Propostas de resolução. Capítulo 1 Números racionais Avalia o que sabes

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1 Capítulo Números racionais Avalia o que sabes Pág. 8. Analisemos cada uma das seguintes opções: Opção A: Se a é múltiplo de b, então existe um número natural n tal que a n b. Logo, a b. Exclui-se esta opção. Opção B: Vejamos um contraexemplo: é um número primo e, no entanto, 9 que não é um número primo. Qualquer quadrado de um número primo admite três divisores: a unidade, o número e o seu quadrado. Exclui-se esta opção. Opção C: Os números e são números primos, mas o seu produto 6 não é um número primo. Qualquer produto de dois números primos admite quatro divisores: a unidade, cada um dos fatores e o produto. Exclui-se esta opção. Opção D: Seja n um número natural divisível por. Então, n k, para algum Ora, n k, pelo que n é divisível por. Resposta: (D) k N.. Atendendo aos dados do problema, conclui-se que o número de alunos era simultaneamente divisível por 9 e por. Ora: 0 não é divisível por 9 nem por. 8 é divisível por 9, mas não é divisível por. 60 é divisível por, mas não é divisível por 9. é divisível por 9 ( 9 ) e é divisível por ( ) Resposta: (D).. Atendendo à relação entre o produto de dois números naturais e o produto do máximo divisor comum pelo mínimo múltiplo comum, tem-se: Capítulo Página

2 ( ) ( ) m.d.c. a, b m.m.c. a, b a b Logo, m.m.c. ( a, b) Resposta: (C) a b ab.. Atendendo à relação referida na questão, tem-se: 7 7 b 7 7 b Logo, b. Resposta: (B) Avalia o que sabes Pág. 9.. Determinemos o m.d.c. (0, 80) Logo, m.m.c. ( 0, 80) 60. É possível obter 60 caixas, no máximo... Ora, 0 : 60 e 80 : 60. Cada embalagem leva duas maçãs e três peras. 6. Determinemos o m.m.c. (6, 8), inspecionando os múltiplos naturais de cada número: M { 6,, 8,,,...} e M { 8, 6,,,...} 6 8 Logo, m.m.c. ( 6, 8). Portanto, o António tomará os dois comprimidos ao mesmo tempo passados horas, ou seja, às 6 h do dia seguinte. 7.. Sabe-se que dividindo ambos os termos da fração pelo m.d.c. (80, ), obtém-se uma fração irredutível equivalente. Como, 7 7 ; 80, então m.d.c. (80, ). Assim, : 80 8 :. 7.. Determinemos o m.d.c. (, 0), utilizando o algoritmo de Euclides Capítulo Página

3 Logo, o m.d.c. (, 0). Portanto, obtém-se a fração irredutível dividindo ambos os termos por : : 9 0 :. 7.. Determinemos o m.d.c. (0, 0) utilizando a decomposição em fatores primos: Logo, m.d.c. ( 0, 0) 60. Portanto, obtém-se a fração irredutível dividido em termos da fração por 60: : : Determinemos o m.d.c. (, ) utilizando o algoritmo de Euclides: Logo, m.d.c. (, ). Portanto, : : é a fração irredutível equivalente. 8.. Determinemos o m.d.c. (70, 80) utilizando o algoritmo de Euclides: Logo, m.d.c. (70, 80) Dividindo ambos os termos da fração por 0 ( m.d.c. ( 70, 80) ) irredutível pretendida. : : n Para n 6, F. n 6 é um número inteiro obtém-se a fração Capítulo Página

4 n Para n 8, F. n 8 6 Ora, ( ) ( ) m.d.c. 68, 6. ( ) ; Logo, a fração irredutível pedida é dada por: : : Aplicar Pág.. Simétrico Valor absoluto Simétrico do simétrico b (sendo b < 0) b b b.. Cada termo da sequência obtém-se a partir do anterior subtraindo duas unidades, sendo o primeiro número da sequência 7. Assim, os três números em falta são: 7,,..... É o ponto E... A ; B ; O 0; C + ; D +.. Dois números são simétricos se e só se têm o mesmo valor absoluto e sinais contrários. Ora, + +. Os pontos A e D têm abcissas simétricas... a) + b) 0 0 c) +.. Como, então o simétrico de é -... O simétrico de zero é zero... é o número cujo simétrico é... Temos duas respostas: 8 ou 8. Capítulo Página

