MA14 - Aritmética Unidade 15 - Parte 1 Resumo. Congruências

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1 MA14 - Aritmética Unidade 15 - Parte 1 Resumo Congruências Abramo Hefez PROFMAT - SBM

2 Aviso Este material é apenas um resumo de parte do conteúdo da disciplina e o seu estudo não garante o domínio do assunto. O material completo a ser estudado encontra-se no do livro texto da disciplina: Capítulo 9 - Seção 9.1 Aritmética, A. Hefez, Coleção PROFMAT. Colaborou na elaboração desses resumos Maria Lúcia T. Villela. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 15 - Parte 1 - Resumo - Congruências slide 2/15

3 Nesta unidade, apresentamos uma das noções mais fecundas da aritmética, introduzida por Gauss no seu livro Disquisitiones Arithmeticae, de Trata-se da realização de uma aritmética com os restos da divisão euclidiana por um número fixado. Seja m um número natural. Diremos que dois números inteiros a e b são congruentes módulo m se os restos de sua divisão euclidiana por m são iguais. Quando os inteiros a e b são congruentes módulo m, escreve-se a b mod m. Exemplo mod 2, já que os restos da divisão de 21 e de 13 por 2 são iguais a 1. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 15 - Parte 1 - Resumo - Congruências slide 3/15

4 Quando a relação a b mod m for falsa, diremos que a e b não são congruentes, ou que são incongruentes módulo m. Escreveremos, neste caso, a b mod m. Exemplo mod 5, pois o resto da divisão de 20 por 5 é 0, enquanto 17 deixa resto 2 na divisão por 5. Como o resto da divisão de um número inteiro qualquer por 1 é sempre nulo, temos que a b mod 1, quaisquer que sejam a, b Z. Isto torna desinteressante a aritmética dos restos módulo 1. Portanto, doravante, consideraremos sempre m > 1. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 15 - Parte 1 - Resumo - Congruências slide 4/15

5 Decorre da definição, que a congruência, módulo um inteiro fixado m, é uma relação de equivalência; Proposição Seja m N. Para todos a, b, c Z, tem-se que (i) a a mod m, (ii) se a b mod m, então b a mod m, (iii) se a b mod m e b c mod m, então a c mod m. Proposição Suponha que a, b, m Z, com m > 1. Tem-se que a b mod m se, e somente se, m b a. Exemplo mod 4, pois 4 8 = 21 13; mod 6, pois 6 9 = PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 15 - Parte 1 - Resumo - Congruências slide 5/15

6 Sistema Completo de Resíduos Módulo m Note que todo inteiro é congruente módulo m ao seu resto pela divisão euclidiana por m, e, portanto, é congruente a um dos números 0, 1,..., m 1. Além disso, dois desses números distintos não são congruentes módulo m. Chamaremos de sistema completo de resíduos módulo m a todo conjunto de números inteiros cujos restos pela divisão por m são os números 0, 1,..., m 1, sem repetições e numa ordem qualquer. Portanto, um sistema completo de resíduos módulo m tem m elementos. Exemplo {a 1 = 0, a 2 = 1, a 3 = 2}, assim como {b 1 = 10, b 2 = 11, b 3 = 12} são sistemas completos de resíduos módulo 3, pois seus restos na divisão por 3 são, respectivamente, 0, 1, 2 e 1, 2, 0. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 15 - Parte 1 - Resumo - Congruências slide 6/15

7 O que torna útil e poderosa a noção de congruência é o fato de ser uma relação de equivalência compatível com as operações de adição e multiplicação nos inteiros, conforme veremos na proposição a seguir. Proposição Sejam a, b, c, d, m Z, com m > 1. i) Se a b mod m e c d mod m, então a + c b + d mod m. ii) Se a b mod m e c d mod m, então ac bd mod m. Corolário Para todos n N, a, b Z, se a b mod m, então a n b n mod m. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 15 - Parte 1 - Resumo - Congruências slide 7/15

8 Exemplo: n n, para todo natural ímpar n. De fato, 13 3 = = mod 45, logo mod 45. Portanto, como n é ímpar, pelo Corolário anterior, Por outro lado, como segue-se que 13 3n ( 8) n = 8 n mod = = mod 45, 17 3n 8 n mod 45. Assim, do item (i) da Proposição anterior, 13 3n n 8 n + 8 n = 0 mod 45. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 15 - Parte 1 - Resumo - Congruências slide 8/15

