MAT Álgebra I para Licenciatura 2 a Lista de exercícios

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1 MAT Álgebra I para Licenciatura 2 a Lista de exercícios 1. Quais são os números de cifras iguais que são divisíveis por 3? Idem, por 9? Idem por 11? 2. Determinar mmc (56, 72) e mmc (119, 272). 3. Para todo n Z, calcular: (a) mmc (n, n + 1); (b) mmc (2n 1, 2n + 1); (c) mmc (nc, (n + 1)c). 4. Decidir se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas dando a demonstração ou um contraexemplo. Sejam a, b, d Z: (a) Se existem r, s Z tais que d = ar + bs, então d = mdc (a, b); (b) Se existem r, s Z tais que 1 = ar + bs, então 1 = mdc (a, b); 5. Sejam a, b Z tais que mdc (a, b) = 1. Prove que: (a) mdc (a ± b, ab) = 1; (b) mdc (a + b, a b) = 1 ou 2; (c) mdc (a + b, a 2 + ab + b 2 ) = 1; (d) mdc (2a + b, a + 2b) = 1 ou Sejam a, b, c Z tais que a e b são relativamente primos entre si. Prove que: (a) Se 87a bc, então a c; (b) Se c a + b, então mdc (a, c) = mdc (b, c) = 1; (c) mdc (ac, b) = mdc (c, b); (d) mdc (a, b) = mdc (a, a ± b). 7. Sejam a, b, n Z tais que a e b são relativamente primos entre si. Calcule: (a) mdc (a + nb, a + (n + 1)b); 1

2 (b) mdc (a + nb, a + (n + 2)b). 8. Determinar: (a) a, b Z tais que ab = 9900 e mmc (a, b) = 330; (b) a, b Z tais que a + b = 581 e mmc (a, b) mdc (a, b) = Determinar todos os inteiros positivos a e b tais que mmc (a, b) = 72 e mdc (a, b) = Dados a, b Z não nulos, prove que:: (a) mdc (a, b) = mmc (a, b) se e somente se a = b ; (b) Para todo k Z, k 0, então mmc (ka, kb) = k mmc (a, b); ( a (c) Se k a e k b, então mmc k, b ) mmc (a, b) =. k k 11. A teoria dos números é um dos ramos mais antigos da matemática, muitos dos seus problemas nasceram mais ligados a questões místicas do que a considerações de caráter científico. Quando se perguntou a Pitágoras o que é um amigo, ele respondeu - áquele que é como o outro eu, como acontece com 220 e Pitágora quis dizer o seguinte: a soma dos divisores 1 < a < 284 de 284 é 220 e a soma dos divisores 1 < b < 220 de 220 é 284. Dois números nestas condições são chamados de amigos. Um conceito semelhante é o número perfeito. Um número dizse perfeito se ele é amigo de si mesmo. Os prímeros números perfeitos são 6 e 28 e alguns estudiosos da Bíbllia atribuem a esta propriedade o papel destes números na descrição da criação do Universo. (a) Seja a = p n 1 1 p n 2 2 p nt t da Aritmética. Mostre que: a decomposição de a > 1 nas condições do Teorema Fundamental N(a) = (n 1 + 1)(n 2 + 1) (n t + 1), é o número dos divisores positivos de a; S(a) = pn p 1 1 p n p 2 1 pnt t 1, é a soma de todos os divisores positivos de a. p t 1 (b) Prove que se 2 n 1 é primo, então 2 n 1 (2 n 1) é perfeito. (c) Determinar os inteiros a e b tais que a tem 21 divisores, b tem 10 divisores e mdc (a, b) = Sejam a e b inteiros tais que mdc (a, b) = p, onde p é primo. Calcular mdc (a 2, b) e mdc (a 2, b 2 ). 2

3 13. Prove que 4k + 3 e 5k + 4 são primos entre si para todo k. 14. Mostre que três inteiros positivos ímpares consecutidos não podem ser todos primos, com exceção de 3, 5 e Sejam p e q primos tais que p q 5. Prove que 24 (p 2 q 2 ). 16. Seja n um inteiro positivo. Prove que: (a) Se n > 4 e não é primo, então n (n 1)!; (b) Nenhum inteiro da forma 8 n + 1 é primo; (c) Se o ineiro 2 n 1 é primo, então n é primo; (d) Todo inteiro da forma n 4 + 4, com n > 1 é composto; (e) Todo inteiro n > 11 pode ser escrito como soma de dois números compostos positivos; (f) Todo primo da forma 3n + 1 é também da forma 6m + 1, para algum m Z; (g) Todo inteiro da forma 3n + 2 tem um fator primo desta forma; (h) O único primo da forma n 3 1 é 7; (i) O único primo n tal que 3n + 1 é um quadrado perfeito é Prove que: (a) Se p > 3 é um primo, então p é composto; (b) Se p 5 é um primo ímpar, então 10 (p 2 1) ou 10 (p 2 + 1). 18. Determinar a maior potência de 14 que divide 100!. 19. Determinar todos os primos que dividem 50!. 20. Sejam a e b primos entre si e m > 0. Prove que na progressão b, a + b, 2a + b,..., ka + b,... existem infinitos termos relativamente primos com m. 21. Prove que se a b, existem infinitos inteiros positivos n tais que a + n e b + n são primos entre si. 22. Se mdc (m, n) = 1 e mn é quadrado perfeito, então m e n são quadrados perfeitos. 3

