Princípio de Análise Exercícios de Matemática

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1 Princípio de Análise Exercícios de Matemática David Armando Zavaleta Villanueva Durante a elaboração deste trabalho o autor recebeu auxílio financeiro da FAPERN.

2 Prefácio Estas notas foram escritas durante os dois anos de experiência lecionando a disciplina análise para o curso de bacharelado em matemárica no departamento de Matemática da UFRN. A publicação desta apostila foi financiada totalmente pela FAPERN.

3 Sumário Introdução 5 Preinares 6. Elementos da Teoria de Conjuntos Definições Principais Operações sobre Conjuntos Produto Cartesiano Conjuntos Finitos e Infinitos Conjuntos Enumerávies Funções Números Reais 4 3. Números Naturais Números Inteiros Números Racionais Supremo e Ínfimo de um Conjunto em Q Números Reais Números irracionais Propriedade Arquimediana Valor Absoluto de um Número Real Intervalos R não é Enumerável Sequências e Séries Numéricas 8 4. Progressão Aritmética Progressão Geométrica Definição de Sequências Numéricas Sequências Monótonas Limite de uma Sequência Operações com Sequências Existência do Limite de uma Sequência Monótona Limitada O número e Critério de Cauchy para a Existência do Limite Teorema de Weierstrass Séries Numéricas Definições Básicas Operações com Séries

4 4..3 Séries com Termos Positivos. Critérios de Convergência Séries Alternadas. Teorema de Leibnitz Funções e suas Propriedades Conceitos Básicos Função Inversa Função Composta Algumas Funções Elementares Função Par e Função Ímpar Função Limitada Propriedades das Funções Limitadas Funções Monótonas Máximos e Mínimos de uma Função Funções Periódicas Funções Convexas Propriedades das Funções Convexas Gráficos de Funções Propriedades e Gráfico das Funções Elementares Métodos Simples para Construir os gráficos das funções Transformação do Gráfico da Função y = f(x) Gráfico de Funções mais Complexas Topologia na Reta 7. Conjuntos Abertos Conjuntos Fechados Pontos de Acumulação Conjuntos Compactos Limite de uma Função. Continuidade de uma Função 8 8. Limite de uma Função Propriedades dos Limites das Funções Limites Infinitos Limites no Infinito Funções Contínuas Principais Teoremas sobre Funções Contínuas propriedades das Funções Contínuas num Intervalo Derivada e suas aplicações Definição da Derivada Principais Regras para Calcular a Derivada Interpretação Geométrica da Derivada Derivada das Funções Compostas e Inversas Tabela das Derivadas e Exemplos Análise das Funções e Construção de Gráficos Construção de Gráficos Formas Indeterminadas 0 0,

5 9.8 Aplicações da Derivada Integral e suas Aplicações Definição da Integral Somas de Darboux Relação entre a Integral Definida e a Integral Indefinida Propriedades da Integral Indefinida Tabela das Integrais Elementares Regra de Integração por Partes Regra de Mudança de Variáveis Propriedades da Integral Definida das Funções Contínuas Teorema do Valor Médio para Integrais O Teorema Fundamental do Cálculo Regra de Mudança de Variáveis Regra de Integração por Partes Aplicações da Integral definida Cálculo de Áreas Comprimento de Arco Cálculo de Volumes Referências Bibliográficas 80 4

6 Capítulo Introdução Este livro será um verdadeiro ajudante para resolver alguns problemas de análise. Ele foi escrito fundamentado na experiência do ensino da disciplina de análise do curso de bacharelado em matemática da UFRN. No começo de cada capítulo damos as definições necessárias e uma breve teoria. O material teórico ilustra-se com um grande número de exemplos e problemas de diferentes dificuldades. No possível, os tipos de problema e metódos de sua solução são sistematizados. Em Cada final de capítulo propoem-se exercícios que podem ser resolvidos usando os métodos apresentados anteriormente. 5

7 Capítulo Preinares. Elementos da Teoria de Conjuntos.. Definições Principais A definição de conjunto desempenha um papel importante na matemática. A idéia de conjunto é intuitiva e tão amplia que resulta difícil dar uma definição exata, motivo pela qual, é comum associar a palavra conjunto com expresões como coleção, classe, sistema,etc. Designemos os conjuntos com letras maiúsculas: A, B, C,... e seus elementos com letras minúsculas:a, b, c,.... Dizer que o elemento a pertence ao conjunto A, denotamos por a A, se o elemento a não pertence ao conjunto A, denotamos por a / A. Definição.. Dizemos que um conjunto A é subconjunto de B ou A é parte de B quando todos os elementos que pertencem a A, também pertencem a B(não esta excluido o caso A = B). A notação que usamos para dizer que A é subconjunto de B é A B. conjuntos A e B são iguais se; Dizemos que dois A = B A B e B A É muito conveniente introduzir um conjunto que não possua nenhum elemento, que denotaremos por. Assim por exemplo o conjunto, cujos elementos x R satisfazem + x = 0 é um um conjunto vazio, pois não existe nenhum número real que satisfaza a equação + x = 0. O conjunto vazio é um subconjunto de qualquer conjunto... Operações sobre Conjuntos Admitamos a existência de um a um conjunto universo U, isto é, o conjunto que contenha todos os conjuntos arbitrários com os quais desejamos trabalhar.. Reunião de Conjuntos Sejam A e B dois conjuntos arbitrários; chama-se reunião de A e B, A B ao conjunto formado pelos elementos que pertencem pelo menos a um dos conjuntos A ou B. Em notação matemática podemos escrever a reunião de A e B como sendo o conjunto A B = {x U; x A ou x B}. 6

8 A B A U B Analogamente podemos definir a reunião de qualquer número (finito ou infinito) de conjuntos; se A α, α I, onde I =,, 3,... são conjuntos arbitrários, então α I A α é a coleção de elementos, cada um dos quais pertence ao menos a um dos conjuntos A α.. Interseção de Conjuntos Sejam A e B dois conjuntos arbitrários; chama-se interseção de A e B, A B ao conjunto formado pelos elementos que pertencem tanto ao conjunto A como ao conjunto B. Em notação matemática podemos escrever a interseção de A e B como sendo o conjunto A B = {x U; x A e x B}. Analogamente podemos definir a interseção de qualquer número (finito ou infinito) de conjuntos; se A α, α I, onde I =,, 3,... são conjuntos arbitrários, então α I A α é a coleção de elementos, cada um dos quais pertence aos conjuntos A α. Uma noção importante na interseção de conjuntos é a definição de conjuntos disjuntos: Diz-se que dois conjuntos A e B são conjuntos disjuntos quando sua interseção é vazia, ou de outra forma A B =. Evidentemente, podemos estender esta definição para uma família de conjuntos disjuntos: Uma família de conjuntos A α é dita de conjuntos disjuntos se α I A α =. 3. Diferença de dois Conjuntos Sejam A e B dois conjuntos arbitrários; chama-se diferença de A e B, A\B ao conjunto formado pelos elementos que pertencem ao conjunto A mas não pertencem ao conjunto B. Em notação matemática podemos escrever a diferença de A e B como sendo o conjunto A\B = {x U; x A e x / B}. É conveniente introduzir também a chamada diferença simétrica de dois conjuntos. Sejam A e B dois conjuntos arbitrários; chama-se diferença simétrica de A e B, A B ao conjunto 7

9 A B Figura.: A B A B Figura.: A\B 8

10 formado pelo união das diferenças A\B e B\A. Em notação matemática podemos escrever a diferença simétrica de A e B como sendo o conjunto A B = (A\B) (B\A). A B Figura.3: A B 4. Complementar de um Conjunto Seja A um conjunto arbitrário. O complementar de A, A é o conjunto diferença U\A. No caso do complementar entre dois conjuntos, definimos da seguinte forma; Sejam A e B dois conjuntos tais que A B; chama-se conjunto complementar de A em B, C A B definido por B\A = C A B. Na teoria dos conjuntos e suas aplicações desempenha uma ferramenta muito importante o chamado Príncipio de Dualidade ou Leis de De Morgan que se baseiam nas seguintes afirmações: O complementar da reunião é igual a interseção dos complementares ( ) A α = (A α ). α α O complementar da interseção é igual a união dos complementares ( ) A α = (A α ). α α 9

11 ..3 Produto Cartesiano Pelo conceito de igualdade de conjuntos, a ordem em que os elementos de um conjunto são enumerados não é muito importante, por exemplo os conjuntos {, 5, 7} e {5, 7, } são iguais. Entretanto há alguns casos em matemática em que a ordem dos elementos é importante. Um desses conceitos é o denominado par ordenado. Definição.. Dados dois elementos a e b. O par ordenado (a, b) é definido quando fica determinado que a será o primeiro elemento e b o segundo elemento. Por exemplo em Geometria Analítica o par ordenado (, 5) indica que é a primeira coordenada e 5 a segunda coordenada, e é diferente do par ordenado (5, ). Dois pares ordenados (a, b) e (c, d) são iguais quando; (a, b) = (c, d) a = c e b = d. Definição..3 Sejam A e B dois conjuntos. O produto cartesiano dos conjuntos A e B é o conjunto A B definido como A B = {(a, b); a A e b B}. Exemplo. Consideremos os conjuntos A = {, 5, 8} e B = {3, 9}. Teremos então; A B = {(, 3), (, 9), 5, 3), (5, 9), (8, 3), (8, 9)}...4 Conjuntos Finitos e Infinitos Quando consideramos diferentes conjuntos, podemos determinar seus elementos ou indicar a propriedade que satisfazem seus elementos, assim, em alguns casos podemos indicar o número de elementos que compoem o conjunto. Por exemplo, o conjunto dos alunos da disciplina de análise da UFRN, o conjunto dos sortudos da loteria federal, o conjunto dos campeões mundias de futebol, etc. Todos estes exemplos são conjuntos finitos. Podemos comparar entre si dois conjuntos finitos da seguinte forma; contamos os elementos do primeiro conjunto e o comparamos com os elementos do segundo conjunto. No caso de ser igual o número de elementos dos dois conjuntos, podemos estabelecer uma correspondência biunívoca, isto é, estabelecer uma correspondência que asigne a cada elemento de um conjunto um elemento e somente um elemento do outro ou visceversa. Por exemplo, para verificar se o número de ciclistas e o número de bicicletas é igual, podemos sem contar o número de ciclistas e bicicletas sentar cada ciclista em uma bicicleta determinada. Se todos os ciclistas estão sentados em sua respectiva bicicleta e não há bicicleta sobrando, então estabelecemos uma correspondência biunívoca entre estes dois conjuntos, e isto significa que eles têm o mesmo número de elementos. Dizemos que um conjunto é infinito quando nunca paramos de contar seus elementos ou quando ele não é finito. Assim, dado um conjunto finito arbitrário A, dizemos que B é infinito se não existe uma correspondência biunívoca entre A e B. Exemplos de conjuntos infinitos podem ser o conjunto de retas no plano, o conjunto de polinômios com coeficientes racionáis, o conjunto de pontos entre a linha AB, etc. Proposição.. Todo subconjunto de um conjunto finito é finito. 0

12 Prova: Sejam A o conjunto finito e B um subconjunto qualquer de A, B A. Suponhamos A, caso contrário, B, pois o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto. Mas como B A ou A, segue que B = e B é finito. Como A é finito, podemos contar seus elementos, isto é, podemos estabelecer uma correspondência biunívoca com o conjunto {,,..., n}, e como B A, existe uma correspondência biunívoca entre o conjunto B e o conjunto {l, l,..., l k }, onde k =,,..., n. Assim, B é finito...5 Conjuntos Enumerávies Seja N o conjunto dos números naturais. É fácil de ver, que se o conjunto A é finito, então é enumerável, pois podemos escrever A como A = {a, a,..., a n }. Em geral, dizemos que um conjunto é enumerável se existe uma correspondência biunívoca entre ele e o conjunto dos números naturais. Em otras palavras, um conjunto enumerável é um conjunto cujos elementos podemos escrever como uma sequência, a, a,..., a n,.... Enunciemos algumas propriedades gerais dos conjuntos enumeráveis. Proposição.. Todo subconjunto de um conjunto enumerável é finito ou enumerável. Prova: Sejam A um conjunto enumerável e B um subconjunto qualquer de A. Podemos escrever A como A = {a, a,..., a n,...}. E seja B = {a n, a n, a n3,...}. Se o máximo dos n k é um número finito, dizemos que o conjunto B é finito e portanto enumerável. Caso contrário, dizemos que B é enumerável. Proposição..3 A união de qualquer família de conjuntos enumeráveis é enumerável. Prova: Seja A α, α =,, 3,..., uma família de conjuntos enumeráveis disjuntos dois a dois, pois, caso contrário podemos considerar os conjuntos A, A \A, A 3 \(A A ),... cuja união é igual á α A α. Como os A α são enumeráveis, então podemos escrever; A = {a, a,..., a n,...} A = {a, a,..., a n,...} A 3 = {a 3, a 3,..., a 3n,...}. A n = {a n, a n,..., a nn,...}. Agora passemos a enumerar todos os elementos da união α A α em diagonais da seguinte forma; Tomemos o primeiro elemento a, o segundo elemento a, o terceiro elemento a, o quarto elemento a 3, etc., seguindo o sentido das setas que indicam o seguinte gráfico; Desta forma, cada elemento de cada conjunto estará em correspondência com um número natural determinado, assim fica estabelecido uma correspondência viunívoca entre α A α e o conjunto dos números naturais. Para uma maior vizualização, podemos escrever α A α, como. A α = {a, a, a, a 3, a, a 3,...} α

13 a a a a 3 4 a 5 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a. Funções No análise, o conceito de função é introduzido da seguinte maneira: Sejam A e B dois conjuntos arbitrários. Diz-se que no conjunto A está definida uma função f com valores em B se a cada elemento x A corresponde um, e somente um elemento y B. A notação que usaremos para denotar que f é uma função de A em B é a seguinte; f : A B x f(x) a notação x f(x) é para indicar que f faz corresponder o elemento x ao elemento f(x). Definição.. O conjunto A chama-se domínio da função e o conjunto B chama-se contradomínio da função e os definiremos como D f = {x A; f(x) = y para algúm y B} e respectivamente. Im(f) = {y B; x A tal que f(x) = y} Definição.. Uma função f : A B chama-se injetiva se verificamos o seguinte: dados x, y A, f(x) = f(y) segue que x = y. Definição..3 Uma função f : A B chama-se sobrejetiva se verificamos que Im(f) = B, ou em outras palavras, para todo y B existe pelo menos um x A, tal que f(x) = y. É conveniente fazer o seguinte esclarecimento. Diz-se que f é uma função do conjunto A sobre o conjunto B se f(a) = B; no caso geral, quando f(a) B, dizemos que f é uma função de A em B. Definição..4 Uma função f : A B chama-se bijetiva quando é simultaneamente injetiva e sobrejetiva.

14 No capítulo 5 faremos um estudo mais profundo sobre funções. A pequena introdução feita acima será útil para mostrar algumas propriedades dos números naturais, inteiros, racionais e reais. 3

15 Capítulo 3 Números Reais 3. Números Naturais Nesta seção estabeleceremos a definição de número natural. Suponhamos a existência de um conjunto não vazio N, chamado de números naturais, para o qual valem os seguintes axiomas de Peano:. é um número natural. Cada número natural n possui um único sucessor, que denotaremos por n, n = n O número natural não é sucessor de nenhum outro número natural, n. 4. Se n e s são números naturais tais que n = s, então n = s. 5. Princípio de Indução Seja A(n) uma afirmação sobre n N, que cumpra as seguintes condições: A() é verdadeira, isto é, a afirmação vale quando n = Se A(k) é verdadeira, então A(k+) é verdadeira, isto é, supondo que a afirmação vale para n = k arbitrário, então é possível provar qua a afirmação vale para n = k +. Nestas condições a afirmação A(n) é verdadeira para qualquer n N. Observação 3.. Para todo n N, n. Definem-se em N duas operações: Adição (+) e Multiplicação ( ). Estas duas operações satisfazem as seguintes propriedades: Comutatividade: Sejam n, m N, então n + m = m + n, e n m = m n. 4

16 Associatividade: Sejam n, m, s N, então n + (m + s) = (n + m) + s, e n(m s) = (n m)s. Lei do corte: Sejam n, m, s N, se n + s = m + s, então n = s, n s = m s, então n = m. Distributibidade: Sejam n, m, s N, então n (m + s) = n m + n s. Usemos o príncipio de indução para mostrar a veracidade de algumas fórmulas que aparecem no conjunto dos números naturais N. Exemplo 3. Verifique a seguinte fórmula Prova: n (n + ) = Escrevamos os termos n (n + ) da seguinte forma: n, n N. n + =, 3 = 3, 3 4 = 3 4,..., n n (n + ) = n n +. Então, ( n (n + ) = = ) ( + ) ( ) ( n ) n + = n + = n n +. Usemos indução para provar a fórmula acima. Seja P (n) a afirmação n (n + ) = A proposição vale para n =, isto é, P () é verdadeira, n, n N. n + = +. Suponhamos que a afirmação P (k) é verdadeira, e mostremos que P (k + ) é verdadeiro. De fato, k (k + ) + (k + ) (k + ) = = k k + + = (k + ) (k + ) (k + ) (k + ) (k + ) = k + k +. 5

17 Logo P (n) é verdadeira para todo n N. Exemplo 3. Seja P (n) a seguinte afirmação, n 3 n é múltiplo de três, n N. Prova: Apliquemos de novo o método de indução. A proposição vale para n =, isto é, P () é verdadeira, 3 = 0 é múltiplo de 3. Suponhamos que a afirmação P (k) é verdadeira, e mostremos que P (k + ) é verdadeiro. De fato, (k + ) 3 (k + ) = k 3 + 3k + 3k + k = k 3 + 3k + k = k 3 + 3k k + 3k = k 3 k + 3(k + k), como k 3 k é multiplo de três e 3(k + k) também, então a soma de dois múltiplos de três também é múltiplo de três. Logo P (n) é verdadeira para todo n N. Exemplo 3.3 Seja P (n) a seguinte afirmação, Prova: Por indução, temos n = n(n + ) n N. A proposição vale para n =, isto é, P () é verdadeira, = ( + ) Suponhamos que a afirmação P (k) é verdadeira, e mostremos que P (k + ) é verdadeiro. De fato, k(k + ) k + (k + ) = + (k + ) k(k + ) + (k + ) = (k + )[k + ] = (k + )[(k + ) + ] =. Logo P (n) é verdadeira para todo n N. Exemplo 3.4 Seja P (n) a seguinte afirmação, n > n, n 5. Prova: Por indução, temos 6

18 A proposição vale para n = 5, isto é, P (5) é verdadeira, 5 = 3 > 5 = 5. Suponhamos que a afirmação P (k) é verdadeira, e mostremos que P (k + ) é verdadeiro, isto é, k+ > (k + ). De fato, escrevendo k+ = k > k, basta provar que Assim, que vale para k 5. k (k + ). k (k + ) = k + k + k k + k k + (k ) Logo P (n) é verdadeira para todo n N. Teorema 3.. N é fechado com relação a adição. Prova: dizer que N é fechado com relação a adição, significa que n, m N, n + m N. Consideremos o seguinte conjunto, M = {n N; n + m N, m N}. Usemos o príncipio de indução para mostrar o teorema. De fato, observamos que N, pois m + N desde que m N. Suponhamos que n N. Então mostremos que para m N, temos n + m N. assim, n + M e isto mostra que M = N. (n + ) + m = + (n + m) = (n + m) + N, Teorema 3.. N é fechado com relação a multiplicação. Prova: Consideremos o seguinte conjunto, M = {n N; nm N, m N}. Usemos o príncipio de indução para mostrar o teorema. De fato, observamos que N, pois m = m N desde que m N. Suponhamos que n N e fixemos m N. Então mostremos que nm N. (n + )m = mn + m, como n M, nm N e pela fechadura da adição em N, temos que nm + N, assim, n + M e isto mostra que M = N. Definimos no conjunto N a relação < da seguinte forma: Dados dois números naturais n, m, a desigualdade n < m significa que existe s N tal que n + s = m. Dizemos neste caso que n é menor que m. Quando escrevemos n m significa que n < m ou n = m. Esta relação de ordem têm as seguintes propriedades: 7

19 . Tricotomia: Dados n, m N, vale uma e somente uma, das seguintes afirmações: n = m, ou n < m, ou m < n.. Monotonicidade: Dados n, m, s N e n < m, então n + s < m + s e sn < sm. 3. Transitividade: Dados n, m, s N e n < m, m < s, então n < s. A relação de ordem também possui uma propriedade muito importante, chamada princípio da boa ordenação, Propriedade da boa ordenação. Todo subconjunto não vazio de N possui um menor elemento, isto significa que se M N é um conjunto, existe m o M tal que m o m para todo m M. O sistema dos números naturais apresenta uma deficiência natural: dada uma equação da forma m + x = n com n, m N, esta equação não sempre possui uma solução em N. Por exemplo a equação 4 + x = 9 tem como solução x = 5 N, mas, a equação 6 + x = 4 não tem solução no conjunto dos números naturais. 3. Números Inteiros Nem sempre equações da forma n + x = m possuem solução em N dados n, m N. Esta dificuldade pode ser resolvida se ampliarmos o conjunto dos naturais N para um conjunto maior onde possamos resolver equações do tipo acima. Assim, podemos construir o conjunto dos números inteiros Z como o conjunto que contém o conjunto dos números naturais, e no qual estão definidas as operações de adição e multiplicação herdadas de N. Além disto: Z possui um elemento neutro chamado zero, que denotaremos por 0, com a seguinte propriedade, n + 0 = 0 + n = n, n Z. Toda equação da forma n + x = m admite uma única solução em Z, para quaisquer n, m Z. Como antes, o elemento N é o elemento neutro com relação a multiplicação em Z, isto é, dado m Z, m = m = m. Assim podemos entender o conjunto dos inteiros como sendo Z = N {0} ( N), ou seja, Z = N N = {n m; n, m N} = {..., 3,,, 0,,, 3,...}. Proposição 3.. O conjunto dos números inteiros Z é enumerável. Prova: Basta estabelecer uma correspondência entre todos os números inteiros e todos os números naturais. Por exemplo, o seguinte esquema estabelece essa correspondência;

20 Em geral, podemos escrever explicitamente essa correspondência como uma função f : Z N bijetora da seguinte forma; { n +, se n 0, f(n) = n, se n < 0. O sistema dos números inteiros apresenta uma deficiência óbvia; dada uma equação da forma mx = n com n, m Z, não sempre possui uma solução em Z. Por exemplo a equação 3x = 9 tem como solução x = 3 Z, mas, a equação 6x = 4 não tem solução no conjunto dos números inteiros. 3.3 Números Racionais Como vimos na seção anterior, nem sempre equações da forma nx = m possuem solução em Z dados n, m Z. Esta dificuldade pode ser suprida se ampliarmos o conjunto dos inteiros Z para um conjunto maior onde possamos resolver equações do tipo acima. Assim, podemos construir o conjunto dos números racionais Q como o conjunto que contém o conjunto dos números inteiros, isto é, Q = { m ; m, n Z, n 0}. n Uma fração da forma m/ pode ser identificada com o inteiro m. Esta identificação, permite dizer que Q contém Z como um subconjunto próprio, isto é, N Z Q. Definimos as operações de adição, multiplicação e igualdade em Q da seguinte forma: Adição: m n + s t multiplicação: Igualdade: ms + nt =, n 0, t 0. nt m n s t = ms, n 0, t 0. nt m n = s t mt = ns, n 0, t 0. Além de satisfazer as propriedades associativa, comutativa e existência dos elementos neutros (0 para a adição e para a multiplicação), Q satisfaz as propriedades de existência do elemento inverso aditivo e do inverso multiplicativo, isto é, se p Q, então p Q, e /p Q com, p + ( p) = 0, p(/p) =. Podemos definir um subconjunto Q + em Q como sendo, Q + = { m ; mn N}, n isto é o subconjunto dos racionais positivos. Este conjunto possui as seguintes propriedades:. Q + é fechado com relação as operações de adição e multiplicação em Q, isto é, p, q Q +, então p + q, pq Q +. 9

21 . Dado p Q, temos que uma das afirmações a seguir é verdadeira: ou p = 0 ou p Q + ou p Q +. A relação de ordem < introduzida em Q : p < q se q p Q +, generaliza a relação de ordem introduzida em Z que por sua vez generalizou a relação de ordem introduzida em N. Teorema 3.3. O conjunto Q é fechado com relação as operações de adição e multiplicação. Q, munido das operações de adição e multiplicação e satisfazendo os axiomas da relação de ordem constitui um corpo ordenado. A seguir mostremos três propriedades importantes de Q. Proposição 3.3. Se p e q são números racionais, tais que p < q, então podemos encontrar infinitos números racionais entr e p e q. Prova Sendo p < q, podemos escolher um número racional r = q p, onde n N. Os n números racionais p + r, p + r,..., p + (n )r estão entre p e q, e como n é um número natural qualquer, segue a afirmação. Em particular se n =, temos p < p + q < q. Proposição 3.3. (Propriedae Arquimediana de Q) Se p e q são dois números racionais positivos, existe um inteiro positivo n tal que np > q. Prova: Sejam p = m r e q = s Suponhamos que m, r, s, t sejam maiores ou iguais a, pois p t e q são positivos. Segue, então que mt ou mt >. Multiplicando esta desigualdade por rs, temos, mtrs > rs. Reescrevendo esta desigualdade por (rs)p > q, e considerando n = rs, obtemos np > q. Proposição O conjunto dos números racionais Q é enumerável. Prova: Seja α = p, q > 0 um número racional arbitrário. Para evitar números repetidos q digamos que α seja irredutível. Chamaremos de altura do número racional α a soma p +q. Da definição de altura, observamos que o número de frações de altura dada é finita. Por exemplo a altura 3 têm 4 frações:,,,. Agora podemos organizar todos os números racionais segundo sua altura, isto é, primeiro os números de altura, depois os números de altura, etc. Desta forma cada número racional possui seu número, e isto significa que está estabelecida uma correspondência biunívoca entre N e o conjunto dos números racionais Q. 0

22 3.3. Supremo e Ínfimo de um Conjunto em Q Para mostrar algumas deficiências algébricas do conjunto Q dos números racionais, introduziremos algumas definições. Definição 3.3. Um subconjunto E de Q é dito itado se existe um número positivo M tal que M < x < M para todo x E. Se para qualquer número positivo M, existe x o E tal que x o > M, então dizemos que o conjunto E é iitado. Definição 3.3. Um subconjunto E de Q é dito itado superiormente se existe um número M tal que x M para todo x E. Um número M nas condições da definição anterior chama-se cota superior. maiores que M também são cotas superiores para E. É claro que números Definição Um subconjunto E de Q é dito itado inferiormente se existe um número K tal que x K para todo x E. Um número K nas condições da definição anterior chama-se cota inferior. É claro que números menores que K também são cotas inferiores para E. É evidente que um conjunto itado E Q é simultaneamente itado inferiormente e superiormente. Definição Diz-se que α Q é um elemento mínimo(máximo) de E Q se é uma cota inferior(superior) e além disso α E. Definição Diz-se que o número β Q é o supremo de um conjunto itado superiormente E Q se é a menor das cotas superiores e além disso esse mínimo existe. Em outras palavras, β = sup E satisfaz,. β é uma cota superior para E, e. Se σ é outra cota superior para E, então β σ. Esta segunda condição pode ser substituida por; (a) Se dado ε > 0 arbitrário, então existe x E tal que β ɛ < x. É de verificação imediata de que o supremo de um conjunto itado superiormente, quando existe é único, isto é, Proposição Se um conjunto E Q é tado superiormente e possui supremo, ele é único. Prova: Sejam β e β dois supremos de E. Para qualquer ε > 0 obtem-se de (a) que β ε < x para algum x E. E por definição de supremo, x β, então β ε < β, isto é, β < β + ε. Isto significa que β β. De maneira análoga, trocando β e β, obtemos β β. Portanto β = β. Analogamente define-se ínfimo de um subconjunto itado inferiormente de Q.

23 Definição Diz-se que o número α Q é o ínfimo de um conjunto itado inferiormente E Q se é a maior das cotas inferiores e além disso esse máximo existe. Em outras palavras, α = inf E satisfaz,. α é uma cota inferior para E, e. Se σ é outra cota inferior para E, então α σ. Esta segunda condição pode ser substituida por; (a) Se dado ε > 0 arbitrário, então existe x E tal que β + ɛ > x. É de verificação imediata de que o ínfimomo de um conjunto itado inferiormente, quando existe é único, isto é, Proposição Se um conjunto E Q é tado inferiormente e possui ínfimo, ele é único. Uma deficiência grande do corpo dos racionais é dada pela seguinte afirmação, Proposição Não existe um número racional cujo quadrado seja igual a. Prova: Seja r = p q Q, onde p e q são primos entre si, isto é MDC(p, q) =. Suponhamos que ( ) p =, então p = q. Como todo número racional multiplicado por é par, resulta que p q é par, logo p é par e podemos escrever p = k, k Z. Portanto, de p = (k) = k = q, segue que k = q. Daqui concluimos que q é par. Absurdo, pois p e q são números primos. Portanto não existe r Q tal que r = O seguinte exemplo também explicita uma outra deficiência dos numéros racionais. Trata-se de um conjunto E Q que é itado superiormente mas não possui supremo e de um conjunto F Q que é itado inferiormente mas não possui ínfimo []. Exemplo Números Reais E = {x Q; x > 0 e x < } E = {y Q; y > 0 e y > } Já vimos na seção anterior duas deficiências do corpo dos racionais: não existe um racional cujo quadrado seja igual a e existem conjuntos itados superiormente que não possuem supremo e conjuntos itados inferiormente que não possuem ínfimo. Vamos supor a existência de um corpo ordenado que contenha propriamente Q, chamado de corpo dos números reais R, para o qual vale o seguinte resultado, conhecido como cortes de Dedekind []. Teorema 3.4. Se o conjunto R dos números reais é dividido em dois conjuntos não vazios disjuntos, isto é, R = A B, A B = tais que, todo a A é menor que qualquer b B, então ou existe um número c que é o maior entre os números pertencentes a A e B não tem menor elemento, ou existe um número c que é o menor entre todos os números prtencentes a B, e A não tem maior elemento.