9 Pequeno Teorema de Fermat Com a notação de congruências, o Pequeno Teorema de Fermat se enuncia como se segue: Teorema (Pequeno Teorema de Fermat) Se p é número primo e a Z, então Além disso, se p a, então a p a mod p. a p 1 1 mod p. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 15 - Parte 1 - Resumo - Congruências slide 9/15

10 Exemplo: Qual o resto da divisão de por 13? Certamente, calcular a potência , para depois dividir o resultado por 13, não é o melhor caminho. Note que mod 13, pois 3 é o resto da divisão de 237 por 13. Pelo Pequeno Teorema de Fermat, segue-se que Pelo Corolário anterior, Analogamente, temos que mod = ( ) = 1 mod = 81 3 mod 13. Segue, do item (ii) da Proposição anterior, que = = 3 mod 13. Portanto, o resto da divisão de por 13 é 3. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 15 - Parte 1 - Resumo - Congruências slide 10/15

11 Proposição Sejam a, b, c, m Z, com m > 1. Tem-se que a + c b + c mod m a b mod m. A seguir, um resultado relacionado com o cancelamento multiplicativo; Proposição Sejam a, b, c, m Z, com m > 1. Temos que ac bc mod m a b mod m (c, m). Corolário Sejam a, b, c, m Z, com m > 1 e (c, m) = 1. Temos que ac bc mod m a b mod m. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 15 - Parte 1 - Resumo - Congruências slide 11/15

12 Exercício: Dê os inteiros tais que 7(X 2 1) 21 mod 8 Solução Temos que 7(X 2 1) 21 mod 8 7(X 2 1) 7 3 mod 8. Como (7, 8) = 1, pelo Corolário anterior, podemos cancelar o fator 7 obtendo X mod 8 X 2 4 mod 8. Analisamos na seguinte tabela todas as possíveis congruências módulo 8, lembrando que se x r mod 8, então x 2 r 2 mod 8, inteiro congruência módulo 8 x x Portanto, x 2 mod 8 ou x 6 mod 8, isto é, x = 8k + 2 ou x = 8k + 6, com k Z. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 15 - Parte 1 - Resumo - Congruências slide 12/15

13 A seguir, propriedades adicionais das congruências relacionadas com a multiplicação: Proposição Sejam a, b Z. Se m, n, m 1,..., m r são inteiros maiores do que 1, temos que i) se a b mod m e n m, então a b mod n; ii) a b mod m i, i = 1,..., r a b mod [m 1,..., m r ]; iii) se a b mod m, então (a, m) = (b, m). PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 15 - Parte 1 - Resumo - Congruências slide 13/15

14 Exemplo Qual o menor múltiplo positivo de 7 que deixa resto 1 quando dividido por 2, 3, 4, 5 e 6? Queremos achar a menor solução positiva u do seguinte sistema de congruências: 7X 1 mod 2, mod 3, mod 4, mod 5 e mod 6. Pela Proposição anterior item (ii), temos que toda solução simultânea das congruências acima é solução da congruência e reciprocamente. 7X 1 mod [2, 3, 4, 5, 6], Portanto, devemos achar a menor solução positiva u da congruência 7X 1 mod 60. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 15 - Parte 1 - Resumo - Congruências slide 14/15

15 Continuação do Exemplo Por outro lado, resolver a congruência 7X 1 mod 60 é equivalente a resolver a equação diofantina 7X 60Y = 1. Pelo algoritmo euclidiano estendido, temos que 60 = = = Portanto, 1 = = 4 (7 4) = = 2(60 7 8) 7 = 7 ( 17) 60 ( 2). Logo, x 0 = 17 e y 0 = 2 é uma solução particular da equação diofantina 7X 60Y = 1 e a sua solução geral é x = 17 + t60 e y = 2 t7, com t Z. Portanto, o menor valor positivo de u de modo que exista v para os quais u, v é uma solução da equação diofantina 7X 60Y = 1 é u = = 43. Segue-se, então, que o número procurado é 7 43 = 301. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 15 - Parte 1 - Resumo - Congruências slide 15/15