Instituto de Matemática e Estatística da USP. Ano Professor Oswaldo R. B. de Oliveira

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1 MAT FUNÇÕES ANALÍTICAS Instituto de Matemática e Estatística da USP Ano 2015 Professor Oswaldo R. B. de Oliveira oliveira@ime.usp.br A introdução ao Capítulo 4 se baseia em notas do Professor Jorge Aragona. Capítulo 4 - Séries e Somabilidade Introdução Convergência Absoluta e Testes da Raiz e da Razão Somas Não Ordenadas em C Séries e Somabilidade. Convergência Comutativa.

2 Capítulo 1 NÚMEROS COMPLEXOS 2

3 Capítulo 2 TOPOLOGIA DO PLANO C 3

4 Capítulo 3 POLINÔMIOS 4

5 Capítulo 4 SÉRIES E SOMABILIDADE Introdução Consideremos K=R ou K=C e uma sequência(a n ), real ou complexa. A série de termo geral a n [ou série gerada pela sequência(a n )] é o par ordenado ((a n ),(s n )), com(s n ) a sequência das somas parciais de(a n ) e s n =a 0 + +a n a soma parcial de ordem n da série. [Explicitamos como somar os termos de(a n ).] Tal série é dita convergente se(s n ) converge em K e, neste caso, s=lims n é a soma da série indicada por s= a n. A série é dita divergente se(s n ) é divergente. Abusando da notação, denotamos uma série arbitrária((a n ),(s n )) por a n. Se a série a n converge, escrevemos a n <. Se a série é de números reais e lims n =±, escrevemos a n =±. 5

6 Ainda, dado p em N, definimos a série n=pa n como n=p a n = b n, onde b n =0, se n<p, e b n =a n se n p. Para investigar a convergência de a n podemos ignorar qualquer quantidade finita de seus termos pois temos s n =s p + n m=p+1 e é claro que existe lims n se e só se existe a m, para todo n>p, m=n lim n m=p+1 Isto é, a série a n converge se e só se a série n=p+1a n converge. Se uma destas converge, temos a n =s p + a m. n=p+1 Umasériecomplexa z n convergeseesomentesesuaspartesrealeimaginária, dadas pelas séries reais Re(z n ) e Im(z n ), convergem e então segue z n = a n. Re(z n )+i Im(z n ). 4.1 Proposição. Suponhamos a n 0, para todo n N. A série a n converge se, e só se, a sequência das somas parciais s n =a 0 + +a n é limitada. Trivial, devido à propriedade do supremo 4.2 Proposição. O espaço das séries convergentes em K é um K-espaço vetorial. Ainda, dadas a n e b n convergentes em K e λ arbitrário em K temos (a n +b n )= b n a n + e λa n =λ a n. Segue das propriedades para limites de sequências 6

7 4.3 Critério do Termo Geral. Se a n converge então lima n =0. Seja s=lims n =lims n+1. Temos lima n =lim(s n+1 s n )=s s=0 Exercício. Mostre que z n = 1 1 z, se z <1, diverge, se z 1. A Figura 4.1, abaixo, ilustra geométricamente a série geométrica e real r n, com 0<r<1. Se θ é o ângulo indicado, por semelhança de triângulos temos 1+r+ + r n + 1 = 1 1 r = r r r 2= = r n r n r n+1=. θ 1 1 r r r 2 r 2 r 3 r 4 r 3 r r Figura 4.1: Série Geométrica de Razão 0<r< Critério de Cauchy (para séries numéricas). A série complexa a n é convergente se e somente se para todo ǫ>0, existe n 0 N tal que a n+1 +a n+2 + +a n+p <ǫ,para quaisquer n>n 0 e p N. Temos a n+1 + +a n+p = s n+p s n, com s n a n-ésima soma parcial da série, a qual converge se e só se(s n ) é uma sequência de Cauchy. Donde, a tese 7

8 4.2 - Convergência Absoluta e Testes da Raiz e da Razão. Definição. A série complexa a n é absolutamente convergente se a n <. condicionalmente convergente se a n é convergente e a n =. No Teorema 4.16 veremos que as séries absolutamente convergentes convergem. Um exemplo clássico de série condicionalmente convergente é ( 1) n n=1 n (série harmônica alternada). 4.5 Critério da Comparação. Sejam a n e b n séries complexas, tais que a n c b n, para algum c>0epara todo n>n 0 [para algum n 0 fixo], e b n <. Então, Trivial a n <. 4.6 Teste da Raiz. Sejam a n uma série complexa e limsup n a n =R [0,]. (a) Se R<1, a série dada é absolutamente convergente. (b) Se R>1, a série dada é divergente. (c) Se R=1, o teste é ineficiente. (a) Fixando λ tal que 0 R<λ<1, por definição de limsup existe n 0 tal que, se n n 0 então n a n <λ e portanto a n <λ n. Donde, a n λ n <. n=n 0 n=n 0 (b) Pela definição de limsup existe uma subsequência(a nk ) com n k ank >1, para todo k. Donde, a nk >1 se k N. Logo, lima n 0 e a n diverge. (c) Solicitamos ao leitor encontrar exemplos apropriados 8