24 Uma forma equivalente de expresar o teorema anterior é a afirmação seguinte; Teorema 3.4. Todo subconjunto E R itado superiormente(inferiormente) pelo número M(m), possui supremo(ínfimo). Um corpo ordenado para o qual vale o teorema anterior, chama-se corpo ordenado completo. Assim R é um corpo ordenado completo Números irracionais Definição 3.4. Um número chama-se irracional se não é racional. A notação que usamos para denotar os irracionais é R\Q. Como Q e R\Q são disjuntos, temos que R = Q R\Q. Na seção anterior vimos que é um número irracional. Existem infinitos números irracionais, entre eles os mais famosos, o número π e o número neperiano e, etc. Teorema Se p é um número primo positivo, então p é irracional. Prova: Vamos supor que p não seja irrational. Então p = m com MDC(m, n) =. ( n m ) Elevando ao quadrado, temos p =, ou seja n p = m. Como m e n são primos entre n si, segue que p m (p divide m ) e portanto p m, ou seja m = pl. Substituindo m na igualdade acima, temos n p = p l e simplificando obtemos n = pl. Isto significa que p n, portanto p n. Segue portanto que p é um fator comum dos números m e n. Absurdo, pois MDC(m, n) =. E isto mostra que p é irracional Propriedade Arquimediana A Propriedade Arquimediana apresentada nos números racionais também vale para o corpo dos reais. Teorema Sejam a, b R com a > 0, então existe um n N tal que na > b. Prova: Vamos supor que an > b é falsa para algum n N, isto é, na b para todo n N. Consideremos o seguinte conjunto E, E = {na; n N}. É óbvio que este conjunto é itado superiormente, pela completeça de R existe o supremo de E, digamos α = sup E, ou seja na α para todo n N. Pelo fato de N ser infinito, temos n N, segue que (n + ) N, e portanto, (n + )a α segue na α a n N. Mas, α a < α também é uma cota superior para E, ou que contradiz o fato que na b para todo n N. Agora estabeleceremos duas propriedades importantes do R: Q e R\Q os conjuntos dos racionais e irracionais respectivamente são conjuntos densos em R. 3

25 Proposição 3.4. (Densidade dos Racionais em R) Sejam a e b dois números reais arbitrários com a < b, então existe um s Q tal que a < s < b. Prova: Proposição 3.4. (Densidade dos Irracionais em R) Sejam a e b dois números reais arbitrários com a < b, então existe um ξ R\Q tal que a < ξ < b. Prova: Sejam a e b os números reais arbitrários com a < b. Então a 3 < b 3. Observamos que a 3 e b 3 são reais, então pela proposição anterior, existe um s Q tal que a 3 < s < b 3, ou a < s + 3 < b. Escrevendo ξ = s + 3, temos a < ξ < b Valor Absoluto de um Número Real A relação de ordem definida em Q e estandida para R permite definir o valor absoluto ou módulo de um número x R, como sendo, { x, se x 0 x = x, se x < 0 Em outras palavras, x = max{x, x}. Exemplo 3.6 Se x =, x = ; Se x = 7, x = 7 = ( 7) = 7. Uma consequência imediata da definição de módulo de um número é a seguinte afirmação Lema 3.4. para qualquer número real x, vale a seguinte relação: Prova: Analizemos dois casos; x x x.. Suponha que x 0. Então x = x 0 e x 0, e portanto x x x.. Suponha que x < 0. Então x 0 e x < x. Como x = x ou x = x, segue que; x x x. Mais geralmente, podemos observar que a desigualdade é equivalente as duas desigualdades Portanto a desigualdade é equivalente as duas desigualdades x < ε ε < x < ε, x, ε R. x y < ε y ε < x < y + ε, x, y, ε R. O valor absoluto de um número real satisfaz as seguintes propriedades: 4

26 Teorema Para números reais arbitrários x, y, temos. x 0, para todo x, e x = 0 x = 0.. xy = x y e x x = se y 0. y y 3. x + y x + y (desigualdade triangular). 4. x y x y. Prova:. Se x 0 então x = x, se x < 0, então x = x > 0. Em ambos casos x 0. Se x = 0, x = x = 0 por definição. Se x 0, então x < 0 ou x > 0. Se x < 0, então x = x > 0, se x > 0, x = x > 0. Nestes dois casos temos x 0.. Se um dos x ou y for nulo a igualdade na multiplicação é óbvia. Suponhamos que x, y 0. Analizemos três casos: (a) x > 0 e y > 0; então x = x e y = y, logo xy = xy = x y. (b) x > 0 e y < 0; então x = x e y = y, logo xy = x( y) = x y. (c) x < 0 e y < 0; então x = x e y = y, logo Para mostrar que x x = y y, escrevamos x y anterior, temos 3. Como também teremos então xy = ( x)( y) = x y. x = yz = y z, donde z = x y x x x, y y y, ( x + y ) x + y x + y. Usando a forma equivalente destas desigualdades, obtemos x + y x + y. = z, então x = y z. Usando o resultado ou x x = y y. 5

27 4. Escrevamos x da seguinte forma; x = x y + y x y + y pela desigualdade triangular. Assim De forma similar, obtemos x y x y. y x x y, ou ( x y ) x y. Por definição, x y é um dos números x y ou ( x y ), em ambos casos Intervalos x y x y. Vamos a definir agora uma classe de subconjuntos de R, chamados de intervalos itados. Dados c, d R com c < d (c, d) = {x R; c < x < d} [c, d) = {x R; c x < d} (c, d] = {x R; c < x d} [c, d] = {x R; c x d} Introduziremos os simbolos + e para indicar mais infinito e menos infinito respectivamente. Assim o proprio R é considerado como um intervalo da forma (, + ). Definição 3.4. Chamamos de extensão de R ao conjunto R formado por R, + e. Em R temos as seguintes operações:. se x R, temos x + (+ ) = + x + ( ) =, x + (+ ) = x ( ) = +.. Se x > 0, 3. Se x < 0, x (+ ) = +, x (+ ) =, x ( ) =. x ( ) = (+ ) + (+ ) = (+ ) (+ ) = ( ) ( ) = +. ( ) + ( ) = (+ ) ( ) =. Agora estamos em condições de definir intervalos infinitos: (, c) = {x R; x < c} (, c] = {x R; x c} (c, + ) = {x R; x > c} [c, + ) = {x R; x c} 6

28 3.4.5 R não é Enumerável Já foi mostrado que Q é enumerável, mas no entanto o corpo R não é enumerável. Teorema O conjunto dos números reais não é enumerável. Prova: É suficiente mostrar que o intervalo aberto (0, ) R não é enumerável. Suponhamos que exista uma enumeração(lista) de todos os números reais α, pertencentes ao intervalo (0, ), ou seja; (0, ) = {α, α,..., α n,...}, α = 0, a a a 3... a n..., α = 0, a a a 3... a n..., α 3 = 0, a 3 a 3 a a 3n...,. =. α n = 0, a n a n a n3... a nn...,. =. onde os a ik é a k ésima cifra decimal do número α i. Vamos mostrar que existe ao menos um elemento β (0, ) da forma, β = 0, b b b 3... b n... que não pertence a lista acima. De fato, o número β é construido da seguinte maneira: b é um algorismo diferente de a ; b é diferente de a, etc., em geral b n é diferente de a nn. Assim a fração β é diferente do número α, pois os diferem ao menos no primeiro termo de sua representação decimal, também difere de α no segundo termo de sua representação decimal, etc., etc. Em geral, como b n a nn, para todo n, a fração β α i. Daqui segue que nenhuma lista de números reais pode enumerar (0, ). Como um subconjunto de R o intervalo (0, ) não é enumerável, segue que R não é enumerável. Corolário 3.4. O conjunto dos números irracionais R\Q não é enumerável. Prova: Já sabemos que podemos escrever R como aunião disjunta: R = Q R\Q. Q é enumerável e R não é enumerável, portanto, R\Q não é enumerável. 7

29 Capítulo 4 Sequências e Séries Numéricas 4. Progressão Aritmética Definição 4.. Chamamos de progresão aritmética a sequência de números {a n }, n N, onde cada termo, começando do segundo é igual ao anterior somado por uma constante única d, isto é, a n+ = a n + d, n N. O número d chama-se razão da progresão aritmética, a -primeiro termo e a n -termo geral. Assim por exemplo, a sequencia, 7,, 7,,... onde o primeiro termo é, e a razão é 5. Para qualquer n temos a n+ a n = d, a n a n = d. desta forma a n+ a n = a n a n ou a n = a n + a n+, isto é, cada termo da progresão aritmética começando do segundo termo é igual a média aritmética do termo anterior e termo posterior. Exemplo 4. Mostre que a sequência {a n } com termo geral a n = n 7 é uma progresão aritmética. Solução Para n temos a n = n 7, a n = (n ) 7 = n 9, a n+ = n + 5. Portanto a n = n 7 = o que demonstra a afirmação. (n 5) + (n 9) = a n + a n+, 8

30 Para a progressão aritmética {a n } com razão d tem lugar a seguinte fórmula: a n = a k + d(n k), k n, onde n e k são números naturales. Trocando k por n k e por n + k, obtemos a n a n = a n k + kd, = a n+k kd. Daqui encontramos a n = a n k + a n+k k n. Além disso, para qualquer progressão aritmética {a n } tem lugar a seguinte igualdade se m + n = k + l. a m + a n = a k + a l. Exemplo 4. Para a progressão aritmética {a n } com a = 7 e d = 4, obtemos as seguintes fórmulas;. a n = 7 + (n ) 4 = 4n + 3;. a 0 = a 5 + a 5, pois a 5 = a 0 5 e a 5 = a 0+5 ; 3. a 7 + a 8 = a 5 + a 0. Em geral, podemos escrever o termo geral de uma progressão aritmética da seguinte maneira: a n = nd + (a d). Exemplo 4.3 A soma do segundo e terceiro termos da progressão aritmética {a n } é igual a 6, o produto do primeiro e quinto termos é igual a 64. Encontre o primeiro termo e a razão desta progressão. Solução: Por hipótese, temos a + a 4 = 6 e a a 5 = 64; então obtemos o seguinte sistema { a + d = 8 a (a + 4d) = 64. Encontrando da primeira equação do sistema, d e substituindo na segunda equação, obtemos ou a 6a + 64 = 0, (a 8) = 0. Desta forma, a = 8; portanto, d = 8 a = 0, isto é d = 0. Exemplo 4.4 Os números 5 e 38 são o primeiro e decimo segundo termos respectivamente de uma progressão aritmética {a n }. Encontre a n para n =, 3,,. 9

31 Solução: Como d = a a = 38 5 então os correspondentes termos são = 3, 8,, 4, 7, 0, 3, 6, 9, 3, 35. A soma S n = a + a + a n dos primeiros n-termos de uma progressão aritmética {a n } é dada pela fórmula S n = a + a n n. Exemplo 4.5 Num jardim que possui a forma de um triângulo equilátero queremos saber se é possivel plantar 05 árvores, de tal forma que na primeira série colocamos um árvore, na segunda série colocamos dois árvores, na terceira 3 árvores, e assim adiante e na n ésima série colocamos n árvores. Solução: Observamos, que se existe tal valor para n, para o qual vale vale a igualdade + + n = 04, então tal jardim é possível. Basta resolver a seguinte equação Encontramos daqui n = 4. n(n + ) 4. Progressão Geométrica = 05. Definição 4.. Chamamos de progresão geométrica a sequência de números {b n }, n N, onde cada termo, começando do segundo é igual ao anterior multiplicado por uma constante única q 0, isto é, b n+ = a n q, n N. O número q chama-se razão da progresão geométrica, b -primeiro termo e b n -termo geral. Assim, por exemplo a sequência, 3, 9, 7, 8, onde cada termo, começando pelo segundo, obtem-se do anterior multiplicando por 3 é uma progressão geométrica, de razão q = 3 e b =. Para uma progressão geométrica {b n } com razão q para n temos isto é Por exemplo, para a progressão geométrica temos as seguintes igualdades b n b n = b n+ b n = q, b n = b n b n+., 3, 9, 7, 8, 43,, 3 n, 3 = 9; 9 = 3 7; 7 = 9 8; 43 = 8 79; 3 n = 3 n 3 n+. 30

32 Exemplo 4.6 Suponha que os números a, b, c são os termos consecutivos de uma progressão geométrica. Mostre que a b c ( a 3 + b 3 + c 3 ) = a 3 + b 3 + c 3. Solução: Como a, b, c são os termos consecutivos de uma progressão geométrica, então b = ac. portanto ( a b c a + 3 b + ) = b c 3 c 3 a + a c + a b = acc b c a + b4 b + a ac = c = a 3 + b 3 + c 3. Para qualquer progressão geométrica {b n } é válida a seguinte igualdade b m b n = b k b l se m + n = k + l. Exemplo 4.7 Todos os termos da progressão geométrica {b n } são positivos. se b 0 = e b 8 = 3. Encontre b 6 e b 3 b 7. Solução: Como = 4 + 4, então b 4 = b 0 b 8 = 6; portanto, b 4 = 6. Também, como = 6 + 6, então b 6 = b 4 b 8 = 3 6, isto é, b 6 = 3 6. Porfim, de = 30 = 3 + 7, segue que, b 3 b 7 = b 4 b 6 = = 3 6. A soma S n = b + b + b b n dos primeiros n termos de uma progressão geométrica {b n } de razão q 0 é dado pela fórmula se q =, então S n = nb. Por exemplo S n = b q n q, n = n = n ; = ( 5 )n 3 n Exemplo 4.8 Calcular a seguinte soma Solução: então Como obtemos = ( ) n 3 S n = + a + 3a + 4a na n, a 0. Multiplicando S n por a, temos as n = a + a + 3a 3 + 4a na n, as n S n = na n ( + a + a + a 3 + a n ). + a + a + a 3 + a n ) = an a, S n = nan a an (a ). 3

33 Exemplo 4.9 Calcular a seguinte soma S = } {{ }. 000 algorítmos Solução. O número } {{ } para qualquer n natural podemos escrever na forma n algorítmos }{{ } = n algorítmos n algorítmos {}}{ = 0n, 9 então S = = = 9 ( ) = = 9 [0(0000 ) 0 = 9 ( }{{ } 00). 997 algorítmos 000] = ( 0 9 }{{} 000) 000 algorítmos 4.3 Definição de Sequências Numéricas Se a cada número natural n fazemo-os corresponder um número real a n, então dizemos que está definido uma sequência númerica a, a, a 3,, a n, Os números a, a, chamam-se termos da sequência, e a n é o termo geral. A sequência denota-se por {a n } n= ou {a n }. Uma sequência pode ser definida com ajuda da fórmula a n = f(n) n N, onde f é alguma função; neste caso esta fórmula chama-se fórmula do termo geral da sequência {a n }. Por exemplo. a n = n, n N;. a n = n!, n N; 3. a n = { n, se n = k /n, se n = k, k =,, Para definir uma sequência podemos usar também uma relação de recorrência. Este método consiste em definir um ou alguns primeiros termos da sequência, e logo escrever uma fórmula que nos permita encontrar o termo geral a n através dos primeiros termos. Por exemplo, se 3

34 . a =, a n+ = a n + para n ;. b =, b =, b n = b n + b n para n 3. Então destas relações de recorrência, encontramos que, 4.4 Sequências Monótonas a =, a =, a 3 = 3, a 4 = 4, a 5 = 5, ; b =, b =, b 3 = 5, b 4 =, b 5 = 9, Definição 4.4. Uma sequência {a n } chama-se crescente, se para qualquer número natural n vale a desigualdade a n+ > a n, n N. Exemplo 4.0 Mostre que a sequência {a n } cujo termo geral a n = n n crescente. é uma sequência Solução: Analizemos a diferença a n+ a n. Temos a n+ a n = (n + ) n + n n = n n + n(n + ) = n(n + ) > 0. Desta forma, a n+ > a n para todo n N. Definição 4.4. Uma sequência {a n } chama-se decrescente, se para qualquer número natural n vale a desigualdade a n+ < a n, n N. Exemplo 4. Mostre que a sequência {a n } cujo termo geral é a n = (n+) é uma sequência decrescente. Solução: Analizemos a relação a n+. Temos a n a n+ a n = ((n + ) + ) (n + ) = n n = n + n + = + n + >. Desta forma, a n+ a n a n+ < a n para todo n N. >. Como todos os termos da sequência são negativos, então obtemos Definição Uma sequência {a n } chama-se não-decrescente, se para qualquer número natural n vale a relação a n+ a n, n N. Definição Uma sequência {a n } chama-se não-crescente, se para qualquer número natural n vale a relação a n+ a n, n N. 33

35 Em geral, estes tipos de sequências chamam-se monótonas. A sequência {a n } chama-se itada superiormente, se existe um número real A tal que, para qualquer número natural n vale a desigualdade x n A. Exemplos de sequências itadas superiormente são as seguintes sequências com termos gerais, a n = n 3, a n = ( ) n, a n = sin 4 πn. A sequência {a n } chama-se itada inferiormente, se existe um número real B tal que, para qualquer número natural n vale a desigualdade x n B. Exemplos de sequências itadas inferiormente são as seguintes sequências com termos gerais, a n = n, a n = ( ) n (n + ), a n =. n Uma sequência {a n } chama-se itada, quando ela é itada superior e inferiormente. Ou equivalentemente, se existem números reais A e B tais que, A a n B, n N. Exemplo de sequência itada é a sequência com termos geral a n = / n+. De fato, para qualquer n natural verifica-se; 0 < n+ <, isto é 0 < a n <, n N. Exemplo 4. Mostremos que a sequência cujo termo geral a n = n n + é itada. Prova: Como a n = n n + = n + 3 = 3 n + n + <, isto é, a n < para qualquer natural n, então {a n } é itada superiormente. Analizemos a diferença a n a n. Temos; a n a n = n n + n n + = 3 (n + )(n + ) < 0, isto é, a n < a n, n N. Por isso a = / é o menor termo desta sequência. Desta forma, a n /, n N, isto é, a sequência {a n } é itada inferiormente. Segue da definição acima que, a sequência { n n + } n é itada. 4.5 Limite de uma Sequência O número a chamase ite da sequência {a n }, se para qualquer número positivo(arbitrário) ɛ, encontra-se um número n o tal que, para todos os naturais n > n o vale a desigualdade a n a < ε. Se a é o ite da sequência {a n }, usamos a seguinte notação: n a n = a. Se a sequência possui ite, dizemos que ela converge, caso contrário dizemos que ela diverge. 34

36 Como a desigualdade a n a < ε equivale a desigualdade ε < a n a < ε, isto é, a ε < a n < a + ε, então a afirmação que a é ite da sequência {a n }, equivale a dizer que para qualquer ε > 0, encontra-se n o N, que depende de ε, tal que todos os termos começando com o índice n o + os termos a no+, a no+, pertencem ao intervalo (a ε, a + ε), e fora deste intervalo encontram-se somente um número finito de termos da sequência (no máximo n o ). Exemplo 4.3 Mostre que o número é o ite da sequência { n + }, isto é, n. = n + n n Solução. É necessário mostrar que para cada ɛ positivo, encontra-se um n o tal que para todo n > n o segue n + n < ɛ. Como n + n = + =. Então a desigualdade n < ɛ é equivalente a desigualdade n n n n < ɛ, isto é n > ɛ. Se tomamos o número natural n o maior que, então para qualquer número ɛ natural maior que este n o, cumpre-se e isto significa que n + n n = n + n = n < n o < /ɛ < ɛ, =. Exemplo 4.4 Mostre que se q <, então = n qn = 0. Solução. Para mostrar que n = q n = 0, é necessário provar que para qualquer ɛ > 0, existe um número natural n o, tal que para todos os números naturais n > n o vale a desigualdade q n 0 < ɛ. Em caso de q = 0, nada temos a mostrar. Seja q 0. Como 0 < q <, então / q >, e portanto existe um número positivo α, tal que / q = + α. Como α > 0, então usando a desigualdade de Bernoulli, obtemos / q n = (/ q ) n = ( + α) n + nα > nα. Daqui q n < para todo n natural. escolhamos n nα o >, onde α =. Então para cada αɛ q n > n o temos n > αɛ ou nα < ɛ, e portanto q n 0 = q n = q n < nα < ɛ. Exemplo 4.5 Mostre que a sequência a n = ( ) n não possui ite. 35

37 Solução. Mostremos isto por contradição. Suponhamos que a sequência {a n } converge para o número a. Então para qualquer ɛ positivo existe um número n o = n o (ɛ) tal que, para cada n > n o vale a desigualdade an a < ɛ. Em particular para ɛ = / existe n tal que para qualquer n > n vale a n a < /. Como n > n e n + > n, então para termos da sequência a n e a n + cumpren-se as desigualdades a n a < /, e a n + a < /. Como a n = ( ) n =, e de onde segue a n + = ( ) n + =, então temos a < /, a < /, ( a) + (a + ) a + + a < / + / =. Assim, da suposição que a sequência {a n } n converge obtemos que <, absurdo. 4.6 Operações com Sequências 4.7 Existência do Limite de uma Sequência Monótona Limitada 4.8 O número e 4.9 Critério de Cauchy para a Existência do Limite 4.0 Teorema de Weierstrass 4. Séries Numéricas 4.. Definições Básicas Consideremos a seguinte sequência numérica, Desta sequência, obtenhamos outra sequência, u, u, u 3,..., u n,... (4.) S, S, S 3,..., S n,... onde, S = u, S = u + u, S 3 = u + u + u 3, S n = u + u + u u n. 36

38 Se existe o ite da soma parcial S n, isto é, então dizemos que a série numérica S = n S n, u n = u + u + u u n +... (4.) n= converge, e possui soma igual á S = u + u + u u n Se S n não tende a nenhum ite(ou tende para infinito), então dizemos que a série (4.) diverge. A expressão u n é meramente formal, pois a adição ordinária de um número infinito de n= termos não faz sentido. Um exemplo simples de uma série númerica é a progresão geométrica: aq n = a + aq + aq aq n +... (a 0) (4.3) n= Analizemos quatro possíveis casos para os valores de q.. q <. A soma parcial S n é igual à; S n = a + aq + aq aq n = a aqn q = a q a q qn. Já foi provado que se q <, então n q n = 0, por isso, ( a S n = n n q a ) q qn = a q, e a série (4.3) converge para a q se q <.. q >. A soma parcial S n como foi visto acima é igual à; S n = a + aq + aq aq n = a q a q qn. Já foi provado que se q >, então n q n = +, por isso, ( a S n = n n q a ) q qn = ±, e a série (4.3) diverge se q <. 37

39 3. q =. A soma parcial S n é igual à; e portanto E isto significa que a série (4.3) diverge. S n = a + a + a a = na, S n = na = ±. n n 4. q =. A soma parcial S n é igual à; e portanto S n = a a + a... + ( ) n a, { 0 se n é par S n = n a se n é ímpar. Isto significa que a série (4.3) diverge, pois S n tendo a dois ites diferentes. 4.. Operações com Séries As séries convergentes possuem algumas propriedades, que nos permitem operar com eles como se fossem somas finitas.. Se a série u + u + u u n +... possui soma S, então a série au + au + au au n +... (4.4) converge para as. De fato, a soma parcial σ n da série (4.4) é da seguinte forma σ n = au + au + au au n = as n, e por isso, σ n = as n = a S n = as. n n n. Séries convergentes podem ser somadas ou subtraidas, isto é, se então a série u + u + u u n +... = S v + v + v v n +... = σ, (u ± v ) + (u ± v ) + (u 3 ± v 3 ) (u n ± v n ) +... também converge, e a soma é igual a (S ± σ). 38

40 3. A propriedade da série ser convergente ou divergente não é alterado se adicionamos ou tiramos um número finito de termos a série. 4. O termo geral u n de qualquer série convergente tende para zero, isto é, u n = 0. (4.5) n De fato, e como a série converge, então u n = S n S n, S n = S n = S, n n de onde, u n = S n S n = S S = 0. n n n A condição (4.5) é necessária para a convergência da série, mas não é suficiente; pois pode acontecer que o termo geral tenda para zero, mas a série divergir. Exemplo 4.6 Consideremos a série Harmônica n= n = n Solução: Aqui, temos u n = n 0, quando n. Agrupemos os termos da série Harmônica em grupos de,, 4, 8,... termos: ( ) ( ) ( ) ( ) +..., 6 desta forma no k grupo temos k termos. Se em cada grupo, trocamos todos os termos pelo último termo(menor elemento do grupo), obtemos a série = , cuja soma parcial S n é igual a S n = [ + (n )]. É óbvio que S n = +. n Tomando um número grande de termos da série Harmônica, podemos obter um número grande de grupos e a soma de estes termos será maior que [ + (n )], e daqui podemos concluir que a soma parcial S n da séie Harmônica tende para o infinito, isto é, S n. 39

41 4..3 Séries com Termos Positivos. Critérios de Convergência Vamos estudar séries com termos positivos(não negativos): u, u, u 3,..., u n, Para esses tipos de séries, estabeleceremos critérios de convergência e divergência. Teorema 4.. (Teste de Comparação) Consideremos duas séries u + u + u u n +... = u n (4.6) v + v + v v n +... = n= v n (4.7) com termos positivos. a) Se u k v k (k =,,...), a convergência da série (4.7) implica a convergência da série (4.6) e a divergência da série (4.6) implica a divergência da série (4.7). b) Se u k = A > 0, (4.8) k v k então as séries (4.6) e (4.7) convergem ou divergem simultaneamente. Prova: a) Denotemos por S n e σ n as somas parciais de (4.6) e (4.7) respectivamente. Por hipótese, temos, S n σ n. Mas, a série (4.7) converge, e suponhamos que para a soma σ, então σ n σ, por isso S n σ. Como a sequência {S n } é monótona crescente e itada, concluimos que a série (4.6) converge. Agora, suponhamos que a série (4.6) é divergente; então sua soma parcial S n cresce infinitamente, e pela desigualdade S n σ n, segue que a soma parcial de (4.7) σ n cresce infinitamente, e isto significa que a série (4.7) diverge. b) Suponhamos que cumpre-se (4.8), então para um número positivo ε < A, existe um n o N, tal que para todo k > n o segue A ε < u k v k < A + ε, ou v k (A ε) < u k < (A + ε)v k. (4.9) Se a série (4.7) é convergente, a série (A + ε)v k também é convergente e pela desigualdade (4.9), a série k+ n= u k também é convergente junto com a série (4.6). k+ Se a série (4.7) é divergente, então a série v k (A ε) também é divergente, e pela desigualdade (4.9), a série k+ u k também é divergente junto com a série (4.6). k+ 40

42 Exemplo 4.7 Analize a convergência da seguinte série n 3 = n n n n= Observamos que o termo geral da série u n = n 3 <, já sabemos que a série geométrica, n 3n cujo termo geral é 3, isto é, n 3 = n n n= converge, logo pelo critério acima, podemos concluir que a série Exemplo 4.8 Analize a convergência da seguinte série ln n n = ln + ln ln ln n n +... n= n= também converge. n 3n O termo geral da série u n = ln n n >. Já sabemos que a série Harmônica, cujo termo geral é n n, diverge, portanto pela parte a) do critério de comparação concluimos que a série ln n n n= também diverge. Exemplo 4.9 A seguinte série n = n +... é divergente, pois n= ( n n : ) = n 0, e como já sabemos a série Harmônica cujo termo geral é n diverge. Teorema 4.. (Critério de Cauchy) Consideremos a série u + u + u u n +... = com termos positivos. a) Se n= n un q < (n =,, 3,...) (4.0) onde q não depende de n, então a série converge. b) Se n un = q, (4.) n então a série converge se q < e diverge se q >. Se q = o critério não é conclusivo. 4 u n