5 Aplicar Pág.. C, C, C, C, 0 C, C, 8 C.... <.. > 7.. >.. 8 < >.7. >.8. > 0.9. <....,, 0,,, e.. a),, e b) Como e são números simétricos, então os pontos A e B são equidistantes à origem, o ponto O, da reta numérica. Assim, a abcissa é 0... Z Z.. 0 Z.. Z.. Z N Aplicar Pág.. Vamos aplicar as regras para a soma de números com o mesmo sinal e sinais contrários ( ) + ( + + e + ; + > ).. + ( ) ( ) ( e ; > ).. + ( 7) ( 7 ) ( e 7 7 ; 7 > ) ( ) + 7 ( e ; > ) ( ; > 0 ) ( ) ( ; > 0 ) ( ) ( 8 + ) ( 8 8 e ) Capítulo Página

6 .8. + ( ) ( + ) ( ).9. + ( ) ( + ) 0 ( ) ( A soma de dois números simétricos é nula. ).. + ( ) 0 ( A soma de dois números simétricos é nula. ).. + ( ) ( + ) ( ; ) ( 0 0) + 0 ( 0 0 e 0 0 ; 0 > 0 ).. + ( ) ( + ) ( ) ( ; ) ( ) ( e > 0 ) ( 0) ( ) 0 ( ; 0 0 ).8. + ( ) ( + ) ( ; ) ( 6 ) ( 6 6 ; ).0. + ( ) + ( ) + 9 ( + e ; > ).. + ( + ) + ( + ) 0 ( Os números são simétricos. ) ( 0 ) + 7 ( e 0 0 ; 0 > ) ( ) ( 8 + ) ( 8 8 ; ).. + ( + ) 0 ( Os números são simétricos e, como tal, a sua soma é zero. ).. ( ) ( ) ( Os números + e ( + ) são simétricos, pelo que a sua soma é zero. ) Capítulo Página 6

7 Aplicar Pág ( 8) + ( ) + ( ) + ( ) + + ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( e 0 0 ; 0 ) ( 0) , pela propriedade comutativa + > A soma dos pontos obtidos no final das oito jogadas é.. Dado que o António tinha inicialmente 0 euros, então: + ( + ) + ( ) + ( + ) + ( ) + ( + ) + ( + ) + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 69 6 ), ( e 6 6 ; 69 6 ) > + O António tem euros no mealheiro... De acordo com os dados, tem-se a seguinte expressão: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ª paragem.ª paragem.ª paragem.. Efetuando a adição, obtém-se: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , pela propriedade comutativa + 0 Quando o autocarro parou na.ª paragem iam 0 pessoas. Aplicar Pág. 9.. Logo, 7. Capítulo Página 7

8 .. Logo, 7... Logo, ( ) 0... Logo, 7... Logo, Logo, ( + ) Logo, 0. Capítulo Página 8

9 .8. Logo, ( ).. Sabe-se que subtrair b e a é o mesmo que adicionar b a a. Desta forma, tem-se:.. ( ) + ( + ) 8 ( + é simétrico de ) ( ) ( é simétrico de ).. + ( ) 7 ( é simétrico de ).. 0 ( ) 0 + ( + ) ( é simétrico de ).. a) A origem da reta numérica tem abcissa zero. Assim, a medida da distância pedida é dada pelo valor absoluto da diferença entre 0 e 0. Assim, O ponto A dista 0 unidades da origem da reta numérica. b) 0 ( 8) 0 + ( + 8) ou 8 ( 0) 8 + ( + 0) Os pontos A e B distam unidades... Se a medida da distância entre A e B é unidades, então o ponto C, ponto equidistante destes, está a 6 ( : ) unidades de ambos. Ora, e 8 6. Logo, o ponto equidistante aos pontos A e B tem de abcissa... 8 ( ) ( 7) ( + ) 7 Aplicar Pág. Capítulo Página 9

