Introdução à Teoria dos Números Notas de Aulas 3 Prof Carlos Alberto S Soares

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1 Introdução à Teoria dos Números Notas de Aulas 3 Prof Carlos Alberto S Soares 1 Números Primos e o Teorema Fundamental da Aritmética Em notas anteriores já definimos os números primos, isto é, números inteiros p maiores que 1 tais que seus únicos divisores são ±1 e ±p. Também mostramos que se um número primo divide um produto de número inteiros, então ele divide pelo menos um destes números. Resumimos estes resultados na proposição abaixo. Proposição 1 Sejam p um número primo e a 1, a 2,..., a k números inteiros tais que p a 1.a a k. Então, existe um índice i tal que p a i. Em particular, se um número primo p é tal que p a n para algum inteiro a e um número natural n, então p a. Temos, ainda, que se um número primo p divide um produto de primos p 1 p 2... p k então p = p i para algum i. Aplicação 2 Mostre que não existe um número racional x tal que x 2 = 2. Solução 3 Suponhamos existirem numeros naturais p e q satisfazendo mdc(p, q) = 1 e ( p q )2 = 2. Teremos, então, 2q 2 = p 2 e pela proposição anterior 2 p, isto é, p = 2k, com 4k Z. Daí, vem, o que contraria mdc(p, q = 1). 2q 2 = 4k 2 q 2 = 2k 2 2 q Observação 4 Um número inteiro n > 1 que não seja primo, será dito um número composto. Note que n será um número composto se, e somente se, existem números inteiros a, b, com 1 < a, b < n tais que n = ab. Análoga à proposição anterior, temos: Proposição 5 Sejam p 1, p 2,..., p k números primos distintos e n um número natural. Então, p 1.p 2... p k n p i n i. 1

2 Prova. É claro que se p 1.p 2... p k n então p i n i. Para a recíproca repitiremos, inicialmente, um resultado já visto nas notas anteriores, qual seja, se mdc(a, b) = 1 e a c e b c, então ab c. Vejamos mdc(a, b) = 1 x, y Z; ax + by = 1 cax + cby = c ab c pois ab ac e ab bc. Portanto, temos o reultado pretendido provado se k = 2 e a prova segue por indução sobre k. Uma proposição simples, mas muito útil, é dada abaixo. Proposição 6 Seja n > 1 um número natural. Existe um número primo p tal que p n, ou seja, todo número inteiro positivo maior que 1 possui um divisor primo. Prova. Novamente temos uma demonstração via induçao. Se n = 2 o resultado é claro. Suponhamos o resultado válido até n e mostremos que, sendo assim, o mesmo permanece válido para n + 1. Se n + 1 não é um número primo, teremos n + 1 = ab, com 1 < a b < n + 1. Sendo a n, pela hipótese de indução, a possui um divisor primo e o resultado está provado. Aplicação 7 Sejam a e b números naturais tais que mdc(a, b) = 1. Mostre que mdc(a n, b m ) = 1 n, m N. Solução 8 Consideremos mdc(a n, b m ) = d > 1. Pelo resultado anterior, d possui um divisor p primo e, pela proposição (1) teremos que p a e p b, o que contraria mdc(a, b) = 1. A proposição abaixo nos será útil para justificar o chamado Crivo de Eratóstenes. Proposição 9 Se um número inteiro n maior que 1 não é primo, então n possui um divisor primo menor do que ou igual a n. Prova. Como n é composto, temos que n = ab, com 1 < a b < n. É claro que se ambos, a e b são maiores que n teremos ab > n n = n seguindo daí o resultado. Exemplo 10 Para verificarmos se 91 é primo basta notarmos que 2 91, 3 91, 5 91 e