43 Prova: a) a desigualdade (5.8) implica que u n < q n (n =,,...), e como a série converge, segue que a série u n também converge. n= b) Pela propriedade (5.3) com q < segue que n un < q + ε < (n n o ) n= q n para um n o suficientemente grande, portanto u n < (q + ε) n. Como a série (q + ε) n é convergente, segue que a série u n é convergente ao igual que n=n o n=n o a série u n. n= Se a desigualdade (5.3) vale para q >, segue que u n > para todo n > n o, onde n o N é um número suficientemente grande. E isto implica que a série u n diverge. Exemplo 4.0 Analize a convergência da seguinte série ( ) n ( ) ( ) ( ) 3 ( ) n n 3 n = n n + n= Aplicando o critério de Cauchy ao termo geral da série, temos ( ) n n n n n un = = n n 3n + n 3n + = 3 <. Logo, podemos concluir que a série converge. Teorema 4..3 (Critério de D Alembert) Consideremos a série u + u + u u n +... = com termos positivos. a) Se então a série então a série u n converge; se n= u n diverge. b) Se n= n= n= u n+ u n q < (n =,, 3,...) (4.) u n u n+ u n (n =,, 3,...) (4.3) u n+ = q, (4.4) n u n então a série converge se q < e diverge se q >. Se q = o critério não é conclusivo. 4

44 Prova: a) De (4.) segue que u u q, u 3 u q, u n u n q, portanto Como a série u n = u q n, q < (n =,,.... u q n converge, segue que a série n= u n também converge. Da relação (4.3), segue que u n u (n =,,...)e, a série u + u + u +... é divergente, então a série u n também é divergente. n= b) Se a igualdade (4.4) cumpre-se e q <, então para um número positivo ε satisfazendo a condição q + ε <, temos u n+ u n < q + ε < (n > n o ), n o N suficientemente grande. n= Como foi visto acima, a série u n converge e por isso a série n=n o Se a igualdade (4.4) cumpre-se e q >, temos u n também converge. n= u n+ u n > (n > n o ), n o N suficientemente grande. Como foi visto acima (4.3), a série u n diverge e por isso a série n=n o Exemplo 4. Analize a convergência da seguinte série u n também diverge. n= n= 3n + 3 n = n + 3 n +... Observamos que; u n = 3n +, u 3 n n+ = 3n n+ Aplicando o critério de D Alembert, temos u n+ n u n 3n + 4 = 3 n+ 3 n (3n + 4) = n 3n + n 3 n+ (3n + ) = 3 n 3n + 4 = n 3(3n + ) = 3 3n + 4 n 3n + = n n 3 + n = 3 <. Logo, podemos concluir que a série converge. Teorema 4..4 (Critério Integral de Cauchy) Consideremos a série u + u + u u n +... = 43 n= u n

45 com termos positivos, tais que u u u 3... u n... Se existe uma função f(x) contínua e não crescente, tal que f() = u ; f() = u ; f(3) = u 3 ;... f(n) = u n. Então podemos afirmar que se a integral imprópria converge, então, a série a série diverge. Prova: f(x)dx u n também converge, mas se a integral diverge(ou é igual a infinito), n= Exemplo 4. Estudar a convergência da p-série n= n p = p + p + 3 p n p +... Seja f(n) = n, então f(x) =. Comparemos a p-série com a integral imprópria p xp Então, temos dx A x = dx p A x = p dx x p. A p x p = p (A p ) para p ln x = ln A para p =. A Tomando o ite quando A, obtemos. Se p >, a integral. Se p <, a integral dx x = p p converge, por isso a série converge. dx = diverge, por isso a série diverge. xp 3. Se p =, a integral dx x = + diverge,por isso a série diverge. 44

46 4. Séries Alternadas. Teorema de Leibnitz Consideremos agora uma série onde os sinais dos seus termos são alternados isto é, positivos e negativos. Tais séries são da forma ( ) n+ u n = u u + u ( ) n+ u n +... n= com u, u, u 3,... positivos. Teorema 4.. (Critério de Leibnitz) Consideremos a série alternada ( ) n+ u n = u u + u ( ) n+ u n +... n= com termos positivos, tais que formam uma sequência decrescente, isto é u u u 3... u n... e se u n = 0 n Então podemos afirmar que a série alternada converge e sua soma não é maior que o primeiro termo. Prova: Analizemos primeiramente a soma parcial de um número par de termos, isto é, S n = u u + u 3 u u n u n. Pela hipótese do teorema, os valores dos termos da série decrescem quando n cresce, então, e por isso u k u k+ e u n+ u n+ 0, S n+ = S n + u n+ u n+ S n, isto é, a sequência S n ) n é crescente. De outro lado, temos Desta forma temos que S n = u (u u 3 ) (u 4 u 5 ) +... (u n u n ) u n u. 0 S m u, e isto significa que a a sequência (S n ) n é itada. Como a a sequência (S n ) n é monótona crescente e itada, então ela é convergente, isto é, Além disto, temos por isso, pois por hipótese S n = S. n S n+ = S n + u n+, S n+ = (S n + u n+ ) = S, n n u n = 0. n 45

47 Capítulo 5 Funções e suas Propriedades 5. Conceitos Básicos Seja X um conjunto numérico. Suponhamos que seja dado uma lei f pela qual a cada número x X fazemos corresponder com um único número y Y. Então dizemos que está definida uma função y = f(x) com domínio de definição X. O conjunto Y de todos os valores de y, que para cada um deles existe ao menos um x X tal que y = f(x), chama-se Imagem da função f. A notação que usaremos para denotar que f é uma função de X em Y é a seguinte; f : X Y x f(x) a notação x f(x) é para indicar que f faz corresponder o elemento x ao elemento f(x). Definição 5.. O conjunto X chama-se domínio da função e o conjunto Y chama-se contradomínio da função e os definiremos como D f = {x X; f(x) = y para algúm y Y } e respectivamente. Im(f) = {y Y ; x X tal que f(x) = y} Definição 5.. O gráfico de uma função f : X Y é o subconjunto denotado por G(f) e definido, como sendo G(f) = {(x, y) X Y ; y = f(x)} X Y. 46

48 Y Y f(x) (x,f(x)) G(f) x X x X A figura a esquerda é o gráfico de uma função f : X Y, no entanto a figura da direita não é o gráfico de uma função f : X Y. Definição 5..3 Uma função f : A B chama-se injetiva se verificamos o seguinte: dados x, y A, f(x) = f(y) segue que x = y, ou em outras palavras, se tivermos x, x A, com x x implica f(x ) f(x ). Claramente a função I : A A identidade é injetora e a função constante é injetora se e somente se A possuir apenas um elemento. Definição 5..4 Uma função f : A B chama-se sobrejetiva se verificamos que Im(f) = B, ou em outras palavras, para todo y B existe pelo menos um x A, tal que f(x) = y. É conveniente fazer o seguinte esclarecimento. Diz-se que f é uma função do conjunto A sobre o conjunto B se f(a) = B; no caso geral, quando f(a) B, dizemos que f é uma função de A em B. Definição 5..5 Dada uma função f : A B e dado Y f(a), o conjunto f (Y ) = {x; x A tal que f(x) Y } é chamado de imagem inversa do conjunto Y pela f. Assim, da definição segue que f (Y ) A. Definição 5..6 Uma função f : A B chama-se bijetiva quando é simultaneamente injetiva e sobrejetiva. Se a função esta dada mediante uma fórmula, então dizemos que ela está definida de forma analítica. Por exemplo, cada uma das funções:. y = x 3, x [0, ) 47

49 x. y = x + 3x, x R 3. y = { x, se x 0, x x, se x > 0. Exemplo 5. Encontre o domínio de existência da função f(x) = x. Solução: O domínio da função dada consiste de todos os pontos x para os quais a expresão x tem sentido e é possível a divisão por x. Desta forma, temos x > 0, isto é x <. Portanto o domínio da função acima é o intervalo (, ). Exemplo 5. Encontre o domínio de existência da função f(x) + g(x), se f(x) = ln( log 0, (x ) x ) e g(x) = x + x + 8. Solução: Como ln( x ) 0 x { { x x 0 x x, x x então o domínio de existência da função f(x) é o intervalo [, ]. Como x + x + 8 > 0 x x 8 < 0 (x 4)(x + ) < 0 < x < 4, log 0, x ) 0 log 0, (x ) 0 x x, então, resolvendo o sistema { < x < 4, x, encontramos que o domínio de existência da função g(x) é o intervalo [, 4). Resolvendo o sistema { x, x < 4, encontramos que o domínio da função f(x) + g(x) consiste de um único ponto x =. Exemplo 5.3 Demonstre que a função y = x e y = x + x + são equivalentes no intervalo [, + ). Solução: Se x então x 0 e x + > 0, e por isso x = x e x + = x +, portanto, x + x + = x + x + = x. Assim, para cada x [, + ), vale a igualdade x + x + = x, e por isso as funções dadas são equivalentes no intervalo [, + ). O número x o do domínio da função f(x) chama-se zero da função se f(x o ) = 0. Por exemplo, o número x o = é um zero da função y = log x, pois log = 0. 48

50 5.. Função Inversa Seja dada a função f : X Y, que a cada diferentes x X corresponde diferentes y Y, então a função x = f (y) chamase função inversa de f(x), x X. Com isto, a função inversa possui domínio Y e imagem X, e a cada y o corresponde x o, tal que f(x o ) = y o, x o X. Portanto para cada x X, temos f (f(x)) = x, x X. Desta forma,, se f : X Y e a função f(x) é tal que f(x ) f(x ) quando x x e x, x X, então f : Y X e com isto f (f) : X X, f(f ) : Y X, f (f(x)) x, x X, f(f (y)) y, y Y. O par de funções f e f são mutuamente inversas. Quando estudamos as funções inversas f e f, as variáveis dependentes costuma-se indicar por x, e os valores destas funções indica-se por y. Em outras palavras, para a função y = f(x), x X, a função inversa escreve-se na forma y = f (x), x Y. Notamos que com estas novas notações, temos as seguintes identidades: f (f(x)) x, x X, f(f (x)) x, x Y. Por exemplo, as funções y = x + 3, x R, e y = x 3, x R e também as funções y = x n e y = n x são funções inversas. f(x ) = y f (y ) = x, então o par ordenado (x, y ) pertence ao gráfico de f se e somente se (y, x ) pertence ao gráfico de f. Desta forma obtemos o par ordenado (y, x ) a partir do par ordenado (x, y ) refletindo-o em torno da reta y = x. Podemos usar este resultado para dizer o seguinte: quando trocamos x por y para encontrar a função inversa, obtemos o gráfico da função f a partir do gráfico de f. Teorema 5.. Se a função f : A B é bijetora, então existe uma e somente uma função f : B A, tal que f(f (y)) = y qualquer que seja y B. Prova: Como f é sobrejetora, f(a) = B, a cada y B corresponde um x A, isto é f(x) = y. Mostremos agora que esse x é único. Suponhamos que exista outro x A tal que f(x ) = y, então f(x) = f(x ), mas como f é injetora, segue que x = x ; logo, para todo y B existe um e somente um x A tal que f(x) = y, desta forma fica definida uma função representada por f : B A tal que f (y) = x, Do análise anterior, segue que para todo y B, temos f(f (y)) = y. 49

51 Y (b,a) Y (a,b) - f f y=x 0 X 0 X y=x 5.. Função Composta Consideremos a função f : A B. Se f(a) C e x A o elemento g(f(x)) D, pois g : C D e fazemos corresponder a cada f(x) f(a) C, podemos definir uma função h : A D chamada de função composta e representado por h = g f, isto é, para todo x A, h(x) = (g f)(x) = g(f(x)). Vamos demonstrar um resultado para funções compostas. Teorema 5.. ) Se a função f : A B e g : C f(a) D, então se A A, então, ) Se D (g f)(a), então, (g f)(a ) = g(f(a )). (g f) (D ) = f (g (D )). Prova: ) Se z (g f)(a), então z = (g f)(x) para algum x A, e pela definição de função composta (g f)(x) = g(f(x)), temos que z = g(f(x)), sendo f(x) f(a), g(f(x)) g(f(a)), logo (g f(a) g(f(a)). 50

52 Se agora z g(f(a)), então z = g(f(y)) para algum y f(a), donde y = f(x) para algum x A e z = g(f(x)) = (g f)(x), segue que z (g f)(a) e o que prova que g(f(a)) (g f)(a) (g f)(a ) = g(f(a )). ) Se x (g f) (D ) então (g f)(x) D ou donde g(f(x)) D e f(x) g (D ), x f (g (D )) e (g f) (D ) f (g (D )). Se x f (g (D )), então f(x) g (D ), segue que g(f(x)) D ou seja (g f)(x) D, donde x (g f) (D ) e f (g (D )) (g f) (D ) e assim fica provado que (g f) (D ) = f (g (D )) Algumas Funções Elementares. Polinômios e Funções Racionais Um polinômio de grau n é uma função do tipo f(x) = a n x n + a n x n + + a x + a o, a n 0, onde a o, a,, a n são coeficientes constantes e n N chama-se grau do polinômio. A relação entre dois polinômios, isto é, uma função do tipo chama-se função racional. Assim por exemplo, as funções f(x) a nx n + a n x n + + a x + a o b m x m + b m x m + + b x + b o, a n 0, b m 0, são exemplos de funções racionáis. f(x) = x + 4, f(x) = x 3 + 5x, f(x) = x 3x + 4x. Função Potência A função do tipo f(x) = x α, onde α é uma constante, chama-se função potência. Assim por exemplo, as funções são funções potência. f(x) = x /, f(x) = x /3, f(x) = x 7/4, 5

53 3. Função Exponencial A função do tipo f(x) = a x, onde a é uma constante positiva, chama-se função exponencial. Assim por exemplo, as funções são exemplos de funções exponenciais. f(x) = 4 x, f(x) = e x, f(x) = ( )x, a = a = 4 Y a = 6 a = 3 y = 0 X Figura 5.: Todos os gráficos da função a x cortam o eixo 0Y no ponto y = 4. Função Logaritmo A função do tipo f(x) = log a x, onde a é uma constante positiva e a chama-se função logarítmica. Assim por exemplo, as funções são funções logarítmicas. f(x) = log e x = ln x, f(x) = log / x, 5. Função Trigonométrica As funções do tipo f(x) = cos x, f(x) = sin x, f(x) = tan x, f(x) = cot x 5

54 Y a = 4 a = 0 0 X a = 3 a = y = log x a Figura 5.: Todos os gráficos da função log a x cortam o eixo 0X no ponto x = são funções trigonométricas. O gráfico da função y = sin x é mostrado a seguinte figura. Usando a fórmula sin x = cos(x + π ), não é difícil obter o gráfico da função y = cos x a partir do gráfico da função da função y = sin x, com uma simples translação ao longo do eixo 0X a esquerda um comprimento de π. Quando movimentamos os gráficos das funções y = sin x e y = cos x ao longo do eixo 0X a direita ou esquerda num intervalo de comprimento π, estes gráficos coincidem, o que corresponde com o fato, que as funções sin x e cos x possuem períodos de π., isto é, sin(x ± π) = sin x, e cos(x ± π) = cos x, para qualquer x. 53

55 54

56 Quando movimentamos os gráficos das funções y = tan x e y = cot x ao longo do eixo 0X a direita ou esquerda num intervalo de comprimento π, estes gráficos coincidem, o que corresponde com o fato, que as funções tan x e cot x possuem períodos de π., isto é, tan(x ± π) = tan x, e cot(x ± π) = cot x, para qualquer x. Os gráficos das funções: y = A sin ax, y = A cos ax (A > 0, a > 0) (5.) são muito parecidos com os gráficos das funções y sin x e y = cos x. Para obter por exemplo o gráfico da função y = A sin ax de (5.) a partir do gráfico de y = sin x, é necessário multiplicar o comprimento de todas as ordenadas da função y = sin x por A e mudar no eixo 0X a absiça do ponto x pela absiça com ponto x. A função y = A sin ax a é periódica de período π a. Os gráficos das funções: Y = A sin(ax + b), y = cos(ax + b), (5.) chamadas de curvas harmônicas simples obtem-se dos gráficos das funções (5.) fazendo uma translação ao longo do eixo 0X um intervalo de comprimento b a a esquerda(considerando b > 0). As funções (5.) possuem períodos π a. 55

57 Y 0 X A B C D Figura 5.3: Gráfico da função y = tan x. A = π/, B = π/, C = π, D = 3π/ Y A B 0 C D X Figura 5.4: Gráfico da função y = cot x. A = π, B = π/, C = π/, D = π 56

58 Observamos que os gráficos das funções y = A sin a x + A sin a x + B cos a x + B sin a x, que são combinações de funções do tipo (5.), podemos construir somando as ordenadas dos gráficos dos termos separados. As curvas assim obtidas chamam-se curvas harmônicas compexas. Por exemplo o gráfico da função y = 3 sin x + cos x apresemta-se na seguinte figura Notamos que a função y = A sin a x + B cos a x (5.3) pode ser escrita na forma de (5.) e apresenta-se como um movimento harmônico simples. De fato, escrevemos, m = A, A + B temos, obviamente e além disso B n =, A + B A = A + B. A = ma, B = na, (5.4) m + n =, 57

59 m, n, e por esta razão, como é conhecido na trigonometria, sempre é possível encontrar um ângulo b, tal que, cos b = m, sin b = n. (5.5) Substituindo em (5.3) as expressões de A e B de (5.4) e usando as igualdades (5.5), obtemos y = A(cos b. sin a x + sin b. cos a x), isto é, y = A sin(a x + b ). 6. Funções Trigonométricas Inversas f(x) = arcsin x, f(x) = arccos x, f(x) = arc tan x, f(x) = arc cot x. Analisemos a função y = arcsin x. (5.6) O gáfico desta função obtem-se pelo método indicado acima de funções inversas. O gráfico todo está ubicado entre as retas veticais x = e x =, isto é, a função (5.6) está definida somente no intervalo x. Notamos que a equação (5.6) é equivalente a equação x = sin y, que como é conhecido da trigonometria, para um x dado, obtemos um conjunto de valores para o ângulo y. Do gráfico observamos que as retas perpendiculares ao eixo 0X nos pontos do intervalo x cortam gráfico em um número infinito de pontos, isto é, a função (5.6) é uma função de múltiples valores. Imediatamente do gráfico da função y = arcsin x observamos que esta função será univalente se nos restringimos aos valores do ângulo y, que tem sin y = x, no intervalo ( π, π ). No seguinte gráfico da função y = arccos x, observamos que esta função será univalente se nos restringimos aos valores do ângulo y, que tem cos y = x, no intervalo (0, π). No seguinte gráfico da função y = arctan x, oobservamos que esta função será univalente se nos restringimos aos valores do ângulo y, que tem tan y = x, no intervalo ( π, π ). No seguinte gráfico da função y = arccotx, oobservamos que esta função será univalente se nos restringimos aos valores do ângulo y, que tem cot y = x, no intervalo (0, π). Não é difícil mostrar, que as funções inversas trigonométricas definidas acima, satisfazem as seguintes relações: arcsin x + arccos x = π arctan x + arccot x = π. O conjunto de funções elementares dividam-se em duas classes: funções elementares algébricas e funções elementares trascendentes. O sentido da divisão em duas classes consiste no seguinte: Consideremos o polinômio de duas variáveis P (x, y). Suponhamos que a função y = f(x) definida num intervalo [a, b] satisfaça a equação P (x, y) = 0, isto é, P (x, f(x)) 0, x [a, b]. 58

60 Y E D C B - 0 X A Figura 5.5: Gráfico da função y = arcsin x. A = π/, B = π/, C = π, D = 3π/, E = π Y D C B 0 - X A Figura 5.6: Gráfico da função y = arccos x. A = pi/, B = π/, C = π, D = 3π/ 59

61 Y D C B X A Figura 5.7: Gráfico da função y = arctan x. A = π/, B = π/, C = π, D = 3π/ Então a função y = f(x), x [a, b] chama-se algébrica. Por exemplo a função y = 4 x 4 é uma função algébrica quando x, ela satisfaz a equação algébrica x + y = 4. Qualquer função racional é uma função algébrica, pois a função y = P (x), onde P (x) e Q(x) Q(x) são polinômios de algum grau, satisfaz a equação Q(x)y P (x) = 0 As funções algébricas que não são racionáis chamam-se irracionáis. Em qualidade de exemplos de funções algébricas irracionais são as funções y = x, y = 3 x. Exemplo 5.4 Mostre que a função y = x é uma função algébrica irracional. Prova: Suponhamos que a função y = x seja algébrica racional, isto é, P n (x) x =, x 0, (5.7) Q m (x) onde P n (x) e Q m (x) são polinômios de grau n e m respectivamente. Suponhamos que estes polinômios não tenham um fator comum da forma x k, k > 0. Analizemos a equação (5.7) no intervalo [a, b], b > a > 0. Temos Q m(x)x = P n(x), (5.8) e portanto, o polinômio P n(x) é divisível por x. Daqui segue que x divide P n (x) e portanto P n (x) = xp n (x). Pondo esta expresão de P n (x) em (5.8), obtemos Q m(x)x = x P n (x), 60

62 daqui, simplificando por x, Q m(x) = xp n (x). Raciocinando, de forma análoga ao caso de P n (x), obtemos Q m (x) = xq m (x). Desta forma, os polinômios P n (x) e Q m (x) possuem um fator comum x, o que contradiz a suposição que x = P n(x) é uma função algébrica racional. A contradição obtida mostra que Q m (x) x é uma função algébrica irracional. Definição 5..7 A função f(x) chama-se trascedental se ela não satisfaz nenhuma equaçaõ algébrica da forma P (x, y) = 0, onde P (x, y) é um polinômio das variáveis x e y. 5. Função Par e Função Ímpar O Conjunto de pontos X da reta numérica chama-se simétrica com relação à origem de coordenadas, se para qualquer ponto x X o número x também pertence a X. Exemplos de tais conjuntos podem ser: a) a união dos intervalos (, 0) e (0, + ); b) o intervalo [ a, a]; c) o intervalo ( a, a). Definição 5.. A função y = f(x), definida no conjunto X, chama-se par, se cumprem-se as seguintes condições: o. O conjunto X é simétrico com relação à origem de coordenadas o. para qualquer x X vale a igualdade f(x) = f( x). Exemplos de funções pares são as seguintes funções y = x 6 y = x + x 4, y = cos x, y = x sin x. Se f(x), x X, é par, então para cada x X os pontos do seu gráfico (x, f(x)) e ( x, f( x)) são simétricos com relação ao eixo Y. Desta forma, o gráfico de uma função par é simétrico com relação ao eixo Y. Definição 5.. A função y = f(x), definida no conjunto X, chama-se ímpar, se cumprem-se as seguintes condições: o. O conjunto X é simétrico com relação à origem de coordenadas o. para qualquer x X vale a igualdade f( x) = f(x). 6

63 Y Y 3 0 X X Y Y 0 0 X X 6

64 Exemplos de funções ímpares são as seguintes funções y = x 3 y = x + x 4, y = sin x, y = x x 9. Se f(x), x X, é ímpar, então para cada x X os pontos do seu gráfico (x, f(x)) e ( x, f( x)) são simétricos com relação à origem de coordenadas. Desta forma, o gráfico de uma função ímpar é simétrico com relação à origem de coordenadas. Notamos que existem funções, que nem são pares nem ímpares; por exemplo,. A função y = x não é nem par nem ímpar, pois seu domínio não é um conjunto simétrico com relação à origem de coordenadas;. A função y = (/) x não é nem par nem ímpar, ainda que seu domínio seja é um conjunto simétrico com relação à origem de coordenadas, no entanto, por exemplo, y() = / = y( ), y() = / = y( ). A única função, definida num conjunto simétrico M com relação à origem de coordenadas que é par e ímpar ao mesmo tempo neste conjunto, é a função f(x) 0, x M R. Qualquer função y = f(x), definido no conjunto X simétrico com relação à origem de coordenadas podemos escrever como soma de uma função par ϕ(x) e de uma função ímpar ψ(x), isto é f(x) = ϕ(x) + ψ(x). Aqui ϕ(x) = f(x) + f( x), ψ(x) = f(x) f( x). Propriedades das Funções Pares e Ímpares. Se f(x) e g(x) são funções pares no mesmo conjunto X, então as funções f x)+g(x), f(x) g(x), f(x)g(x), f(x)/g(x), g(x) 0, são funções pares no conjunto X.. Se f(x) e g(x) são funções ímpares no mesmo conjunto X, então as funções f(x) + g(x), f(x) g(x), são funções ímpares no conjunto X. A função f(x)g(x) é par no conjunto X; da mesma forma, a função f(x)/g(x) é par desde que g(x) 0. Exemplo 5.5 Mostre que a seguinte função é ímpar y = log (x + + x ). Solução: O domínio de existência da função dada é o conjunto de todo os pontos x tais que x + + x > 0. Esta desigualdade é satisfeita para qualquer x R. na verdade se x = 0, então x + + x = > 0. Para qualquer x 0 temos x + + x = x + x + > x + x 0. x Desta forma, o domínio da função dada é simétrica com relação à origem de coordenadas. 63

65 Continuando com o análise, para qualquer x real valem as seguintes igualdades y( x) = log ( x + + ( x) ) = log ( x + + x ) ( x + + x = log )(x + + x ) x + = log + x x + + x = log (x + + x ) = log (x + + x ) = = y(x). Como o o domínio da função dada é a reta numérica e y(x) = y( x) para todo x R, então a função dada é ímpar. Exemplo 5.6 Escreva como soma de uma função par e uma função ímpar a seguinte função y = 3 x. Solução: Escrevamos Então ϕ( x) = ϕ(x), ímpar. Assim ϕ(x) = 3x + 3 x, ψ(x) = 3x 3 x. ψ( x) = ψ(x), isto é, ϕ(x) é uma função par, e ψ(x) é uma função y(x) = ϕ(x) + ψ(x). Exemplo 5.7 Verifique se a seguinte função é par ou ímpar, ( ) ( ) x + + x f(x) = log x log x. x Solução: Primeiramente calculemos o domínio da função; x + x > 0, + x x > 0, < x < < x <, então o domínio da função f(x) é simétrica com relação ao origem de coordenadas. Para qualquer x pertencente ao domínio da função, temos ( ) ( ) x + x f( x) = log x log x = ( ) ( ( x) ) x x = log x + log x + = ( + x ( ) ) ( ( ) ) x x = log x log x + = + x ( ) ( ) x + + x = log x log x = x = f(x). Portanto, a função f(x) é par. 64

66 5.3 Função Limitada A função y = f(x), definida no conjunto X, chama-se itada inferiormente neste conjunto se existe um número real A, tal que f(x) A para todo x X. O número A chama-se cota inferior da função f(x) no conjunto X. Por exemplo a função f(x) = x + é itada por baixo no conjunto R, pois temos x + para todo x R. A função y = f(x), definida no conjunto X, chama-se itada superiormente neste conjunto se existe um número B, tal que f(x) B para todo x X. O número B chama-se cota superior da função f(x) no conjunto X. Por exemplo a função f(x) = log sin x é itada por cima no intervalo (0, π), pois temos log sin x 0 para todo x (0, π). Exemplo 5.8 Mostre que a função y = 5 cos 3x+ sin 3x é itada superiormente no conjunto dos reais R. Solução: Para cada x R temos 5 cos 3x + sin 3x 5 + = 7, então a função dada e itada superiormente e o problema está resolvido. Para tal solução usamos as itações grosas cos 3x e sin 3x. No entanto podemos usar a seguinte igualdade para refinar a itação, 5 cos 3x + sin 3x = ( 5 9 cos 3x + ) sin 3x = 9 cos(3x ϕ), 9 9 onde ϕ = arcsin 5 9, para concluir que 5 cos 3x + sin 3x 9. Assim 9 é o menor de todas as cotas superiores. Definição 5.3. A função f(x) definida no conjunto X, chama-se itada neste conjunto, se existe um número real positivo M, tal que, para qualquer x X, temos f(x) M. Por exemplo a função f(x) = 3 sin4 x + 4 cos x é itada no conjunto R. De fato, 3 sin4 x + 4 cos x 3 sin4 x + 4 cos x = 7. A interpretação geométrica da definição de uma função f(x) itada superiormente no conjunto X, significa que o gráfico da função encontra-se por baixo de uma reta horizontal. A função f(x) é itada inferiormente no conjunto X, significa dizer que o gráfico da função encontra-se por cima de uma reta horizontal. A função f(x) é itada no conjunto X, significa dizer que o gráfico da função encontra-se numa faixa itada por duas retas horizontais Propriedades das Funções Limitadas. Se as funções f(x) e g(x) estão definidas e são itadas no mesmo conjunto X, então as funções f(x) + g(x), f(x) g(x), f(x)g(x), f(x), também são funções itadas no conjunto X. 65

67 Y y=b 0 X Y y=a 0 X 66

68 Y y=b 0 X y=a. Se f(x) e g(x) são funções definidas no mesmo conjunto X, a função f(x) é itada em X, e a função g(x) é tal que g(x) > M > 0, então a função f(x)/g(x) é itada no conjunto X. 3. Se a função f(x) é itada, então as funções n f(x), a f(x), cos f(x), arccos f(x), arc tan f(x) são itadas no mesmo conjunto onde elas estão definidas. 5.4 Funções Monótonas A função y = f(x), x X, chama-se crescente no conjunto M X, se para quaisquer x, x M, tais que x < x, temos f(x ) < f(x ). A função y = f(x), x X, chama-se decrescente no conjunto M X, se para quaisquer x, x M, tais que x < x, temos f(x ) > f(x ). A função y = f(x), x X, chama-se não-decrescente no conjunto M X, se para quaisquer x, x M, tais que x < x, temos f(x ) f(x ). A função y = f(x), x X, chama-se não-crescente no conjunto M X, se para quaisquer x, x M, tais que x < x, temos f(x ) f(x ). 67

