UDESC - Universidade do Estado de Santa Catarina CCT - Centro de Ciências Tecnológicas DMAT - Departamento de Matemática

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1 UDESC - Universidade do Estado de Santa Catarina CCT - Centro de Ciências Tecnológicas DMAT - Departamento de Matemática Segunda Lista de Exercícios de ITN: Números Inteiros Prof. Marnei Luis Mandler Segundo semestre de Sejam a, b, c Z. Mostre que são válidas as seguintes propriedades: (a) a.0 = 0. (b) se a + b = a + c então b = c. 2. Sejam a, b, c Z. Mostre que são válidas as seguintes regras de sinais: (a) ( a) = a. (b) a( b) = (ab) = ( a)b. (c) ( a)( b) = ab. (d) se a 0, então a 0. (e) se a 0, então a 0. (f) se a 0 e b 0, então ab 0. (g) se a 0 e b 0, então ab 0. (h) se a 0 e b 0, então ab 0. (i) se a b e c 0, então ac bc. (j) se a b e c 0, então ac bc. (k) para todo a Z vale que a Sejam a, b, c Z. Mostre que são válidas as seguintes propriedades: (a) se a b então a b, a b e a b. (b) se a b então a b. (c) se a b e b a então a = ±b (d) se a b e b 0 então a b. (e) se a bc e mdc(a, b) = 1, então a c. (f) se a bc e mdc(a, b) = d, então a cd. (g) se a c, c b e mdc(a, b) = 1 então a = ±1. (h) se a c, b c e mdc(a, b) = d, então ab cd. 4. Determine a e b inteiros tais que a + ( b) = 184 e o quociente e o resto da divisão de a por b sejam, respectivamente, q = 16 e r = 4. 1

2 5. Sejam a e b dois números inteiros tais que a + b = 126 e que o quociente e o resto da divisão de a por b sejam, respectivamente, q = 15 e r = 2. Determine o resto da divisão de a por b. 6. Seja a um inteiro cujo resto na divisão por 10 é igual a 9. Mostre que o resto da divisão de a por 5 é igual a 4 e que o resto da divisão de a por 5 é igual a Seja a um inteiro cujo resto na divisão por 6 é igual a 5. Encontre o resto da divisão de: (a) a por 2 (d) a por 2 (g) a 2 por 6 (j) a 2 por 12 (b) a por 3 (e) a 2 por 12 (h) a 2 por 12. (k) a 2 por 4 (c) a por 3 (f) a 2 por 4 (i) a 2 por 6 (l) a 2 por Seja a um inteiro cujo resto na divisão por 12 é igual a 11. Determine o resto da divisão de: (a) a por 4 (c) a por 6 (e) a 2 por 24 (g) a 2 por 12 (b) a por 3 (d) a por 3 (f) a 2 por 24 (h) a 2 por Seja a um inteiro ímpar. Mostre que o resto da divisão de a por 4 é igual a 1 ou 3 e que o resto da divisão de a 2 por 4 é igual a Seja a Z. Mostre que: (a) um dos inteiros a, a + 1 ou a + 2 é divisível por 3. (b) um dos inteiros a, a + 1, a + 2 ou a + 3 é divisível por Sejam a, b, c Z. Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, efetuando a demonstração ou dando um contra-exemplo. (a) Se a b, então (a + c) (b + c). (b) Se a b, então ac bc. (c) Se a b, então b a. (d) Se a (b + c), então a b ou a c. (e) Se c 0, então a b se e somente se ac bc. (f) Existem inteiros a, b, c tais que a bc mas a b e a c. (g) Se a, b, c são inteiros positivos, então mdc(ac, bc) = c.mdc(a, b). 12. Mostre que: (a) o quadrado de um número ímpar sempre deixa resto 1 na divisão por 8. (b) o produto de dois inteiros da forma 6k + 5 deixa resto 1 na divisão por 6. (c) se n é ímpar, então 1 n 2 é múltiplo de 8. 2