10 .. 0 ( ) ( ) 7.7. ( + 7) ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + [ ] 0 ( 7) + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( b + ) b. O simétrico de ( b ) + é b... ( b) + b b +. O simétrico de ( b).. ( b ) b + b. O simétrico de ( ) é b +. b é b. Aplicar Pág... a) 8 b) 8,, 0, c) 8 0,, d) {,, 0 } Capítulo Página

11 .... 0, > 0,9.. >.. <.. >.. < , 0.. >.. >.. N.. + Z 0.. N Z 0.6., Z. Consideremos dois números a e b nas condições indicadas. Seja, A e B os pontos de abcissas a e b, respetivamente... Como a < 0, b < 0 e a < b, uma possível representação é: Logo, a > b... Como a > 0, b > 0 e a < b, uma possível representação é: Logo, a < b... Como a < 0, b < 0 e a b, então os pontos A e B coincidem na reta numérica, pelo que a b... Como a > 0, b > 0 e a b, então os pontos A e B coincidem na reta numérica, pelo que a b... Como a < 0 e a > b, então uma possível representação é: Logo, a < b. Capítulo Página

12 .6. Sendo a > 0 e a < b, então uma possível representação é: Logo, a < b. Aplicar Pág ou.7. ( ) ( ) ( ) ou Capítulo Página

13 e, pelo que > , + 0,,7 +,7 0,7 ou.. ( ) a) A parte do trajeto percorrido nas três primeiras etapas. b) A parte do trajeto que o Afonso percorreu a mais na.ª etapa que na.ª etapa, nas primeiras três etapas... Determinemos frações equivalentes às dadas: ; e Na.ª etapa, o aluno poderá percorrer Ora, Comparando as frações, conclui-se que foi na.ª etapa. Capítulo Página

14 Aplicar Pág... ( ) ( ).. ( ) ( ).. ( ) ( 7) ( 7).. ( ) ( ) ou ( 0,) 0,0 0, 0,0 0, ( ) ( ) : ( ) ( ).. :.. :.. ( ) : 0, 0.. :.6. 6 : : Capítulo Página

15 9.7. ( ) : ( ).8. :.. 7 : : ( ) ( ) : ( ) : ( ) ( ) : ( 7) : : : +.. ( ). Atribuindo letras às partes da pirâmide vazias para evidenciar os cálculos necessários: Cálculos auxiliares: a 8 : ( ) c 8 b : 8 d e 8 ( 8) 6 f 8 g h 6 6 i j 6 E assim, obtemos a pirâmide preenchida: Capítulo Página

16 . Se a Patrícia leu 7 do número de páginas, significa que lhe faltam ler 7 do número de páginas total do livro. Ora,. Portanto, podemos estabelecer a proporção seguinte, 7 7 onde x representa o número total de páginas do livro: 60, ou seja, x x 7 Como significa que a Patrícia leu 0 páginas do livro. Aplicar Pág.. Dado que o pedreiro construi ao longo de todos os dias a mesma quantidade de muro, então, por dia, o pedreiro construiu :, ou seja, O pedreiro construiu, por dia, 8 do muro : ( ) ( ) ( ) : : : : ( ) : + : Capítulo Página 6

17 : a) O inverso de é, pois b) O inverso de 7 8 é 8 7, pois c) O inverso de é.repara que a) : 8 7 b),,,.. 0,, 0, ,,,,8,8, , 0, 8,, 8,,,,,,, 0,, 0,, 0,, 0, 0,, Capítulo Página 7

18 Aplicar Pág. 7.. ( ) ( ) ( ) ou ( ) Pretende-se determinar o valor de q, sendo q Q, tal que q 6. Como ( ) 6 e 6, a base da potência pode tomar dois valores: e o seu simétrico... Pretende-se determinar o valor de n, sendo n N, tal que n. 9 Como, então o expoente da potência é. 9.. De acordo com os dados da figura, tem-se: 6 representa a medida da área, em unidades quadradas, do quadrado maior; representa a medida da área, em unidades quadradas, do quadrado menor; Logo, a diferença Assim, 6 colorida da figura ( ou,) 6 representa a medida, em unidades quadradas, da parte colorida. representa a medida da área, em unidades quadradas, da metade da área Capítulo Página 8

19 Aplicar Pág ( ) ( ) ( ) ( ) :.6. : ou.7. : : : : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ou ) ( ) ( ) ( ( )) ou Capítulo Página 9