4 23. Um inteiro diz-se livre de quadrados se não é divisível pelo quadrado de nenhum inteiro maior do que 1. Prove que: (a) Um inteiro é livre de quadrados se e somente se pode ser fatorado em um produto de primos distintos; (b) Todo inteiro é produto de um inteiro livre de quadrados por um quadrado perfeito. 24. Mostre que dado um inteiro n e um primo p, n pode ser escrito na forma n = p k m, onde k 0 e p m. 25. Decidir se 1009 é um número primo ou não. 26. Seja n > 0 tal que nenhum primo p 3 n divide n. Prove que n é um primo ou um produto de dois primos. 27. Demonstrar que existem infinitos primos da forma 4n Demonstrar que existem infinitos primos da forma 3n Prove que se 2 m + 1 é primo para algum m > 0, então m é uma potência de Seja p 1 = 2, p 2 = 3, p 3 = 5, p 4, p 5,... a seqüência dos números primos positivos em sua ordem natural. Mostre que: (a) p n+1 p 1 p 1 p n + 1; (b) p n 2 2n 1 para todo n 1; (c) Existem pelo menos n + 1 primos menores que 2 2n. 31. Consideremos a seqüência de inteiros positivos: n 1 = 2, n 2 = n 1 + 1, n 3 = n 1 n 2 + 1,..., n k = n 1 n 2 n k 1 + 1,... (a) Prove que, se i < k, então mdc (n i, n k ) = 1; (b) Concluir que o conjunto dos números primos é infinito. 32. Seja {p 1,..., p n } um conjunto de primos positivos. Sejam A o produto de r quaisquer destes primos e B = p 1 p n A. (a) Prove que p k divide A ou B, mas não ambos; 4

5 (b) Prove que A + B tem um divisor primo p {p 1,..., p n } ; (c) Concluir que o conjunto dos primos é infinito. 33. Sejam a e b inteiros positivos relativamente primos (primos entre si). Prove que S(ab) = S(a)S(b), onde S(a) é a soma dos divisores positivos de A; 34. Seja n > 0 par e perfeito. Mostre que: (a) n = 2 k 1 m, onde k 2, mdc (2, m) = 1 e 2 k 1 m. (b) S(m) = m + m, onde m = (c) Concluir que m é primo. m 2 k Resolver as seguintes equações diofantinas: (a) 2X + 3Y = 9; (b) 8X 7Y = 3; (c) 47X + 29Y = Seja k > 0 primo. Prove que a equação X 4 + 4Y 4 = k tem solução inteira se e somente se k = 5. Neste caso, determine o conjunto solução. 37. Determinar todos os múltiplos positivos de 11 e de 49 cuja soma seja Determinar todos os naturais menores que 1000 que têm restos: 9 na divisão por 37 e 15 na divisão por Escrever o número 100 como soma de dois inteiros positivos de modo que o primeiro seja divisível por 7 e o segundo por Certo senhor, ao descontar um cheque em seu banco, recebeu, sem notar, o número de reais trocados pelo número de centavos e vice-versa. Em seguida, gastou R$1,50 e observou, surpreso, que tinha o dobro da quantia original do cheque. Determinar o menor valor possível com o qual o cheque foi preenchido. 41. Sejam a, b > 0 primos entre si. Provar que a equação diofantina ax by = c tem infinitas soluções nos inteiros positivos. 5

6 42. (a) Provar que a equação diofantina ax + by + cz = d tem solução não vazia se e somente se mdc(a, b, c) d; (b) Determinar todas as soluções inteiras de 15X + 12Y + 30Z = Um pescador tenta pescar um cardume de peixes jogando diversas redes na água. Se cair exatamente um peixe em cada rede, salvam-se ainda n peixes. Se cairem n peixes em cada rede, sobram n redes vazias. Quantas são as redes? Quantos são os peixes? 44. (a) A que número entre 0 e 6 é congruente módulo 7 o produto ? (b) A que número entre 0 e 3 é congruente módulo 4 a soma ? 45. Sejam a, b, r inteiros e s um inteiro não nulo. Prove que a b (mod r) se e somente se as bs (mod rs). 46. Seja a Z. Prove que: (a) a 2 é congruente a 0, 1 ou 4 módulo 8; (b) Se a é simultaneamente um quadrado e um cubo, então a 2 é congruente a 0, 1, 9 ou 28 módulo 36.; (c) Se 2 a e 3 a, então a 2 1 (mod 24). 47. Determinar todos os inteiros positivos m tais que toda solução da congruência X 2 0 (mod m) também é solução da congruência X 0 (mod m). 48. Sejam m 1, m 2 primos entre si e seja a Z. Prove que a 0 (mod m 1 m 2 ) se e somente se a 0 (mod m 1 ) e a 0 (mod m 2 ). Mostrar por meio de um exemplo que a hipótese mdc (m 1, m 2 ) = 1 é essencial. 49. Prove que n 7 n (mod 42), par todo inteiro n. 50. Determinar os restos das divisões: (a) de 2 50 por 7; (b) de por 7; (c) de por 4. 6