3 Crivo de Eratóstenes O chamado Crivo de Eratóstenes é um procedimento para determinarmos todos os números primos entre 2 e um número natural n. Para tanto, inicialmente, fixamos todos os primos p 1 < p 2 <... < p k que são menores que n. Agora, listamos todos os números naturais até n e começamos eliminando todos os números desta lista que são múltiplos de p 1. A seguir eliminamos todos os números múltiplos de p 2 e assim sucessivamente até eliminamos todos os múltiplos de p k. A proposição acima nos garante que os números não eliminados são primos. (Justifique!) Exemplo 11 Para determinar todos os primos entre 1 e 100 basta retirarmos os múltiplos de 2, de 3, de 5 e de 7, restando o primos. Proposição 12 O conjunto dos números primos é infinito. Prova. Seja X = {p 1, p 1,..., p k } um conjunto finito formado somente por números primos. Mostremos que existe um número primo p / X. Consideremos o número natural n = p 1.p p k + 1. Sabemos que n possui um divisor primo e p i n i = 1, 2,..., k, logo existe um primo que não está em X. Mostramos, então, que nenhum conjunto finito de primos pode conter todos os números primos e, portanto, o conjunto dos números primos é infinito. Ainda que o conjunto dos números primos seja infinito é possível obtermos uma quantidade finita de números compostos consecutivos tão grande quanto desejarmos, isto é, Proposição 13 Para qualquer inteiro positivo n, existem n inteiros consecutivos compostos. Prova. Fixado um número natural n, consideremos os números consecutivos (n + 1)! + 2, (n + 1)! + 3,..., (n + 1)! + n, (n + 1)! + (n + 1). Observe que todos os n números acima são compostos. A seguir temos o principal resultado desta seção. Teorema 14 (Teorema Fundamental da Aritmética) Dado um número natural n > 1, existem únicos números naturais k, r 1, r 2,..., r k e únicos números primos p 1 < p 2 <... < p k tais que n = p r 1 1 p r p r k k (1) ou seja, qualquer número inteiro maior que 1 pode ser escrito de forma única, a menos da ordem, como um produto de potências de números primos distintos. Observação 15 Quando escrevemos um número natural n na forma (1) temos a chamada decomposição em fatores primos de n. 3

4 Prova. Demonstremos a existência da decomposiçao via indução. Se n = 2 nada temos a demonstrar. Suponhamos o resultado válido até n. Se n+1 é primo, já temos sua decomposição. Caso contrário, n + 1 é composto e temos n + 1 = ab com 1 < a, b n e, daí, através da hipótese de indução, obtemos uma decomposição para n + 1 via decomposições para a e b. Suponhamos um número natural n com duas decom- Mostremos, agora, a unicidade. posiçoes na forma (1), isto é, n = p r 1 1 p r p r k k = q s 1 1 q s q s m m. É simples ver, através da proposição (1, que cada p i é igual a algum q j e vice-versa e, portanto, temos k = j, p 1 = q 1, p 2 = q 2,..., p k = q k. A mesma proposição nos mostra que não podemos ter r i < s i ou r i > s i e, portanto, temos r i = s i, i = 1, 2,..., k. Logo, as duas decomposiçoes são iguais, isto é, a decomposição para n é única. Proposição 16 Seja n um número natural tal que sua decomposição em fatores primos seja dada por n = p r 1 1 p r p r k k. Então, os divisores positivos de n são os números naturais a da forma a = p s 1 1 p s p s k k com 0 s i r i i = 1, 2,..., k. (2) Em particular, o número de divisores de n será dado por d(n) = (r 1 + 1)(r 2 + 1)... (r k + 1). Prova. É claro que qualquer número da forma (2) é um divisor de n. Sendo a > 1 um divisor de n, a divide p r 1 1 p r p r k k e, portanto, um divisor primo p de a será um dos p i. Logo, pelo teorema (14), teremos a = p s 1 1 p s p s k k com 0 s i r i i = 1, 2,..., k. Note que temos r opções para s 1,..., r k + 1 opções para s k e, daí, temos que o número de divisores de n é igual a d(n) = (r 1 + 1)(r 2 + 1)... (r k + 1). Deixaremos como exercício a demonstração dos dois corolários a seguir. Corolário 17 Sejam a e b números naturais maiores que 1 tais que suas decomposições em fatores primos sejam a = p r 1 1 p r p r k k e b = q s 1 1 q s p s j j. Então: 1) O mdc(a, b) será dado pelo produto dos primos comuns às duas decomposições elevados ao menor expoente. 2) O mmc(a, b) será dado pelo produto dos primos comuns e não comuns às duas decomposições elevados ao maior expoente. Corolário 18 mdc(n, a) = mdc(n, b) = 1 mdc(n, ab) = 1. Lema 19 Seja p um número primo. Então, se 0 < i < p, teremos p ( p i). 4

