DIVISÃO NOS INTEIROS. Luciana Santos da Silva Martino. lulismartino.wordpress.com PROFMAT - Colégio Pedro II

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1 Sumário DIVISÃO NOS INTEIROS Luciana Santos da Silva Martino lulismartino.wordpress.com PROFMAT - Colégio Pedro II 18 de agosto de 2017

2 Sumário 1 Divisibilidade 2 Divisão Euclidiana 3 A Aritmética na Magna Grécia

3 Outline 1 Divisibilidade 2 Divisão Euclidiana 3 A Aritmética na Magna Grécia

4 Divisibilidade Quando não existir uma relação de divisibilidade entre dois números inteiros, veremos que, ainda assim, será possível efetuar uma divisão com resto pequeno chamada de divisão euclidiana Definição: Dados dois números inteiros a e b, diremos que a divide b, escrevendo a b, quando existir c Z tal que b = ca. Nesse caso, diremos também que a é um divisor ou um fator de b ou, ainda, que b é um múltiplo de a ou que b é divisível por a. A negação dessa sentença é representada por a b, significando que número inteiro c tal que b = ca

5 Divisibilidade Proposição 3.2: Sejam a, b, c Z. Tem-se que: i) 1 a, a a e a 0 ii) 0 a a = 0 ( ) iii) a b a b iv) se a b e b c então a c (*) Observe que a notação a b não representa nenhuma operação em Z, nem representa uma fração. Trata-se de uma sentença que diz ser verdadeira que existe c inteiro tal que b = ca (i) e (iii): todo número inteiro a é divisível por ±1 e por ±a (i): 0 tem infinitos divisores

6 Divisibilidade Definição: Suponha que a b e que a 0. Seja c Z tal que b = ca. O número inteiro c, univocamente determinado, é chamado de de quociente de b por a e é denotado por c = b a. b a só está definido quando a 0 e a b Proposição 3.3: Se a, b, c, d Z, então a b e c d ac bd. Em particular, se a b, então ac bc c Z Proposição 3.4: Sejam a, b, c Z tais que a (b ± c). Então a b a c

7 Divisibilidade Proposição 3.5: Se a, b, c Z são tais que a b e a c, então x, y Z vale que a (xb + yc) Proposição 3.6: Dados a, b Z, onde b 0, temos que a b a b. Em particular, se a Z e a 1 então a = ±1. b tem um número finito de divisores no intervalo b a b

8 Divisibilidade A relação de divisibilidade em N {0} é uma relação de ordem pois: i) é reflexiva: a N, a a (Prop. 3.2(i)) ii) é transitiva: se a b e b c então a c (Prop. 3.2(iv)) iii) é antissimétrica: se a b e b a, então a = b (Prop. 3.6) Entretanto a relação de divisibilidade não é uma relação de ordem em Z pois não é antissimétrica

9 Divisibilidade Proposição 3.7: Sejam a, b Z e n N. Temos que a b a n b n Aplicação: Todo número da forma 10 n 1, onde n N, é divisível por 9 Proposição 3.8: Sejam a, b Z, e n N {0}. Temos que a + b a 2n+1 + b 2n+1 Proposição 3.9: Sejam a, b Z, e n N. Temos que a + b a 2n b 2n

10 Outline 1 Divisibilidade 2 Divisão Euclidiana 3 A Aritmética na Magna Grécia

11 Divisão Euclidiana Euclides: É sempre possível efetuar a divisão de a por b com resto Divisão Euclidiana Teorema 3.10: Sejam a, b Z, com b 0. Existem dois únicos números inteiros q e r tais que a = bq + r, com 0 r < b q: quociente da divisão de a por b r: resto da divisão de a por b Resultado: O resto da divisão de a por b é zero b a

12 Divisão Euclidiana Definição: Denotando por q b (a) o quociente da divisão do número a por b, definimos a função quociente como segue: q b : Z Z a q b (a) Corolário 3.12: Dados a, b Z, com b > 0, existe um único número inteiro n(= q b (a)) tal que nb a < (n + 1)b Resultado: O inteiro q b (a) pode também ser interpretado como o maior inteiro menor ou igual do que o número racional a b [ ]. O inteiro q b (a) será denotado pelo símbolo a b

13 Divisão Euclidiana Definição: Denotando por r b (a) o resto da divisão do número a por b, definimos a função resto como segue: r b : Z Z a r b (a) Exemplo 3.13: r 9 (10 n ) = 1, qualquer que seja o número natural n

14 Divisão Euclidiana Exemplo 3.14: Dado um número inteiro n Z qualquer, temos duas possibilidades: i) o resto da divisão de n por 2 é 0, isto é, q N : n = 2q ii) o resto da divisão de n por 2 é 1, isto é, q N : n = 2q + 1 Números inteiros. números pares: números da forma 2q, para algum q Z. números ímpares: números da forma 2q + 1, para algum q Z

15 Divisão Euclidiana Exemplo 3.15: De um modo mais geral, fixado um número natural m 2, pode-se sempre escrever um número qualquer n, de modo único, na forma n = mk + r, onde k, r Z e 0 r < m. Todo número inteiro pode ser escrito em uma, e somente uma, das seguintes formas: 3k, 3k + 1 ou 3k + 2. Todo número inteiro pode ser escrito em uma, e somente uma, das seguintes formas: 4k, 4k + 1, 4k + 2 ou 4k + 3

16 Divisão Euclidiana Exemplo 3.16: Dados a, n N, com a > 2 e ímpar, vamos determinar a paridade de (an 1) 2 Exemplo 3.17: Vamos achar os múltiplos de 5 que se encontram entre 1 e 253

17 Divisão Euclidiana Resultado: Dados a, c N, com a < c, o número de múltiplos não nulos de a menores ou iguais a c é igual ao [ quociente da divisão de c por a, isto é, igual a parte inteira c a] do número racional c a Proposição 3.18: Dados a, b, c Z, tais que 0 < a < b < c, então o número dos múltiplos de a entre b e c é dado por: [ [ ] i) c a] b 1 a, se incluirmos b na contagem [ [ ] ii) c a] b a, se excluirmos b da contagem

18 Outline 1 Divisibilidade 2 Divisão Euclidiana 3 A Aritmética na Magna Grécia