3 (d) se n não é múltiplo de 2 e nem de 3, então n(1 n 2 ) é múltiplo de Use o princípio de indução para provar que: (a) ( 1) n 1 n 2 = ( 1)n 1 n(n + 1) 2 (b) 6 n 3 n, para todo n N. (c) 7 2 3n 1 para todo n 0. (d) 8 3 2n + 7 para todo n 1. (e) 3 2 n + ( 1) n+1 para todo n 1. (f) 5 8 n 3 n para todo n 0. (g) n+2 8n 9, para todo n 0. (h) 9 2 2n + 15n 1, para todo n 0. (i) 9 n4 n+1 (n + 1)4 n + 1, para todo n 0. (j) 0 < a 0 < a n para todo n N. (k) a < 0 a 2n+1 < 0 para todo n N. para todo n Demonstre que a brincadeira matemática descrita nos passos abaixo sempre funciona, para qualquer número de telefone com 8 algarismos: (a) Escreva os 4 primeiros números de seu telefone; (b) Multiplique por 80. (c) Some uma unidade. (d) Multiplique por 250. (e) Some com os 4 últimos números do mesmo telefone. (f) Some com os 4 últimos números do mesmo telefone de novo. (g) Diminua 250. (h) Divida por 2. (i) Qual o número obtido ao final dessas etapas? 15. Determine o máximo divisor comum dos números dados abaixo e a seguir, aplique o teorema de Bezout a esses números. (a) a = 120 e b = 68 (b) a = 68 e b = 250 (c) a = 20 e b = 7 (d) a = 102 e b = 49 (e) a = 68 e b = 42 (f) a = e b = Sejam a, b, c Z. Mostre que: (a) Se mdc(a, b) = 1 e c (a + b) então mdc(a, c) = mdc(b, c) = 1. (b) Se mdc(a, b) = 1, a b e b c então ab c. 3

4 17. Use o algoritmo da divisão de Euclides para obter números r e s satisfazendo: (a) 56r + 72s = mdc(56, 72). (b) 24r + 138s = mdc(24, 138). (c) 119r + 272s = mdc(119, 272). 18. Encontre todas as soluções das seguintes equações diofantinas: (a) 17x + 13y = 100 (b) 12x + 18y = 50 (c) 60x + 18y = 67 (d) 1402x y = 1 (e) 102x y = 533 (f) 33x + 25y = 0 (g) 2x 10y + 35z = 0 (h) 101x 102y + 103z = 1 (i) 7x + 21y + 5z = 19 (j) 12x + 21y + 9z + 15w = Expresse o número 2000 como a soma de dois inteiros positivos de modo que o primeiro seja divisível por 7 e o segundo, por Um grupo de pessoas gastou 1000 dólares num hotel. Sabendo-se que apenas alguns dos homens estavam acompanhados pelas esposas e que cada homem gastou 19 dólares e cada mulher gastou 13 dólares, pede-se para determinar quantas mulheres e quantos homens estavam no hotel. 21. Um parque cobra R$ 1 a entrada de crianças e R$ 3 a de adultos. Para que a arrecadação de um dia seja R$ 200, qual o menor número de pessoas, entre adultos e crianças que poderiam frequentar o parque nesse dia? Quantos adultos? 22. Um laboratório dispõe de 2 máquinas para examinar amostras de sangue. Uma delas examina 15 amostras de cada vez, enquanto a outra examina 25. Quantas vezes essas máquinas devem ser acionadas para examinar 2 mil amostras? 23. Sabe-se que uma partida de futebol é disputada por duas equipes de 11 jogadores cada e que uma partida de vôlei é disputada por duas equipes de 6 jogadores cada. Determine a quantidade de partidas de futebol e de vôlei que podem ser disputadas simultaneamente por um total de: a) 304 atletas. b) 157 atletas. 24. Em uma elegante loja de artigos natalinos são comercializados dois tipos de bolas artesanais que são utilizadas para decorar a árvore de Natal. As bolas do tamanho A são menores e custam 3 reais cada unidade, enquanto as bolas do tamanho B são maiores e custam 8 reais a unidade. De quantas formas distintas uma cliente dessa loja pode comprar os dois tipos de enfeite gastando exatamente 190 reais? Quantas unidades de cada bola podem ser compradas em cada uma dessas formas? Qual a maior quantidade possível de bolas que pode ser compradas com esses 190 reais? 25. De quantas formas distintas é possível comprar selos de cinco e de três reais, de modo a gastar exatamente cinquenta reais? Quais são essas formas? 4