5 Prova. Temos ou, ainda, ( ) p = i p! i!(p i)! = p(p 1)... (p i + 1) i! ( ) p i! = p(p 1)... (p i + 1) i e, portanto, teremos que p i! ( p i). Como p i!, pois 0 < i < p teremos p dividindo ( p i). Teorema 20 (Pequeno Teorema de Fermat) Se p é um número primo e a é um número natural, então p (a p a). Prova. A demonstração será feita por indução sobre a. Se a = 1 nada temos a demonstrar. Suponhamos o resultado válido para a = n. Então, temos (n + 1) p (n + 1) = p i=0 ( ) p 1 p n i n 1 = 1 + i i=1 ( ) p 1 p n i + n p n 1 = i i=1 ( ) p n i + n p n. i Como, pela proposição anterior, temos que p ( p i) e, pela hipótese de indução, temos que p n p n, o resultado segue. Corolário 21 Se p é um número primo e a um número natural tal que p a, então p (a p 1 1). Prova. Temos que p a p a, isto é, p a(a p 1 1). Como p é primo e p a temos que p a p 1 1. Exercício Mostre que 3 é o único primo p tal que p, p + 2, p + 4 são todos primos. 2. Mostre que para nenhum n natural, teremos 2 n + 1 um cubo. 3. Mostre que, exceto para n = 1, nenhum número da forma n é primo. 4. Mostre que não existe um número natural n tal que 7 4n Mostre que para n > 1 os números n e n 4 + n são, ambos, compostos. 6. Mostre que se 2 n + 1 é um primo ímpar, então n é uma potência de Determine todos os possíveis valores de n, m números naturais tais que o número 9 m.10 n tenha: (a) 27 divisores (b) 243 divisores 8. Sejam a, b números naturais com mdc(a, b) = 1. Mostre que ab é um quadrado se, e somente se, a e b são quadrados. 5

6 9. Qual o menor número natural n tal que 1000 n!? Justifique! 10. Qual a potência de 3 que aparece na decomposição em fatores primos de 1000!? Justifique! 11. Mostre que existem infinitos números naturais n tais que 77 8n Mostre que 42 a 7 a para todo número natural a. 13. Sendo n um número natural, nostre que é natural o número 3 5 n n n. 14. Sendo n um número natural, mostre que 15 3n 5 + 5n 3 + 7n. 15. Sendo a, k N, mostre que 7 a 6k 1, se mdc(a, 7) = Mostre que, sendo mdc(a, 13) = mdc(b, 13) = 1, teremos 13 a 12 b Mostre que todo primo da forma 3n + 1 é também da forma 6m Seja n > 2 um número natural. Mostre que entre n e n! existe um número primo. 19. Sejam a, b, n, m números naturais tais que a n +b m seja primo. Mostre que mdc(n, m) = 1 ou mdc(n, m) = 2 r para algum r N. 2 Congruência Definição 23 Sejam a, b, n Z. Diremos que a é congruente a b módulo n, e anotamos se n a b. a b mod n ou a b (mod n) ou a b mod (n) Salientamos que se n (a b) anotaremos a b. Proposição 24 Sejam a, b, n Z. a é congruente a b módulo n, isto é, a b mod n se, e somente se, a e b deixam o mesmo resto quando divididos (divisão Euclidiana) por n. Prova. Suponhamos que a e b deixem o mesmo resto quando divididos por n, isto é, a = nq + r e b = nq + r. Então, a b = n(q q ), ou ainda, n a b. Suponhamos, agora, a b mod n e sejam a = nq + r e b = nq + r com 0 r, r < n. Teremos a b mod n n a b n n(q q ) + (r r ) n r r r r = 0 r = r. Note que a proposição acima nos diz que um número b é o resto da divisão de um número a por n se, e somente se, 0 b < n e a b mod n. Logo, se n > 0 e a b mod n com 0 b < n então o resto da divisão de a por n é igual a b. Temos, ainda, que se a 1 mod n então o resto da divisão de a por n é igual a n 1, já que 1 n 1 mod n É claro que a b mod n a b mod n e, portanto, estaremos sempre supondo n > 0. Temos, ainda, que se a b mod n e m n, então a b mod m. Listaremos na proposição abaixo as principais propriedades satisfeitas pela relação de congruência. 6