20 : : ( por exemplo).. ( ) ( ) ( ) 6 ( ou 6 ).... ( ) : ( ) : ( ) : ( : ) 6 6 :.. ( ) ( ) : ( ) ( ) ( ) 8 8 Capítulo Página 0

21 Aplicar Pág.. 0,,, 69, 96 e.., porque.. 6 6, porque , ( 0,) 0, ,008 0, Dado um número racional q igual ao quociente de dois quadrados perfeitos não nulos, existem exatamente dois números racionais, simétricos um do outro, cujo quadrado é igual a q. 6 é um quociente de dois quadrados perfeitos, pois 6 6. Assim, existe um número racional negativo cujo quadrado é igual a 6. É o número simétrico de 6, ou seja, 6... Consideremos l a medida do lado do quadrado. Dado que a sua área é dada pela expressão l, tem-se: l 0 cm. A medida do comprimento do lado é cm. Capítulo Página

22 l cm cm cm A medida do comprimento do lado do quadrado é 9 cm... l 600 mm 0 mm 0 mm A medida do comprimento do lado do quadrado é 0 mm... l 0,0 dam dam dam dam 0, dam 0 A medida do comprimento do lado do quadrado é 0, dam... 6 l 0,6 0 Logo, os números racionais cujo quadrado é 0,6 são ou (ou 0, ou -0,)... Sabe-se que ( ) 7 9 e 7 9. Os números são 7 ou l Logo, os números racionais cujo quadrado é 6 9 são ou... Sabe-se que ( ) 8 6 e 8 6. Os números são 8 ou a) b) c) 9 0,09 0, 0. 0, , ( ) 0 0,0 0, 6.. Seja a um número natural, tal que n a. Assim, n a a a m m m m ( ) ( ). Capítulo Página

23 Aplicar Pág.. e 78.., porque , porque ( )... ( ) ,00 ( ou 0,) 00 8 ou 0,.6. ( ) ( ) ( ). 7 e Como < 000 < 6, então 000 não é um quadrado perfeito, pois não existe nenhum número natural n tal que n O número é 6, pois 6 (é um cubo perfeito) e 8 6 (é um quadrado perfeito).. Seja a a medida do comprimento da aresta do cubo... a cm 7 cm O comprimento da aresta do cubo mede 7 cm a 0, ( ou 0,7) O comprimento da aresta do cubo mede 7 cm, ou seja, 0,7 cm... 6 a 7 O comprimento da aresta mede cm. Capítulo Página

24 .. 7 a 0,07 0, 00 O comprimento da aresta mede cm, ou seja, 0, cm. 6.. Como a 0, , então existe um único número racional tal que o seu cubo é 0,008 que é (ou 0, ). 6.. Como a 0,00 00, então existe um único número racional tal que o seu cubo é 0,00 que é (ou 0,). 6.. Por definição, ( ) ( ) que é.. Assim, existe um único número racional cujo cubo é 6.. Por definição,, pelo que o único número racional cujo cubo é é. 7.. Existe um único número racional positivo cujo cubo é o mesmo de que é o próprio. 7.. Qualquer cubo de um número racional negativo é negativo. Logo, não existe nenhum número racional cujo cubo é 6 7. Aplicar Pág , pois... 00, pois 00 Capítulo Página

25 .. 0, 0 0 (ou 0,) ,07 0,07 ( ou 0,) Nota que , ( ) , ,07 0, , , ( ) ( ).. 0,000 0, e 7 6. Logo: 0 e Portanto, ( + 6). Capítulo Página

26 . Por definição, q q, para qualquer q > 0. Logo, q r q r q r ( + ) Atividades fundamentais Pág. 6. ( + ) + 6 Resposta: (C). + ( ) : ( ) ( 7) + ( 7) + ( ) 7 Resposta: (B).. 6 Resposta: (B) 0 7 : Resposta: (D) : : Resposta: (B) Resposta: (C) 7. ( ). Logo, o simétrico deste número é. Resposta: (D) Capítulo Página 6

