Capítulo 1. Introdução

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1 Capítulo 1 Introdução O objeto de estudo de Mat-1 são as funções reais de variável real. Estudaremos nesta disciplina os conceitos de limite, continuidade, derivabilidade e integrabilidade de funções reais de uma variável real. O conceito de derivada de uma função num ponto está relacionado com a taxa de variação desta função num determinado instante, por exemplo, a velocidade de uma partícula em cada instante t. Para o estudo da derivada de uma função faz-se necessário o estudo de limite. O conceito de primitiva está relacionado com o conceito de derivada. Alguns autores denominam a primitiva de uma funjção de anti-derivada, pois a primitiva de uma função f, num intervalo (a, b), quando existe, é uma função F derivável em (a, b), cuja derivada é f. Para entendermos melhor o conceito de limite, estudaremos primeiramente este conceito no caso discreto, isto é, em sequências e séries. Como o objeto de estudo de MAT-1 são as funções reais de uma variável real, vamos iniciar nosso curso estabelecendo os fundamentos da teoria dos números reais. Não nos preocuparemos aqui com a definição rigorosa de número real, nem mesmo com a construção do conjunto de números reais, pois isto foge ao objetivo de um curso de Cálculo. Assim, consideraremos conhecidos os conjuntos dos números naturais, inteiros e racionais. Daremosasdefinições de corpo, corpo ordenado e corpo ordenado completo, chegando assim ao conjunto dos números reais que é um corpo ordenado completo. Mostraremos que existem números reais que não são racionais.faremos uma breve recordação do conceito de função, através de uma lista de exercícios e iniciaremos a noção de limite com a noção delimitedesequênciasesériesdenúmerosreais. Ao final deste curso o aluno deverá ter uma compreensão clara do conceito de limite que é fundamental no estudo do Cálculo, ser capaz de avaliar a existência de limite de uma função num ponto, trabalhando com as propriedades de limite, ser capaz de analisar a derivabilidade de uma função num ponto, calculando sua derivada, determinar máximos e mínimos locais e absolutos de uma função e finalmente ser capaz de calcular integrais e primitivas de funções, utilizando os diversos métodos de integração. 1

2 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO

3 Capítulo Números Reais Introduziremos as principais propriedades de números reais. Como já dissemos não faremos a construção dos números reais pois foge ao escopo de um curso de Cálculo I, apenas faremos uma apresentação de suas propriedades e o compararemos com conjuntos de números já conhecidos. n Consideraremos N = {1,,...,n,n +1,...}, Z = {...,, 1,, 1,,...} e Q = m o n ; m, n Z e n 6=. No conjunto dos números naturais existe uma importante propriedade, a saber, Princípio da indução finita: Seja P (n) uma propriedade referente ao número natural n. Se: a) P (m) é verdadeira para um determinado número natural m; e b) supondo P (k) é verdadeira para um número natural k m qualquer pudermos mostrar que P (k +1) também o é. Então P (n) é verdadeira para todo natural n m. Exemplo.1 Mostre por indução que 1+ + n = n(n +1), n N. De fato, 1= = 1, o que mostra que a propriedade acima é válida para n =1. Suponhamos que a propriedade é válida para um n 1 eprovemosentãoqueelaéválida n(n +1) ³ n +1 para n +1. Assim, 1+ + n +(n +1) = +(n +1) = (n +1) = µ n + (n +1)(n +) (n+1) =, o que prova que a propriedade é válida para n+1, se o for para n. Assim do princípio de indução segue que a propriedade vale para todo n N. Exemplo. Prove que n >n, para todo n N. 3