7 Proposição 25 Sejam a, b, c, d números inteiros e n, m números naturais. Então: 1. a a mod n 2. a b mod n b a mod n 3. Se a b mod n e b c mod n, teremos a c mod n. 4. Se a b mod n e c d mod n, teremos a ± c b ± d mod n e ac bd mod n. (Podemos somar, subtrair ou mesmo multiplicar congruências) 5. Se a b mod n, teremos ac bc mod n e a m b m mod n 6. ac bc mod n a b mod n mdc(c,n) 7. a b mod n e a b mod m a b mod mmc(n, m) 8. Se a b mod n, teremos mdc(a, n) = mdc(b, n). Prova. Os itens (1) e (2) são diretos. (3) a b mod n e b c mod n n a b e n b c n (a b) + (b c) n a c a c mod n (4) a ± c (b ± d) = a b ± (c d) e, como, n a b e n c d, segue o resultado. Temos, ainda, ac bd = ac bc + bc bd = c(b a) + b(c d) e, como, n a b e n c d, segue o resultado. (5) Segue direto do item anterior. (6) Temos ac bc mod n n c(a b) Por outro lado, a b mod n mdc(n, c) c mdc(n, c) (a b) n mdc(c, n) ca cb mod nc mdc(c, n) (7) e (8) Seguem direto das definições de mdc e mmc n n a b a b mod mdc(n, c) ca cb mod n. mdc(c, n). É interessante, neste momento, recordarmos o Pequeno Teorema de Fermat via congruências. Teorema 26 (Pequeno Teorema de Fermat) Seja p um número primo. Então: 1) a p a mod p a N 2) Se p a, temos a p 1 1 mod p. Aplicação 27 Determine o resto da divisão de por 5. 7

8 Solução 28 Temos mod 5 (3 4 ) mod mod 5 resto = 1 Aplicação 29 Determine o resto da divisão de 7 77 por 4. Solução 30 Temos 7 1 mod 4 e como 7 7 é um número ímpar teremos mod 4, isto é, resto=3. Aplicação 31 Determine o resto da divisão de 1! + 2! + 3! (10 10 )! por 40. Solução 32 Note que 40 n! n > 4, logo resto=1! + 2! + 3! + 4! = 33. Aplicação 33 Determine o resto da divisão de por 17. Solução 34 Pelo corolário (21) temos que mod 17. Como = , teremos (2 16 ) mod 17 resto = 1. Poderíamos, ainda, resolver este exercício fazendo mod 17 (2 4 ) ( 1) mod mod 17 resto = 1. Exercício Prove os itens (8) e (9) da proposição acima. 2. Determine o resto da divisão de (a) 7 10 por 51 (b) por 11 (c) por 17 (d) ( ) 21 por 8 3. Prove que 19 8n 1 é múltiplo de 17 para todo n N. 4. Determine a resto da divisão por 7 do número (a) (b) (c) (d) Determine o resto da divisão por 4 do número (a) (b) ) Determine o algarismo das unidades do número Mostre que para todo n N temos (a) 10 2n 1 mod 11 (b) 10 2n mod (a) Mostre que todo quadrado perfeito é congruente a 0, 1 ou 4, módulo 8. (b) Mostre que não há nenhum quadrado perfeito na sequência : 2, 22, 222, 2222,... (c) Mostre que não há nenhum quadrado perfeito na PA: 3, 11, 19,... 8