27 ( ) ( ) ( ) ( ). Resposta: (A) Atividades fundamentais Pág Resposta: (B). 6 Resposta: (A). Analisemos cada uma das seguintes opções: não é possível escrever como um quadrado de um número natural. ( ) pelo que não é um quadrado perfeito. 7 ( 7) pelo que não é um quadrado perfeito. ( ) ( 7 ) 7 7 ( 7 ) Resposta: (D). Analisemos cada uma das seguintes opções: ( ) é um quadrado perfeito, mas não um cubo perfeito. ( ) ( ) é um cubo perfeito, mas não um quadrado perfeito. 9 é um cubo perfeito, mas não um quadrado perfeito. ( ) ( ) Resposta: (C) é um cubo e um quadrado perfeito.. Analisemos cada uma das opções dadas: A opção A exclui-se, pois não faz sentido em Q Exclui-se a opção (C). Capítulo Página 7

28 Exclui-se a opção (D). Resposta: (B). Analisemos cada uma das opções dadas: Opção (A): + 7 Opção (B): 9 Q Opção (C): : 9 : : : Por outro lado, : Opção (D): Resposta: (C) A caixa tem de volume de volume 8 cm cm. Cada cubo que vai ser colocado na caixa tem cm 8 cm. Como 6, então, no máximo, é possível colocar na 8 caixa cúbica 6 cubos. Resposta: (A).. + ( ).. ( ) ( ) ( ) Atividades fundamentais + Pág ( ) 0 : 0.9. ( 0) ( + ) ( 0) ( ) : : 9 Capítulo Página 8

29 : :.. ( ) : : ( ).. a) O número que adicionado a dá soma é ( ) b) O número que adicionado a dá soma c) O número que adicionado a +. é ( ) dá soma 0 é ( ) a) O número que multiplicado por dá como produto zero é o número zero. b) O número que multiplicado por c) O número que multiplicado por dá como produto - é ( ) dá como produto 0 é ( ) :. 0 :... Sabe-se que o dividendo (D) é igual ao produto do divisor (d) pelo quociente (q) adicionado do resto (r), ou seja, D d q + r. Neste caso, r 0, pelo que 6 9 q. Logo, q ( 6 ) : ( 9). O divisor é.. + ( + ) + ( ) + ( + ) + ( 9) + ( + ) + ( + ) + ( + ) + ( ) + ( 9) 9 + ( ) Posição inicial O elevador parou no.º andar, ou seja, na posição inicial... ( 0) + 0 A diferença da temperatura é ºC, em valor absoluto ; 0 A diferença entre a temperatura de cada parte inferior do frigorífico é 6 ºC e ºC, em valor absoluto... a) b) : : : Capítulo Página 9

30 Atividades fundamentais Pág. 9.. a) b) : 6 6 c) d) e) f) g) h) i) ( ) + 7 : : : : : : : ou Efetuando a divisão: O João necessita de 6 caixas. Como sobram dois bolos após colocar 90 bolos em caixas, e dado que cada caixa fica com seis bolos, então faltam quatro bolos para encher a 6.ª caixa D 9 {,,,, 6, 9} 6.. a) Observando a decomposição em fatores primos, conclui-se: se multiplicarmos 9 por, obtém-se a decomposição ( ) perfeito. b) Multiplicando 9 por que é um quadrado obtém-se: ( ) que é um cubo perfeito. Trata-se do número 8. Capítulo Página 0

31 7. Determinemos o comprimento da aresta, em decímetros: a 8 dm dm De acordo com a figura, é necessário, no mínimo, 8 dm 6 dm,6 m. Portanto, uma possível resposta seria: A afirmação é verdadeira. O comprimento da aresta do cubo, em centímetros, é. Portanto, no mínimo, é necessário,6 m de fita sem o laço. 8. Dado que a área de um quadrado é obtida pelo quadrado do comprimento do seu lado, tem-se:. O quadrado tem de lado cm. 9. Determinemos o comprimento da aresta do cubo: 8. O cubo tem 8 cm de comprimento da aresta. Ora, a área lateral é dada por O cubo tem de área lateral 6 cm ( ).. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Exercícios, problemas e desafios complementares Pág. 0.. A ; B ; O 0 ; C + ; D + ; E Os pontos B e C... Ponto A: + Ponto O: 0 0 Ponto D: + + Ponto O: Capítulo Página