69 Se uma função y = f(x), x X, possui uma das propriedades acima no conjunto M X, então dizemos que tal função é monótona em M. Exemplo 5.9 Mostre que a função y = x é crescente no conjunto [0, + ) e decrescente no conjunto (, 0]. Solução: De fato, para quaisquer x, x tais que 0 x < x < +, temos y(x ) y(x ) = x x = (x x )(x + x ) < 0, pois x + x > 0, x x < 0. Portanto, y(x ) < y(x ), e por definição, a função y = x é crescente no intervalo [0, + ). Para quaiquer x, x tais que < x < x 0, temos y(x ) y(x ) = x x = (x x )(x + x ) > 0, pois x + x < 0, x x < 0. Por tanto, y(x ) > y(x ), e por definição, a função y = x é decrescente no intervalo (, 0]. Exemplo 5.0 Mostre que a função y = x + é crescente no conjunto [, + ). Solução: Seja x < x, então x + x + = ( x + x + )( x + + x + ) ( x + + x + ) x x = ( x + + x + ) > 0, = segue que x + > x +, e portanto a função y = x + é crescente. Y - 0 X 68

70 Exemplo 5. Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento da função Solução: f(x) = x +. Analizemos simbolicamente a monotonicidade da função: quando x 0 : x cresce x cresce (x + ) cresce x + decresce; quando x 0 : x cresce x decresce (x + ) decresce x + cresce. Y 0 X 5.5 Máximos e Mínimos de uma Função O ponto x o X chama-se ponto de máximo local da função f(x), x X, se existe um intervalo (x o δ, x o + δ), δ > 0, contido em X e tal que para todo x deste intervalo temos a desigualdade f(x) f(x o ). O ponto x o X chama-se ponto de mínimo local da função f(x), x X, se existe um intervalo (x o δ, x o + δ), δ > 0, contido em X e tal que para todo x deste intervalo temos a dsigualdade f(x) f(x o ). Os pontos de máximo local e mínimo local chamam-se pontos de extremo. Teorema 5.5. (Condição suficiente para o extremo local) Se a função y = f(x), x X cresce (decresce) num intervalo da forma (x o δ, x o ) X e decresce(cresce) num intervalo (x o, x o + δ) X, δ > 0, então, o ponto xo é um ponto de máximo(mínimo) local da função f(x). 69

71 Y x x x x X Figura 5.8: x e x 3 são pontos de mínimo, x e x 4 são pontos de máximo. Exemplo 5. Encontrar os pontos de máximo local e mínimo local e os valores extremos da função y = x + x. Prova: Para encontrar os pontos de extremo local, é suficiente encontrar os intervalos de crescimento e os intervalos de decrescimento da função. Uma análise mostra que:. A função f(x) cresce estritamente nos intervalos (, ] e [0, ];. A função f(x) decresce estritamente nos intervalos [, 0] e [, + ). Desta forma, os pontos x = e x = são pontos de máximo local, enquanto o ponto x = 0 é um ponto de mínimo local. Portanto os valores extremos da função são; f( ) = /, f() = /, f(0) = 0. Se a função y = f(x) cresce(decresce) no intervalo [a, b], então o menor (maior)valor da função é alcançado quando x = a e o maior valor(menor) da função é alcançado quando x = b. Assim por exemplo o menor valor da função y = log 3 x no intervalo [/3, 9] é igual a log 3 /3 =, enquanto o maior valor é igual a log 3 9 =. Se a função y = f(x), x X, não é itada superiormente no conjunto M X, então ela não toma seu máximo valor no conjunto M; se a função y = f(x), x X, não é itada inferiormente no conjunto M X, então ela não toma seu mínimo valor no conjunto M. 70

72 Y / - 0 X Exemplo 5.3 Analize os valores máximo e mínimo da função y = ax + bx + c, a 0. Solução: Escrevamos y na seguinte forma ax + bx + c = a ( x + b ) + c b a 4a, então daqui segue, que:. Se a > 0, a função y = ax + bx + c atinge seu valor mínimo igual a c b 4a, e ele é atingido quando x = b a ;. Se a < 0, a função y = ax + bx + c atinge seu valor máximo igual a c b 4a, e ele é atingido quando x = b a. Exemplo 5.4 Analize os valores máximo e mínimo da função y = 3x + 6x + 7. Solução: Escrevamos y na seguinte forma 3x + 6x + 7 = 3(x + ) + 4. Então daqui segue, que a função y = 3x + 6x + 7 atinge seu valor mínimo igual a 4, e ele é atingido quando x =. Como a função y = 3x + 6x + 7 não é itada superiormente, então a função não possui valor máximo. 7

73 Exemplo 5.5 Encontre os valores máximo e mínimo da função y = sin 3x + 5 cos 3x. Solução: Escrevamos a função y da seguinte forma; y = sin 3x + 5 cos 3x = ( ) sin 3x cos 3x = = 9(cos α sin 3x + sin α cos 3x) = = 9 sin(3x + α), onde α = arccos 9 = arcsin 5 9. Como o máximo valor da função sin(3x + α) é igual a e o mínimo valor é igual a, então o valor máximo da função y = sin 3x + 5 cos 3x é 9 e o mínimo valoe é Funções Periódicas A função f(x), x X chama-se periódica em X, se existe um número T, T 0, chamado período da função, tal que:. x + T e x T pertencem ao conjunto X para cada x X;. Para cada x X temos a igualdade f(x + T = f(x). Y,5 0, X Assim por exemplo na figura acima é mostrado o gráfico da função com período. 7

74 Exemplo 5.6 Mostre que se a função é periódica, então b é um número racional. f(x) = sin x + cos bx Solução: Observamos que o domínio da função é R. Por hipótese f(x) é periódica. Se T (T 0) é o período da função, então para cada x e b, temos sin(x + T ) + cos b(x + T ) = sin x + cos bx. Escrevamos nesta igualdade, x = 0 e x = T, obtemos sin T + cos bt = sin T + cos bt =. Somando estas duas equações e logo simplificando por, obtemos cos bt =, isto é bt = πm, m Z, Subtraindo a segunda equação da primeira e logo simplificando por, obtemos sin T = 0, isto é T = πk, k Z. Donde bπk = πm. Como T 0, então k 0; e portanto, b = m/k, isto é b Q. Definição 5.6. O menor dos períodos positivos de uma função periódica chama-se período principal. Exemplo 5.7 Encontre o período principal da função y = 4 cos x + cos x. Solução: Observamos que o domínio da função é toda a reta numérica. Seja T o período da função dada, então para qualquer x R temos Em particular se x = 0, obtemos 4 cos(x + T ) + cos (x + T ) = 4 cos x + cos x. 4 cos T + cos T = 6. Como cos T e cos T, então 4 cos T + cos T 6. Por isso o número T satisfaz o seguinte sistema { cos T = cos T =. Entre as possíveis soluções deste sistema, a menor solução positiva é o número T o = π. De fato, o = π é o menor período da função, pois x + π e x π pertencem ao domínio da função e além disso 4 cos(x + π) + cos (x + π) = 4 cos x + cos x x R. Desta forma o número T o = π é o período principal da função 4 cos x + cos x. 73

75 5.7 Funções Convexas A função f(x) contínua no intervalo X chama-se concava para cima se para quaisquer x e x deste intervalo e qualquer α (0, ) temos a desigualdade (respectivamente concava para baixo se f(αx + ( α)x ) αf(x ) + ( α)f(x ) f(αx + ( α)x ) αf(x ) + ( α)f(x )). Geometricamente, a propriedade de concavidade para cima da função f(x) no intervalo X significa que os pontos de qualquer arco AB do gráfico da função y = f(x), onde A = x, f(x )) e B = (x, f(x )) estão acima da corda que contem estes pontos. Y Grafico de f(x) B A x 0 x X Figura 5.9: A = (x, f(x )) e B = (x, f(x )) Exemplo 5.8 Mostre que a função y = x é concava para baixo em toda a reta numérica. Prova: e e como Consideremos dois números arbitrários x e x e α (0, ). Então y(αx + ( α)x ) = (αx + ( α)x ) = = α x + α( α)x x + ( α)x, αy(x ) + ( α)y(x ) = αx + ( α)x, y(αx + ( α)x ) αy(x ) + ( α)y(x ) = = α x + α( α)x x + ( α)x αx ( α)x = = x (α α) + x (( α) ( α)) + α( α)x x = = x (α α) + x (α α) (α α)x x = = (α α)(x x x + x ) = = α(α )(x x ) < 0, 74

76 segue que y = x é concava para baixo. Para funções contínuas no intervalo, a definição dada de convexidade acima(para α = /) é equivalente a seguinte definição: Definição 5.7. A função f(x), contínua no intervalo X, chama-se concava para cima(para baixo), se para quaiquer x e x deste intervalo temos a seguinte desigualdade ( ) x + x f f(x ) + f(x ). (Correspondentemente a desigualdade ( ) x + x f f(x ) + f(x ). Exemplo 5.9 Encontre os intervalos de concavidade da função y = x 3. ( ) x + x Prova: Encontremos o sinal da diferença f f(x ) + f(x ) Assim, temos para a função dada. ( x + x ) 3 x3 + x 3 = 3x3 + 3x x + 3x x 3x 3 8 = 3 8 (x + x )(x x ). = Desta forma, se x > x 0, a desigualdade acima é negativa e portanto, a função y = x 3 é concava para baixo no intervalo [0, + ); se x < x 0, então a desigualdade é positiva,e portanto a função y = x 3 é concava para cima no intervalo (, 0]. Exemplo 5.0 Mostre que a função y = sin x é concava para cima no intervalo [0, π]. Prova: Temos É necessário mostrar que sin x + x sin x + x sin x + sin x, para quaisquer x, x [0, π]. sin x + sin x = sin x + x = sin x + x sin x +x cos x x ( cos(x x ) ). = Como 0 x π e 0 x π então 0 x + x π, e portanto sin x + x 0. Álém ( disso cos(x ) x ) 0, então para quaisquer x e x do intervalo [0, π], temos a seguinte desigualdade sin x + x sin x + sin x. 75

77 5.7. Propriedades das Funções Convexas. Se a função f(x) é concava para cima (para baixo), então a função f(x) é concava para baixo(para cima).. O produto de uma função concava para cima (para baixo) por uma constante positiva é uma função concava para cima(para baixo). 3. A soma de duas funções concavas para cima(para baixo) num mesmo intervalo também é uma função concava para cima(para baixo). 4. Seja a função y = ϕ(u) concava para baixo e a função crescente u = f(x) também concava para baixo. Então a função composta y = ϕ(f(x)) será concava para baixo. 5. Sejam as funções y = f(x) e y = g(x) mutuamente inversas no seu domínio comum de definição, então (a) Se a função f(x) é concava para cima e crescente, então a função g(x) é concava para cima e crescente. (b) Se a função f(x) é concava para cima e decrescente, então a função g(x) é concava para cima e decrescente. (c) Se a função f(x) é concava para baixo e decrescente, então a função g(x) é concava para baixo e decrescente. (d) Se a função f(x) é concava para baixo e crescente, então a função g(x) é concava para cima e crescente. 6. Uma função f(x) não constante concava para baixo(para cima) no intervalo [a, b], não pode atingir seu máximo (mínimo) valor nos pontos interiores do intervalo [a, b]. 7. Se cada uma das funções f (x), f (x),..., f n (x) é concava para cima em algum intervalo e toma somente valores não negativos, então a função f (x)... f n (x) também é concava para cima nesse intervalo. Observação 5. Observamos que o produto de duas funções concavas para cima num mesmo intervalo, pode e não ser concava para cima. De fato, consideremos a função real y = x /3 para x 0. Esta função é concava para cima, no entanto a função y = x /3.x /3 = x 4/3, x 0, é uma função concava para baixo. Exemplo 5. Mostre que a função y = log a x, a >, é uma função concava para cima no intervalo (0, ). 76

78 Y 4 3 y = x y = x 3 0 X Prova: Sejam x, x (0, ) dois pontos quaisquer tais que 0 < x < x. Temos log a x + x log a x log a x = log a x + x x x. Da desigualdade da média aritmética e média geométrica segue que Portanto x + x x x, x + x x x. log a x + x x x 0, e com isso x + x log a log a x + log a x. E isto significa que a funçaõ y = log a x, a >, é uma função concava para cima no intervalo (0, ). Exemplo 5. Analizar a concavidade da função y = ax + bx + c. Solução: Se a = 0, então a função dada é linear e por isso pode ser considerada ou concava para cima ou concava para baixo. Se a 0, então podemos escrever a função dada como ( y = a x + b ) b 4ac. a 4a 77

79 ( Daqui, notamos que a função y = ax +bx+c, obtem-se da função y = x + b ) multiplicando a. Como a adição de uma constante não ( influencia na concavidade, então é suficiente analizar a concavidad da função y = a x + b ). a ( A função y = a x + b ) é concava para baixo em toda a reta numérica. Disto concluimos a por uma constante a e adicionando o número b 4ac 4a que que se a > 0 a função y = a ( x + b a ), por conseguinte a função y = ax +bx+c é concava para baixo em toda a reta numérica. Se a < 0 a função y = ax + bx + c é concava para cima em toda a reta numérica. 78

80 Capítulo 6 Gráficos de Funções 6. Propriedades e Gráfico das Funções Elementares O gráfico de uma função y = f(x), x X, chama-se o conjunto Γ f de todos os pontos do plano cartesiano X0Y do tipo (x, f(x)), onde x X, isto é, Γ f = {(x, y); x X, y = f(x)}. O análise das propriedades da função se realiza seguindo o seguinte esquema:. Encontrar o domínio da função, no caso em que não é dado o intervalo de definição;. Encontramos os zeros da função e os intervalos nos quais ela é positiva e/ou negativa. Estudar o comportamento da função na fronteira do domínio, em particular quando x + e x se o domínio não é itado; 3. Esclarecer se a função é par ou ímpar; 4. Esclarecer se a função é periódica; 5. Esclarecer se a função é itada; 6. Encontrar os pontos de extremos e os intervalos de crescomento e decrescimento da função; 7. Encontrar os pontos de convexidade da função. Exemplo 6. A função Potência y = x α y = x m, m N ). Domínio: (, + ); ). Imagem: [0, + ); 3). A função é nula em um único ponto, x = 0; nos intervalos (, 0) e (0, + ) a função 79

81 é positiva; 4). A função é par; 5). A função não é periódica; 6). A função é itada inferiormente, mas não é itada superiormente, pois x + xm = x xm = + ; 7). O ponto x = 0 é o ponto de mínimo, (f0) = 0; 8). A função não é monótona em todo o domínio; ela decresce no intervalo (, 0] e cresce no intevalo [0, + ); 9). A função é concava para baixo em todo o domínio. Y II I 0 X Figura 6.: I y = x, II y = x 4 y = x m, m N ). Domínio: (, + ); ). Imagem: (, + ); 3). A função é nula em um único ponto, x = 0; no intervalo (, 0) a função é negativa, e no intervalo (0, + ) a função é positiva; 4). A função é ímpar; 5). A função não é periódica; 6). A função não é itada superiormente nem inferiormente, pois x + xm = +, 7). A função não tem pontos de extremo; 8). A função cresce em todo o domínio; x xm = ; 80

82 9). A função é concava para cima no intervalo (, 0] e concava para baixo no intervalo [0, + ). Y III II I 0 X Figura 6.: I : y = x II : y = x 3, III : y = x 5 y = x m, m N ). Domínio: (, 0) (0, + ); ). Imagem: (0, + ); 3). A função não toma valor zeo; nos intervalos (, 0) e (0, + ) a função é positiva; 4). A função é par; 5). A função não é periódica; 6). A função é itada inferiormente, mas não é itada superiormente, além disso, x m = x m = +, x 0 + x 0 x + x m = x x m = 0. A reta x = 0 é uma asimtota vertical, e a reta y = 0 é uma asimtota horizontal; 7). A função não tem pontos de extremo; 8). A função não é monótona em todo o domínio; ela decresce no intervalo (, 0) e cresce no intevalo (0, + ); 9). A função é concava para baixo nos intervalos (, 0) e (0, + ). 8

83 II Y I I II 0 X Figura 6.3: I : y = /x II : y = /x 4 y = x m+, m N ). Domínio: (, 0) (0, + ); ). Imagem: (, 0) (0, + ); 3). A função não toma valor zero; no intervalo (, 0) a função é negativa, e no intervalo (0, + ) a função é positiva; 4). A função é ímpar; 5). A função não é periódica; 6). A função não é itada inferiormente nem itada superiormente, além disso, x m+ = +, x 0 + x m+ =, x 0 x + x m+ = 0, x x m+ = 0. A reta x = 0 é uma asimtota vertical, e a reta y = 0 é uma asimtota horizontal; 7). A função não tem pontos de extremo; 8). A função não é monótona em todo o domínio; ela decresce nos intervalos (, 0) e (0, + ); 9). A função é concava para cima no intervalo (, 0) e concava para baixo no intervalo (0, + ). 8

84 Y I II 0 X II I Figura 6.4: I : y = /x II : y = /x 3 y = x α, α R + ). Domínio: [0, + ); ). Imagem: [0, + ); 3). A função toma valor zero no ponto x = 0; no intervalo (0, + ) a função é positiva; 4). A função não é par nem ímpar; 5). A função não é periódica; 6). A função é itada inferiormente, mas não é itada superiormente, isto é, x + xα = + ; 7). A função toma o valor mínimo y = 0 quando x = 0; 8). A função cresce em todo o domínio; 9). A função é concava para cima se α > e é concava para baixo quando 0 < α <. 83

85 Y II I 0 X Figura 6.5: I : y = x II : y = x e y = x α, α R + ). Domínio: (0, + ); ). Imagem: (0, + ); 3). A função é positiva no intervalo (0, + ); 4). A função não é par nem ímpar; 5). A função não é periódica; 6). A função é itada inferiormente, mas não é itada superiormente, isto é, x α = +, x 0 + x + x α = 0. A reta x = 0 é uma asimptota vertical, e a reta y = 0 é uma asimptota horizontal; 7). A função não tem pontos de extremo; 8). A função decresce em todo o domínio; 9). A função é concava para baixo em todo o domínio. y = x ). Domínio: (, + ); ). Imagem: [0, + ); 3). A função toma valor zero somente no ponto x = 0, e é positiva nos intervalo (, 0) e (0, + ); 4). A função é par; 5). A função não é periódica; 6). A função é itada inferiormente, mas não é itada superiormente, isto é, x = x = +. x + x 84

86 Y II I 0 X Figura 6.6: I : y = x II : [4] x 7). O ponto x = 0 é um ponto de mínimo, nesse ponto a função é igual a zero; 8). A função decresce no intervalo (, 0) e cresce no intervalo (0, + ); 9). No intervalo (, 0) a função é igual a y = x; no intervalo (0, + ) a função é igual a y = x. y = a x, a > 0, a ). Domínio: (, + ); ). Imagem: (0, + ); 3). A função é positiva em todo o domínio; 4). A função não é par nem ímpar; 5). A função não é periódica; 6). A função é itada inferiormente, mas não é itada superiormente, além disso, i)se a > x + ax = +, x ax = 0; ii)se 0 < a < x + ax = 0, x ax = +. A reta y = 0 é asimptota horizontal da função y = a x ; 7). A função não tem pontos de extremo; 8). A função decresce no domínio se 0 < a < e cresce se a > ; 9). No intervalo (, + ) a função é concava para baixo. Função logaritmo y = log a x, a > 0, a ). Domínio: (0, + ); ). Imagem: (, + ); 85

87 Y 0 X Figura 6.7: y = x a Y Y II III IV 0 a I 0 0 X X Figura 6.8: I : y =, x II : y = x III : y = 0, x IV : y = 0, 8 x 86

88 3). A função é igual a no único ponto x = ; quando a > a função é positiva no intervalo (, + ) e é negativa no intervalo (0, ); quando 0 < x < a função é positiva no intervalo (0, ) e é negativa no intervalo (, + ); 4). A função não é par nem ímpar; 5). A função não é periódica; 6). A função não é itada inferiormente nem itada superiormente, além disso, i)se a > x 0 + log a x =, log a x = + ; x + ii)se 0 < a < x 0 + log a x = +, log a x =. x + A reta x = 0 é asimptota vertical da função y = log a x; 7). A função não tem pontos de extremo; 8). Se a > a função cresce no seu domínio; se 0 < a <, a função decresce no seu domínio; 9). No seu domínio a função é concava para cima se a > ; E concava para baixo se 0 < a <. Y a 0 a Y I 0 (,0) II X 0 (,0) III X IV Figura 6.9: I : y = log x II : y = ln x III : y = log 0, x IV : y = log /3 x Função y = sin x ). Domínio: (, + ); ). Imagem: [, ]; 3). A função toma valor zero quando x = nπ, n Z; ela é positiva nos intervalos (πk, π + πk), k Z, e negativa nos intervalos (π + πk, π(k + )), k Z; 4). A função é ímpar; 87

89 5). A função é periódica, de período principal π; 6). A função é itada inferior e superiormente; 7). Os pontos x = π/ + πm, m Z, são pontos de máximo local sin(π/ + πm) = ; os pontos x = π/+πm, m Z, são pontos de mínimo local sin( π/+πm) = ; 8). A função não é monótona em todo seu domínio, mas a função cresce em cada intervalo [ π/ + πk, π/ + πk] k Z e decresce em cada intervalo [π/ + πk, 3π/ + πk] k Z; 9). A função é concava para cima em cada intervalo [πl, π + πl] l Z ; e concava para baixo no intervalo [π + πl, π + πl] l Z. Função y = cos x ). Domínio: (, + ); ). Imagem: [, ]; 3). A função toma valor zero quando x = π + πn, n Z; ela é positiva nos intervalos ( π/ + πl, π/ + πl), l Z, e negativa nos intervalos (π/ + πk, 3π/ + πk), k Z; 4). A função é par; 5). A função é periódica, de período principal π; 6). A função é itada inferior e superiormente; 7). Os pontos x = πk, k Z, são pontos de máximo local cos(πk) = ; os pontos x = π + πk, k Z, são pontos de mínimo local cos(π + πk) = ; 8). A função não é monótona em todo seu domínio, mas a função cresce em cada intervalo [πk π, πk] k Z e decresce em cada intervalo [πk, πk + π] k Z; 9). A função é concava para cima em cada intervalo [ π/ + πl, π/ + πl] l Z ; e concava para baixo no intervalo [π/ + πl, 3π/ + πl] l Z. Função y = tan x ). Domínio: x R exeto os pontos x = π + πk, k Z; ). Imagem: (, + ); 3). A função toma valor zero quando x = πk, k Z; ela é positiva nos intervalos (πk, π/ + πk), k Z, e negativa nos intervalos (πk π/, πk), k Z; 4). A função é ímpar; 5). A função é periódica, de período principal π; 6). A função não é itada inferior nem superiormente; 7). A função não tem pontos de extremo. 8). A função não é monótona em todo seu domínio, mas a função cresce em cada um dos intervalos (πk π/, πk + π/) k Z; 9). A função é concava para cima em cada intervalo (πk π/, πk) k Z ; e concava para baixo no intervalo [πk, π/ + πk) k Z. Função y = cot x ). Domínio: x R exeto os pontos x = πk, k Z; ). Imagem: (, + ); 3). A função toma valor zero quando x = π/ + kπ, k Z; ela é positiva nos intervalos (πk, π/ + πk), k Z, e negativa nos intervalos (π/ + kπ, π + πk), k Z; 4). A função é ímpar; 88

90 5). A função é periódica, de período principal π; 6). A função não é itada inferior nem superiormente; 7). A função não tem pontos de extremo. 8). A função não é monótona em todo seu domínio, mas a função decresce em cada um dos intervalos (πk, π + kπ) k Z; 9). A função é concava para cima em cada intervalo [π/ + kπ, π + kπ) k Z; e concava para baixo no intervalo (kπ, π/ + kπ) k Z. Função y = arcsin x ). Domínio: [, ]; ). Imagem: [ π/, π/]; 3). A função toma valor zero em um único ponto x = 0; ela é positiva no intervalo (0, ], e negativa no intervalo [, 0); 4). A função é ímpar; 5). A função não é periódica; 6). A função é itada inferior e superiormente, portanto itada; 7). A função atinge seu máximo valor y = π/ quando x = ; e seu mínimo valor y = π/ quando x = ; 8). A função é monótona crescente em todo seu domínio; 9). A função é concava para cima no intervalo [, 0); e concava para baixo no intervalo [0, ]. Função y = arccos x ). Domínio: [, ]; ). Imagem: [0, π]; 3). A função toma valor zero em um único ponto x = ; ela é positiva no intervalo [, ), e negativa no intervalo [, 0); 4). A função não é par nem ímpar; 5). A função não é periódica; 6). A função é itada inferior e superiormente, portanto itada; 7). A função atinge seu máximo valor y = π quando x = ; e seu mínimo valor y = 0 quando x = ; 8). A função é monótona decrescente em todo seu domínio; 9). A função é concava para cima no intervalo [0, ]; e concava para baixo no intervalo [, 0]. 6. Métodos Simples para Construir os gráficos das funções Escrevamos algumas observações com relação ao comportamento do gráfico da função em dependência de suas propriedades:. Se o domínio da função consiste de um número de intervalos, então seu gráfico se encontra 89

91 em planos verticais. assim, por exemplo, a função y = x(x )(x 3), cujo domínio é o conjunto (0, ) (3, + ), e seu gráfico encontra-se nos planos verticais sublinhados, como o indica a figura ao lado. Y 0 X x=0 x= x=3. Os zeros da função y = f(x) são os pontos do eixo OX, nos quais o gráfico da função corta este eixo. 3. Assintotas (a) A reta x = a chama-se assintota vertical do gráfico da função y = f(x), se temos ao menos uma das duas condições: f(x) = +, x a + f(x) = +. x a (b) A reta y = b chama-se assintota horizontal do gráfico da função y = f(x), se temos ao menos uma das duas condições: f(x) = b, x + f(x) = b. x (c) A reta y = kx + b chama-se asimptota do gráfico da função y = f(x), se temos ao menos uma das duas condições: (f(x) kx b) = 0, x + (f(x) kx b) = 0. x Para calcular a assintota y = kx + b do gráfico da função y = f(x), quando x + (x ) usamos a seguinte fórmulas: k = f(x) x + x, b = x 90 x + x (f(x) kx).