4 4 CAPÍTULO. NÚMEROS REAIS De fato, 1 => 1, ou seja a propriedade é verdadeira para n =1. Ainda supondo que n >né verdadeira para algum n 1, temos que n+1 =. n > n = n + n n +1 n+1 >n+1, ou seja a propriedade é verdadeira para n +1, se o for para n. Assim, a propriedade é válida para todo n N. A propriedade de indução finita será utilizada especialmente no estudo de sequências, especialmente as definidas por fórmulas de recorrência. Vejamos a seguir a estrutura algébrica que pode ser estabelecida no conjunto dos númerosreaiseracionais,masnãonoconjuntodosinteirosenaturais. No conjunto dos números reais, assim como no conjunto dos naturais, inteiros e racionais pode-se definir duas operações, a de adição e a de multiplicação. No entanto existe uma diferença entre estes conjuntos munidos destas operações, os conjuntos dos números racionais e dos números reais munidos destas operações são o que denominamos decorpo,enquantoqueosnaturaiseosinteirosnãoosão. Definição.3 Um corpo é um conjunto não vazio K munido de duas operações denominadas adição (+) e multiplicação ( ), isto é, +:K K K (x, y) 7 x + y : K K K (x, y) 7 x y satisfazendo as seguintes propriedades: a)associatividade da adição e da multiplicação: Para todo x, y, z K tem-se que (x + y)+z = x +(y + z) e (x y) z = x (y z), b)comutatividade da adição e da multiplicação: Para todo x, y K tem-se que x+y = y + x e x y = y x, c)existência de elemento neutro da adição: Existe K tal que x +=x, para todo x K, d)existência da unidade multiplicativa: Existe 1 K, 1 6=, tal que x 1 = x, para todo x K, e)existência de elemento simétrico ou oposto: Para cada x K existe x K tal que x +( x) =, f)existência de inverso multiplicativo: Para cada x K existe x 1 K tal que x x 1 =1, onde K = K\{}, g)distributividade da multiplicação em relação à adição: Para todo x, y, z K tem-se que x (y + z) =x y + x z.

5 Exemplo.4 Os conjuntos dos números racionais e dos números reais com as operações de adição e multiplicação usuais são corpos. Exemplo.5 O conjunto dos números inteiros não é um corpo, pois não admite inverso multiplicativo, para todo n 6= 1. Exemplo.6 OconjuntoK = {(a, b);a, b Q} com as operações (a, b) (c, d) = (a + c, b + d) e (a, b) (c, d) =(ac bd, ad + bc) éumcorpo.(verifique!) Exemplo.7 O conjunto dos números complexos com as operações usauis de adição e multiplicação é um corpo. Exemplo.8 OconjuntoZ 5 = {, 1,, 3, 4, 5} com as operações (a + b) mod5e (a.b) mod 5, onde a mod 5 éorestodadivissãodea por 5, éumcorpo. Nota.9 Pode-se mostrar que o conjunto Z p com as operações de adição e multiplicação módulo p éumcorposeesometesep éprimo. Exemplo.1 Da própria definição de corpo, temos que um corpo deve ter pelo menos doiselementos,oelementoneutroeaunidade. OZ = {, 1} com as operações de adição e multiplicação módulo é um corpo com exatamente dois elementos. Suas tábuas de adição e multiplicação são respectivamente: Proposição.11 Seja K um corpo. Então: 1)O elemento neutro é único. )A unidade é única. 3)Para cada x K existe um único elemento simétrico. 4)Para cada x K existe um único inverso multiplicativo. 5)Se a, b, c K são tais que a + b = a + c então b = c. 6)Sejam a, b K então ( a) =a, (a+b) =( a)+( b), ( a) b = a ( b) = (a b) e ( a) ( b) =a b. 7)Sejam a, b K então a b = a =ou b =. 8)Sejam a, b K tem-se que (a 1 ) 1 = a e (a b) 1 = a 1 b 1.

