1).- Significado de congruência e de congruência numérica

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1 5. CONGRUÊNCIAS NUMÉRICAS 1). Significado de congruência e de congruência numérica 2). Exemplos exploratórios e a notação mod q 3). Definição geral de congruência numérica 4). Regras: somando e multiplicando congruências numéricas 5). Regras: é possível simplificar ac bc mod q para a b mod q? 6). Aplicação: decidindo a divisibilidade de um número inteiro 7). Aplicação: decidindo a divisibilidade de uma soma 8). Exercícios e problemas 1).- Significado de congruência e de congruência numérica Em Matemática, ocasionalmente trabalhamos com igualdades que não são identidades. Ou seja: pode ser vantajoso ou conveniente tratarmos dois objetos matemáticos (dois números, duas figuras, duas funções, etc.) como sendo iguais. Para evitar confusão, se usa a palavra congruência para denotar esse tipo de igualdade. O leitor certamente já encontrou esse tipo de situação quando estudou congruência de figuras (como congruência de triângulos). Coube a um dos maiores matemáticos de todos os tempos, Karl F. Gauss, aplicar a ideia de congruência aos números inteiros. Isso ele fez em seu livro Disquisitiones Arithmeticæ (= Estudos de Aritmética) c. 1800, o qual revolucionou a Teoria dos Números. A exploração da paridade serve como exemplo bem simples da essência da ideia de congruência de números. Seja decidir se é número par ou ímpar. Em vez de efeturamos a soma desses número e depois ver se ela é par ou ímpar, meramente observamos que trata-se de uma soma do tipo par + ímpar, logo podemos afirmar que o resultado é ímpar, sem nem ter calculado seu valor! Na terminologia que desenvolveremos adiante, dizemos que decidimos a paridade da soma usando congruência módulo 2. 2).- Exemplos exploratórios e a notação mod q Exemplo 1 Mostrar que as sucessivas potências de 10 são números múltiplos de 6 aumentados de 4. Obviamente, 10 = O caso 100 se reduz a esse: 100 = 10x10 = (4+6)x10 = x6 = x6 = 6x x6 = x6. Semelhantemente, o caso 1000 se reduz ao de 100. Contudo, vejamos uma maneira ainda mais inteligente de raciocinarmos. Introduzindo a notação M6,

2 para indicar qualquer múltiplo de 6, refaçamos os cálculos acima: 100 = 10x10 = (4+6)x10 = 40 + M6 = M6 = 4 + M6. A vantagem dessa notação fica ainda mais evidente no caso Vejamos: 1000 = 10x100 = 10x(4 + M6) = 40 + M6 = M6 = 4 + M6. Também fica evidente que o padrão continua: = 10x1000 = 10x(4 + M6) = etc. Bem, a ideia de Gauss permite abreviar ainda mais esses cálculos. Em vez de escrever que, por exemplo, 40 = 4 + M6, Gauss escrevia 40 4 mod 6, ou meramente (que lemos como a menos de um múltiplo de 6, 40 é igual a 4 ) com isso, podemos refazer os cálculos acima: 100 = O caso 1000 fica: 1000 = Para : = , etc. É imediato generalizar para n 1: 10 n 4 mod 6. Exemplo 2 Todo número natural é igual a um múltiplo de 6 somado com seu algarismo das unidades e mais o produto de 4 pela soma dos demais algarismos. Exemplificando, 7452 = M ( ). Provemos isso, iniciando com = e usando o exerc. anterior, o que dá: 7000 = = (M6 + 4) 7 = M = = (M6 + 4) 4 = M = 10 5 = (M6 + 4) 5 = M , assim que, somando: 7452 = M ( ). Vejamos como ficam esses cálculos usando a notação de Gauss (mod 6): 7000 = = = , e, novamente, somando: (7+4+5), ou seja: a menos de um múltiplo de 6, é igual a ( ). Exemplo 3 Se um número natural for tal que a soma do seu algarismo das unidades com o produto de 4 pela soma dos demais algarismos resultar num número divisível por 6, então o número dado também é divisível por 6. 2