92 Y Y assintota vertical assintota 0 X 0 assintota horizontal X 4. O gráfico de uma função par é simétrico com relação ao eixo OY, e o gráfico de uma função ímpar é simétrico com relação à origem O gráfico de uma função periódica y = f(x), x X com período T > 0 normalmente construi-se no conjunto X [0, T ], e logo periodicamente estende-se a cada conjunto da forma [kt, (k + )T ] X, k Z/{0}. 6. O gráfico de uma função itada inferiormente (superiormente) está colocado acima (baixo) de uma reta horizontal y = C, onde C é uma constante.. Assim, o gráfico de uma função itada está entre duas retas horizontais. 7. A propriedade de crescimento(decrescimento), significa que com o aumento de x, aumenta(diminui) o valor da função y = f(x). Por regra, numa vizinhança de um ponto x que é máximo local (mínimo), o gráfico da função para valores a esquerda deste ponto, isto é, (x ɛ, x), cresce(decresce), e a direita (x, x + ɛ), decresce(cresce). 8. O gráfico da função y = f(x), dado no intervalo [a, b] que é concava para cima (baixo) neste intervalo está acima da reta que pasa pelos pontos (a, f(a)) e (b, f(b)). Exemplo 6. Analize a função y = x + x e construa seu gráfico. ). O domínio da função é R {0}. ). Como x + x = x +, x 9

93 Y concava para cima Y concava para baixo 0 0 X X então y(x) > 0 quando x > 0 e y(x) < 0 quando x < 0. Esta função não se anula para nenhum valor de x do seu domínio. A reta x = 0 é uma assintota vertical, pois x 0 +(x + x ) = +, x 0 (x + x ) =. Verifiquemos, se existe a assintota do gráfico da função; k = ( y(x) x x ) = ( + x + x ) =, b = (y(x) x) = ( x x + x ) = 0. Então a reta y = x é a ssintota do gráfico da função y = x+ x quando x +. Analogamente mostra-se que a reta y = x é a assintota do gráfico da função y = x + x 3). Para qualquer x do domínio da função, temos quando x. então a função y(x) = x + x é ímpar. 4). A função dada não é periódica. 5). Se x > 0, então y( x) = x + x = (x + x ) = y(x), y(x) = x + x = ( x) x x + ( x ) + = ( x x ) +, 9

94 e por isso a função é itada inferiormente no intervalo (0, + ). Segue daqui, considerando que a função dada é ímpar, que a função é itada superiormente no intervalo (, 0), isto é, x + x. Ao mesmo tempo, notamos que f(x) =, x f(x) = +. x + Por este motivo, a função não é itada nem superiormente nem inferiormente. 6). Para quaiquer números reais positivos x e x, temos y(x ) y(x ) = (x + x ) (x + x ) = (x x ) x x x x = = (x x )( x x ). Se 0 < x < x, então x x > 0 e ( x x ) < 0. Por isso, y(x ) < y(x ), e portanto no intervalo (0, ] a função é decrescente. Se x < x, então x x > 0 e ( x x ) > 0. Por isso, y(x ) > y(x ), e portanto no intervalo [, + ) a função é crescente. Como y(x) é uma função ímpar, segue que no intervalo (, ] ela cresce, e no intervalo [, 0) decresce. O ponto x = é um ponto de máximo local, e o ponto x = é um ponto de mínimo local, isto é y() =, y( ) =. 7). Para o análise da concavidade do gráfico da função, observamos que y( x + x ) y(x ) + y(x ) = x + x + x x + x x x + x = x x = x + x = x + x x + x x x = = 4x x (x + x ) x x (x + x ) + x + x + x + x x + x = = (x x ) x x (x + x ). Segue daqui, que se os números reais positivos x e x são tais que x < x, então (x x ) x x (x + x ) < 0, e portanto, no intervalo (0, + ) a função y = x + é concava para cima. Como a função é x ímpar, então, no intervalo (, 0) ela é concava para baixo. O gráfico da função y = x + é dado na seguinte figura. x Analogamente ao feito acima, podemos analizar as propriedades da função y = x x, e traçar seu gráfico corespondente, 93

95 Y y=x+/x y=x (,) (-,-) 0 X Y y=x-/x - X y=x assintota 94

96 Exemplo 6.3 Analize a função y = x 3 x e construa seu gráfico. ). O domínio da função é R. ). Como y(x) = x 3 x = x(x )(x + ), então y(x) > 0 para < x < 0 e x > ; y(x) < 0 para x < e 0 < x < ; y(0) = y( ) = y() = 0. O gráfico da função y(x) = x 3 x não possui assintotas vertical nem horizontal. Além disso, y(x) x x = x (x ) = +, e portanto o gráfico da função dada nã tem assintota; 3). Para qualquer x do domínio da função, temos y( x) = ( x) 3 ( x) = x 3 + x = (x 3 x) = y(x), então a função y(x) = x 3 x é ímpar. 4). A função dada não é periódica, pois é igual a zero em apenas três pontos 5). A função não é itada ne inferior nem superiormente, pois, y(x) = x + x + (x3 x) = x 3 ( x x ) = +, y(x) = x x (x3 x) = x 3 ( x x ) =. 6). Para encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento da função podemos restringirmos ao intervalo [0, + ), pois a função é ímpar. Mostremos que no intervalo [/ 3, + ) a função y(x) = x 3 x cresce e no intervalo [0, / 3] decresce. De fato, se x, x [/ 3, + ) com x > x, então isto é, que é equivalente a desigualdade x 3 x > x 3 x, (x x )(x + x x + x ) > 0, (x + x x + x ) > 0. (6.) Pelas desigualdades aritmética e geométrica entre três números, obtemos x + x x + x > 3 3 x x x x > 3x x >. Desta forma, a desigualdade (6.) cumpre-se para todos x e x, tais que x > x / 3; desta forma a função y = x 3 x cresce no intervalo [/ 3, + ). 95

97 se x e x são tais que 0 x < x / 3, então portanto x + x x + x < ( 3 ) ( 3 ) =, (x x )(x + x x + x ) < 0. Daqui segue que, para todos x e x, tais que 0 x < x / 3 tem lugar a desigualdade x 3 x < x 3 x, ; Desta forma a função y = x 3 x decresce no intervalo [0, / 3]. Como no intervalo [0, / 3] a função y = x 3 x decresce e no intervalo [/ 3, + ) cresce, então o ponto x = / 3 é ponto de mínimo local, e y(/ 3) = 3/9. Como y(x) é uma função ímpar, segue que no intervalo (, / 3] a função cresce, e no intervalo [ / 3, 0] decresce, e portanto o ponto x = / 3 é um ponto de máximo local, e y( / 3) = 3/9. 7). Mostremos que o gráfico da função tem concavidade para baixo no intervalo [0, + ). Para isto, é suficiente mostrar a seguinte desigualdade (x 3 x ) + (x 3 x ) ) > ( x + x ) 3 x + x tem lugar para quaiquer x e x tais que x > x 0. A desigualdade (6.) é equivalente a cada uma das desigualdades (x + x )(x x x + x ) ) > x ( + x ( x ) + x ), x x x + x > ( x + x ), 4x 4x x + 4x > x + x x + x, 3x 6x x + 3x > 0, (x x ) > 0. O gráfico da função y = x 3 x é dado na seguinte figura. (6.) 96

98 Y M 0 X m Figura 6.0: m = ( 3, ), M = ( 9 3, 3 9 ) Analogamente ao feito acima, podemos analizar as propriedades da função y = x 3 + x, e traçar seu gráfico corespondente, 6.3 Transformação do Gráfico da Função y = f(x) O gráfico da função da forma y = Af(ax + b) + B pode ser obtido do gráfico da função y = f(x) com ajuda das seguintes transformações geométricas:. (a) Simetria com relação ao eixo 0X; o ponto (x, y) passa para o ponto (x, y); (b) Simetria com relação ao eixo 0Y ; o ponto (x, y) passa para o ponto ( x, y); (c) Simetria com relação à origem 0; o ponto (x, y) passa para o ponto ( x, y);. (a) Translação paralela ao longo do eixo 0X; o ponto (x, y) passa para o ponto (x+a, y), onde a é algum número. Se a > 0 a translação é para a direita, e se a < 0 a translação é para a esquerda; 97

99 Y p 0 X Figura 6.: p = (, 4 3 ) (b) Translação paralela ao longo do eixo 0Y ; o ponto (x, y) passa para o ponto (x, y +b), onde bé algum número. Se b > 0 a translação é para cima, e se b < 0 a translação é para baixo; 3. (a) Estender o gráfico da função na direção do eixo 0X; (b) Estender o gráfico da função na direção do eixo 0y; Exemplo 6.4 Traçar o gráfico da função y = x 3. Prova: O gráfico da função y = x 3 obtem-se do gráfico da função f(x) = x com ajuda de uma translação ao longo do eixo 0Y para baixo, um segmento de comprimento 3. Escrevendo x 3 na forma (x 3 ), notamos que o gráfico da função y = (x 3 ) pode se-obter do gráfico da função y = x com ajuda de uma translação ao longo do eixo 0X para direita um segmento de comprimento 3/. Exemplo 6.5 Traçar o gráfico da função y = x 3. Prova: O gráfico da função y = x 3 obtem-se do gráfico da função f(x) = x com ajuda de uma translação ao longo do eixo 0X para direita, um segmento de comprimento 3. Exemplo 6.6 Traçar o gráfico da função y = 4x. 98

100 Prova: O gráfico da função y = 4x obtem-se do gráfico da função f(x) = x com ajuda de um esticamente em quatro vezes na direção do eixo 0Y. y = x = y = 4x. Exemplo 6.7 Traçar o gráfico da função y = ax + bx + c. Prova: Podemos escrever o trinômio ax + bx + c na seguinte forma, a(x + b a ) + 4ac b. 4a daqui, vemos que o gráfico da função y = ax + bx + c obtem-se da parábola y = x pelo seguinte esquema: x ax ax + 4ac b 4a a(x + b a ) + isto é, para construir o gráfico da função y = ax + bx + c é necessário: 4ac b, 4a. Esticar a função y = x em a vezes, se a > (encolher em / a vezes se a < ), ao longo do eixo 0Y. Translação paralela do gráfico y = ax ao longo do eixo 0Y, num segmento de comprimento para cima(baixo) se é positivo(negativo). 4ac b 4ac b 4a 4a 3. Após as transformações anteriores, transladamos paralelamente o gráfico ao longo do eixo 0X num segmento de comprimento b para direita, se b < 0, e para a esquerda, se a a b a < 0. Por exemplo, o trinômio x 5x + 6 após completar quadrado, podemos escrever na forma (x 5/) /4. Então a construção do gráfico da função y = x 5x + 6 obtemse pelo seguinte esquema: x x /4 (x 5/) /4. Analogamente, podemos construir o gráfico da função y = x x + 3 seguindo o seguinte esquema; x x x + 4 (x + ) + 4. Exemplo 6.8 Construir o gráfico da função y = ax + b cx + d, c 0. 99

101 Prova: Suponhamos que ab bc, caso contrário a função y = a/c é uma constante. Escrevamos a função y = ax + b na forma, cx + d y = a c ad bc c (x + d/c) segue, que o gráfico da função y = ax + b cx + d pode obter-se do gráfico da função y = x, por transformações geométricas seguindo o seguinte esquema, x ad bc c x ad bc c x + d/c ad bc c x + d/c + a c. Desta forma, primeiramente é necessário esticar o gráfico da função y = /x ao longo do eixo 0Y bc ad em vezes se ad bc > 0, logo o gráfico obtido é necessário refletir simetricamente com c relção ao eixo 0X. Depois, precisamos transladar paralelamente no eixo 0X um comprimento de d/c (a esquerda se d/c > 0; a dieita se d/c < 0). Por fim, de novo, o gráfico obtido é necessário transladar paralelamente no eixo 0Y um comprimento de a/c (para baixo se a/c < 0; para cima se a/c > 0). Exemplo 6.9 Traçemos o gráfico da função x x +. A construção do gráfico da função x x + = 3 podemos realizar-lo seguindo o esquema: x + x 3 x 3 x 3 x + + = x x +. Exemplo 6.0 Construir o gráfico da função y = A sin(ω(x ϕ)), A > 0, ω > 0. Prova: O gráfico da função dada obtem-se do gráfico da função y = sin x pelo seguinte esquema: sin x sin(ωx) A sin(ωx) A sin(ω(x ϕ)), isto é, fazendo as seguintes transformações:. encolhimento em ω vezes ao longo do eixo 0X se ω >, e esticamento em /ω vezes, se 0 < ω < ; Esticamento em A vezes ao longo do eixo 0Y se A >,e encolhimento em /A vezes se 0 < A < ;. Translação paralela num intervalo de comprimento ϕ ao longo do eixo 0X a esquerda, se ϕ < 0, e a direita, se ϕ > 0. 00

102 Exemplo 6. Construir o gráfico da função y = 3 sin(3x π 4 ). Prova: esquema: O gráfico da função dada obtem-se do gráfico da função y = sin x pelo seguinte sin x sin 3x 3 sin 3x 3 sin 3(x π ) 3 sin(3x π 4 ). Exemplo 6. Construir o gráfico da função y = f(x). Prova: O gráfico da função dada obtem-se do gráfico da função y = f(x) seguindo a seguinte observação: { f(x) para todo x, onde f(x) 0, f(x) = f(x) para todo x, onde f(x) < 0 Desta forma, para construir o gráfico da função y = f(x), é necessários que todos os pontos do gráfico da função y = f(x) que estão acima do eixo 0X sejam deixados no lugar, e todos os pontos do gráfico da função y = f(x), que estão abaixo do eixo 0X, simetricamente refletir com relação ao eixo 0X. Observamos que o gráfico da função y = f(x) não têm pontos, que estão abaixo do eixo 0X. Exemplo 6.3 Construir os gráficos das funções a)y = x 5x + 6, b) x x +. Prova: a) O gráfico da função y = x 5x + 6 obtem-se do gráfico da função y = x 5x + 6 seguindo o seguinte esquema: b) Como x (x 5 ) (x 5 ) 4 = x 5x + 6. x x + = x + 4 x + então, podemos construir o gráfico da função x 4 x = x + x x x x + 4 x + = 4 x +, pelo esquema, 4 x + 4 x Gráfico de Funções mais Complexas Usando as transformações geométricas e suas possíveis combinações vistas na seção anterior, podemos construir os gráficos de funções mais complicadas. 0

103 Y Y Y (3,3) (3,3) (3,) (-,-) 0 y=x X (-,) 0 y= x X y= x - X Y Y Y (3,) (-,) - 0 X 0-3 X 0 3 X y= x - (-,-) y= x - - y= x - - 0

104 Exemplo 6.4 Construir o gráfico da função y = x. Prova: O gráfico da função dada, pode ser construida seguindo os seguintes passos x x x x x x. Observamos, que a construção do gráfico da função que contenha valor absoluto, pode ser traçado usando a definição de módulo de um número. De fato, para isto é necessário cortar o eixo 0X em intervalos, de tal forma, que em cada um deles, seguindo a definição de módulo de um número, possamos tirar os módulos para obter uma função equivalente a função dada. Exemplo 6.5 Construir o gráfico da função Prova: y = x x x +. Primeiramente encontramos os pontos críticos da função, da seguinte forma: x = 0, x + = 0, x + = 0. Estes pontos críticos, x = 0, x =, x 3 =, partcicionam o domínio da função em quatro intervalos:, ), [, ], [, 0), [0, + ). a construção do gráfico da função y = x x x + reduz-se a construção do gráfico da função equivalente no intervalo correspondente: 3x 5, x (, ), 3x + 7, x [, ], y = x + 5, x (, 0), 3x + 5, x [0, + ). Exemplo 6.6 Construir o gráfico da função y = x x. Prova: Como a função y( x) = y(x), então a função é ímpar. Por isto, basta graficar a função no intervalo [0, + ). Para valores de x < 0, o gráfico da função obtem-se realizando uma reflexão simetria com relação à origem. O ponto (0, 0 pertence ao gráfico da função dada. Se x 0, então podemos escrever a função dada na seguinte forma; y = x, x isto é, y = f(x), onde f(x) = x. x Observamos, que a função f(x) = x no ponto x = é nula, então a reta x = é uma x assintota vertical para a função y = /f(x), x (0, ) (, + ). Como no intervalo (0, ) a função f(x) cresce de até 0, então a função y = /f(x) decresce de 0 até. No intervalo (, + ), a função f(x) cresce de 0 + até +, por isso, a função y = /f(x) decresce de até 0 +. Com isto, a reta y = 0 é uma assintota horizontal para o gráfico da função y = /f(x), x (0, ) (, + ). Refletindo simetricamente o gráfico da função y = x para valores x < 0 com relação à origem, obtemos o gráfico da função nos intervalos x (, ) (, 0) (0, ) (, + ). 03

105 Y y=3x+5 y=3x-5 (-,4) 5 y=x+5 (-,) y=3x+7 0 X Figura 6.: gráfico da função y = x x x + Y A B 0 X C D Figura 6.3: gráfico da função y = ( 5, ), D = ( + 5, ) x x 5 com A = (, ), B = ( + 5, ), C = 04

106 Exemplo 6.7 Construir o gráfico da função y = x x +. Prova: Como a função y( x) = y(x), então a função é ímpar. Por isto, basta graficar a função no intervalo [0, + ). Para valores de x < 0, o gráfico da função obtem-se realizando uma reflexão simetria com relação à origem. O ponto (0, 0 pertence ao gráfico da função dada. Se x 0, então podemos escrever a função dada na seguinte forma; y = x +, x isto é, y = f(x), onde f(x) = x +. x Observamos, que a função f(x) = x + atinge seu mínimo no ponto x =, e f() 0, x o ponto x = é um ponto de máximo para a função y = /f(x), x (0, + ). Como no intervalo (0, ) a função f(x) decresce de + até +, então a função y = /f(x) cresce de 0 + até. No intervalo (, + ), a função f(x) cresce de + até +, por isso, a função y = /f(x) decresce de até 0+. Com isto, a reta y = 0 é uma assintota horizontal para o gráfico da função y = /f(x), x (0, + ). No intervalo (0, 3] a função y = /f(x) é concava para cima, e no intervalo [ 3, + ) a função é concava para baixo. Refletindo simetricamente o gráfico da função y = x para valores x < 0 com relação à origem, obtemos o gráfico da função nos x + intervalos (, 0) (0, + ). Exemplo 6.8 Construir o gráfico da função y = x + x + 3. x + Prova: Escrevamos x + x + 3 como um desenvolvimento de potência de (x + ), x + x + 3 = (x + ) (x + ). Assim, ou y = (x + ) (x + ) + 3, x + y = + (x + ( ) + 3 = + (x + ) + 3 ) = x + x + = + ( ) x = 3 x + = + ( ) x x

107 Y A B 0 X C D Figura 6.4: gráfico da função y = ( 3 3, 4 ), D = (, ) x x + com A = (, 3 ), B = ( 3, 4 ), C = 06

108 Portanto, a construção do gráfico da função dada, pode ser realizado seguindo o seguinte esquema: x + x x + x ( ) x x ( ) x 3 + x ( ) x x+. 3 Y y=x A - 0 X B Figura 6.5: gráfico da função y = x + x + 3 x + 3, 3 ) com A = ( + 3, 3 ), B = ( Exemplo 6.9 Construir o gráfico da função y = x + x + x x +. Prova: Notemos que o ponto (0, ) pertence ao gráfico da função. Pois y(x) = + ( ), x 0, x + x 07

109 então para construir o gráfico da função podemos usar o seguinte esquema (para x 0): x + ( x x + ) ( x x + ) ( x + ) x x + ( ) = x + x = x + x + x x +. Y 3-0 /3 X Exemplo 6.0 Construir o gráfico da função Prova: Escrevendo a função x + x ( x) y = ( + x). na forma, x + x = + + x, observamos que o gráfico da função y = x + x obtem-se do gráfico da função y = x pelo seguinte esquema: x + x + x + + x = x + x, 08

110 Y - 0 X - cujo gráfico é dado na figura ao lado. A função y = x é decrescente nos intervalos (, ) e (, + ). Já sabemos que a + x ( x) função y = x é estritamente crescente em todo R, mas a função y = ( + x) é decrescente nos intervalos (, ) (, + ) e não está definida no ponto x =. Além disso, a função y = x possui uma assintota vertical x = e uma assintota horizontal y =. Como, + x ( x) ( + x) = +, x +0 x 0 ( x) ( + x) = 0, então a reta x = é uma assintota vertical da função dada. Como ( x) ( + x) = x +, x ( x) ( + x) =, ( x) então a reta y = / é uma assintota horizontal do gráfico da função y = ( + x). Notamos que, ( x) y = ( + x) > / quando x > ( x) y = ( + x) < / quando x <. ( x) O gráfico da função y = ( + x) é dado na seguinte figura. 09

111 Y / - 0 X 0

112 Capítulo 7 Topologia na Reta A noção de distância entre dois pontos na reta numérica leva a uma das operações fundamentais do análise: o ite. Generalizando o conjunto dos reais, onde está definido a distância entre seus elementos, chegamos a definição de espaço métrico. Os resusltados obtidos neste capítulo serão fundamentais para a definição de conceitos como continuidade, derivação, etc. Definição 7.0. Seja X R um conjunto não vazio. A função unívoca e não negativa ρ : X X R é chamada de métrica em X se verifica:. ρ(x, y) > 0 se x y e ρ(x, y) = 0 se x = y;. ρ(x, y) = ρ(y, x), (axioma da simetria); 3. ρ(x, z) ρ(x, y) + ρ(y, z) (axioma triangular) onde, x, y, z X. Denotemos o espaço métrico X com a métrica ρ definida em X pelo par (X, ρ). Exemplo 7.0. Enunciemos alguns exemplos básicos de espaços métricos.. O conjunto dos números reais R com a métrica é um espaço métrico. ρ(x, y) = x y. R n com a métrica euclideana ( n ) / ρ(x, y) = x i y i, i= onde x i e y i são as coordenadas dos pontos x e y respectivamente, é um espaço métrico. 3. (métrica discreta). Para qualquer conjunto X, definimos a métrica ρ por ρ = { 0, se x = y, se x y.

113 7. Conjuntos Abertos Seja R o espaço métrico e r um número positivo. Definimos um intervalo aberto V (x o, r) dado pelo conjunto: V (x o, r) = {x R; x x o < r}. Analogamente, definimos um intervalo fechado V [x o, r], como sendo o conjunto; Claramente, observamos que, V [x o, r] = {x R; x x o r}. r V (x o, r ε) V (x o, r) V [x o, r] V (x o, r + ε), r > ε > 0. Definição 7.. um conjunto X R é uma vizinhança do ponto x o R se X contém um intervalo aberto V (x o, r). Podemos reformular a definição de convergência de uma sequência numérica em termos de espaço métrico. Uma sequência (x n ) n num espaço métrico converge para x se para qualquer intervalo aberto V (x o, ε), existe um n o N tal que, para todo n > n o, temos x n V (x, ε). Definição 7.. O conjunto X é aberto se ele contém uma vizinhança de cada um de seus pontos. Definição 7..3 Diz-se que o ponto x X é ponto interior do conjunto X se existe um intervalo aberto V (x, r) contido em X. O interior de um conjunto X é a união de todos os conjuntos abertos contidos em X, isto é o conjunto aberto maximal contido em X. O interior de X é denotado por int(x). Claramente, o interior de X coincide com o conjunto de pontos interiores de X. De fato, se x é um ponto interior, existe um intervalo aberto V (x o, r) contido em X. Este intervalo é aberto contido em X e portanto é um subconjunto do conjunto aberto maximal int(x) X. Em outras palavras, Definição 7..4 Um conjunto X R é aberto quando X = int(x), isto é quando todos os pontos do conjunto X são pontos interiores. Definição 7..5 Seja X R. Dizemos que x X é um ponto de fronteira de x, se V (x, ε) X e V (x, ε) CX. Aqui introduzimos a notação C(X) para denotar o complementar do conjunto X, e X denota a fronteira de X. Lema 7.. int(x) = X (X).

114 Prova: se x int(x), então existe um intervalo V (x, ε) X. Daqui vemos que x X. O fato que V (x, ε) X implica que V (x, ε) C(X) =, assim, x / X. Isto mostra que se x int(x) implica que x X (X). Se x X X, então x X e x / X. Seja V (x, ε) uma vizinhança do ponto x. Assim, V (x, ε) X e V (x, ε) C(X) =, ou seja V (x, ε) X e x int(x). Corolário 7.. Se X R é aberto, então X X =. Teorema 7... R e o conjunto vazio são abertos. A união de qualquer família de subconjuntos abertos de R é aberto. 3. a interseção de uma coleção finita de abertos é aberto. Prova: ). R é aberto porque contém todos os intervalos abertos. Por sua vez o conjunto vazio é aberto porque ele não contém nenhum ponto. ). Seja (A λ ) λ I uma família de conjuntos abertos, onde I é um conjunto de índices. Se x λ I A λ, então x pertence ao menos a um dos conjuntos A λ. Como este conjunto é aberto, ele contém uma vizinhança de x que está contido na união dos A λ, e portanto A = λ I A λ é um conjunto aberto. 3). Consideremos A, A,..., A n conjuntos abertos, e seja x n k= A k, então x A k para todo k =,,..., n. Como A k é aberto, existe r k positivo tal que V (x, r k ) A k. Seja r = min{r, r,..., r n }. Em vista do observado acima, V (x, r) V (x, r k ) A k k =,,..., n. Assim V (x, r) ( n k= A n). Embora, por ). temos que a reunião de uma família de conjuntos abertos é aberto, mas a interseção de uma família infinita de abertos não é necessariamente aberto. Exemplo 7. Sejam A n conjuntos abertos em R da forma ( /n, /n). Então n=a n = {0} que não é aberto. Lema 7.. Um conjunto é aberto se e somente se ele coincide com a união de uma família de intervalos abertos. Prova. De acordo com o teorema anterior a união de uma família qualquer de abertos é aberto. De outro lado, se X é aberto, então para cada um de seus pontos existe um intervalo V (x, ε x ) que está em X.ssim, temos X = x X V (x, ε x ). De fato, a união x X V (x, ε x ) é um subconjunto de X, pois cada intervalo V (x, ε x ) é um subconjunto de X, e a união contém cada ponto x X porque x V (x, ε x ). Exemplo 7. Mostremos que o intervalo A = (3, 7) é um conjunto aberto. Seja x A, então 3 < x < 7, isto é, x 3 > 0 e 7 x > 0. Consideremos ε = min{x 3, 7 x}, assim ε > 0. É necessário provar que V (x, ε) A. De fato, t V (x, ε), implica que ρ(x, t) = x t < ε. Assim logo t V (x, ε). 3 = x (x 3) x ε < t < x + ε x + 7 x = 7, 3

115 7. Conjuntos Fechados Um ponto x R chama-se ponto aderente ao conjunto X R, se qualquer vizinhança sua contém ao menos um ponto de X. Chama-se fecho de um conjunto X ao conjunto X que consiste de todos os pontos que são aderentes a X. Teorema 7.. A operação de aderência possui as seguintes propriedades:. X X,. X = X, 3. Se X X, então X X, 4. X X = X X. Prova: ). Como todo ponto aderente de X é o ite de uma sequência (x n ) n em X, basta tomar uma sequência constante, ja qué todo ponto pertencente a X é um ponto de aderência de X. ). depois 3). Esta desigualdade é evidente. 4). Se x X X, x pertence pelo menos a um dos conjuntos X ou X, isto é, X X X X. Como X X X e X X X, temos pela propriedade 3): X X X e X X X. Segue daqui que X X X X. Portanto, podemos concluir que X X = X X. Lema 7.. Um intervalo fechado em R é um conjunto fechado. Teorema 7.. Se X R é aberto, então o complementar de X, C(X) é fechado. Se X é fechado, então C(X) é aberto. Teorema R e o conjunto vazio são fechados. A interseção de qualquer família de subconjuntos fechados de R é fechado. 3. a união de uma coleção finita de fechados é fechado. 4

116 Prova: ). Claramente C(R) = e C( ) = R. Como e R são abertos, segue que R e são fechados. ). Seja (F λ ) λ I uma família de conjuntos fechados. Pelo lema anterior, se F λ é fechado λ I, então C(F λ ) é aberto, portanto, λ I C(F λ ) é aberto. Logo usando a lei de Morgan, temos, C( F λ ) = C(F λ ) é aberto. λ I λ I E isto mostra que λ I F λ é fechado. 3). Seja F, F,..., F n uma família finita de conjuntos fechados. Pelo lema anterior, C(F k ) é aberto k =,,..., n, e n k= C(F k) é aberto. Então pela lei de Morgan; n n C( F k ) = C(F k ) é k= k= aberto. Logo n k= F k é um conjunto fechado. 7.. Pontos de Acumulação Um ponto x R chama-se ponto de acumulação do conjunto X R quando em toda vizinhança sua existe um número infinito de pontos de X. Em outras palavras, ε > 0, V (x, ε) (X {x}). Denotemos por X o conjunto dos pontos de acumulação de X. O ponto de acumulação pode pertencer a X ou não. Consideremos F = {números racionáis pertencentes ao intervalo[, 4] R}. Neste caso todo ponto do intervalo [, 4] é um ponto de acumulação para F. Um ponto x X, chama-se ponto isolado de X quando uma vizinhança de x, V (x, ε), suficientemente pequena não contém outros pontos de X distintos de x, isto é, existe ε > 0 tal que V (x, ε) (X {x}) =. Todo ponto de aderência do conjunto X pode ser um ponto de acumulação ou um ponto isolado de X. Daqui segue que a aderência X consiste em geral de três tipos de pontos: Os pontos isolados de X, Os pontos de acumulação de X, pertencentes a X, Os pontos de acumulação de X, que não pertencem a X. Definição 7.. Um conjunto é fechado se ele contém todos seu pontos de acumulação. Teorema 7..4 X = X X. 5

117 Prova: Seja x C(X X ) um ponto arbitrário. Então x / X, o que siginfica que existe um intervalo V (x, ε) que não contém pontos de X distintos de x. Também, como x / X, o intervalo V (x, ε) C(X). para cada ponto t V (x, ε), temos V (x, η) V (x, ε) C(X), isto mostra que o ponto t V (x, ε) não pode ser ponto de acumulação de X. Portanto V (x, ε) C(X X ). Assim, para cada ponto x C(X X ) podemos encontrar um intervalo V (x, ε) C(X X ). Isto mostra que C(X X ) é aberto e pelo lema anterior, concluimos que X X é fechado. Teorema 7..5 Para que o ponto x seja um ponto de aderência do conjunto X, é necessário e suficiente que exista uma sequência (x n ) n de pontos de X que convirja para x. 7.3 Conjuntos Compactos Um fato de fundamental interesse para o análise desempenha a seguinte afirmação: Do qualquer cobertura do intervalo [a, b] R, por meio de intervalos, podemos extrair uma subcobertura finito. Definição 7.3. Seja G R um conjunto qualquer. Uma coleção de conjuntos A = {A s ; s I}, onde I é um conjunto de índices qualquer, chama-se cobertura aberta do conjunto G se G s I A s. Uma subcoleção qualquer da família A, cuja união contém o conjunto G é chamado de subcobertura de G. A subcobertura é chamada de finita, se contém um número finito de termos. Partindo desta definição, podemos enunciar a seguinte definição importante de conjunto compacto. Definição 7.3. Um conjunto K R chama-se compacto, quando qualquer cobertura aberta de K possui uma subcobertura finita, que ainda cobre K. Exemplo 7.3 Cada conjunto finito é compacto. Prova: Seja K = {x, x,..., x n }. Consideremos uma cobertura aberta A = {A s ; s I} de K, isto é, A s K. s I Então para cada j =,,..., n, x j s I A s. Podemos escolher x j A j, e considerar o seguinte subconjunto, A = {A, A,..., A n }. Então A A A n K. Como A é uma subcobertura finita de A que ainda cobre K, concluimos pela definição que K é um conjunto compacto. Uma outra caracterização dos conjuntos compactos de R, é dado em termos de sequências pela seguinte definição, 6

