição: Se existe p N tal que, a partir de certa ordem, u n v np, então as séries têm a mesmatureza. (Ou seja, duas séries cujos termos gerais estejam apenas desfasados um certo número de termos, têm a mesmatureza.) Proposição: Sejam e b n duas séries convergentes, de somas S e T, respectivamente, e c. Então:. b n é convergente, com soma ST; 2. b n é convergente, com soma ST; 3. c é convergente, com soma cs. Observação: Da alínea 3. resulta que não se altera atureza de uma série multiplicando o seu termo geral por uma constante diferente de zero. Ana Matos - AMII 3/4 Séries Num. - 8

10 Questão: Considere os seguintes casos:. a série é a soma de uma série converge e uma série divergente; 2. a série é a soma de duas séries divergentes. Em cada caso, o que pode dizer quanto à natureza da série? Proposição (condição necessária de convergência): Se é uma série convergente, então 0. Ou seja, na sua forma contra-recíproca: se não tende para zero, então é divergente. Nota: A afirmação recíproca é falsa: se 0, nada se pode concluir sobre atureza da série. Ana Matos - AMII 3/4 Séries Num. - 9

11 Resto de uma série Definição: Seja uma série convergente, com soma S. Sendo N, chama-se resto de ordem N da série, e representa-se por R N, à soma da série nn a N a N2 (a série que resulta da anterior suprimindo os termos de ordem menor ou igual a N). Observação: Note-se que, pelo que R N SS N, R N S S N é o erro que se comete quando se toma como valor da soma da série o valor da sua soma parcial S N. Ana Matos - AMII 3/4 Séries Num. - 0

12 Critérios de convergência Séries de Termos Não Negativos Definição: Diz-se que é uma série de termos não negativos se 0, para qualquer n. A sucessão das somas parciais de uma série de termos não negativos é crescente, donde se conclui: Proposição (cond. necessária e suficiente de convergência): Uma série de termos não negativos é convergente se e só se a sucessão das suas somas parciais é majorada. Proposição (º critério de comparação): Sejam n, Então: e b n duas séries tais que, para qualquer 0 b n. se b n é convergente, é convergente; se é divergente, b n é divergente. Observação: Da demonstração do primeiro caso resulta que, se S e T são as somas das séries e b n, respectivamente, então S T. Ana Matos - AMII 3/4 Séries Num. -

13 Proposição (2º critério de comparação): Sejam uma série de termos não negativos e b n uma série de termos positivos tais que, para todo n, b n L. Então: se L 0,, as séries são da mesmatureza; se L 0 e b n é convergente, também é convergente; se L e b n é divergente, também é divergente. Ana Matos - AMII 3/4 Séries Num. - 2

14 Proposição: (Critério de Cauchy) Seja uma série de termos não negativos tal que lim n n L (finito ou infinito). Então: se L, é convergente; se L, é divergente; se L, nada se pode concluir. Recorde-se o Corolário do Teorema da Média Geométrica: Se u u n a (com a finito ou infinito) então n u n a. Proposição (Critério de D Alembert): Seja (finito ou infinito). uma série de termos positivos tal que lim n a L Então: se L, é convergente; se L, é divergente; se L, nada se pode concluir. Ana Matos - AMII 3/4 Séries Num. - 3

15 Recordemos o seguinte: Definição (integral impróprio de ª espécie): Seja f uma função contínuo intervalo a,. Chama-se integral impróprio da função f em a, a fxdx lim a fxdx. a O integral impróprio a fxdx diz-se convergente, este limite existe e é finito e diz-se divergente, caso contrário. Proposição (critério do integral): Sejam f :, uma função positiva, contínua e decrescente e Então fn. a série sse é convergente o integral impróprio fxdx é convergente. Corolário: A série de Dirichlet, com p, é n p convergente se p e divergente se p. Ana Matos - AMII 3/4 Séries Num. - 4

16 Séries de Termos sem Sinal Fixo Definição: Uma série diz-se de termos sem sinal fixo se possui infinitos termos positivos e infinitos termos negativos. Em particular, sendo 0, para qualquer p, as séries dizem-se séries alternadas. e n Exemplo: n série harmónica alternada. Proposição: (Critério de Dirichlet) Se a sucessão das somas parciais da série b n é limitada e se é uma sucessão decrescente com limite nulo, então a série b n é convergente. Proposição: (Critério de Leibniz) Se é uma sucessão decrescente e com limite nulo (portanto 0), então a série é convergente. Exemplo: A série harmónica alternada, n, é convergente. Ana Matos - AMII 3/4 Séries Num. - 5

17 Observação: Pode-se provar que, nas condições do critério de Leibniz, o valor absoluto do resto de ordem N é menor ou igual ao valor absoluto do primeiro termo desprezado. Isto é: Se é uma série alternadas condições do critério de Leibniz, então R p a p. Tem-se, assim, uma majoração para o valor absoluto do resto uma certa ordem da série. Séries Absolutamente Convergentes Proposição: Se a série é convergente, então a série também é convergente. Definição: Uma série diz-se: absolutamente convergente, se a série é convergente; simplesmente convergente (ou condicionalmente convergente), se é convergente mas não é absolutamente convergente. Exemplo:. A série n 2 2. A série n é absolutamente convergente; é simplesmente convergente. Ana Matos - AMII 3/4 Séries Num. - 6

18 Reordenação dos termos de uma série Uma série absolutamente convergente verifica propriedades que não são válidas para séries simplesmente convergentes. É o caso da reordenação dos seus termos. Qualquer soma finita pode ser reordenada sem que o seu valor seja alterado. Esta propriedade não é válida para somas infinitas (séries). Reordenando os termos de uma séries simplesmente convergente podemos alterar a sua soma. Exemplo: Pode-se provar que n ln2. Consideremos a seguinte reordenação desta série: ln 2. 2 Obtivemos uma série cuja soma é metade da soma da série original. Pode mesmo provar-se que, dada uma série simplesmente convergente e um valor real qualquer, esta pode ser reordenada de modo a ter como soma esse valor! No entanto: Proposição: A soma de uma série absolutamente convergente não é alterada por reordenações dos seus termos. Ana Matos - AMII 3/4 Séries Num. - 7

19 Estratégias para testar séries Segue-se um apanhado dos testes apresentados. Procedimentos para testar atureza de uma série: O termo geral da série converge para zero? Se não, é divergente; se sim, nada se pode concluir. A série é de tipo particular - geométrica, de Dirichlet, de Mengoli? Se sim, aplicar o teste de convergência específico. A série é de termos não negativos e pode ser comparada com alguma série de tipo especial? A série é de termos positivos e pode ser aplicado o Critério do integral? Pode ser aplicado o Critério de D Alembert ou o Critério de Cauchy? Se L, nada se pode concluir. Se a série é de termos sem sinal fixo, será absolutamente convergente? Se sim, é convergente; se não, nada se pode concluir. A série é alternada e está nas condições do Critério de Leibniz? Se sim, é convergente; se não, nada se pode concluir. Ana Matos - AMII 3/4 Séries Num. - 8