9 3 A equação ax b mod n Desejamos, agora, obter soluções para a equação. ax b mod n (3) Inicialmente, notemos que se x é solução de (3) então existe y Z tal que ax b = ny, isto é, ax ny = b e vice-versa. Logo, resolver a equação (3) é equivalente a resolver a equação diofantina ax ny = b e, portanto, a equação (3) possui solução se, e somente se, mdc(a, n) b. Temos, então, a proposição. Proposição 36 (1) A equação (3) possui solução se, e somente se, mdc(a, n) b (2) Se x 0 é uma solução para (3), sua solução geral será dada por x = x 0 + n t, t Z. mdc(a,n) Prova. (1) Como observado acima, resolver a equação (3) equivale a resolver a equação ax ny = b, seguindo daí o resultado. (2) Suponhamos x 0 uma solução de (3) e x uma outra solução. Então, teremos ax 0 ax 0 mod n, isto é, n ax ax 0 n a(x x 0 ) n a (x x mcd(n,a) mdc(a,n) 0) n (x x n mdc(a,n) 0) x = x 0 + t, t Z. mdc(a,n) Exemplo 37 Resolver a equação 8x 4 mod 12. Solução 38 É simples observar que 7 é uma solução e, portanto, a solução é dada por x = 7 + 3t, t Z. Note que se x 0 é solução de (3) e x 1 x 0 mod n então x 1 é solução de (3), mas duas soluções de (3) não são necessariamente conguentes múdulo n. No exemplo acima, 2 e 5 são soluções, mas 2 5 mod 12. Definição 39 Um conjunto Γ = {x 1, x 2,..., x k } será dito um sistema completo de soluções incongruentes módulo n para a equação (3) se: 1) Cada x i é solução de (3); 2) Quaisquer dois elementos de Γ são incongruentes módulo n, isto é, se i j temos x i x j : 3) Se x é solução de (3), então existe um índice x i Γ tal que x x i mod n. Teorema 40 Um sistema completo de soluções incongruentes módulo n para a equação (3), com d = mdc(a, n) b, possui exatamente d elementos. Além disso, se x 0 é uma solução de (3), o conjunto Γ = {x 0, x 0 + n d, x n d,..., x 0 + (d 1) n d } é um sistema completo de soluções incongruentes módulo n para a equação (3). 9

10 Prova. Mostremos que o conjunto Γ acima é um sistema completo de soluções incongruentes módulo n para a equação (3). Inicialmente, note que se x i x j mod n, então n (x 0 + i i ) (x d 0 + j n), ou ainda, n (i j) n. Mas 0 i j < d e, portanto, 0 i j n < n d d d daí se n (i j) n temos que i j = 0. Mostremos, agora, que se x é uma solução de (3), então d existe x i Γ tal que x x i mod n. Se x é solução de (3) então temos que ax b mod n e ax 0 b mod, n e, daí, temos que n a(x x 0 ) n d a d.(x x 0) n d x x 0 x x 0 = k n d. Usando a divisão Euclidiana, temos que k = id + r com 0 r (d 1) e, portanto, teremos, x x 0 = (id + r) n d x (x 0 + r n d ) = in) n x (x 0 + r n d ) x x 0 + r n d Γ. Para completar a prova, basta mostrar que quisquer dois sistemas completos de soluções incongruentes módulo n para a equação (3) possui d elementos, o que será deixado como exercício. Exemplo 41 Determine um sistema completo de soluções incongruentes módulo 12 para equação do exemplo anterior. Solução 42 Como 5 é uma solução da equação, usando a proposição acima, temos {5, 8, 11, 14} um sistema completo de soluções incongruentes módulo 12 para a equação. 4 Sistemas de Congruências Lineares Estaremos interessados, agora, em resolver sistemas de congruências lineares. Vejamos um exemplo simples. Exemplo 43 Resolver o sistema { x 0 mod 7 x 1 mod 12 Solução 44 Note que a solução geral da segunda equação é x = t, t Z. Substituindo na primeira teremos t 0 mod 7 12t 1 mod 7. Note que 4 é uma solução de tal equação e, portanto sua equação geral será t = 4 + 7k, k Z. Logo, a solução da equação proposta será dada por x = (4 + 7k) = k, k Z. 10