118 Definição Um conjunto K R é dito compacto se qualquer sequência de elementos de K possui uma subsequência que converge para um ponto de K. Definição Um subconjunto S R é itado se, para algum x R e r > 0, temos S V (x, r). Teorema 7.3. Um conjunto compacto K é itado e fechado. Prova: Suponhamos que K não seja itado, então para cada x R, a família de intervalos V (x, n), n =,,..., é uma cobertura aberta de K que não possui uma subcobertura finita. Se K não é fechado, ele não contém ao menos um de seus pontos de acumulação. Consideremos uma sequência de elementos de K que converge a esse ponto de acumulação. Cada subsequência desta sequência converge a este mesmo ponto. Portanto tal sequência não possui uma subsequência que converge a um ponto em K. Exemplo 7.4 Todo intervalo da forma [a, b] R é compacto, pois é itado e fechado. Intervalos da forma [a, b), (a, b] ou (a, b) não são compactos, embora sejam itados mas não são fechados. Intervalos da forma (, a] e [b, + ) também não são compactos pois não são itados, embora eles sejam fechados. Exemplo 7.5 Todo conjunto K R compacto contém um elemento mínimo e um elemento máximo, pois o sup K e inf K pertencem a K e, inf K x sup K, x K. Lema 7.3. Um subconjunto fechado de um conjunto compacto é compacto. Prova: seja K um conjunto compacto e K o K um subconjunto fechado. Consideremos uma sequência (x n ) n de elementos de K o. Como (x n ) n K, esta sequência possui uma subsequência convergente. Como K o é fechado, o ite desta subsequência pertence a K o. Portanto qualquer sequência de elementos em K o possui uma subsequência que converge em K o, o que implica que K o é compacto. Teorema 7.3. (Heine-Borel) Um conjunto itado e fechado de R (ou R n ) é compacto. 7

119 Capítulo 8 Limite de uma Função. Continuidade de uma Função 8. Limite de uma Função A teoria dos ites esclarece o sentido exato das definições como f(x) tende a A quando x se aproxima de a, f(x) tende a A quando x cresce iitadamente etc. Se existe um número A tal que para qualquer ɛ > 0 encontra-se uma vizinhança (a δ, a + δ), δ > 0 com centro no ponto x = a, e que para cada x a desta vizinhança, o valor da função f(x) pertence ao intervalo (A ɛ, A + ɛ), então é usual dizer que f(x) tende a A quando x se aproxima de a e escreve-se: f(x) A, se x a ou f(x) = A. neste caso dizemos que x a o número A é o ite da função f(x) no ponto x = a. Para cada x, pertencente à vizinhança (a δ, a + δ), valem as desigualdades a δ < x < a + δ ou δ < x a < δ. A última desigualdade escreve-se na seguinte forma x a < δ. Notamos, pela definição de módulo de um número que x a a, para cada x, e além disso x a = 0, se x = a, x a > 0, se x a. Por isso, todos os valores de x, pertencentes a vizinhança (a δ, a + δ),, mas diferente de a, podemos escrever da seguinte forma 0 < x a < δ; da mesma forma para qualquer valor de f(x) pertencente a vizinhança (A ɛ, a + ɛ), valem as desigualdades A ɛ < f(x) < A + ɛ ou ɛ < f(x) A < ɛ. A última desigualdade escreve-se na seguinte forma f(x) A < ɛ. Desta forma, podemos formular a definição de ite de outra forma: 8

120 Definição 8.. O número A chama-se ite da função f(x) quando x a, se para qualquer número positivo ɛ, existe um número δ = δ(ɛ) > 0 tal que para cada x satisfazendo a condição 0 < x a < δ, segue que f(x) A < ɛ. Exemplo 8. Mostremos que (3x + ) = 8. x Solução: É necessário mostrar que para qualquer ɛ > 0 encontra-se um δ > 0 tal que para cada x satisfazendo a condição 0 < x < δ, vale a desigualdade (3x + ) 8 < ɛ. De fato, escrevendo (3x + ) 8 = 3x 6 = 3 x, e para δ = ɛ/3 e para cada x satisfazendo a condição 0 < x < δ = ɛ/3, temos Assim, mostramos que x (3x + ) = 8. (3x + ) 8 = 3 x < 3δ = 3 ɛ 3 = ɛ. Exemplo 8. mostremos que x 9 x x 3 = 6. Solução: Na definição de ite de uma função quando x a, a variável x não pode tomar o valor igual a a. Assim para x 3 temos x 9 = x + 3, e isto significa que o ite da função x 3 dada quando x 3 coincide com o ite da função f(x) = x + 3 quando x 3. Tomemos um ɛ > 0 e escolhamos o seu δ tal que para cada x satisfazendo acondição 0 < x 3 < δ, vale a desigualdade (x + 3) 6 < ɛ. Como (x + 3) 6 = x 3, então por exemplo para δ = ɛ/3 temos, que para cada x satisfazendo a desigualdade 0 < x 3 < δ, vale a desigualdade E portanto x x 9 x 3 = 6. (x + 3) 6 = x 3 < δ = ɛ/3 < ɛ. Exemplo 8.3 Mostrar que a função f(x) = x /x quando x 0 não possui ite. Solução: Mostremos a prova por contradição. Suponhamos, que para x 0 a função f(x) = x /x possui ite, igual a A. Isto significa que para qualquer ɛ > 0 existe um δ = δ(ɛ), tal que f(x) A < ɛ para cada x satisfazendo a condição 0 < x < δ. Então em particular, para ɛ = existe δ tal que para cada x satisfazendo 0 < x < δ, temos f(x) A <. Para x > 0, temos f(x) = x /x =, e para x < 0, f(x) = x /x =, então para 0 < x < δ e para δ < x < 0 A <, (8.) A = + A <. (8.) da desigualdade (8.) temos 0 < A <, e da desigualdade (8.) temos < A < 0. Assim, se o número A é o ite da função dada, então de um lado temos que A deve ser positivo e de outro lado A deve ser negativo, o que é impossível. 9

121 Exemplo 8.4 Mostre que a) x xo sin x = sin x o ; b) x xo cos x = cos x o. Solução: a)tomemos um ɛ > 0 arbitrário e escolhamos seu δ(ɛ) > 0 tal que para cada x satisfazendo 0 < x x o < δ, vale a desigualdade sin x sin x o < ɛ. Usando a desigualdade sin x x, x R, obtemos sin x sin x o = cos x+x o sin x xo sin x xo x x o. Se por exemplo, tomamos δ = ɛ/0, e para cada x satisfazendo 0 < x x o < δ, temos Assim, mostramos que x xo sin x = sin x o. sin x sin x o x x o < δ = ɛ/0 < ɛ. b) analogamente ao caso anterior, para qualquer ɛ > 0 arbitrário, podemos escolher δ = ɛ/4, e para cada x, satisfazendo 0 < x x o < δ, temos cos x cos x o = sin x+x o sin x xo sin x xo x x o < δ = ɛ < ɛ. 4 Assim, mostramos que x xo cos x = cos x o. Exemplo 8.5 Mostre que solução: para x 0 x + x x 0 x + x = 0. = ( x + )( x + + ) x( x + + ) = x + x( x + + ) = x = x + +. Observamos que para cada x vale x + + >, assim para cada x 0 temos x < x. x + + Tomemos um ɛ > 0 arbitrário e escolhamos por exemplo δ = ɛ/. Então para cada x satisfazendo 0 < x < δ, vale a desigualdade x x ɛ < x < δ = < ɛ. x E isto por definição significa que = 0, e portanto x 0 x + + = x 0 x + x = x x + + = 0. 0

122 8. Propriedades dos Limites das Funções Para as funções que possuem ite, tem lugar as seguintes afirmações:. Se o ite da função y = f(x) quando x a existe, então ele é único.. Se a função y = f(x) quando x a possui ite, então na vizinhança do ponto x = a, (a δ, a) (a, a + δ), a função f(x) é itada. 3. Se x a f(x) = A e A > 0(A < 0), então existe uma vizinhança do ponto x = a tal que, para cada x desta vizinhança, exceto o ponto x = a, temos f(x) > A(f(x) < A). 4. Se a função f(x) é igual a uma constante C, então x a f(x) = C. 5. Se f(x) = A, então existe o ite da função y = f(x) quando x a e le é igual a x a A, isto é f(x) = A. x a 6. Se o ponto x = a junto com alguma vizinhança pertence ao domínio da função f(x), então existe o ite da função f(x) quando x a e ele é igual a f(a), isto é 7. Se x a f(x) = A e x a g(x) = B, então f(x) = f(a). x a (a) Existe o ite da função f(x) ± g(x) quando x a e é igual a A ± B, isto é (f(x) ± g(x)) = f(x) ± g(x) = A ± B; x a x a x a (b) Existe o ite da função f(x)g(x) quando x a e é igual a AB, isto é (f(x)g(x)) = f(x) g(x) = AB; x a x a x a Em particular, se C é uma constante, então existe o ite da função Cf(x) quando x a e é igual a CA, isto é Cf(x) = C f(x) = CA; x a x a (c) Se B 0, então existe o ite da função f(x)/g(x) quando x a e é igual a A/B, isto é f(x) f(x) x a g(x) = x a g(x) = A B. x a

123 8. Se f(x) = A, g(x) = B e existe uma vizinhança do ponto x = a exceto o ponto x a x a x = a, onde vale f(x) g(x), então A B, isto é f(x) g(x). x a x a 9. Se f(x) = g(x) = A e existe uma vizinhança do ponto x = a exceto o ponto x a x a x = a, onde vale f(x) h(x) g(x), então existe o ite da função h(x) quando x a e é igual a A. Exemplo 8.6 Encontre ( x 0 sin x + 7 cos 5 x + x x + ). Solução: Como x 0 sin x = [ sin x] = 0, x 0 x 0 cos5 x = [ cos x] 5 =, x 0 = x 0 x x + = x 0(x ) x 0 (x + ) =, então usando as propriedades acima enuncíadas, temos Exemplo 8.7 Encontre x 0 ( sin x + 7 cos 5 x + x x+ ) = = x 0 sin x + x 0 7 cos 5 x + x 0 x x + = = = 3. x x x + 5x 6. Solução: Como x + 5x 6 = (x )(x + 6), e para x então x x Exemplo 8.8 Mostre que onde m é um número natural. x x + 5x 6 = (x )(x + ) x (x )(x + 6) = x + x x + 6, x x + 5x 6 = x + x x + 6 = x (x + ) x (x + 6) = 7. ( + x) m x 0 x = m, Solução: Pela fórmula do binômio de Newton para x 0, temos ( + x) m x m(m ) + mx + x x m = x = m + m(m ) x x m. =

124 Como para qualquer número natural k temos x 0 x k = 0, então ( + x) m x 0 x ( = m + x 0 = x 0 m + Exemplo 8.9 Mostremos que y = x 0 sin x x =. ) m(m ) x x m = m(m ) x 0 x x 0 x m = m. Soluçãao: Esta função está definida para todo x, exceto para x = 0, pois tanto o numerador como o denominador tendem a zero para este valor. Observamos que quando x muda de sinal, a fração sin x não muda de sinal, pois é par, então é suficiente encontrar o ite quando x x tende a zero pela direita. Vamos analizar x como o ângulo central(em radianos) do círculo trigonométrico de raio : sin x = AC, x = arc(ab), tan x = AD, onde AD é a tangente à circunferência no ponto A. Obserando na figura, temos sin x < x < tan x, donde, dividendo por sin x, obtemos: ou sin x Mas cos x =, e a função y = x 0 x 0 x para, e por isso < x sin x < cos x > sin x x Enuncíemos alguns ites importantes: > cos x. constantemente fica entre e uma função que tende y = x 0 sin x x =. Exemplo 8.0 Encontre ) x 0 ( + x) /x = e. ) x 0 ln( + x) x =. ( + x) α 3) x 0 x ) x 0 a x x x 0 = α, α 0. = ln a, a > 0, a. sin αx, αβ 0. sin βx 3

125 Y A x C D x 0 X B Solução: Observamos que não podemos aplicar o teorema da divisão do ite, pois o denominador x 0 sin βx = 0. Calculemos o ite da seguinte forma: sin αx x 0 sin βx = x 0 α = x 0 β = α β x 0 αx βx = βx sin αx αx sin βx x 0 sin αx αx sin βx βx sin αx αx sin βx βx = = α β. Aqui usamos o seguinte fato: se x 0, então e αx 0. Por isso Exemplo 8. Encontre Solução: x π sin αx x 0 αx + cos x cos x 8.3 Limites Infinitos = sin αx αx 0 αx x π = x π + cos x. cos x cos x cos x αx=u sin u = u 0 u =. = cos x = 0. x π Definição 8.3. Seja f(x) uma função definida dentro de algum intervalo, contendo o ponto a, exceto o mesmo ponto x = a. Dizemos que a função f(x) quando x a tende para + e 4

126 escrevemos f(x) = +, x a se para qualquer número A > 0, existe um δ > 0. tal que para cada x satisfazendo a condição 0 < x a < δ, cumpre-se f(x) > A. Definição 8.3. Seja f(x) uma função definida dentro de algum intervalo, contendo o ponto a, exceto o mesmo ponto x = a. Dizemos que a função f(x) quando x a tende para e escrevemos f(x) =, x a se para qualquer número A > 0, existe um δ > 0. tal que para cada x satisfazendo a condição 0 < x a < δ, cumpre-se f(x) < A. Para as funções que possuem ites infinitos valem as seguintes afirmações: Sejam as funções f(x) e g(x) definidas numa vizinhança do ponto x = a, exceto do ponto x = a, então. Se x a f(x) = + e x a g(x) = +, então. Se x a f(x) = + e x a g(x) =, então 3. Se x a f(x) = + e x a g(x) = A, então 4. Se x a f(x) =, então 5. Se x a f(x) =, então a) x 0 (f(x) + g(x) = + ; b) x 0 (f(x)g(x) = + ; a) x 0 (f(x) g(x) = + ; b) x 0 (f(x)g(x) = ; a) (f(x)g(x) = +, x 0 se A > 0; b) (f(x)g(x) =, x 0 se A < 0. x 0 a) f n (x) = +, n N; x 0 b) f n (x) =, n N. x 0 n f(x) = +, n, n N. 6. Se x a f(x) = +, então 5

127 (a) se g(x) M > 0 numa vizinhança do ponto x = a, exceto este ponto, isto é, 0 < x a < δ, então (f(x)g(x) = + ; x a (b) se g(x) m < 0 numa vizinhança do ponto x = a, então (f(x)g(x)) = ; x a 7. se x a f(x) = +, então x a f(x) = Se x a f(x) = 0, e f(x) 0 numa vizinhança do ponto x = a, então Por exemplo, x então pelas afirmações acima, temos Exemplo 8. Mostre que Solução: Como x a = + e (x ) x x f(x) = +. (x )(x 3) = 4, (x ) (x )(x 3) =. cos x x 0 x x 0 = +. x = + e numa vizinhança do ponto x = 0, temos cos x /, então podemos concluir que 8.4 Limites no Infinito cos x x 0 x Seja a função f(x) definida no intervalo [a, + ). = +. Definição 8.4. Dizemos que o número A é o ite da função f(x) quando x +, se para qualquer ε > 0 arbitrário encontra-se um número positivo, que para cada x, satisfazendo x >, vale a desigualdade f(x) A < ɛ, e escrevemos f(x) = A. x + Seja a função f(x) definida no intervalo (, a]). 6

128 Definição 8.4. Dizemos que o número A é o ite da função f(x) quando x, se para qualquer ε > 0 arbitrário encontra-se um número positivo, que para cada x, satisfazendo x <, vale a desigualdade f(x) A < ɛ, e escrevemos Exemplo 8.3 Mostre que f(x) = A. x x + x + = 0. Solução: Tomemos um ɛ > 0 arbitrário. Mostremos que existe tal que para cada x satisfazendo x >, cumpre-se x + < ε. x + De fato, se tomar por exemplo = /ε, então para cada x, satisfazeendo x > ( > 0), temos x + < x < = ( /ε) = ε. Exemplo 8.4 Mostre que = 0, n > 0. x + xn Solução: Tomemos um ɛ > 0 arbitrário. Mostremos que existe tal que para cada x satisfazendo x >, cumpre-se < ε. x n x + De fato, se tomar por exemplo = /ε /n, então para cada x, satisfazeendo x >, temos Exemplo 8.5 Calcule Solução: para x 0 temos x n = x n < n = (/ε /n ) n = ε. a) x + 4x x = 4 x, x x ± x x + x 4x ; b) x x então usando as propriedades do ite, obtemos x 3 + x 3 + x + x +. x 3 + x 3 + x + x + = + x + x + x + x 3. = 0, k N, ( k x + x ) = 0; ( + x + x + x ) = 0, 3 ( 4 4 ) = 4, ( + x ) =, x x + 3 4x a) x + x 4 x = x + = ( x ) 4 x + x = ( ) = = 7 x + 4 x + x + x x x = 4;

129 Exemplo 8.6 Calcule Solução: b) x x 3 + x 3 + x + x + = ( x + x x) = x + x x + x + x = x + x + x ( x + x x). x + + x + x + x + x 3 =. ( x + x x)( x + x + x) x + x + x + x x + + /x + =. 8.5 Funções Contínuas x x( + /x + ) = Lembremos que quando definimos o ite de uma função num ponto dado, o valor da função neste ponto é irrelevante,o que interessa é entender o comportamento da função na vizinhança do ponto dado. É interesante o caso quando o te da função y = f(x), x (a, b), no ponto x o (a, b) é igual ao valor f(x o ). Seja a funçao f(x) definido no intervalo (a, b) e x o um ponto deste intervalo. A função chama-se contínua no ponto x o, se f(x) = f(x o ). x x o Por exemplo, a) a função y = x 3 é contínua no ponto x =, pois x x3 = 8, y() = 8 = 8 = 3 ; x b) A função y = signx não é contínua no ponto x = 0, pois não existe x 0 signx; = signx =, x 0 + signx =, x 0 isto é. c) A função signx signx; x 0 + x 0 y = { (sin x)/x, x 0,, x = 0. não é contínua no ponto x o = 0, ainda que exista sin x x 0 x (é igual a ), mas este ite é diferente com o valor da função no ponto x = 0 : y(0) =. 8

130 Exemplo 8.7 Esclarecer se a seguinte função é contínua no ponto x o = 0 { cos x, x 0, y = x A, x = 0. Solução seja x o qualquer ponto diferente de zero. Então x = x o 0 e x xo cos x o, então pela definição de ite da definição, temos ( cos x) = x xo cos x y(x) = x x o x xo x = cos x o x o = y(x o ). Desta forma a função dada é contínua no ponto x o, se x o 0. Seja x o = 0. Como cos x = sin x = ( sin x ) x x = x 0 x/. Por isso, se y(0) = /, a função dada é contínua no ponto x = 0, mas se y(0) = A /, então a função não é contínua em x = Principais Teoremas sobre Funções Contínuas. Sejam as funções y = f(x), x (a, b) e y = g(x), x (a, b) contínuas no ponto x o (a, b), então; (a) a função y = f(x) é itada na vizinhança do ponto x o, (x o δ, x o + δ), δ > 0; (b) se f(x o ) > 0(f(x o ) < 0), então existe uma vizinhança do ponto x o, (x o δ, x o + δ), δ > 0, tal que para cada x deste intervalo f(x) > 0(f(x) < 0); (c) as funções y = f(x) ± g(x) são contínuas no ponto x o ; (d) a função y = f(x)g(x) é contínua no ponto x o ; (e) se a função y = g(x) é diferente de zero no ponto x o, então a função y = f(x)/g(x) é contínua no ponto x o ; (f) se a função y = f(x) monotonamente cresce(decresce) no intervalo (a, b), então a função inversa x = f (y) é contínua no ponto f(x o ).. Se a função f(x) é contínua no ponto x o, e a função g(u) é contínua no ponto u o = f(x o ), então a função composta g(f(x)) é contínua no ponto x o, isto é, ( ) g(f(x)) = g f(x) = g(f(x o )). x x o x x o 9

131 Destas propriedades segue que cada função elementar e contínua em cada ponto de seu domínio de existência. Assim por exemplo, como a função f(x) C e g(x) = x são contínuas em qualquer ponto da reta numérica, então. o polinômio P n (x) = a o x n + a x n a i x n i a n x + a n é uma função contínua em cada ponto da reta numérica;. a função racional y = P n (x)/q m (x), onde P n (x) e Q m (X) são polinômios, é uma função contínua em toda a reta numérica onde ela está definida. Seja a função y = f(x) definida no intervalo (a, b). A função y = f(x) chama-se contínua a direita(esquerda) no ponto x o (a, b), se ( ) f(x) = f(x) = f(x o ) x xo x>x o x x + o f(x) = x xo x<x o x x o f(x) = f(x o ) Por exemplo, a) a função y = x é contínua a direita e a esquerda em qualquer ponto x o R, pois b) a função x = x x x + o = o x x o y = é contínua a direita no ponto x = 0, pois x 0 + y(x) = x ; { x, x 0, + x, x < 0, x 0 x>0 mas não é contínua a esquerda no ponto x = 0, pois x 0 y(x) = x = 0 = y(0), x 0 x>0 y(x) = y(x) = ( + x) = y(0); x 0 x<0 c) A função y = signx não é contínua a esquerda no ponto x = 0 e nem contínua a direita do ponto x = 0, pois y(x) = y(x) = () =, + e y(0) = 0. x 0 x 0 x 0 x>0 x 0 x<0 x 0 x>0 y(x) = y(x) = ( ) =, x 0 x<0 A função y = f(x), x (a, b) é contínua no ponto x o (a, b) se e somente se y = f(x) é contínua a esquerda e contínua a direita no ponto x o, isto é, x 0 x 0 x<0 f(x) = f(x) = f(x). + x 0 x 0 Dis-ze que função y = f(x) é contínua no intervalo (a, b) se é contínua em cada ponto deste intervalo. A função y = f(x) chama-se contínua no intervalo [a, b], se ela é contínua no intervalo (a, b) e no ponto a é contínua a direita, e no ponto b é contínua a esquerda. 30.

132 Exemplo 8.8 Analizar a continuidade da função y = sin x x 5x + 6. Solução: O domínio da função y(x) é todo R exceto os pontos x = e x = 3. De fato, as funções y = sin x e y = x 5x + 6, são contínuas em toda a reta numérica e a função y = x 5x + 6 é diferente de zero em todo R exceto nos pontos x = e x = 3. Por isso, pelo teorema da divisão de funções contínuas, a função dada é contínua nos intervalos (, ) (, 3) (3, + ). O gráfico de uma função contínua definida num intervalo apresenta-se como uma linha contínua, isto é, como uma linha que pode ser disenhada sem levantar o lapis do papel. 8.7 propriedades das Funções Contínuas num Intervalo Seja a função y = f(x) contínua no intervalo [a, b], então:. A função y = f(x) é itada neste intervalo.. A função y = f(x) atinge seu valor máximo e valor mínimo, isto é, se m é o valor mínimo e M o valor máximo da função y = f(x) no intervalo [a, b], então existem tais x, x [a, b] tais que f(x ) = m, f(x ) = M. 3. Se f(a)f(b) < 0, então existe um ponto x o (a, b), tal que f(x o ) = 0. Geometricamente, esta afirmação significa que o gráfico da função contínua y = f(x) no intervalo [a, b], pelo menos num ponto corta o eixo 0X. Y f(a)f(b) 0 (a,f(a)) 0 a x x x3 b X (b,f(b)) 3

133 4. Se m é o menor valor e M o maior valor da função contínua y = f(x) no intervalo [a, b], então para qualquer c [m, M], existe ao menos um x o [a, b] tal que f(x o ) = c. 5. Se a função y = f(x) é igual a zero nos pontos x = a e x = b(f(a) = f(b) = 0), e é diferente de zero nos outros pontos de [a, b], então em todo o intervalo (a, b) a função y = f(x) ou é negativa ou é positiva. Exemplo 8.9 Resolver a desigualdade ( x ) arcsin x > 0. Solução: Consideremos a função f(x) = ( x ) arcsin x, cujo domínio é o intervalo [, ]. Observamos que a função considerada é contínua neste intervalo e é igual a zero nos pontos: x =, x = 0 e x =. Portanto, pela propriedade 5., a função f(x) = ( x ) arcsin x conserva o sinal nos intervalos (, 0) e (0, ). Como f( ( ) = ) arcsin 4 > 0, então a função f(x) = ( x ) arcsin x é positiva no intervalo (0, ). Como f( ( ) = ) arcsin( 4 ) < 0, então a função f(x) = ( x ) arcsin x é negativa no intervalo (0, ). Assim cada x (0, ) é solução da inequação ( x ) arcsin x > 0. 3

134 Capítulo 9 Derivada e suas aplicações 9. Definição da Derivada Seja a função y = f(x) definida no intervalo (a, b), x o (a, b) e o número x é tal que x + x também pertence ao intervalo (a, b). A diferença f(x o ) = f(x o + x) f(x o ) chama-se incremento da função no ponto x o, e x é o incremento da variável no ponto x o. A derivada da função f(x) no ponto x o chama-se o ite da relação f(x o )/ x quando x 0 ( se o ite existe). A derivada de f(x) no ponto x o denota-se por f (x o ). Assim, por definição f f(x o ) (x o ) = x 0 x f(x o + x) f(x o ) = x 0 x x=x x o = x xo f(x) f(x o ) x x o. A função que possui derivada no ponto x o chama-se diferenciável no ponto x o. Se a função y = f(x) é diferenciável em cada ponto do intervalo (a, b), então dizemos que ela é diferenciável neste intervalo. Exemplo 9. Calcular a derivada da função y = x 3 no ponto x o =. Solução: Primeiramente encontremos o incremento da função y = x 3 no ponto x o = ; y = f(+ x) f() = (+ x) 3 3 = +3 x+3( x) +( x) 3 = 3 x+3( x) +( x) 3. Por definição f(x o ) x 0 x 3 x + 3( x) + ( x) 3 = x 0 x = x 0 (3 + 3( x) + ( x) = 3. Desta forma, a derivada da função y = x 3 no ponto x o = é igual a y () = 3. Exemplo 9. Mostre que (x n ) = nx n, n N, x R. 33

135 Solução: Escrevendo o incremento da função f(x) = x n, e considerando C n k = temos f(x + x) f(x) = (x + x) n x n = n = Ck n x n k ( x) k x n = k= n! k!(n k)!, = (x n + C nx n x + C nx n ( x) + + C n nx n n ( x) n ) x n = = nx n x + C nx n ( x) + + C n n( x) n. Desta forma f(x) x = nxn + Cnx n ( x) + + Cn( x) n n. Como x 0, então todos os termos, exeto o primeiro tendem a zero, isto é Exemplo 9.3 Mostre que f (x) = 0 f(x) x = nxn.. (cos x) = sin x, x R. (sin x) = cos x, x R, Solução: ) Para a função f(x) = cos x, temos Portanto f(x) x 0 x f(x) x cos(x + x) cos x = = x x x sin( ) sin(x + = ) = x x sin( = ) sin(x + x ). x ( sin( x = ) x 0 x = x 0 ( sin( x ) x ) sin(x + x ) = ) x x sin(x + ) = sin x. Assim, (cos x) = sin x em cada ponto x. Solução: ) Para a relação do incremento da função f(x) = sin x e o incremento da variável no ponto x, temos f(x) sin(x + x) sin x = = x x x x sin( ) cos(x + = ) = x x sin( = ) cos(x + x x ). 34

136 Portanto f(x) x 0 x = x 0 = x 0 ( sin( x ) x ( sin( x Assim, (sin x) = cos x em cada ponto x. Para calcular cos(x + x) cos x x foram usados as seguintes afirmações sin t ) t 0 t = ; ) x 0 ) x e ) cos(x + x ) = ) x x cos(x + ) = cos x. sin(x + x) sin x, x x sin(x + ) = sin x; 3) x 0 x cos(x + ) = cos x. 9. Principais Regras para Calcular a Derivada Enunciemos a seguir as principais regras de derivação de uma função definida num intervalo (a, b).. (c) = 0, onde c é uma constante.. Se a função f(x) possui derivada no ponto x e c é uma constante, então a função cf(x) também possui derivada no ponto x, e (cf(x)) = cf (x). 3. Se as funções f(x) e g(x) possuem derivadas no ponto x, então a função f(x) ± g(x) também possui derivada neste ponto, e (f(x) ± g(x)) = f (x) ± g (x). 4. Se as funções f(x) e g(x) possuem derivadas no ponto x, então a função f(x)g(x) também possui derivada neste ponto, e (f(x)g(x)) = f (x)g(x) + f(x)g (x). 5. Se as funções f(x) e g(x) possuem derivadas no ponto x, e g(x) 0, então a função f(x)/g(x) também possui derivada neste ponto, e ( ) f(x) = f (x)g(x) f(x)g (x). g(x) g (x) Como exemplo, mostremos a regra 4. Exemplo 9.4 Mostre que se as funções f(x) e g(x) possuem derivadas no ponto x, então a função f(x)g(x) também possui derivada neste ponto, e (f(x)g(x)) = f (x)g(x) + f(x)g (x). 35