32 .. Pela observação da reta numérica, conclui-se que a abcissa do ponto cuja distância à origem é +... O simétrico de é m.. 80 m.. Respetivamente, 80 m. Exercícios, problemas e desafios complementares Pág... a) Janeiro b), ºC c) Novembro.. e ( ) ( ) () Propriedade associativa da adição () Existência do elemento simétrico Pág ( ) + ( ) ( ) ( 0) ( 0) Adicionar 0 Adicionar 0 Subtrair 0 Adicionar 0 Basta adicionar 0 (ou subtrair 0) ao número em que pensamos.. Determinemos, geometricamente, a distância entre os pontos A e B: 0 Capítulo Página

33 Ora,. Como 0 + 9, então os pontos equidistantes dos pontos A e B têm de abcissa 9.. Por exemplo:.. a) b) + c) + d) + + e) f) g) a) De acordo com a questão.., podemos afirmar que a soma coincide com o valor absoluto do número central. Logo, b) De forma análoga, Exercícios, problemas e desafios complementares Pág... <.. <.... 0, >.. Z.6. N.7. Z.8. 7 Q.9. 8 N.. Q.. N.. 0, Z.. a) e b) c), e d) e).. Capítulo Página

34 6. A parte do percurso não percetível é dada por: representa a parte do percurso que não está percetível na figura Exercícios, problemas e desafios complementares Pág ( ) Capítulo Página

35 9.. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).. :. Logo, a igualdade é falsa e. Portanto, a igualdade é verdadeira.. A igualdade é verdadeira Logo, a igualdade é falsa... ( ) ( ) ( ) ( 8) : : Capítulo Página

36 .., 6 ( ) : : : : + + : Exercícios, problemas e desafios complementares Pág... A Inês escreveu no quadro três quadrados perfeitos que são, 8 e 0. Logo, a Inês pensou nos números, 9 e... Como o Pedro escreveu o dobro dos números em que pensou que são 8 9, e 0... Por exemplo, se pensarmos em e 6, temos: ( ) ( ).9. ( ) 0 Capítulo Página 6

37 ou ou.. : ou ( 0,) : 0,8 : : : : Capítulo Página 7

38 , 0, 8 8 ( ) 7. A ideia é encontrar o menor fator inteiro, tal que possamos escrever o produto como uma potência de expoente. ( ) Obtemos, assim, um quadrado perfeito. O número é. Exercícios, problemas e desafios complementares Pág De acordo com a sequência dada, pode concluir-se que a soma dos oito primeiros números ímpares é dada por 8 6. Reparemos que Analogamente, a soma dos dez primeiros números ímpares é dada por A soma dos n primeiros números ímpares é obtido pelo quadrado de n, ou seja, por n (sendo n N). 9.. Dado um quadrado perfeito, n, existe um número q e o seu simétrico de q cujo quadrado é n. Assim, 6 e 6 são os números cujo quadrado é 6. ( ) ( ) ( ) e 9.. Da mesma forma, e ( ) ( ) ( ) Os números são 9 e 9. e ( ) ( ) ( ) 9... Os números são e , 0 0 Capítulo Página 8

39 ; 6 ; ; ; ( ) 8 ; 6 Ordenando os valores, tem-se: < < < < < ( ). Determinemos 9 7 e 7. O António pensou no número... q q q q, sendo q Q q q q q q q q ( ) q q q +.. q q q q q q q q Q q q q q q, sendo ( ) q +.. ( q + r )( q r ) q q + q ( r ) + r q + r ( r ) ( q ) q r + q r ( r ) q r q r q r Q. + Sendo e Q, então ( ) Autoavaliação Pág. 7. ( ) ( ) ( ) ( ) Resposta: (D) : Capítulo Página 9

40 . Determinemos o comprimento do ado do quadrado, em centímetros. 6. Logo, a medida do perímetro é dada por ( ) cm 0 cm.. Portanto, a aresta do cubo com cm mede cm : 6 : : Logo, ( ) Logo, ( 6) m m 7. ( ) ( ) Portanto, para m, tem-se ( ) que é um cubo perfeito. ( ) m é sempre um quadrado perfeito para qualquer número natural m. Assim, o menos número natural é. Capítulo Página 0