9 4.7 Teste da Razão Dada a n, em C e com termos gerais a n s 0, sejam r=liminf a n+1 a n e R=limsup a n+1 a n (a) Se R<1, a série dada é absolutamente convergente. (b) Se r>1, a série dada é divergente. (c) Se r 1 R, o teste é ineficiente. (a) Seja λ R tal que R<λ<1.. 0 R λ 1 Figura 4.2: Teste da razão com R<1 Pela definição de limsup, existe n 0 tal que para n>n 0 temos a n+1 a n <λ. Então, para n>n 0 obtemos a desigualdade donde segue n=n 0 a n <. a n = a n a n 1 a n 1 a n 2 a n 0 +1 a n0 λ n n 0 a n0, a n0 (b) Existe n 0 tal que n n 0 implica e, portanto, a n+1 a n a n0 >0. a n+1 a n >1 (c) Solicitamos ao leitor encontrar exemplos apropriados Exercício. Seja(x n ) uma sequência limitada em(0,). Mostre que liminf x n+1 x n liminf n x n limsup n x n limsup x n+1 x n. Em particular, se lim x n+1 x n =L [0,] então lim n x n =L. 9

10 4.3 - Somas Não Ordenadas em C A Definição 4.10 de famílias somáveis [em K] a seguir, equivale à usual. De fato, decorre da definição clássica de somabilidade que uma família(v j ) J em um espaço vetorial normado e completo(v, ) [i.e., um espaço em que as sequências de Cauchy convergem] é somável se e só se ela é absolutamente somável [i.e., J v j < ]. Com a definição aqui adotada, tal equivalência se mantém. Seja X um conjunto arbitrário e J um conjunto de índices arbitrário. Uma família em X, indexada em J, é uma função x J X. Indicamos a família x por (x j ) j J ou (x j ) J ou, brevemente, (x j ). Dada uma família(p j ) contida em[0,], definimos p j =sup{p j F é subconjunto finito de J} em[0,]. j J j F Tal sup é finito se e somente se existe um real M 0 tal que p j M, para todo subconjunto finito F contido em J. j F Também escrevemos J p j para j J p j, ou ainda,p j se J é subentendido. 4.8 Proposição. Sejam(p j ) J e(q j ) J duas famílias em[0,]. Então, (a)(p j +q j )=p j +q j. (b)λp j =λp j, para todo λ em[0,). (c) (Propriedade Comutativa) Se σ K J é uma bijeção, então (a) e (b). Triviais J p j =p σ(k). K (c) São iguais os conjuntos sobre os quais computamos J p j e K p σ(k) 10

11 Dada uma família(p j ) J em[0,], se J p j é finito (um número real), dizemos que(p j ) J é uma família somável e que sua soma é o número p j. J Escrevemos J p j <, indicando que(p j ) J é (família) somável. 4.9 Teorema (Associatividade). Seja(p j ) J uma família em[0,] e J uma reunião de conjuntos J k, com k emk, dois a dois disjuntos. Então, p j = J Mostremos duas desigualdades. k K p j. j J k DadoF finitoecontidoemj,porhipóteseexistemíndicesdistintosk 1,...,k l, todos emk, tal que F J k1... J kl. Donde segue p j = p j + + p j p j + +p j F F J k1 F J kl J k1 J kl e então, pela definição de J p j, p j J k K p j. j J k p j k Kj J k Dadosíndicesdistintosk 1,...,k l emkeconjuntosfinitosf kr, comf kr J kr se 1 r l, os conjuntos J k1,...,j kl são dois a dois disjuntos e portanto os conjuntos F k1,...,f kl também. Sendo assim, temos p j + +p j p j. F k1 F kl J Então, fixando os conjuntos F k2,...,f kl e computando o supremo sobre a família dos conjuntos finitos F k1 contidos em J k1 obtemos a desigualdade p j +p j + +p j p j. J k1 F k2 F kl J Argumentando analogamente(l 1)-vezes obtemos p j +p j + +p j p j. J k1 J k2 J kl J Por fim, como{k 1,k 2,...,k l }équalquer subconjunto finito dekconcluímos p j p j j J k k K J 11