137 Prova: por hipótese, temos f(x + x) f(x) x 0 x Daqui por exemplo, obtemos = f g(x + x) g(x) (x), x 0 x f(x + x) f(x) δx = f (x) + α, = g (x). onde α 0, se x 0. Portanto, f(x + x) = f(x) + x(f (x) + α) 0, se x 0, e isto significa que f(x + x) = f(x). x 0 Como f(x + x)g(x + x) f(x)g(x) = = f(x + x)g(x + x) f(x)g(x + x) + f(x)g(x + x) f(x)g(x) = = (f(x + x) f(x))g(x + x) + f(x)(g(x + x) g(x)), então f(x + x)g(x + x) f(x)g(x) = x 0 ( x f(x + x) f(x) = g(x + x) + f(x) x x f(x + x) f(x) = x x = f (x)g(x) + f(x)g (x), g(x + x) + f(x) x 0 x 0 ) g(x + x) g(x) = x g(x + x) g(x) x = e a regra 4 está provada. De forma análoga mostra-se as otras regras de derivação. Exemplo 9.5 Encontrar a derivada do polinômio P n (x) = a n x n + a n x n a x + a o. Prova: usando a regra 3. e logo a regra., obtemos P n(x) = (a n x n ) + (a n x n ) (a x) + (a o ) = = a n (x n ) + a n (x n ) a (x) + (a o ) = = na n x n + (n )a n x n a x + a. Exemplo 9.6 Encontrar a derivada da seguinte função f(x) = (x 3x + ) cos x. Prova: Pela regra de multiplicação, temos f (x) = ((x 3x + ) cos x) = (x 3x + ) cos x + (x 3x + )(cos x) = (.(x ) 3x + () ) cos x + (x 3x + )(cos x) = (4x 3) cos x + (x 3x + )( sin x) = (4x 3) cos x (x 3x + ) sin x. 36

138 Exemplo 9.7 Encontre a derivada da função { x f(x) = sin, x 0, x 0, x = 0, nos pontos x = e x = 0. Solução: Para cada x 0, usamos as regras de derivação e fórmulas para o cálculo das derivadas, e obtemos f (x) = ( x sin x) = x sin x + x cos x ( x ) = = x sin x cos x ; por isso f () = 4 sin cos. A derivada da função dada no ponto x = 0 vamos calcular usando a definição de derivada num ponto: f f(0 + x) f(0) (0) = = x 0 x Como x 0, e sin, então x assim f (0) = 0. = x 0 = x 0 ( x) sin 0 x = x ( x sin x ). ( x sin x 0 x ) = 0. Exemplo 9.8 Mostre que a função y = x não é diferenciável em x = 0. Solução: O incremento da função y = x é igual a Por definição, encontramos, que f(0) = f(0 + x) f(0) = 0 + x 0 = x. f (0) = x 0 x x = f +(0) = x 0 + x x = x x 0 x x x 0 + x = = Como f (0) f +(0), então a função y = x não é diferenciável no ponto x = 0(embora ela seja contínua neste ponto). Exemplo 9.9 Mostre que a função y = (x )(x ) não é diferenciável nos pontos x = e x =. Solução: Encontremos f (), f +() e f (), f +(). Os incrementos da função f(x) nos pontos x = e x = são iguais respectivamente a f() = f( + x) f() = x( x ), f() = f( + x) f() = x( x + ). 37

139 Por tanto f () = x 0 x( x ) x f +() = x 0 + x( x ) x f () = x 0 x( x + ) x f +() = x 0 + x( x + ) x = x 0 x( x ) x = x 0 + x( x ) x = x 0 x( x + ) x = x 0 + x( x + ) x = = = Como f () f +() e f () f +(), então a função f(x) = (x )(x ) não é diferenciável nos pontos x = e x =. =. Exemplo 9.0 Mostre que a função y = x x é diferenciável no ponto x = 0. Solução: Temos f (0) = x 0 x x x f +(0) = x 0 + x x x = x 0 ( x) = 0 = x 0 +( x) = Como f (0) = f +(0) = 0, então a função y = x x é diferenciável no ponto x = 0 e f (0) = Interpretação Geométrica da Derivada Seja o ponto M o (x o, y o ) pertencente ao gráfico da função y = f(x), definido no intervalo (a, b). Consideremos o ponto M(x, y) também pertencente ao gráfico da função y = f(x), e traçemos a reta secante M o M. Quando movemos o ponto M(x, y) pelo gráfico da função, a reta secante mudará sua posição. Se o ponto M tende para o ponto M o, então pode acontecer que a reta secante ocupará uma posição ite que não depende de como o ponto M tenda para M o. Y M(x,y) M o 0 X 38

140 Definição 9.3. Chama-se reta tangente ao gráfico da função y = f(x) no ponto M o = (x o, y o ) a posição ite da reta secante que pasa pelos pontos M o = (x o, y o ) e M = (x, y)(se ele existe) quando o ponto M tende para M o. Vale notar que nem toda função y = f(x) possui reta tangente em cada ponto de seu gráfico. Por exemplo na seguinte figura observamos que a função não possui reta tangente no ponto x o. Y 0 x o X A equação da reta secante que passa pelos pontos M o = (x o, f(x o )) e M = (x o + x, f(x o + x)) é dado pela equação: ou seja, y f(x o ) = f(x o + x) f(x o ) x x o x = f(x o) x, y f(x o ) = f(x o) x (x x o). (9.) Do gráfico abaixo, vemos que f(x o) = tan a. Se a função y = f(x) é diferenciável no ponto x x = x o, então a reta secante tende a sua posição ite quando M M o (quando x 0). Desta forma o ângulo a tende para o ângulo ite b, isto é f(x o ) tan b = tan a = x 0 x 0 x = f (x o ). Por conseguinte, a equação da reta tangente ao gráfico da função y = f(x) no ponto x = x o, pode-se obter de (9.) e pode escrever-se como y = f (x o )(x x o ) + f(x o ). Exemplo 9. Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função y = x 3 x no ponto x o =. 39

141 Y M M o N b a 0 xo x o + h X Solução: Como y() = 4 e y = 3x x, então y () = 8. Escrevendo a equação da reta tangente, y = y ()(x ) + y(), obtemos y = 8x. Exemplo 9. Encontrar o ângulo entre a direção positiva da absiças e a reta tangente a parábola y = x 4x 7 no ponto com absiça x o =, 5. Solução: Como y = x 4, então y (, 5) =. Por isso, supondo que ϕ seja o ângulo que formam a reta tangente e o eixo das absiças, temos tan ϕ =, donde segue que ϕ = π/4. Exemplo 9.3 Encontre o ângulo entre as retas tangentes ao gráfico da função y = x 3 x nos pontos com absiças x = e x = 0. Solução: Como y = 3x, então y ( ) = e y (0) =. Desta forma temos que calcular o ângulo entre as retas tangente y = (x + ) e y = x. Daqui encontramos tan ϕ =, tan ϕ =, segue então ϕ = arctan, e ϕ = 3π/4. Como arctan < π0 < 3π/4, então o ângulo desejado é o menor dos ângulos ϕ ϕ e π (ϕ ϕ ), isto é o menor dos números 3/4π arctan e π/4 + arctan. Como arctan > arctan = π/4, então π04 + arctan > π/,e portanto o valor do menor ângulo entre as retas tangentes é 3/4π arctan. Observação 9. Se consideramos duas retas y = k x + b e y = k x + b (k 0, k 0), então o valor do ângulo ϕ, 0 ϕ π/, entre estas retas encontra-se pela relação e ϕ = π/ se k k =. tan ϕ = k k + k k, se k k Exemplo 9.4 Encontre o ângulo entre os gráficos das funções f(x) = x e g(x) = x / no ponto de suas interseções. 40

142 Y y = f(x) y = g(x) 0 X Solução: As absiças dos pontos de interseção dos dois gráficos satisfazem a equação x = x ) ou o seguinte sistema { x 0 x = x 4 /4. Daqui encontramos x = 0 e x =. Encontremos a tangente dos ângulos de inclinação das retyas tangentes aos dois gráficos das funções no ponto x. Temos f (x) =. =, g (x) =.x = x. x x Donde, f () = / e g () =. Como f() = g() =, então as equações das retas tangentes ao gráficos das funções y = f(x) e y = g(x) no ponto (, ) são y = (x ) + e y = (x ) +, respectivamente isto é, y = x + e y = x. Portanto o ângulo α entre as retas tangentes satisfaz a equação tan α = 3 = +. 4, desta forma os gráficos da funções f(x) e g(x) no ponto (, ) cortam-se num ângulo igual a arctan

143 9.4 Derivada das Funções Compostas e Inversas Seja y = f(x) uma função contínua no intervalo [a, b], e além disso o seu contradomínio pertence ao intervalo [c, d]. Seja z = g(y) uma função contínua no intervalo [c, d]. Entendendo y como função de x, obtemos a função composta de x: z = g(y) = g[f(x)]. Teorema 9.4. Se a função y = f(x) é diferenciável no ponto x = x o, e a função z = g(y) possui no ponto y = y o derivada, g (y), então a função composta z = g[f(x)] também possui derivada no ponto x o, e z x = g yf x. Prova: Seja x o incremento, que damos ao ponto x o, então y = f(x o + x) f(x o ) é o incremento da variável y. Agora passemos para a regra da função inversa. Se a função y = f(x) é contínua e cresce no intervalo (a, b), e além disso, f(a) = c e f(b) = d., então como já sabemos, existe a função inversa contínua no intervalo (c, d) que também é crescente x = ϕ(y). Teorema 9.4. Se a função y = f(x) possui derivada no ponto x o, f (x o ) diferente de zero, então a função x = ϕ(y) possui derivada no ponto y o = f(x o ), e ϕ (y o ) = f (x o ). Prova: Seja x o incremento, que damos ao ponto x o, então y = f(x o + x) f(x o ) é o incremento da variável y, e considerenado que ambos são diferentes de zero, podemos escrever Exemplo 9.5 Mostre que. (ln x) = x, x > 0;. (arcsin x) =, x < ; x 3. (arctgx) = + x, x R. x y =. δy x Solução: Usando as regras de diferenciação para as funções inversas e as fórmulas encontramos. (ln x) = e ln x = x ; (e x ) = e x, (sin x) = cos x, (tgx) = cos x, 4

144 . (arcsin x) = cos(arcsin x) = sin (arcsin x) = = ; x 3.. (arctgx) = cos (arctgx) = + x. = + tg (arctgx) = De forma análoga mostra-se, que. (arccos x) =, x < ; x. (arcctgx) = + x, x R. Exemplo 9.6 Mostre que. (a x ) = a x ln a, x R, a > 0, a ;. (log a x) =, x > 0, a > 0, a. x ln a Solução: ) Como se sabe então ) Como então a x = e ln ax = e x ln a, (a x ) = (e x ln a ) = e x ln a (x ln a) = a x ln a(x) = a x ln a. (log a x) = log a x = ln x ln a, ( ) ln x = ln a ln a (ln x) = x ln a. 9.5 Tabela das Derivadas e Exemplos Enumeremos uma tabela das derivadas das funções que já foram encontradas e de outras que podem ser calculadas usando a definição de derivada:. (c) = 0, c-constante. 43

145 . (cu(x)) = cu. 3. (u + u u n ) = u + u u n. 4. (u u... u n ) = u u... u n + u u... u n + u u... u n 5. ( u v ) = u v uv v. 6. (x n ) = nx n e (x) =. 7. (log a x) = x ln a e (ln x) = x. 8. (e x ) = e x e (a x ) = a x ln a. 9. (sin x) = cos x. 0. (cos x) = sin x.. (tan x) = cos x.. (cot x) = sin x. 3. (arcsin x) = x. 4. (arccos x) =. x 5. (arctan x) = + x. 6. (arccot x) = + x. 7. (u v ) = vu v u + u v v ln u. 8. y x = y u.u x (y depende de x através de u). 44

146 9. x y =. y x Apliquemos as regras de derivação acima para os seguintes exemplos: Exemplo 9.7 y = 6 x 5 = x 5/6. Então (y) = x = 5 6x 6 x 5. Exemplo 9.8 y = ln(x + + x ). Então usando a regra da função composta 8, temos (y) = x + + x (x + + x ) = = x + + x [ + ( + x ) ] = = x + + x [ + x + ( + x ) ] = = x + + x ( + x x + ) = = x + x + + x = + x x + =. + x ( ) n x Exemplo 9.9 y =. 3x + De novo, usando a regra 8, temos y ( ) n ( ) ( ) n x x x 3x + 3x = n = n = 3x + 3x + 3x + (3x + ) = nxn (3x + ) n+. Exemplo 9.0 y = cos(x ). Pondo u = x e usando a regra da cadeia, temos y = sin x.(x ) = x cos(x ). 9.6 Análise das Funções e Construção de Gráficos O esquema geral para analizar funções e construir seus gráficos inclui elementos como encontrar intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de extremo, etc. A aplicação da derivada permite simplificar o estudo das funções. É de fácil prova as seguintes afirmações: 45

147 . Seja a função y = f(x) diferenciável no intervalo (a, b). A função y = f(x) é constante no intervalo (a, b) se e somente se f (x) = 0 para qualquer x (a, b).. Sejam f(x) e g(x) duas funções diferenciáveis no intervalo (a, b) e f (x) = g (x) para todo x (a, b), então f(x) = g(x) + c, x (a, b), onde c é uma constante. 3. Se a função diferenciável y = f(x) cresce (decresce) no intervalo (a, b), então f (x) 0(f (x) 0), para todo x (a, b). Teorema 9.6. (Critério suficiente de crescimento(decrescimento)). Se a função f(x) é diferenciável no intervalo (a, b) e f (x) > 0(f (x) < 0), x (a, b), então a função cresce(decresce) neste intervalo.. Se a função f(x) é contínua no intervalo [a, b], diferenciável no intervalo (a, b) e f (x) > 0(f (x) < 0), x (a, b), então a função cresce(decresce) no intervalo [a, b]. Teorema 9.6. (Fermat) Seja a função f(x) definida no intervalo (a, b) e o ponto x o (a, b) é ponto de máximo(mínimo). Então se a função f(x) e diferenciável em x o, f (x o ) = 0. Prova: Suponhamos que f(x o ) é o valor máximo da função. Seja h R tal que x o +h (a, b). Como x o é ponto de máximo, então f(x o + h) f(x o ) 0. Consideremos a seguinte relação f(x o + h) f(x o ). h Como o númerador da fração é não negativa, então f(x o + h) f(x o ) h 0 se h > 0. (9.) e f(x o + h) f(x o ) 0 se h < 0. (9.3) h Por hipótese existe a derivada da função f(x) no ponto x = x o, então de (9.), temos Da mesma forma, de (9.3), temos f(x o + h) f(x o ) h 0 + h f(x o + h) f(x o ) h 0 h = f (x o ) 0. = f (x o ) 0. Como f (x o ) = f (x o ) = f +(x o ), 46

148 Y y = f(x) Y (x o, f(x o )) y = f(x) (x o, f(x o )) X 0 xo 0 xo X segue que f (x o ) = 0. O Teorema de Fermat fornece as condições necessárias para que uma função diferenciável num ponto interior do seu domínio de definição atinja máximo ou mínimo. Enquanto a condição f (x o ) = 0 não é condição suficiente de máximo ou mínimo. Isto mostra-se facilmente na seguinte exemplo. Considere a função f(x) = x 3, cuja derivada é f (x) = (x 3 ) = 3x. Notamos que f (x) = 0 quando x = 0, no entanto o ponto x = 0 não é um ponto de máximo nem mínimo. Do teorema de Fermat segue que os pontos de extremo da função f(x) encontra-se entre os pontos críticos, isto é nos pontos do domínio onde a derivada é igual a zero ou não existe. Desta forma, a reta tangente que passa pelo ponto (x o, f(x o ), onde x o é ponto de extremo da função f(x) é paralela ao eixo das absisas. Teorema (Condições Suficientes para os Extremos):. Seja a função f(x) definida no intervalo (a, b) e contínua no ponto x o (a, b). Se f (x) < 0 no intervalo (a, x o ) e f (x) > 0 no intervalo (x o, b), então o ponto x o é um ponto de mínimo de f(x) no intervalo (a, b).. Seja a função f(x) definida no intervalo (a, b) e contínua no ponto x o (a, b). Se f (x) > 0 no intervalo (a, x o ) e f (x) < 0 no intervalo (x o, b), então o ponto x o é um ponto de mínimo de f(x) no intervalo (a, b) Construção de Gráficos O esquema geral para construir os gráficos das funções inclui elementos como: intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de extremo, intervalos de concavidade, etc. Agora veremos que além disto, o uso da derivda permite simplificar a construção e análise das funções. 47

149 Exemplo 9. Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento da função f(x) = x + x. Solução: O domínio da função é a união dos intervalos (, 0) e (0, ). Como a função f(x) é diferenciável em cada um dos intervalos (, 0) e (0, ) e f (x) = x x 3 = x, então f (x) = 0 quando x o = 3. O Ponto x o = 3 divide o domínio de definição da função dada em três intervalos: (, 0), (0, 3 ) e ( 3, ). Em cada um destes intervalos a derivada conserva sinal constante. Portanto, a função dada cresce nos intervalos (, 0) e ( 3, ). Como a função f(x) é contínua no ponto 3, então este ponto podemos juntar ao intervalo onde ela cresce. Definitivamente obtemos que a função cresce nos intervalos (, 0) e [ 3, + ). Também observamos que f (x) < 0 quando x (0, 3 ) e como a função é contínua no intervalo (0, 3 ], então ela decrese em (0, 3 ]. O gráfico da função é dado a seguir. Y B y = x 0 A X Figura 9.: gráfico da função f(x) = x + x com A = 3 e B = 3/ 3 4 Exemplo 9. Encontre os pontos de extremo da função f(x) = (x ) (x + ) 3. 48

150 Solução: A função f(x) está definida, é contínua e é diferenciável para todos os valores de x. Como f (x) = (x )(x + ) 3 + 3(x )(x + ) = (x )(x + ) (5x ), então f (x) = 0 quando x =, x =, x = /5. Daqui, pelo método dos intervalos encontramos que f (x) > 0 quando x (, /5) e x (, + ) e f (x) < 0 para x (/5, ). Portanto como a função é contínua para todo x, então ela cresce nos intervalos (, /5] e [, + ) e decresce no intervalo [/5, ]. Desta forma, o ponto x = /5 é um ponto de máximo local, e o ponto x = é um ponto de mínimo local. Observamos que sendo f ( ) = 0, o ponto x = não é um ponto de extremo local para a função f(x). Y A - B 0 X Figura 9.: gráfico da função f(x) = (x ) (x + ) 3 com A = e B = /5 Exemplo 9.3 Encontre os intervalos de concavidade da função f(x) = 3x 4 4x 3 +. Solução: A função dada é diferenciável em cada ponto da reta numérica, e f (x) = x 3 x. Para analizar os intervalos de concavidade da função f(x), é necessário estudar o crescimento e decrescimento da função h(x) = f (x) = x 3 x. 49

151 Para isto, verifiquemos o critério de monotonicidade da função ( h (x) = 36x 4x = 36x x ). 3 Como h (x) = 0 quando x = 0 e x = /3, temos h (x) > 0 quando x (, 0) e x (/3, + ), h (x) < 0 quando x (0, /3). Então a função h(x) cresce nos intervalos (, 0) e [/3, + ) e drecrsce no intervalo [0, /3]. Portanto a função f(x) é concava para baixo nos intervalos (, 0] e [0, /3], e concava para cima no intervalo [0, /3]. O gráfico desta função é dada a seguir. Y 0 A X Figura 9.3: gráfico da função f(x) = 3x 4 4x 3 + com A = /3 9.7 Formas Indeterminadas 0 0, Sejam f(x) e g(x) duas funções definidas no intervalo [c, d] e satisfazem as condições do Teorema de Cauchy e se anulam no ponto x = c, isto é f(c) = g(c) = 0 ou f(x) = g(x) = 0. x c x c Então a relação f(x) não existe quando x = c. Mas para outros pontos x c esta fração esta g(x) bem definida. Teorema 9.7. ( o regra de L Hospital-Bernoulli) Sejam f(x) e g(x) duas funções definidas no intervalo [c, d] e satisfazem as condições do Teorema de Cauchy e se anulam no ponto x = c, 50

152 f (x) isto é f(c) = g(c) = 0. Se existe o ite x c g (x) f(x) x c g(x) = f (x) x c g (x). f(x), então existe x c g(x) e Teorema 9.7. ( o regra de L Hospital-Bernoulli) Sejam f(x) e g(x) duas funções contínuas e deriváveis em todo ponto x c e x c f(x) = g(x) =. x c A drivada g (x) não se anula numa vizinhança do ponto x = c. se existe o ite f (x) x c g (x), então existe o ite x c f(x) g(x) e f(x) x c g(x) = f (x) x c g (x). Dizemos que a função (x) = f(x)g(x) é uma indeterminação do tipo 0, se f(x) = 0 e x c g(x) = ±. Reescrevendo F (x) na forma x c f(x) x c g(x) ou na forma x c g(x), f(x) temos que no primeiro caso transformamos a inderminação 0 na indeterminação 0 0 e no segundo caso na indeterminação. Dizemos que a função F (x) = f(x) g(x) é uma indeterminação da forma se f(x) e g(x) valem ou. x c x c Podemos escrever F (x) na seguinte forma F (x) = [ f(x) g(x) ]/ f(x), e transforma-lo numa indeterminação do tipo 0 0 se, f(x) x c g(x) =. As indeterminações do tipo, 0 0 ou 0, podem ser transformados para a indeterminação do tipo 0 usando logaritmação. 5

153 Exemplo 9.4 Calcule o ite da seguinte função x 0 sin x e x 5x. 4x + 7x Solução: Usemos a primeira regra de L Hospital-Bernoulli para as funções f(x) = sin x e x 5x e g(x) = 4x + 7x. Temos f(x) x 0 g(x) = f (x) x 0 g (x) = cos x e x + sin x e x 5 x 0 8x + 7 Exemplo 9.5 Calcule o ite da seguinte função sin x e x x. x 0 5x + x 3 = 4 7. Solução: Usemos a primeira regra de L Hospital-Bernoulli duas vezes para as funções f(x) = sin x e x x e g(x) = 5x + x 3, e g (x) = 0 + 6x 0 quando x 0. Temos f(x) x 0 g(x) f (x) = x 0 g (x) = cos x e x + 4 sin x e x x 0 0x + 3x f (x) = x 0 g (x) = sin x e x + 4 cos e x x x = 5. Exemplo 9.6 Calcule o ite da seguinte função e x + sin x x x + sin x. Solução: Observamos que a função ex + sin x x + sin x é uma indeterminação do tipo, e não podemos aplicar a regra de L Hospital-Bernoulli pois o ite Mas x sin x x (e x + sin x) e x + cos x = x (x + sin x) x + cos x sin x e x = 0, e x e x x x =, então não existe. (e x + sin x) e x ( + sin x = x (x + sin x) x x( + sin x) =. x Exemplo 9.7 Calcule o ite da seguinte função Solução: ln(sin ax) x 0 ln(sin bx). e x ) Usando a segunda regra de L Hospital-Bernoulli, temos ln(sin ax) x 0 ln(sin bx) = a sin bx cos ax x 0 b sin ax cos bx = x 0 Aqui usamos o fato que u 0 sin u u =. 5 cos ax cos bx =. ax sin bx bx sin ax

154 Exemplo 9.8 Calcule o ite da seguinte função [(x sin x) ln x]. x 0 Solução: Observamos qua a função (x sin x) ln x é uma indeterminação do tipo 0. Reescrevendo esta função na forma (x sin x) ln x = ln x, x sin x obtemos uma indeterminação do tipo, e usando a segunda regra de L Hospital-Bernoulli, temos x 0 ln x x sin x = x 0 x ( cos x) (x sin x) = x 0 ( sin x) x(cos x ). uma indeterminação do tipo 0 ; usando a primeira regra de L Hospital-Bernoulli, temos 0 Portanto x 0 ( sin x) x(cos x ) = x 0 (x sin x)( cos x) cos x x sin x = x 0 ( cos x) + (x sin x) sin x sin x sin x x cos x = x 0 cos x + cos x + x sin x sin x sin x x cos x cos x + x sin x + cos x = = x 0 sin cos sin x + sin x + x cos x sin x = x 0 = 0. = 3 cos x + x sin x [(x sin x) ln x] = 0. x 0 Exemplo 9.9 Calcule o ite da seguinte função πx ( x) tan x. Solução: Este ite é da forma 0. Reescrevendo a função ( x) tan πx obtemos uma indeterminação do tipo 0, por isso; 0 x x cot πx = x sin πx π Portanto πx ( x) tan x = π. Exemplo 9.30 Calcule o ite da seguinte função ( cot x ). x 0 x πx = sin x π = π. = = = na forma x cot πx 53

155 Solução: Este ite é da forma. Reescrevendo a função (cot x ) na seguinte forma x ( cot x ) x cos x sin x = x x sin x obtemos a indeterminação do tipo 0. Usando a regra de L Hospital-Bernoulli, temos 0 Portanto x cos x sin x x 0 x sin x x sin x = x 0 sin x + x cos x = sin x x cos x = x 0 cos x x sin x = = 0. ( cot x ) = 0. x 0 x Exemplo 9.3 Calcule o ite da seguinte função Solução: x ( x (x a)(x b) ). Este ite é da forma. Transformemos a função ( x ) (a + b)x ab (x a)(x b) = x + x a)(x b) obtemos uma indeterminação do tipo. Usando a segunda regra de de L Hospital-Bernoulli, temos (a + b)x ab (a + b) x + x a)(x b) = = + x (a+b) x a)(x b) (a + b) + = a + b. = = a+b x ( a x )( b x ) Portanto ( x ) (x a)(x b) = a + b x. Exemplo 9.3 Calcule o ite da seguinte função x x x. Solução: Este ite é da forma 0. Tomemos logaritmo da função f(x) = x x e obtemos ln f(x) = ln x x uma indeterminação da forma. Pela segunda regra de L Hospital-Bernoulli, obtemos [ln f(x)] = [ln x ln x x ] = x x x x = x x = 0. Usando o fato que [ln f(x)] = ln[ f(x)], obtemos x x x x x = e 0 =. 54

156 Exemplo 9.33 Calcule o ite da seguinte função ( ) tan x. x 0 x Solução: Transformando a função e usando a segunda regra de L Hospital-Bernoulli, obtemos ( ) tan x = x 0 x x 0 eln( x )tanx = e tan x ln x = x 0 = e ( tan x ln x) x x 0 x 0 = e sin x = sin x = e x 0 x = e 0 =. 9.8 Aplicações da Derivada sin x = e x 0 sin x x x 0 sin x = O domínio de aplicação da derivada para resolver problemas de matemática elementar é muito basto. Por exemplo podemos ver o uso da derivada para mostrar igualdades, cálculo de somas, resolução de equações, desigualdades e sistemas, análise de funções, etc. Na base destas aplicações estão os teoremas básicos que enunciaremos enseguida.. Se a função f(x) e g(x) são diferenciáveis no intervalo (a, b) e f(x) g(x), x (a, b), então f (x) = g (x), x (a, b).. Se a função f(x) e g(x) são diferenciáveis no intervalo (a, b) e f (x) g (x), x (a, b), então f(x = g(x) + c, onde c é uma constante. Em particular, se a função f(x) é diferenciável no intervalo (a, b) e f (x) 0, x (a, b), então f(x) é identicamente a uma constante. 3. Se a função f(x) é diferenciável no ponto x o (a, b), então ela é contínua no ponto x = x o. 4. Se a função f(x) é diferenciável no intervalo (a, b) e f (x) > 0(f (x) < 0), x (a, b), então a função f(x cresce (decresce) no intervalo (a, b. 5. Teorema (Rolle) Se a função f(x) é contínua no intervalo [a, b] e diferenciável no intervalo (a, b) e f(a) = f(b), então existe ao menos um ponto c (a, b) tal que f (c) = 0. Prova: A função f(x) contínua no compacto [a, b] atinge seu máximo e mínimo nos pontos deste intervalo. Suponhamos que seja m e M seu mínimo valor e seu máximo valor respectivamente. Se temos m = M, então a função f(x) = constante, e portanto sua derivada é zero em todos os pontos de (a, b). Por outro lado, seja m M, então m < M. Como f(a) = f(b), então algum dos números m o M é diferente de f(a) e f(b). Suponhamos que f(a) = f(b) M. Como o máximo valor é atingido no interior do intervalo (a, b), então pelo Teorema de Fermat existe x o (a, b) tal que f (x o ) = 0. 55

157 Y M A B 0 a c b X Observação 9. Se a função y = f(x) não é diferenciável no interior do intervalo, então a conclusão do teorema de Rolle pode ser falsa. Por exemplo a função f(x) = 3 x é contínua no intervalo [, ]) e f( ) = f() = 0, mas a derivada f (x) = 3 3 x é diferente de zero no intervalo (, ). Isto acontece porque a derivada f (x) não existe(é + ) quando x = Teorema (Lagrange-Teorema do Valor Médio(TVM)) Se a função f(x) é contínua no intervalo [a, b] e diferenciável no intervalo (a, b), então existe ao menos um ponto x o (a, b) tal que f(b) f(a) = f (x o )(b a). Prova: Consideremos a seguinte função contínua em [a, b] e diferenciável em (a, b) F (x) = f(a) + f(b) f(a) (x a), x [a, b]. b a Observamos que F (a) = f(a) e F (b) = f(b). Derivando F (x), obtemos F (x) = f(b) f(a). b a 56