5 26. De que maneiras podemos comprar selos de cinco e de sete reais, de modo a gastar exatamende cem reais? 27. Quantos pontos de coordenadas inteiras positivas existem no segmento de reta que passa pelos (0, 0) e (96, 112)? 28. Dados a, b e c inteiros quaisquer e m um inteiro maior do que 1, demonstre as seguintes propriedades: (a) a a (mod m). (b) a b (mod m) b a (mod m). (c) a b (mod m) e b c (mod m) a c (mod m). 29. Sejam a, b, c, d inteiros quaisquer e seja m um inteiro maior do que 1. Mostre que, se a b (mod m) e c d (mod m), então ac bd (mod m). 30. Sejam a, b, c inteiros quaisquer e seja m um inteiro maior do que 1. Mostre que se ac bc (mod m) e mdc(c, m) = 1, então a b (mod m). 31. Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas: (a) 91 0 (mod 7) (b) (mod 10) (c) 2 2 (mod 8) (d) (mod 3) (e) 42 8 (mod 10). (f) (mod 4) (g) (mod 5) (h) (mod 5) (i) (mod 9) (j) a b (mod 4) a b (mod 2). (k) 10x 10y (mod m) x y (mod m). (l) 2x 3y (mod m) x y (mod m). (m) a 2 b 2 (mod m) a b (mod m). 32. Encontre: (a) todos os valores de m para os quais (mod m). (b) todos os inteiros x tais que 0 < x < 15 e 3x 6 (mod 15). (c) todos os inteiros x tais que 1 < x < 100 e x 7 (mod 17). 33. Sejam a e b dois números inteiros cujos restos na divisão por 7 são respectivamente 6 e 2. Determine os restos da divisão de a + b, a b e de b a por Prove que se a deixa resto r na divisão por 3, então 2 a deixa resto 2 r na divisão por Mostre que todos os números da forma 3 6n 2 6n são divisíveis por 5 e por 7. Conclua que estes números são divisíveis por Considere os números a = 10c + r e b = c 2r, com c e r inteiros. Mostre que a é múltiplo de 7 se, e somente se, b é múltiplo de Use congruências para provar que: 5

6 (a) (b) (c) Determine o resto na divisão de: (a) por 3; (b) 2 50 por 7; (c) por 7. (d) 2 30 por 17; (e) por 17; (f) por Utilize congruências para: (a) provar que 3 divide (b) achar o resto da divisão de 2 50 por 7. (c) obter o algarismo das unidades do número (d) verifique se é divisível por 9 ou não. (e) encontrar o resto da divisão de ((3006) (3004) 2004 ) 2005 por 5. (f) provar que 5 divide (g) achar o resto da divisão de por 7. (h) obter o algarismo das unidades do número (i) obter o dia da semana em que estaremos daqui a dias, sabendo que hoje é uma sexta feira. (j) obter o dia da semana em que estávamos há exatos dias atrás. (k) obter os dois últimos algarismos, no sistema de representação decimal, do número (l) obter os dois últimos algarismos, no sistema de representação decimal, dos números 3 400, , , e (m) obter os dois últimos algarismos, no sistema de representação decimal, dos números , , e Sejam a e b inteiros e r e s inteiros não nulo. Prove que a b (mod r) se e somente se as bs (mod rs). ( 41. Demonstre que, se m 2, ac bc (mod m) e d = mdc(c, m), então a b mod m ). d 42. Resolva, se possível, as seguintes congruências lineares, exibindo todas as soluções distintas: (a) 5x 2 (mod 26) (b) 3x 17 (mod 5) (c) 34x 60 (mod 98) (d) 5x 38 (mod 7) (e) 20x 7 (mod 15) (f) 12x 3 (mod 6) (g) 9x 18 (mod 21) (h) 52x 28 (mod 36) (i) 24x 15 (mod 33) (j) 154x 63 (mod 105) 6