Análise na Reta - Verão UFPA 1a lista - Números naturais; Corpos ordenados

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1 Análise na Reta - Verão UFPA 1a lista - Números naturais; Corpos ordenados A lista abaixo é formada por um subconjunto dos exercícios dos seguintes livros: Djairo G. de Figueiredo, Análise na reta Júlio S.A. Corrêa, Introdução à Análise Real Elon L. Lima, Curso de Análise, Vol. 1 Você deve encará-la como uma lista mínima, uma vez que quanto mais exercícios fizer, melhor vai ser o seu entendimento acerca dos conteúdos do curso. Os itens precedidos pelo símbolo (vídeo) são aqueles para os quais existe material adicional em vídeo. Na maior parte dos casos o exercício (ou parte dele) é resolvido no vídeo, enquanto em outros temos algum tipo de explicação que pode ser útil na resolução. O link para os vídeos podem ser encontrados no sítio: Uma última observação é que, na maior parte dos itens, você vai encontrar uma afirmação no enunciado. Nesse caso, o que você deve fazer é provar a veracidade dessa afirmação. Assim, vamos sempre que possível suprimir a expressão Mostre que. 1 Números naturais Nessa seção, e no que se segue, vamos denotar por N o conjunto dos números naturais e por s : N N a função sucessor. Lembremos que o par (N, s) satisfaz os axiomas de Peano: (P1) a função s é injetiva, isto é, dois números que têm o mesmo sucessor são iguais; (P2) N s(n) contém apenas um elemento, isto é, existe apenas um elemento de N que não é sucessor de ninguém. Esse elemento é representado pelo símbolo 1; (P3) (Princípio de Indução Finita) se X N é um subconjunto tal que 1 X e, para todo n X tem-se também s(n) X, então X = N. A maior parte das propriedades acerca dos números naturais podem ser provadas usando a propriedade (P 3) acima. Prove as que listamos abaixo. 1. A soma dos n primeiros números naturais é dada por n = n(n + 1). 2 1

2 2. (vídeo) A soma dos n primeiros quadrados é dada por n 2 = n(n + 1)(2n + 1) Para todo a 1 vale 1 + a + a a n = 1 an+1 1 a. 4. (Desigualdade de Bernoulli) Se r > 1 então, para todo n N, temos que (1 + r) n 1 + nr. 5. Se r 0 então, para todo n N, temos que (1 + r) n 1 + nr + n(n 1)r Se A é um conjunto finito denotamos por P(A) o conjunto das partes de A, isto é, o conjuntos de todos os subconjuntos de A. Mostre que, se A tem n elementos, então P(A) tem 2 n elementos. 7. Para todo n N temos que n s(n), isto é, nenhum número pode ser o sucessor dele mesmo. 8. (Princípio da Boa Ordenação) Todo subconjunto não-vazio A N possui um elemento mínimo. Dica: Para n N seja I n = {p : p N, 1 p n} e X = {n : n N, I n X A}. Supondo que 1 A e observando que X N, mostre que existe n X tal que n + 1 X. Conclua que a = n + 1 é o menor elemento de A. 9. (Segundo Princípio da Indução) Seja X N um conjunto com a seguinte propriedade: dado n N, se X contém todos os números naturais m tais que m < n, então n X. Nestas condições, X = N. Dica: Use o Princípio da Boa Ordenação. 10. (Teorema Fundamental da Aritmética) Todo número natural se decompõe, de modo único, como um produto de fatores primos. Prove que existe tal de composição. Dica: lembre que um número natural p é primo se p 1 e não existe uma decomposição p = mn com m, n N e m, n < p. 2

3 2 Corpos ordenados e números racionais 1. Explique por que as operações usuais não fazem com que o conjunto Z seja um corpo. 2. Sejam a um racional diferente de zero e x irracional. Mostre que ax e a + x são irracionais. Dê exemplo de dois números irracionais x, y tais que x + y e xy são racionais. 3. (vídeo) O número 2 não é racional. 4. Se p N é primo, então p não é racional. 5. Seja (F, +, ) um corpo cujo elemento neutro da adição é 0, e o elemento neutro damultiplicação é 1. Prove as afirmações seguintes: (a) Se 0 F é tal que x + 0 = x para todo x F, então 0 = 0. (b) Se 1 F é tal que x 1 = x para todo x F, então 1 = 1. (c) Dados a, b F, a equação a + x = b tem solução única. Se a 0, então o mesmo ocorre com a equação ax = b. (d) 0 x = 0 para todo x F. (e) 1 = 0 se, e somente se, F = {0}. 6. Com a mesma notação do exercício acima, suponha que a, b F e verifique as afirmações seguintes: (a) Se a, b F são tais que a 2 + b 2 = 0, então a = b = 0. (b) A equação a + x = b tem solução única. O mesmo ocorre para a equação ax = b, se a Nesse exercício vamos supor que (F, +, ) é um corpo ordenado. Isso significa que, além de ser um corpo, existe um conjunto P F, chamado o conjunto dos elementos positivos de F, com as seguintes propriedades: (P1) se x, y P, então x + y P e x y P ; (P2) dado x F, ocorre exatamente uma das seguintes alternativas: x = 0 ou x P ou x P Dados x, y F, escrevemos x < y se, e somente se, y x P. Para esse corpo ordenado arbitrário e essa ordem, é possível provar todas as propriedades usuais da comparação entre números racionais. Listamos algumas delas abaixo para que você exercite, sempre considerando que x, y, z F : 3