3 Demonstremos isso com vários exemplos e usando a notação modular de Gauss, o caso geral ficará imediato a partir do entendimento desses exemplos. Aqui, estará aparecendo uma pequena novidade notacional: o que significa, por exemplo: 40 0 mod 6? a 0 mod 6 significa o número a, a menos de um múltiplo de 6, é igual a zero, o que é o mesmo que dizer a é um múltiplo de 6. Então, examinemos vários exemplos: (6 + 6) mod 6; ( ) mod 6; ( ) mod 6. Vemos que 666 e são múltiplos de 6, mas não. Os últimos exemplos que vimos trataram de congruências mod 6, enquanto que o exemplo inicial, o da paridade, tratava de congruências mod 2. Em geral, podemos trabalhar com congruências mod q, para qualquer inteiro q 2. Passemos, então, a dar uma definição formal e explicitar as regras aritméticas da congruência de números. 3). Definição geral de congruência numérica Definição Fixado um inteiro q 2, e sendo dados a e b inteiros quaisquer, ao escrevermos a b mod q estamos dizendo que, a menos de um múltiplo inteiro de q, temos que a e b são iguais; ou seja, em notação algébrica: existe um k inteiro, tal que a = b + kq. Cuidado, observe que eventualmente, precisaremos admitir inteiros k negativos; por exemplo, assim como 19 5 mod 7 (pois 19 = ), também temos 5 19 mod 7, (pois 5 = 19 + ( 2) 7); não é permitido tomar o módulo q = 1; V. consegue perceber o porquê disto? Acima, vimos que, relativamente ao módulo q = 6, temos 10 n 4 mod 6, para n 1; pede-se verificar se vale resultado semelhante para o módulo q = 3. DICA: cuidando o uso dos símbolos = e o de, observe que 10 = 1 + 9, logo 10 1 mod 3 ; 100 = ; 1000 = ; etc. Em geral, uma congruência deixa de valer ao trocarmos o valor do módulo. Contudo, mostre que se a b mod 4, então a b mod 2. Vale a recíproca? 3

4 Modos equivalentes de entendermos a b mod q : a menos de um múltiplo de q, a é igual a b ; ou seja: a = b + kq a b é um múltiplo de q q é um divisor de a b a e b têm o mesmo resto quando divididos por q. V. concorda com essas equivalências? 4). Regras: somando e multiplicando congruências numéricas Para guardar! Para um mesmo módulo q, mas para quaisquer inteiros a,b,c,d : a b mod q = a + c b + c, a c b c, ac bc. a b mod q e c d mod q = a + c b + d, a c b d, ac bd. Em particular: a b mod q = a 2 b 2, a 3 b 3, a 4 b 4, etc. Prova. Usando a notação Mq, podemos ver facilmente a veracidade desses resultados. Mostremos apenas o caso mais difícil, o da multiplicação. Assim, a partir de a b mod q e c d mod q (ou seja: a = b + M q e c = d + M q), temos ac = (b + M q)(d + M q) = bd + d M q + bm q + M qm q = bd + M q + M q + M q = bd + M q, de modo que ac bd mod q. Temos 5 2 mod 3, de modo que , 5 3 = , e assim por diante, sem que tenhamos de calcular o valor exato de 5 2, 5 3, etc. De modo análogo, verifique os valores a seguir: 4

5 De modo análogo, completar o quadro a seguir. a a mod 5 a 2 mod 5 a 3 mod 5 a 4 mod 5 a 5 mod Prova. Caso de mod 4: Para n = par = 2m, temos n 2 = 4m 2 0 mod 4; para n = ímpar = 1 + 2m, temos n 2 = 1 + 4m + 4m 2 = 1 + 4(m + 1) 1 mod 4. Caso de mod 8: Para n = par = 2m, quando m = par = 2k, temos n 2 = 4m 2 = 4 4k 2 = 16k 2 0 mod 8; e quando m = ímpar = 1 + 2k, então n 2 = 4m 2 = 4(1 + 4k + 4k 2 ) = (k + k 2 ) 4. Para n = ímpar = 1+2m, temos n 2 = 1+4m+4m 2 = 1+4m(m+1), mas como m e m+1 são consecutivos, um deles é par, logo o produto deles também é par, e daí 4m(m + 1) 0 mod 8, o que dá n 2 = 1 + 4m(m + 1) Verifique a regra: a b mod q = a n b n mod q, no caso de a = 5, b = 2 e q = 3, e para os valores m = 1,2,3,4. V. consegue perceber um padrão em seus resultados? 5

6 Preencha a tabela abaixo, colocando na terceira linha os menores valores a 0 tais que a 3n mod 11. n n 3n mod 11 A seguir, marcando na circunferência 11-1 = 10 pontos igualmente espaçados e enumerando-os de 1 a 10, una o ponto n ao ponto 3n mod 11. Verifique se a figura resultante é o desenho seguinte de Theonis Papas: 5). Regras: é possível simplificar ac bc mod q para a b mod q? Em geral, não! Exemplificando: vale 44 8 mod 6, mas não podemos simplificar por 4 e afirmar que 11 2 mod 6. Com efeito, 11 5 mod 6. Tentemos entender por que a simplificação não funcionou nesse caso. Certamente, ou 4 (11-2) 0, ou ainda: 4 9 0, e gostaríamos de concluir que 9 0 (pois é o mesmo que , ou 11 2 ). Ora, examinando todas as possibilidades de resultado mod 6 para o produto 9n, obtemos o quadro abaixo, o qual mostra que 9n 0 ocorre mais de uma vez, para n não nulo. Ou seja, somente sabendo que 9n 0, não podemos garantir que 9 0. n n Isso nos leva a investigar quando mn 0 mod q nos permite concluir que ao menos um dentre m e n 0 mod q. Revertendo para a aritmética de inteiros, isso equivale a perguntar quando q dividindo o produto mn nos permite concluir que q divide ao menos um dentre m e n. Ora, já sabemos pelo Lema de Euclides que isso ocorre quando q for primo. Conclusão: Para guardar! sendo q primo, sempre que ac bc mod q podemos afirmar que a b mod q. 6