6 6 CAPÍTULO. NÚMEROS REAIS A demonstração das propriedades enunciadas acima ficam a cargo do aluno. Apesar dos números reais, racionais e complexos com as operações usuais de adição e multiplicação serem corpos existe uma diferença entre eles, a saber, os racionais e os reais são corpos ordenados enquanto que o corpo dos números complexos não o é. Vejamos esta definição. Definição.1 Um corpo ordenado é um corpo K no qual existe um subconjunto não vazio, P de K, denominado conjunto dos números positivos de K, tal que: i) x, y P x + y, x y P. ii)para cada x K uma e somente uma das três alternativas abaixo ocorre: ou x =ou x P ou x P. Assim, se indicarmos por P o subconjunto { x; x P }, seguede(ii)dadefinição acima que K = P ( P ) {}, sendo esta união disjunta. Os elementos de P são denominados números negativos de K. Exemplo.13 Q é um corpo ordenado cujo subconjunto dos números positivos é P = { m ; mn N}. n Proposição.14 Seja K um corpo ordenado. Se a K então a = a a P. Prova. Como a K então ou a P ou a P. Se a P a a = a P. Se a P ( a) ( a) =a a = a P. Nota.15 Segue imediatamente da proposição anterior que se K é um corpo ordenado como 1 6= e 1=1 1=1 então 1 P. Exemplo.16 Segue da proposição que C não é um corpo ordenado pois se fôsse existiria um subcojunto P de C de números positivos. Como i C então ou i P ou i P i = 1 P, mas 1 P, que é uma contradição. Logo C não é ordenado. Exemplo.17 Z 5 não é um corpo ordenado pois se fôsse existiria P subconjunto dos números positivos de Z 5 ecomo4 6= e 4= = 4 P. Ainda 1 P. Logo 4 1 P, mas 4 1=, oqueéumacontradição. Num corpo ordenado pode-se ordenar seus elementos. Vejamos: Definição.18 Sejam K um corpo ordenado e x, y K. Dizemos que x émenorquey (ou equivalentemente y é maior que x) e denotamos por x < y(equivalentemente y > x) seesomentesey x P. Proposição.19 A relação definida acima satisfaz as propriedades de transitividade, tricotomia, monotonicidade da adição e monotonicidade da multiplicação.

7 Prova. i) transitividade: x<ye y<z y x, z y P (y x)+(z y) = z x P x<z. ii) tricotomia: dados x, y K y x K ocorre uma e somente uma das três alternativas ou y x P ou (y x) =x y P ou y x = logoocorreumaesomenteumadastrêsalternativas ou x<you y<xou x = y. iii) monotonicidade da adição: x<y y x P, mas z K tem-se que (y + z) (x + z) =y x P x + z<y+ z. iv) monotonicidade da multiplicação: x<y y x P assim z P tem-se que (y x) z = y z x z P x z<y z. No entanto se z P (y x) ( z) = x z y z P y z<x z. Em particular, segue da monotonicidade da multiplicação que x<y y< x. Pode-se definir a relação "menor ou igual a"ou equivalentemente "maior ou igual a", de forma trivial. Esta relação não satisfaz a propriedade de tricotomia. Mas satisfaz uma outra propriedade a anti-simetria, ou seja, x y e y x x = y. Até aqui o conjunto dos racionais e dos reais apresentam as mesmas características. Sabemos ainda que existem números reais que não são racionais. É fácil provar, por exemplo, que não existe número racional tal que x =.(Prove!) Assim o conjunto dos números reais foi construído para resolver um problema de não completude dos racionais. Vejamos o que isto significa, mas antes daremos alguma definições necessárias para a sua compreensão. Definição. Seja K umcorpoordenadoex um subconjunto não vazio de K. a)dizemos que X é limitado superiormente em K quando existe b K tal que x b, x X. Neste caso b é denominado uma cota superior de X em K. b)dizemos que X é limitado inferiormente em K quando existe a K tal que x a, x K. Neste caso a é denominado uma cota inferior de X em K. c) Dizemos que X é limitado em K quando X é limitado superiormente e inferiormente em K. Exemplo.1 No corpo dos reais o intervalo X =(, 1] é limitado e éumacota inferior de X e 1 uma cota superior de X em R. 7