12 Seja x R. Suas partes positiva e negativa são, respectivamente, p= x, se x 0 0, se x 0 e q= 0, se x 0 x, se x 0. Temos, 0 p x 0 q x, x=p q x =p+q e p= x +x 2 q= x x Definição. Seja J um conjunto de índices. Uma família(x j ) de números reais é somável se as famílias(p j ) e(q j ) das partes positivas e negativas de x j, com j em J, respectivamente, são somáveis. Se(x j ) é somável, sua soma (não ordenada) é x j =p j q j. Uma família(z j ) de números complexos é somável se as famílias(re(z j )) J e(im(z j )) J, das partes reais e imaginárias de z j, com j em J, respectivamente, são somáveis. Se(z j ) é somável, sua soma (não ordenada) é z j =Re(z j )+iim(z j ). Uma família(z j ), de números reais ou complexos, é uma família absolutamente somável se a família( z j ) J é somável. Isto é, se z j <. 12

13 4.11 Teorema. Seja(z j ) uma família de números complexos. São equivalentes: (a)(z j ) é somável. (b)(z j ) é absolutamente somável. Consideremos as famílias de números reais(re(z j )) J e(im(z j )) J e as famílias de suas partes positivas, denotadas(p j ) e(p j ), respectivamente, e de suas partes negativas, denotadas(q j ) e(q j ), também respectivamente. Para todo j em J temos (4.11.1) 0 max{p j,q j,p j,q j } z j p j +q j +P j +Q j. Logo, z j é finita se e somente sep j,q j,p j eq j são finitas. Donde concluímos que a família( z j ) é somável se e somente se a família(z j ) é somável 4.12 Corolário. Seja(z j ) J somável ek J. Então, a família(z k ) k K é somável. Pelo teorema (4.11) temos J z j <. É fácil ver que K z k J z j. Utilizando novamente o teorema 4.11, concluímos que(z k ) K é somável 4.13 Proposição Seja K fixo. Sejam(a j ) J e(b j ) J famílias somáveis em K e λ K. Então, as famílias(a j +b j ) J e(λa j ) J são somáveis e valem as propriedades: (a)(a j +b j ) = a j + b j. (b)λa j = λa j. Exercício Teorema (Propriedade Comutativa). Seja(z j ) J uma família somável arbitrária de números complexos e σ K J uma bijeção. Então, Exercício. z j =z σ(k). J k K 13

14 4.15 Teorema (Lei Associativa para Somas Não Ordenadas). Seja(z j ) J uma família somável em C. Suponha J uma união de conjuntos J k, com k emk, dois a dois disjuntos. Então, a família(z j ) j Jk é somável, para todo k emk, e z j =z j. J k K J k Devido à definição de somável para famílias complexas e à linearidade da soma, podemos supor(z j ) somável e contida em[0, ). Pela associatividade para somas de números positivos (Teorema 4.9), segue a tese Séries e Somabilidade. Convergência Comutativa 4.16 Teorema. Seja n=1z n uma série complexa. São equivalentes, (a) n=1z n é absolutamente convergente. (b) A família(z n ) n N é somável. Ocorrendo (a) ou (b), segue que a série dada é convergente e n=1 z n =z n. Decompondo z n em suas partes real e imaginária e estas em suas partes positiva e negativa concluímos que, graças às desigualdades (4.11.1), à definição de família somável complexa (e de sua soma) e às propriedades de linearidade das séries (absolutamente) convergentes, podemos supor z n =p n em[0,). Seja(s n ) a sequência das somas parciais de p n. Fixemos n em N e um subconjuntofinitof N, ambosquaisquer. Sejamax(F)omáximodeF. Temos, s n = {1,...,n} p j N p n e p j s maxf F n=1 p n. Donde segue j=1 p n p n n=1 p n 14

15 4.17 Definição. Uma série complexa n=1z n é comutativamente convergente se para toda permutação (ou, bijeção) σ N N a série z σ(n) n=1 é convergente. Esta última série é um rearranjo da série n=1z n Teorema. Seja x n uma série real. São equivalentes: (a) A série dada é absolutamente convergente. (b) A série é comutativamente convergente [e a soma independe do rearranjo]. (a) (b) Segue do Teorema 4.16 e da propriedade comutativa para a família então somável(x n ). (b) (a). Por contradição. Suponhamos que x n converge comutativamente e x n =. Sejam p n e q n as partes positiva e negativa de x n, para todo n. Então, (p n q n ) é finita e (p n +q n )=. Segue então (trivialmente) que ambas, p n e q n, divergem. A seguir, reordenamos a série x n da seguinte forma. Na etapa 0, coletamos os primeiros termos x n 0, com soma>1. Na etapa 1, coletamos os primeiros termos estritamente negativos cuja soma com os já coletados é<0. Na etapa 2, subtraídos de N os índices já selecionados, coletamos os próximos termos x n 0 cuja soma com os já coletados é>1. Iterando, o rearranjo obtido é tal que a sequência(s n ) de suas somas parciais satisfaz S 2n >1 e S 2n+1 <0, para todo n. Logo,(S n ) diverge 15