7 51. Usar congruências para verificar que: (a) 84 (2 44 1); (b) 97 (2 48 1); (c) 23 (2 11 1). 52. Se a é ímpar, prove que a 2n 1 (mod 2 n+2 ), para todo n Resolva as seguintes congruências lineares: (a) 25X 15 (mod 29); (b) 5X 2 (mod 26); (c) 140X 133 (mod 301). 54. Resolva a congruência linear 17X 3 (mod ). 55. Resolva os seguintes sistemas de congruências lineares: (a) X 1 (mod 3), X 2 (mod 5), X 3 (mod 7); (b) X 5 (mod 6), X 4 (mod 11), X 3 (mod 17). 56. (a) Determinar três inteiros consecutivos tais que um deles seja divisível por um quadrado perfeito; (b) Determinar três inteiros consecutivos tais que o primeiro seja divisível por um cubo e o terceiro por uma quarta potência; (c) Provar que as congruências X a (mod m) e X b (mod n) têm solução comum se e somente se mdc (m, n) (a b). Provar também que a solução é única módulo mmc (m, n). 57. Se de uma cesta com ovos retiram-se duas unidades por vez, sobra um ovo. O mesmo acontece se os ovos são retirados 3 a 3, 4 a 4, 5 a 5 ou 6 a 6, mas não resta nenhum ovo quando se retiram 7 por vez. Encontrar o menor número possível de ovos que tem na cesta. 58. Seja a Z. Prove que: (a) a 21 a (mod 15), a 7 a (mod 42); (b) Se mdc (a, 35) = 1, então a 12 1 (mod 35), (c) Se mdc (a, 42) = 1, então (a 6 1). 7

8 59. (a) Sejam a, b Z e p um primo, tais que mdc (a, p) = 1. Verificar que uma solução da congruência ax b (mod p) é dada por X a p 2 b (mod p); (b) Resolver as congruências: 2X 1 (mod 31), 6X 5 (mod 11) e 3X 17 (mod 29). 60. Sejam p um primo e a, b Z. Prove que, se a p b p (mod p), então a b (mod p). 61. Seja p um primo. Prove que 1 p + 2 p + + (p 1) p 0 (mod p). 62. (a) Mostrar que (mod 17), (mod 17) Consequentemente, dados um inteiro a e um primo p que não divide a, p 1 não é, em geral, o menor inteiro positivo tal que a p 1 1 (mod p). Compare com o Teorema de Fermat. (b) Sejam p um primo e a Z tal que p a. Prove que: i. Se p > 2, a p (mod p) ou a p (mod p); ii. O menor inteiro positivo k tal que a k 1 (mod p) é divisor de p 1; iii. Se k é o menor inteiro positivo como acima, então todo inteiro m tal que a m 1 (mod p) é múltiplo de k. 63. Sejam p, q primos distintos e ímpares tais que p 1 q 1. Se mdc (a, pq) = 1, prove que a q 1 1 (mod pq). 64. Seja a Z. Prove que: (a) a 37 a (mod 1729); (b) a 13 a (mod 2730); (c) Se a é ímpar, a 33 a (mod 4080); 65. Sejam a, n Z tais que mdc (a, n) = mdc (a 1, n) = 1. Prove que 1 + a + + a φ(n) 1 0 (mod n). 66. Sejam a, n Z primos entre si. Prove que m φ(n) + n φ(m) 1 (mod mn). 67. Seja p primo tal que p 2 e p 5. Mostre que p divide infinitos inteiros da seqüência 1, 11, 111, 1111, Determinar r Z tal que a = bq + r, com 0 r < b quando: 8

9 (a) a = 15! e b = 17, (b) a = 2.26! e b = Mostrar que 18! 1 (mod 437). 70. Seja p um primo. Prove que: (a) (p 1)! p 1 (mod (p 1)); (b) Para todo a Z, p (a p + (p 1)! a) e p (a p (p 1)! + a); (c) Se p 2, então (p 2) 2 ( 1) p+1 2 (mod p). 9