7 A Conjectura de Fermat diz que n seria primo para todos os inteiros n 0. Vimos que Euler mostrou que ela é falsa para n = 5, pois é divisível por 641. Usando congruências, a afirmação de Euler equivale a dizer que mod 641, que é o que passamos a verificar. Relacionando 641 com potência de 2, temos 641 = ; passando a transformar este 2 7 em 2 32, de mod 641, tiramos , logo e então ( 5 2 8) 4 ( 2) 4, ou seja: Mas, também vale que 641 = , de modo que e assim ( 1). Então, simplificando o fator comum 5 4, pois 641 é primo, temos , ou seja: mod 641. Demonstre o resultado do exemplo anterior sem usar o teorema acima, observando que e usando ). Aplicação: decidindo a divisibilidade de um número inteiro Uma técnica para decidir a divisibilidade de um inteiro a consiste em trabalhamos, usando alguma engenhosidade, de modo a chegar a um ponto onde podemos usar a muito simples observação: a é divisível por q a 0 mod q. O número é divisível por 9? Já sabemos que 10 n 1 mod 9, de modo que, como = = , obtemos em mod 9: Logo, não podemos chegar a zero mod 9, e assim não é divisível por 9. Mostre que é imediato generalizar o raciocínio do exemplo anterior para concluir a regra: um número natural é divisível por 9 quando, e somente quando, a soma dos dígitos de sua representação decimal for igual a zero mod 9. Aplique essa regra para concluir que e divisivel por 9. O que ocorre se permutarmos os dígitos deste número? O número é divisível por 3? Temos de usar mod 3, e contornamos o alto valor do expoente observando que 2-1 mod 3, de modo que ( 1) Ora, como não chegamos a zero mod 3, segue que não é verdade que o número dado seja divisível por 3. Decidir se é divisível por 23. Agora, temos de usar mod 23. Iniciamos observando que 2 047= e que 2 11 = ; ora 2 5 =32 9 implica que (tudo mod 23), de modo que 2 11 = e, então, 2047 = , ou seja: é divisível por 23. 7

8 Com raciocínios semelhantes, podemos achar regras para divisibilidade para 2, 3, 4, 5,..., 9. O quadro abaixo resume algumas delas. n é divisível por 3 sempre que (a soma dos seus dígitos) 0 mod 4 n é divisível por 4 sempre que (a soma do dígito das unidades com o das dezenas) 0 mod 9 n é divisível por 9 sempre que (a soma de todos seus dígitos) 0 mod 9 7). Aplicação: decidindo a divisibilidade de uma soma Temos duas técnicas, conforme se mostra nos exemplos a seguir. Mostrar que para nenhum número natural n ocorre de 2n 2 + n + 1 ser divisível por 3. Para cada número natural n temos apenas três possibilidades: n 0,1,2 mod 3. Examinemos o que ocorre em cada caso: para n 0, temos 2n 2 + n ; para n 1, temos 2n 2 + n ; para n 2, temos 2n 2 + n Assim, como em nenhuma das possibilidades podemos chegar a 0 mod 3, segue nunca ocorre que 2n 2 + n + 1 seja divisível por 3. Mostrar que 6 n + 8 n é divisível por 7 quando, e só quando, n for par. Resp.: em módulo 7, temos 6 1 e 8 1, de modo que a = 6 n + 8 n ( 1) n + 1 n ( 1) n + 1 e então temos que a 2 se n par, e a 0 se n ímpar. EXERCÍCIOS DIDÁTICOS Para guardar! dependendo do problema que temos de resolver, teremos de ver qual a mais conveniente das seguintes interpretações para uma congruência a 0 mod q: ou a é múltiplo de q, ou a é divisível por q, ou também q é um divisor de a ; lembrar que em a b mod q, o b pode ser interpretado como o resto que se obtém ao dividirmos a por q; ao trabalharmos com potência de números, devemos procurar obter a b mod q com um b o mais próximo possível de zero, mesmo que tenhamos de tomar valores negativos; assim, entre 11 9 mod 13 e 11 ( 1) mod 13, devemos preferir a segunda alternativa. 8