4 (a) se x < y e y < z, então x < z. (b) se x < y, então x + z < y + z. (c) se x < y e z P, então x z < y z; (d) se x < y e z P, então x z > y z; (e) se 0 < x < y e 0 < x < y, com x, y F, então x x < y y (f) se 0 < x < y, então 0 < 1 < 1. y x 3 Ínfimo e Supremo 1. O conjunto B = {x Q : x 2 < 2, x > 0} não possui supremo em Q. 2. Exiba um conjunto A Q limitado que não possui supremo nem ínfimo em Q. 3. Determine o supremo e o ínfimo do conjunto { } ( 1) n A = : n = 1, 2,. n 4. Se A R é limitado superiormente e ε > 0, então existe a ε A tal que sup A ε a ε sup A. 5. (vídeo) Se A R é limitado superiormente e existe uma cota superior α de A, com α A, então α = sup A. 6. (vídeo) Seja A R limitado e α R. Se valem as seguintes afirmações: αa = {αa : a A}, (a) se α > 0, então inf(αa) = α inf A e sup(αa) α sup A; (b) se α < 0, então inf(αa) = α sup A e sup(αa) = α inf A. 7. Se A, B R são tais que a b, sempre que a A e b B, então sup A inf B. 8. Se A B R são não-vazios e limitados então inf B inf A sup A sup B. 9. Sejam A, B R conjuntos de números positivos e defina A B = {a b : a A, b B}. Se A e B são limitados então A B é limitado com sup(a B) = sup A sup B e inf(a B) = inf A inf B. 10. Analise o exercício acima sem as hipóteses de positividade nele feitas. 4

5 4 Números reais No que segue vamos assumir que vale o seguinte: Postulado de Dedekind: positivos, tem um ínfimo. Todo subconjunto não-vazio de R, constituído de elementos 1. Se A R possui cota inferior, então A tem ínfimo. 2. Exiba um conjunto limitado que não possui supremo nem ínfimo. 3. Se B é um conjunto que tem cota superior, então sup B = inf( B), onde B = {x R : x = b, b B}. Segue que todo conjunto não-vazio que tem cota superior tem um sup. 4. Use o fato de que 2n N para todo n N para mostrar que N não é limitado superiormente. 5. Dado a > 0, existe um natural n tal que 1 n < a. 6. O corpo dos reais é arquimediando, isto é, que dados 0 < a b em R, existe n N tal que b < na. 7. Uma propriedade importante dos números racionais é que Q é denso em R, no seguinte sentido: dados quaiquer x < y em R, existe r Q tal que x < r < y. Essa propriedade está relacionada com o fato de R ser arquimediano, com ilustra os itens a seguir. (a) Usando o fato de R se arquimediano conclua que, dados x < y em R, existe n 0 N tal que 1 n 0 < y x. (b) Com o valor de n 0 acima, use a propriedade arquimediana para mostrar que o conjunto A = {m Z; y m 1 n 0 } é não vazio. Em seguida, conclua que existe m 0 = inf A, onde m 0 A. (c) Finalmente, conclua que r = m 0 1 n 0 Q é tal que x < r < y. 8. Se x R e A = {r Q : x < r}, então x = inf A. 9. Sejam A e B subconjuntos não-vazios de números reais tais que todo número real pertence a A ou B e se a A e b B, então a < b. Prove que existe um único número real x tal que todo número real menor do que x está em A e todo número real maior do que x está em B. 5

6 5 Desigualdades 1. (vídeo) Dados a, b R, as relações abaixo são válidas: (a) ab = a b ; (b) a + b a + b (desigualdade triangular); (c) a b a b 2. Faça o que se pede nos itens a seguir, relativos ao uso do valor absoluto para descrever subconjuntos da reta. (a) Descreva o conjunto A = {x R; a distância de x a 1 é menor ou igual a 4} usando o valor absoluto. (b) Descreva o conjunto B = {x R; a distância de x a 5 é menor do que 2} usando o valor absoluto. (c) Em geral, dados r R e ɛ > 0, use o valor absoluto para descrever o conjunto C = {x R; a distância de x a r é menor do que ɛ}. (d) Descreva o conjunto D = {x R; 3x + 2 4} sem usar o valor absoluto. (e) Descreva o conjunto E = {x R; x 2 < x 6 } sem usar o valor absoluto. 3. Descreva geometricamente o conjunto {x R : x 2 a 2 }, considerando os vários casos possíveis para o parâmetro a R. 4. Se x 1, então x Se a < x < b, então x < a + b. 6. Se x, y R, então x + y = x + y se, e somente se, xy 0. 6