8 8 CAPÍTULO. NÚMEROS REAIS Exemplo. No corpo dos racionais o conjunto dos naturais é limitado inferiormente, mas não é limitado superiormente. De fato n 1, n N, oqueimplicaquen élimitado inferiormente em Q e 1 é uma cota inferior de N em Q. No entanto, para todo p q Q, se p q < 1 já está mostrado que p q não é cota superior de N. Se p q >, podemos tomar p, q > p, q N q 1 1 q 1 p q p<p+1 e p +1 N p q > também não é cota superior de N. Logo N não é limitado superiormente em Q. Definição.3 Seja K umcorpoordenadoex um subconjunto não vazio de K. a)se X é limitado superiormente, dizemos que b K é supremo de X em K quando b é a menor cota superior de X em K, isto é, (i) x b, x X, (ii) Para cada c K com c<b, existe x c X tal que x c >c. Denotamos por b =sup K X. b)se X é limitado inferiormente, dizemos que a K é ínfimo de X em K quando a é a maior cota inferior de X em K, isto é, (i) x a, x X, (ii) Para cada d K com d>aexiste x d X tal que x d <d. Denotamos por a =inf K X. Observando os exemplos acima é fácil provar que 1 é o supremo de(, 1] e seu ínfimo em R eque1=inf Q N. Exemplo.4 Considere o conjunto A = {( 1) n + 1 n ; n N}. Temos que 1 ( 1)n + 1, para todo n N eportantoa é limitado. Logo A admite ínfimo e supremo em R. n Da desigualdade anterior, temos que inf A 1 e sup A. Provemos que inf A = 1. De fato, para cada c> 1, existen N, tal que n > 1 c +1 > 1 <c+1 n <c.logo, se n for ímpar, segue que =( 1) n + 1 <c.caso n n n contrário, basta tomar m = n +1. Ou seja 1 =infa. Provemos que sup A = 3. De fato, 1 n 1 para todo n eportanto( 1)n + 1 n 1+1 = 3 para todo n. Ainda para n =1, temos ( 1) =< 3, logo ( 1)n + 1 n 3 para todo n. Ainda 3 =( 1) + 1 A, logo para todo c<3 existe obviamente a = 3 A tal que c<3 e concluímos que sup A = 3.

9 Nota.5 Uma definição de supremo equivalente à definição acima é a seguinte: b K é supremo do subconjunto X em K, limitado superiormente, se e só se: i)x b, x X, ii)para cada ε>, existe x ε X tal que x ε >b ε. Pode-se definir ínfimo de um conjunto limitado inferiormente, de modo análogo ao acima, que é equivalente à definição anterior.(exercício) Definição.6 Dizemos que um corpo ordenado K é completo se todo subconjunto limitado inferiormente em K admite ínfimo em K. Veremos a seguir que Q não é completo. Exemplo.7 Seja X = {x Q; x> e x > }. ÉclaroqueX é limitado inferiormente pois x>, x X. No entanto é intuitivo que a maior cota inferior de X é / Q. Portanto apesar de ser limitado inferiormente em Q, seu ínfimo está em R e não em Q. Portanto Q não é um corpo ordenado completo. O conjunto dos reais foi construído de tal maneira que fôsse completo. Omitiremos sua construção pois foge ao objetivo do curso. Esta construção pode ser encontrada em bons livros de Análise. Assim em R temos que todo subconjunto limitado inferiormente admite ínfimo e é portanto um corpo ordenado completo, esta afirmação é conseqüência do seguinte postulado. Postulado de Dedekind: Todo subconjunto de R não vazio constituído de elementos positivos possui ínfimo em R. Teorema.8 R é um corpo ordenado completo. Prova. Já sabemos que R é um corpo ordenado. Resta agora provar que é completo a partir do postulado de Dedekind. Seja A R, A6= limitado inferiormente em R, isto é, existe a R tal que a x, x A. Assim, b = a 1 <a x, x A. Considere B = {y = x b; x A}. Éclaroquey>, y B e B é não vazio, pois A é não vazio, por hipótese. Assim, estamos na condição do Postulado de Dedekind e portanto B possui ínfimo, ou seja, existe β R, β=infb. Logo, β y, y B epara todo α>β,existe y α B tal que y α <α.provemos que β + b =infa. De fato, como β y, y B e y = x b, sendo x A, segue que x β + b, x A. Ainda para todo γ > β + b, temos que γ b>βe portanto existe y γ B tal que y γ <γ b. Da definição de B, segue que existe x γ A tal que y γ = x γ b. E assim, tem-se que x γ b = y γ <γ b x γ <γ β + b =infa eportantooteoremaestádemonstrado. Pode-se provar a partir do teorema acima que todo subconjunto de R, não vazio e limitado superiormente admite supremo. Tal resultado consta da lista de exercícios propostos. Assim considerando o subconjunto X acima tem-se que X admite ínfimo em R que é o número real b tal que b =, denotado por / Q. 9