158 Y - 0 X Consideremos a função G(x) = f(x) F (x), isto é, Como G(x) = f(x) f(a) f(b) f(a) (x a), x [a, b]. b a G(a) = f(a) f(a) 0 = 0 G(b) = f(b) f(a) f(b) + f(a) = 0, a função G(x) satisfaz as condições do teorema de Rolle, portanto existe x o (a, b) tal que G (x o ) = 0, isto é, G (x o ) = f f(b) f(a) (x o ) = 0, b a donde f f(b) f(a) (x o ) =, b a e o teorema está provado. A interpretação geométrica do Teorema de Lagrange consiste no seguinte: o valor da derivada f (c) é igual ao valor da tangente do angulo(cab), isto é, f (c) = f(b) f(a) b a = CB AC = tan(cab). Já sabemos que a derivada de uma função constante é zero. Podemos usar a fórmula de Lagrange para mostrar um resultado inverso: Se a derivada f (x) = 0, x (a, b), então a função f(x) é constante neste intervalo. 57

159 Y D B f(b) - f(a) A f(a) C 0 a c b X De fato, tomemos um número arbitrário x do intervalo (a, b), isto é, a < x < b. Aplicando o Teorema de Lagrange para o intervalo (a, x), temos f(x) f(a) = f (x o )(x a), x o (a, x), como f (x o ) = 0, segue que f(x) = f(a) = constante. Exemplo 9.34 Encontre todos os pares de números (a, b), onde a > 0, b 0, tais que vale a desigualdade a ln x + b = ln(ax + b), x > 0. Solução: Seja o par (a o, b o ), é tal que a o ln x + b o = ln(a o x + b o ) para cada x > 0. Depois de derivar a função para x > 0, obtemos a o x = a o a o x + b o. Esta última igualdade só é possível para o par (, 0). Portanto uma verificação rápida nos convencemos que o par de números (, 0) é uma solução do exercício. Exemplo 9.35 Para cada valor de a encontre o número de raizes da equação x 3 3x a = 0. (9.4) 58

160 Solução: Encontremos os intervalos de crescimento e decrescimento da função x 3 3x. Como f (x) = 3x 6x = 3x(x ), então f (x) < 0, quando 0 < x <, f (x) = 0, quando x = 0 e x =, f (x) > 0, quando x < 0, e x >. Desta forma, a função contínua f(x) no ponto x = possui mínimo local, e no ponto x = 0 um máximo local. E também f(0) = 0, f() = 4. Além disso, a função f(x) decresce no intervalo [0, ] e cresce nos intervalos (, 0] e [, + ). Observamos que f(x) = +, x + f(x) = x Daqui segue, que para calcular a dependência do número de raizes da equação (9.4) dos possíveis valores de a, é necessário disenhar os gráficos da função f(x) e reta y = a, quando a pode tomar valores em (, + ). Como a função f(x) é contínua em cada ponto do seu domínio e é um polinômio de terceiro grau, significa que ela possui uma raiz real ou três raizes reais, então. Quando a > 0 a equação possui uma raiz;. Quando a = 0 a equação possui três raices (x = x = 0; x 3 = 3), entre as quais dois coincidem; 3. Quando 4 < a < 0 a equação possui três raices diferentes; 4. Quando a = 4 a equação possui três raices (x = x = ; x 3 = ), entre as quais dois coincidem; 5. Quando a < 4 a equação possui uma raiz. Exemplo 9.36 Demonstre a desigualdade ln n > ln(n ) ln(n + ), n >. Solução: Reescrevamos a inequação na seguinte forma ln n ln(n ) ln(n + ) >. ln n Analizemos a função e encontremos sua derivada. f(x) = ln x ln(x ) x (, + ), f (x) = ln(x ) x ln x x ln (x ) = x ln(x ) x ln(x ) x(x ) ln (x ). 59

161 Como f (x) < 0 para x >. Então a função f(x) decresce no intervalo (, + ), e portanto f(n) > f(n + ), n >, isto é ln n ln(n + ) >. ln(n ) ln n de onde obtemos a desigualdade desejada. Exemplo 9.37 Demonstre que 4 tg 5 tg 9 < 3 tg 6 tg 0. Solução: Analizemos a seguinte função calculando a derivada de f(x), f(x) = tg x x, 0 < x < π/4. f (x) = x sin x cos x, 0 < x < π x cos x 4, x sin x cos x = (x sin x) > 0, 0 < x < π 4, então a função f(x) cresce no intervalo (0, π/4). Desta forma, tg 5π 6π tg tg 9π <, 5π 6π 9π e portanto, Exemplo 9.38 Qual desses números é maior < 0π tg 80, 0π 80 4 tg 5 tg 9 < 3 tg 6 tg 0. (sin π/6) sin π/3 sin π/6 ou (sin π/3) Solução: Analisemos a função Calculando a derivada temos f(x) = ln x x, x > 0. f (x) = ln x x,. f (x) > 0 quando 0 < x < e,. f (x) = 0 quando x = e, 3. f (x) < 0, quando x > e. 60

162 Desta forma, a função f(x) cresce no intervalo (0, e] e decresce no intervalo [e, + ). Portanto, se 0 < x < y < e, então isto é Analogamente, se e x < y, então isto é Daqui, e considerando que concluimos que ln x x < ln y y, x y < y x quando 0 < x < y < e. ln x x > ln y y, x y > y x quando e x < y. sin π/6 = < sin π/3 = 3 (sin π/6) sin π/3 < (sin π/3) sin π/6. Observamos que das desigualdades funcionais obtidas acima, temos, por exemplo 00 0 > 0 00, e π > π e, (ln 5) 3 < 3 ln 5. Exemplo 9.39 Mostre que para quaisquer números positivos a e b tais que a < b, e qualquer número natural n tem-se a seguinte desigualdade n(b a)a n < b n a n < n(b a)b n. Solução: Consideremos a seguinte função f(x) = x n, x > 0. Temos f(b) f(a) b a = bn a n b a. Como a função f(x) = x n é contínua no intervalo [a, b] e diferenciável no intervalo (a, b), então pelo teorema do valor médio, existe um ponto ξ do intervalo (a, b) tal que b n a n b a = f (ξ) = nξ n. Considerando a desigualdade a n < ξ n < b n, temos na n < bn a n b a < nbn. Daqui segue que n(b a)a n < b n a n < n(b a)b n. Exemplo 9.40 Mostre que, e x > + x para x > 0. 6

163 Solução: Seja b um número positivo qualquer. consideremos a função f(x) = e x no intervalo [0, b]. pelo teorema do valor médio, temos f(b) f(a) b a = f (ξ), ξ (0, b) isto é e b b = e ξ, onde ξ (0, b). Como e ξ > para qualquer ξ > 0, então daqui obtemos e b b >, isto é e b > + b para qualquer número positivo b. Exemplo 9.4 Demonstre que Solução: 5 < ln 5 5 < 5. Consideremos a função f(x) = ln x no intervalo [5, 5]. Temos f(5) f(5) 5 5 = ln 5 ln 5. Pelo Teorema de Lagrange, concluimos que existe um número α tal que 5 < α < 5, tal que ln 5 ln 5 = f (α)(5 5) = α. Como 5 < α < 5, segue que /5 < ln 5 ln 5 < /5. 6

164 Capítulo 0 Integral e suas Aplicações 0. Definição da Integral Seja a função f(x) contínua no intervalo [a, b]. Particionemos este intervalo em n partes e denotemos os pontos de divisão por x o, x,, x n, x n, isto é a = x o < x < x < < x n < x n = b. Denotemos por x k o comprimento do intervalo [x k, x k ]; então x k = x k x k. O diametro desta partição denotado por d n vamos chamar o comprimento do maior dos intervalos [x k, x k ],isto é d n = max x k. k Em cada intervalo [x k, x k ], k =,,, n, escolhemos um número arbitrário ξ k ; o valor f(ξ k ) da função f(x) no ponto ξ k multiplicamos por x k para k =,,, n e escrevemos a soma de todos esses produtos, que denotaremos por S n e chamaremos de soma integral da função f(x) da partição dada, isto é S n = f(ξ )(x x o ) + f(ξ )(x x ) + + f(ξ n )(x n x n ) n = f(ξ k )(x k x k ). k= Desta forma, para cada n N a soma integral partição do intervalo [a, b] e escolha do ponto ξ k. n f(ξ k ) x k depende da escolha dos pontos da k= Para a função f(x), contínua no intervalo [a, b] vale a seguinte afirmação: Se o número de intervalos n do intervalo [a, b] aumenta, e o diametro da partição d k tende a zero, então a sequência das somas integrais S n possui ite, que não depende do modo como particionamos o intervalo [a, b] nem da escolha dos pontos ξ, ξ,, ξ n. O número que é igual a este ite, chama-se Integral definida da função f(x) de a até b e denotamos por b f(x)dx; b e a chamam-se ite superior e inferior de integração respectivamente. Assim b n a f(x)dx = f(ξ k ) x k. dn 0 a 63 k=

165 A definição da integral definida surgeu de problemas práticos, um desses problemas é o cálculo das áreas da figuras planas. Consideremos a figura, itada pelo gráfico da função contínua f(x) no intervalo [a, b], que toma só valores não negativos e por duas retas verticais x = a e x = b e pelo eixo das absiças. Tal figura chama-se trapécio curvilineo. Usando a notação anterior, escrevemos a soma integral Y y = f(x) 0 a b X S n = n f(ξ k )(x k x k ). k= Neste caso, o termo k-ésimo da soma integral S n podemos considerar como a área do retângulo de base x k x k e altura f(ξ k ), onde k =,,..., n; então a soma integral S n expresa a área da figura formada por n retângulos. É claro que se aumentamos o número de partições do intervalo [a, b], diminuimos o diámetro da partição d n, então a soma S n se diferença muito pouco do trapécio curvilineo. Um dos primeiros exemplos não triviais do cálculo de áreas de trapézios curvilineos é o cálculo da área da figura itada pela parábola y = x no intervalo [a, b] e o eixo das absiças, estudado por Arquimedes. Exemplo 0. Calcule a integral b 0 x dx, b > 0. Não existe na geometria uma formula que nos permita calcular a área da igura formada pela parábola y = x, pelo eixo das absiças e pela reta x = b. Calculemos esta área usando a definição de integral definida para b 0 x dx Para isto, particionemos o intervalo [a, b] e n partes iguais. Então δx k = b/n e x k = kb/n. Escrevendo ξ k = x k = kb/n, obtemos f(ξ k ) = k b /n. Então, podemos escrever a soma integral S n como S n = n f(ξ k )(x k x k ) = k= n k= 64 k b n b n = b3 n 3 ( n ).

166 Y A k B D E F C 0 a=xo x x x x x x x = b 3 n-3 n- n X n- Figura 0.: A = f(ξ ), B = f(ξ ), C = f(ξ 3 ), k = f(ξ k ), D = f(ξ n ), E = f(ξ n ), F = f(ξ n ) Como então Por tanto S n = b3 n(n + )(n + ) n 3 6 b n = n(n + )(n + ), 6 = b3 (n + )(n + ) 6 n = b3 6 ( + ) ( + ). n n [ ( b x 3 dx = S n = + ) ( + )] = b3 dn 0 n 6 n n Somas de Darboux Seja f(x) uma função itada no intervalo [a, b], e seja P = {a = x o < x <... < x n = b} uma partição arbitrária do intervalo [a, b]. Escrevendo m j = podemos considerar as seguintes somas: inf f(x) e M j = sup f(x) x [x j,x j+ ] x [x j,x j+ ] n n s P = m j x j e S P = M j x j j=0 chamadas de soma inferior e soma superior de Darboux respectivamente correspondente a partição P, onde x j = x j+ x j. É obvio que s P S P. Sejam P e P duas partições de [a, b], dizemos que P é um refinamento de P se P P. Assim, pode-se provar que (ver, por exemplo [elon]) j=0 s P s P S P S P. 65

167 Definição 0.. O número I = inf S P chama-se de integral superior de Darboux da função P f em [a, b]. Definição 0.. O número I = sup s P chama-se de integral inferior de Darboux da função f P em [a, b]. É fácil de ver que I I, pois s P sup s P = I inf S P = I. P P Definição 0..3 O número M m = ω = ω [a,b], onde chama-se de oscilação de f em [a, b]. M = M [a,b] = sup f(x) e m = m [a,b] = inf f(x) x [a,b] x [a,b] Lema 0.. Se f é uma função itada definida o intervalo [a, b], então sup [f(ξ) f(η)] = sup f(ξ) f(η) = M m. (0.) ξ,η [a,b] ξ,η [a,b] Prova: Para qualquer ξ, η [a, b] temos De outro lado, existem ξ, η [a, b] tais que para tais ξ e η, temos ou seja f(ξ) f(η) f(ξ) f(η) M m. (0.) f(ξ) > M ε/ e f(η) < m + ε/; f(ξ) f(η) > (M ε/) (m + ε/) = M m ε, M m ε < f(ξ) f(η) M m. Assim ficam provados que o primeiro e terceiro termos de (0.) são iguais, e a expresão (0.) mostra que eles são iguais ao segundo termo em (0.). Segue do lema anterior que onde, ω j = ω [xj,x j+ ]. n sup ξ j,η j [x j,x j+ ] j=0 n f(ξ j ) f(η j ) x j = f(ξ j ) f(η j ) x j = 66 j=0 n = (M j m j ) x j = j=0 n = ω j x j = j=0 = S P s P,

168 Teorema 0.. Seja f uma função itada definida no intervalo [a, b], então são equivalentes:. I = I;. Para qualquer ε > 0, existe uma partição P tal que S P s P < ε; (0.3) 3. Para qualquer ε > 0, existe δ > 0 tal que vale a desigualdade (0.3) para todas as partições P com subintervalos x j < δ; 4. A integral existe e I = I = I. b a f(x)dx = I Prova: ) ). Se ) cumpre-se, então podemos escrever I = I = I e supor que existem partições P e P tais que I ε/ < s P e S P < I + ε/. Então para P = P + P, temos I ε/ < s P s P s P S P I + ε/ donde segue ). ) ). Seja P uma partição para a qual a desigualdade (0.3) é satisfeita. Então da desigualdade s P I I S P temos I I < ε. Como ε > 0 pode ser arbitrariamente pequeno e I e I são números que independem de ε, então podemos concluir que I = I, isto é, vale ). 0. Relação entre a Integral Definida e a Integral Indefinida Consideremos a Área S ab itado pelo eixo 0X, pelo gráfico da função f(x) e as coordenadas x = a e x = b. 0.. Propriedades da Integral Indefinida 0.. Tabela das Integrais Elementares Escrevamos uma tabela de integrais indefinidas de algumas funções:. dx = x + c; 67

169 . x α dx = xα+ + c, α ; α + 3. dx x = ln x + c, x 0; 4. a x dx = ax + c, a > 0, a ; ln a 5. e x dx = e x + c; 6. cos xdx = sin x + c; 7. sin xdx = cos x + c; dx sin x dx cos x = cotx + c; = tanx + c; dx a x = arcsin x + c, a > 0, x < a; a.. dx x + a = a arctan x + c, a 0; a dx x a = a ln x a + c, a 0, x a. x + a As integrais das funções que não constam na tabela, podem ser encontradas seguindo as seguintes regras:. A integral da soma de duas funções é igual a soma das integrais dos somandos, isto é, (f(x) + g(x))dx = f(x)dx + g(x)dx.. A constante pode ser retirado fora da integral, isto é, kf(x)dx = k f(x)dx. Exemplo 0. Encontre ( ) 5 cos x + sin x dx. x3 68

170 Solução: Usando as regras e dadas acima, encontramos ( ) 5 cos x + sin x dx = x3 x dx 5 cos xdx + sin xdx = 3 = 3 x 5 cos xdx + sin xdx = 4 Exemplo 0.3 Encontre = 3 5( sin x) + cos x + c = x4 = sin x + cos x + c. x4 6 5x + dx. Solução: Temos 6 5x + dx = 6 5 = 6 5 dx x + = 5 dx ( ). x + 5 Pela fórmula da tabela de integração, encontramos 6 5x + dx = 6 5 5x 5 arctan + c Regra de Integração por Partes Um método geral para transformar integrais indefinidas é o método de integração por partes. Sejam f(x) e g(x) duas funções diferenciáveis num mesmo intervalo. Então (f(x)g(x)) = f (x)g(x) + f(x)g (x), e da definição da integral indefinida, obtemos f(x)g(x) = (f (x)g(x) + f(x)g (x))dx + c, isto é, f (x)g(x)dx + f(x)g (x)dx = f(x)g(x) + c, onde c é uma constante arbitrária. Como f (x)dx = df(x) e g (x)dx = dg(x), então podemos escrever a última igualdade f(x)dg(x)dx = f(x)g(x) g(x)df(x). A expressão obtida chama-se fórmula de integração por partes. 69

171 Exemplo 0.4 Encontre x ln xdx. Solução: Seja f(x) = ln x e xdx = dg(x). Então df(x) = f (x)dx e g(x) = x /. Da fórmula de integração por partes encontramos ( ) x x ln xdx = ln xd = x x ln x d ln x = = x x ln x dx = Portanto onde c é uma constante arbitrária. = x ln x x 4 + c. x ln xdx = x ln x x 4 + c, Exemplo 0.5 Calcular e ax sin bxdx. Solução: Seja f(x) = e ax e g(x) = cos bx. Usando a fórmula de integração por partes duas vezes, encontramos e ax sin bxdx = b eax cos bx + a e ax cos bxdx = b = b eax cos bx + a b eax sin bx a e ax sin bxdx. Definindo da equação obtida a integral e ax sin bxdx, encontramos e ax sin bxdx = a + b eax (a sin bx b cos bx) + c. b Exemplo 0.6 Calcular a x dx. Solução: Seja f(x) = a x e g(x) = x. Usando a fórmula de integração por partes, encontramos a x dx = x x a x x a x dx = = x x a x + x a x dx = = x x a + a a x + dx = a x = x a x + a dx x a x a x a x dx. 70

172 Da igualdade obtida obtemos a x dx = x a x + a arcsin x a a x dx. Daqui, segue que, a x dx = x a x + a arcsin x a + c Regra de Mudança de Variáveis Exemplo 0.7 Encontre Solução: Exemplo 0.8 Encontre Solução: dx x ln x = cos xdx + sin x = y=sin x = y=ln x = dx x ln x. d ln x ln x = (ln x) dx ln x = dy y = y + c = = ln x + c. cos xdx + sin x. (sin x) dx + sin x = dy + y = arctan y + c = = arctan(sin x) + c. d sin x + sin x = Exemplo 0.9 Encontre dx + x. Solução: Escrevendo t = x; então x = t e dx = tdt. Daqui encontramos ( dx tdt + x = + t = ) dt = + t = t ln + t + c = = x ln( + x) + c. Aseguir enumeremos as integrais indefinidas de algumas funções usando o método de mudança de variáveis. dx d(ln x). x ln x = = ln ln x + c; ln x 7

173 . 3. sin n x cos xdx = sin(mx)dx = m sin n xd(sin x) = n + sinn+ x + c; sin mxd(mx) = cos mx + c; m dx ax + b = d(ax + b) a ax + b dx sin x = xdx x = dx sin x cos x = dx x = = ln ax + b + c; a dx tan x cos x = d tan x tan x d( x ) x = x + c; = ln tan x + c; sin(ax + b)dx = sin(ax + b)d(ax + b) = cos(ax + b) + c; a a (ax + b) n dx = (ax + b) n (ax + b)n+ d(ax + b) = + c; a a(n + ) 0.3 Propriedades da Integral Definida das Funções Contínuas Enunciemos as principais propriedades da integral definida, que seguem imediatamente de sua definição.. Se a < b < c, então c f(x)dx = b f(x)dx + c a a b f(x)dx.. b kf(x)dx = k b a a 3. Se f(x) = g(x) + h(x), então f(x)dx, k constante. b f(x)dx = b g(x)dx + b a a a h(x)dx. 4. b f(x)dx = b f(y)dy = b a a a f(z)dz, isto é, a integral definida não depende da notação da variável independente. 5. Se f(x) 0, x [a, b], com a < b, então b a f(x)dx 0. 7

174 Ainda mais, se f(x) g(x), x [a, b], com a < b, então b f(x)dx b a a g(x)dx. 6. Se a < b, então Exemplo 0.0 Mostre que b a f(x)dx b = f(x) dx. a Solução: Como ln( + x) = x x + x3 xn... + ( )n 3 n + x +( ) n y n dy, n N, x (, + ). y + 0 x + x... + ( ) n x n = ( x)n, x ; + x então + x = x + x... + ( ) n x n + ( ) n xn + x, x ; integrando, temos x dy x = ln( + x) = ( y + y... + ( ) n y n + ( ) n yn + y + y 0 e com isto a igualdade está provada. Exemplo 0. Mostre que Solução: 0 Como arctan 0 = x x + x3 xn... + ( )n 3 n + ( )n = x x3 3 + x5 xn... + ( )n 5 n + x +( ) n y n dy, n N, x R. y + 0 x + x ( ) n x (n ) = ( x ) n 0 x + x, x R; 0 ) dy y n y + dy; então + x = x + x ( ) n x (n ) + ( ) n xn + x, x R; integrando, temos x dy x ) ( + y = arctan x = y + y ( ) n y (n ) + ( ) n yn dy + y e com isto a igualdade está provada. = x x3 3 + x5 xn... + ( )n 5 n + ( )n 73 x 0 y n y + dy;

175 Exemplo 0. Calcular 4 3 x 3 dx. Solução: Uma das primitivas para a função y = x 3 é a função y = 4 x4, então pela fórmula de Newton-Leibnitz, obtemos 4 3 x 3 dx = 4 x4 4 3 = 4 (44 ( 3) 4 ) = Exemplo 0.3 Calcular π/4 0 dx cos. Solução: Uma das primitivas para a função y =. é a função y = tan x, então pela fórmula cos de Newton-Leibnitz, obtemos π/4 0 dx cos = tan x π/4 = tan π tan 0 =. 0 4 Exemplo 0.4 Calcular e x dx + e x. Solução: Seja e x = t, se x [, ], então t [e, e ], e x dx de x e = + e x + e = dt e x e + t = d( + t) = e + t = ln(t + ) e = ln( + e ) ln( + e ) = e = ln + e ( + e = ) e + e 3 = ln. e + Exemplo 0.5 Calcular Solução: Como 5x = 5x dx. { 5x, se x /5, 5x, se x > /5, 74

176 temos 5x dx = /5 0 ( 5x)dx + /5 (5x )dx = = /5 5 5 xdx + 5 xdx 0 /5 = ( ) x ( ) 5 5 /5 x /5 = = =.5 = Teorema do Valor Médio para Integrais Primeiramente mostremos o seguinte resultado dx = ( ) = 5 Lema 0.3. Consideremos f, ϕ : (a, b) R satisfazendo a seguinte condição então b a /5 f(x) ϕ(x), (0.4) f(x)dx b isto significa que as desigualdades podemos integrar. a ϕ(x)dx, (0.5) Prova: f(x): Usando a definição de integral, escrevamos a a soma integral para a diferença ϕ(x) b a f(x)dx b a b ϕ(x)dx = (f(x) ϕ(x))dx = a n = [f(c j ) ϕ(c j )](x j x j ), c j (x j, x j ). n j= Da inequação (0.4) segue que a soma integral não é positiva e portanto o ite também não é positivo, donde segue (0.5). Teorema 0.3. ( Teorema do valor médio) Consideremos f, ϕ : (a, b) R, e além disso, suponhamos que a função ϕ(x) conserva o sinal no intervalo (a, b), então b onde ξ é algum valor. do intervalo (a, b). a f(x)ϕ(x)dx = f(ξ) b a ϕ(x)dx, (0.6) Prova: Consideremos por conveniência ϕ(x) 0 no intervalo (a, b). Denotemos com m e M os valores mínimo e máximo da função f(x) no intervalo (a, b) respectivamente, isto é, m f(x) M. 75

177 Como ϕ(x) 0, temos mϕ(x) f(x)ϕ(x) Mϕ(x). Usando o lema anterior e considerendo b > a, temos m b a ϕ(x)dx b a f(x)ϕ(x)dx M b a ϕ(x). É claro que existe um número K entre m e M, isto é, m K M, tal que b a f(x)ϕ(x)dx = K b a ϕ(x)dx, pois a função f(x) é contínua no intervalo (a, b) e toma valores entre m e M e por isso existe ξ (a, b) tal que f(ξ) = K, e com isto provamos (0.6). Se ϕ(x) 0 em (a, b), então ϕ(x) 0 no intervalo (a, b). Aplicando a esta função a fórmula acima demonstrada, temos b a f(x)[ ϕ(x)]dx = f(ξ) b a [ ϕ(x)]dx, e multiplicando ambas partes da equação acima por (-), temos a igualdade (0.6): b a f(x)ϕ(x)dx = f(ξ) b a ϕ(x)dx. Em particular, se considerarmos ϕ(x) =, obtemos a seguinte fórmula b a f(x)dx = f(ξ) b a dx = f(ξ)(b a). (0.7) Y A 0 a B b X Figura 0.: A = f(ξ), B = ξ 76

178 0.3. O Teorema Fundamental do Cálculo Notamos que a integral b a f(x)dx dada a função subintegral f(x) depende dos ites de integração a e b. Consideremos a integral x a f(t)dt com ite inferior constante e ite superior depende de x. Por isso este integral será uma função de x; F (x) = x a f(t)dt. Mostremos que df (x) = f(x). dx Comecemos da definição da derivada para a função F (x), isto é, Temos donde F (x + h) = F (x + h) = F (x) + df (x) dx x+h a x+h x F (x + h) F (x) =. h 0 h f(t)dt = f(t)dt e x a f(t)dt + x+h x F (x + h) F (x) h f(t)dt, = h x+h x f(t)dt. Denotando por ξ algum valor pertencente ao intervalo (x, x + h), e aplicando (0.7), temos x+h x f(t)dt = f(ξ)h que nos dá F (x + h) F (x) = f(ξ). h Quando h 0, qualquer valor de uma variável em (x, x + h), e em particular e ξ tende para x e devido a continuidade da função f, f(ξ) f(x), isto é, df (x) dx F (x + h) F (x) = f(ξ) = f(x). h 0 h h 0 Como consequência, obtemos que a integral definida F (x), considerado como função do ite superior x, é uma função contínua no intervalo (a, b). E além disso, a função contínua f(x) possui primitiva F (x) + C, isto é, x a f(t)dt = F (x) + C. 77

179 Quando x = a, temos C = F (a), portanto, x e pondo x = b, obtemos, definitivamente a b a f(t)dt = F (x) F (a), f(t)dt = F (b) F (a) Regra de Mudança de Variáveis Consideremos a função f(x) contínua no intervalo (a, b). contínua com derivada ϕ (t) no intervalo (α, β), e além disso, Seja a função ϕ(t) injetiva, ϕ(α) = a, ϕ(β) = b. Exigimos também que ϕ([α, β]) [a, b]. E com isto a função composta f[ϕ(t)] é uma função da variável t no intervalo α, β). De fato, para mostrar as afirmações acima, consideremos, x como função de t: x = ϕ(t), então a integral definida transforma-se pela fórmula: Denotemos esas integrais por: b f(x)dx = β a α f[ϕ(t)]ϕ (t)dt. (0.8) Então F (x) = x a f(y)dy; Ψ(t) = F (x) = F [ϕ(t)] = t α ϕ(t) a f[ϕ(z)]ϕ (z)dz. f(y)dy. Calculando sua derivada pela regra da função composta, temos mas df (x) dx df (x) dx = F (x) dx dx dt, = f(x) e dx dt = ϕ (t), donde: df (x) = f(x)ϕ (t) = f[ϕ(t)]ϕ (t). dx Calculando a derivada da função Ψ(t), temos dψ(t) dt = f[ϕ(t)]ϕ (t). 78

180 As funções F (x) e Ψ(t) como funções de t possuem a mesma derivada no intervalo (α, β) e por isso se diferenciam só na constante, e por isso quando t = a, temos x = ϕ(a) = a, F (x) = F (a) = 0; Ψ(α) = 0, t=α isto é, estas duas funções são iguais quando t = α. para t = β temos F (x) = F (b) = t=β b f(x)dx = β a α Regra de Integração por Partes 0.4 Aplicações da Integral definida 0.4. Cálculo de Áreas 0.4. Comprimento de Arco Cálculo de Volumes f[ϕ(t)]ϕ (t)dt. 79

181 Referências Bibliográficas [] Aldo bezerra Maciel e Osmundo Alves Lima, Introdução À Análise Real, EDUEP, Campina Grande, 005 [] S.M. Nikolsky, Um Curso de Análise Matemático, Vol I, II, MIR, Moscou 975 [3] N. Piskunov, Cálculo Diferencial e Integral, Vol I, II, MIR, Moscou 97 80