11 Antes de enunciarmos o Teorema Chinês dos Restos, que caracterizará a solução de sistemas de congruências, necessitamos de certas noções elementares, senão vejamos. Observação 45 Consideremos a equação ax b mod n e d um divisor comum de a, b e n. É simples ver que as equaçôes ax b mod n e ax b mod n são equivalentes, isto é, possuem o d d d mesmo conjunto solução. Definição 46 Sejam a e n números inteiros, com n 0. Um número inteiro b será dito um inverso multiplicativo de a módulo n se b é uma solução da congruência ax 1 mod n. ab 1 mod n, ou ainda, Note que um inverso multiplicativo de a módulo n existe se, e somente se, mdc(a, n) = 1. Exemplo 47 Determine um inverso multiplicativo para 3 módulo 5. Solução 48 Devemos encontrar um número inteiro x tal que 3x 1 mod 5. Como 2 satisfaz tal equação, teremos que 2 é um inverso multiplicativo para 3 módulo 5. Note que 2 não é o único inverso multiplicativo, por exemplo, 7 também o é. Observação Se a e p são números inteiros, com p um número primo e mdc(a, p) = 1, pelo pequeno teorema de Fermat, sabemos que a p 1 1 mod p, isto é,aa p 2 1 mod p e, portanto, a p 2 é um inverso multiplicativo para a módulo p. 2. É possível mostrar que sendo mdc(a, n) = 1 e n N existe um inverso multiplicativo b para a módulo n tal que 1 b n 1. A importância de um inverso multiplicativo ficará evidenciada no teorema abaixo. Teorema 50 Sejam a e n números inteiros com mdc(a, n) = 1 e a um inverso multiplicativo módulo n para a. Então, as equações ax b mod n e x ba mod n são equivalentes, isto é, possuem o mesmo conjunto solução. Prova. Note que ax b = ax baa + baa b = a(x ba ) + b(aa 1) e como mdc(a, n) = 1 e n aa 1 teremos que n ax b n x ba e o resultado segue. 11

12 Exemplo 51 Determine uma equação do tipo x c mod m que seja equivalente à equação 8x 4 mod 12. Solução 52 Inicialmente transformamos a equação numa equação equivalente tal que o mdc(a, n = 1, isto é, dividimos a equação proposta por 4 e obtemos a equação equivalente 2x 1 mod 3. Agora, notamos que 2 é um inverso multiplicativo de 2 módulo 3 e, portanto, utilizando o resultado acima obtemos a equação x 2 mod 3. Lema 53 Sejam n 1, n 2,..., n k e a números inteiros tais que n i a para todo i e mdc(n i, n j ) = 1 pata todos i j. Então n 1.n 2... n k a. Prova. Decorre direto do Teorema Fundamental da Aritmética. Teorema 54 (Teorema do Resto Chinês) 1 Sejam n 1, n 2,..., n k, c 1, c 2,..., c k números inteiros tais que mdc(n i, n j ) = 1, i j. Então, o sistema x c 1 mod n 1 x c 2 mod n 2 x c 3 mod n 3... x c k mod n k possui uma única solução módulo N = n 1.n 2.n 3... n k. Além disso, esta solução é dada por x = N 1 y 1 c N k y k c k onde N i = N n i e y i é solução de N i y 1 mod n i, i = 1, 2,..., k. Prova. Mostremos, inicialmente, que x = N 1 y 1 c N k y k c k é uma solução para o sistema dado. Com efeito, temos x c i = N 1 y 1 c N k y k c k c i = c i (N i y i 1)+N 1 y 1 c N i 1 y i 1 c i 1 +N i+1 y i+1 c i N k y k c k. Como n i N j i j e n i N i y i 1, teremos que n i x c i, i. É simples ver que qualquer número da forma x + Nt, t Z é solução do sistema. Mostremos que qualquer solução é desta forma. Suponhamos um número inteiro y solução do sistema. Então, teremos, y x 0 mod n i, i = 1, 2,..., k e, portanto, pelo lema acima, temos que y x 0 mod n 1 n 2... n k, isto é, o que completa a demonstração. y = x + tn Exemplo 55 Resolva o sistema x 2 mod 11 x 4 mod 12 x 5 mod 13 1 Alguns autores se referem a este teorema como Teorema Chinês dos Restos 12