10 1 CAPÍTULO. NÚMEROS REAIS Nota.9 A completude do corpo dos reais implica que pode-se fazer uma bijeção entre aretaeoconjuntodosreais,oquenãoépossívelseconsiderarmososnúmerosracionais. Ou seja fixando-se um ponto que corresponderá ao número eumaunidadedemedida pode-se marcar facilmente os números inteiros. A partir deles traçam-se os racionais. Pode parecer que a todo ponto desta reta corresponde um número racional. No entanto se tomarmos o comprimento da hipotenusa de um triângulo retângulo de catetos unitários sobre esta reta, a partir do ponto correspondente ao, o ponto final deste segmento não corresponderáaumnúmeroracional.porissoocorpodosreaisédenominadocompleto pois completa as lacunas deixadas pelos números racionais Daremos a seguir uma propriedade que já foi mostrada para o corpo dos racionais e também é válida no corpo dos reais, que é denominada propriedade de Arquimedes, ou ainda, diz-se que um corpo ordenado que tem esta propriedade é um corpo arquimediano. Proposição.3 O conjunto dos números naturais N não é limitado superiormente em R. Prova. Suponhamos por absurdo que N é limitado superiormente em R, segue que existe a R tal que a =supn n a, n N. Como a 1 <aentão a 1 não é cota superior de N em R. Portanto existe n N tal que n >a 1 n +1>a,oqueéum absurdo já que n +1 N e a =supn. Logo N não é limitado superiormente em R. Daremos a seguir um resultado bastante importante dos números reais. Proposição.31 Dados a, b R tais que a<bentão existe r Q tal que a<r<be existe um s R \ Q tal que a<s<b. Prova. Considere t = b a R, b a>. Como N não é limitado superiormente em R segue que existe n N tal que n > 1 b a 1 <b a. Considere o seguinte n subconjunto A = {m Z; m n b}. Como A é um subconjunto de números inteiros limitado inferiormente segue que existe um elemento mínimo em A, isto é, existe m A tal que m m n b, m A. Ainda como m 1 <m m 1 / A m 1 < n b m 1 <be m 1 Q. Ainda, como 1 <b a a b< 1. Logo, n n n n m 1 = m 1 b 1 >b+(a b) =a a< m 1 <b,basta então tomarmos n n n n n r = m 1 Q e temos demonstrado a primeira parte da proposição. n

11 a Para mostrar a existência de s R \ Q basta tomar, b e utilizar a existência de r Q, r6= tal que a <r< b eentãoteremoss = r / Q. 11 No que segue, a menos que esteja explícito, estaremos trabalhando com o corpo dos números reais. Apenas para fixar a notação sobre intervalos, segue que, dados a, b R, [a, b] = {x R; a x b}, (a, b) ={x R; a<x<b}, [a, b) = {x R; a x<b}, (a, b] ={x R; a<x b}, [a, ) = {x R; a x}, (a, ) ={x R; a<x}, (,b] = {x R; x b}, (,b)={x R; x<b}, (, ) = R. Em R, define-se o módulo de um número real, da seguinte maneira, para cada x R, x = ½ x; x x; x<, ou seja o módulo de um número real é sempre um número não negativo, que representa na reta, a distância deste número à origem. Esta noção de distância será muito importante para o conceito de limite. Pode-se ainda definir o módulo de um número real da seguinte forma, mais compacta: x =max{x, x}, x R. Da definição de módulo tem-se que, dado r R, r>, então x r r x r. De fato: x r max{x, x} r x r e x r r x r. Com a noção de módulo e a propriedade acima, podemos definir intervalos abertos ou fechados centrados em um número real a e de raio r >. Tais intervalos serão muito utilizados nos conceitos topológicos e na definição de limite. Exemplo.3 Sejam a, r R, com r> então (a r, a + r) = {x R; x a <r}, [a r, a + r] = {x R; x a r}.