13 Solução 56 Seguindo as notações do teorema acima, temos c 1 = 2, c 2 = 4, c 3 = 5, n 1 = 11, n 2 = 12, n 3 = 13 e N = Teremos, ainda, N 1 = N n 1 = = 156, N 2 = N n 2 = = 143, N 3 = N n 3 = = 132. Devemos obter y 1, y 2, y 3 satisfazendo, respectivamente, Note que 156y 1 1 mod 11, 143y 2 1 mod 12 e 132y 3 1 mod = = = mod 11 y 1 = = = mod mod 12 y 2 = = = = mod 13 y 3 = 7. Logo, obtemos, x = ( 1) = = Portanto, a solução geral do sistema será x + Nt, t Z, isto é, x = t, t Z. Muitas vezes a solução de uma equação pode ser obtida através da solução de um sistema. Exemplo 57 Resolva a equação 5x 7 mod 18. Solução 58 Note que 18 5x 7 2 5x 7 e 9 5x 7. Logo, resolver a equação é equivalente a resolver o sistema { 5x 7 mod 2 5x 7 mod 9 Para resolver este sistema, passamos ao sistema equivalente { x 7 mod 2 x 14 mod 9 novamente, usando a notação do último teorema, temos n 1 = 2, n 2 = 9, c 1 = 7, c 2 = 7 e, consequentemente, N = 2.9, N 1 = 9, N 2 = 2. Devemos, agora, obter soluções para as equações Teremos, respectivamente, 9y 1 mod2 e 2y 1 mod9. y 1 = 1 e y 2 = 4. Logo, a solução do sistema e, consequentemente, a solução do sistema será x = t = t, t Z. 13

14 Salientamos que a equação poderia ser resolvida diretamente. Como mdc(5, 18) = 1, determinamos um inverso multiplicativo para 5 módulo 18, isto é, determinamos um número inteiro y tal que 5y 1 mod 18. Testando os números 1, 2, 3... vemos que 5.7 = 35 1 mod 18, isto é, mod 18. Logo, a quação proposta é equivalente à equação x 49 mod 18 cuja solução geral é x = t, t Z. Exercício Para cada equação abaixo, determine: um conjunto completo de soluções incongruentes módulo n, uma equação do tipo x β mod γ quivalente à equação dada e o conjunto solução da equação proposta. (a) 5x 3 mod 24 (b) 3x 1 mod 10 (c) 23x 7 mod 19 (d) 7x 5 mod 18 (e) 25x 15 mod Resolva os seguintes sistemas: (a) (b) (c) x 1 mod 2 x 2 mod 3 x 5 mod 7 2x 1 mod 5 3x 2 mod 7 5x 7 mod 11 x 7 mod 11 3x 5 mod 13 7x 4 mod 5 3. Encontre todas as soluções de cada equação abaixo. (a) 5x 3 mod 7 (b) 13x 14 mod 29 (c) 15x 9 mod 25 (d) 37x 16 mod 19 (e) 5x 20 mod Levando em consideração que 2275 = , resolva a equação 3x 11 mod Determine todos os números naturais que deixam restos 2, 3 e 4 quando divididos por 3, 4 e 5 respectivamente. 6. Determine o menor número natual que deixa restos 1, 3 e 4 quando divididos por 5, 7 e 9 respectivamente. 14