Introdução à Teoria dos Números Notas de Aulas 3 Prof Carlos Alberto S Soares

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1 Introdução à Teoria dos Números Notas de Aulas 3 Prof Carlos Alberto S Soares 1 Números Primos e o Teorema Fundamental da Aritmética Em notas anteriores já definimos os números primos, isto é, números inteiros p maiores que 1 tais que seus únicos divisores são ±1 e ±p. Também mostramos que se um número primo divide um produto de número inteiros, então ele divide pelo menos um destes números. Resumimos estes resultados na proposição abaixo. Proposição 1 Sejam p um número primo e a 1, a 2,..., a k números inteiros tais que p a 1.a a k. Então, existe um índice i tal que p a i. Em particular, se um número primo p é tal que p a n para algum inteiro a e um número natural n, então p a. Aplicação 2 Mostre que não existe um número racional x tal que x 2 = 2. Solução 3 Em sala! Observação 4 Um número inteiro n > 1 que não seja primo, será dito um número composto. Note que n será um número composto se, e somente se, existem números inteiros a, b, com 1 < a, b < n tais que n = ab. Análoga à proposição anterior, temos: Proposição 5 Sejam p 1, p 2,..., p k números primos distintos e n um número natural. Então, p 1.p 2... p k n p i n i. Prova. Exercício(Por indução sobre k) Uma proposição simples, mas muito útil, é dada abaixo. Proposição 6 Seja n > 1 um número natural. Existe um número primo p tal que p n, ou seja, todo número inteiro positivo maior que 1 possui pelo menos um divisor primo. Aplicação 7 Sejam a e b números naturais tais que mdc(a, b) = 1. Mostre que mdc(a n, b m ) = 1 n, m N. 1

2 Solução 8 Em sala! A proposição abaixo nos será útil para justificar o chamado Crivo de Eratóstenes. Proposição 9 Se um número inteiro n maior que 1 não é primo, então n possui um divisor primo menor do que ou igual a n. Crivo de Eratóstenes Proposição 10 O conjunto dos números primos é infinito. Ainda que o conjunto dos números primos seja infinito é possível obtermos uma quantidade finita de números compostos consecutivos tão grande quanto desejarmos, isto é, Proposição 11 Para qualquer inteiro positivo n, existem n inteiros consecutivos compostos. O resultado abaixo é o principal resultado desta seção. Teorema 12 (Teorema Fundamental da Aritmética) Dado um número natural n > 1, existem únicos números naturais k, r 1, r 2,..., r k e únicos números primos p 1 < p 2 <... < p k tais que n = p r 1 1 p r p r k k (1) ou seja, qualquer número inteiro maior que 1 pode ser escrito de forma única, a menos da ordem, como um produto de potências de números primos distintos. Observação 13 Quando escrevemos um número natural n na forma (1) temos a chamada decomposição em fatores primos de n. Proposição 14 Seja n um número natural tal que sua decomposição em fatores primos seja dada por n = p r 1 1 p r p r k k. Então, os divisores positivos de n são os números naturais a da forma a = p s 1 1 p s p s k k com 0 s i r i i = 1, 2,..., k. Em particular, o número de divisores de n será dado por d(n) = (r 1 + 1)(r 2 + 1)... (r k + 1). Prova. Em sala! Proposição 15 Sejam a e b números naturais maiores que 1 tais que suas decomposições em fatores primos sejam a = p r 1 1 p r p r k k e b = q s 1 1 q s p s j j. Então: 1) O mdc(a, b) será dado pelo produto dos primos comuns às duas decomposições elevados ao menor expoente. 2) O mmc(a, b) será dado pelo produto dos primos comuns e não comuns às duas decomposições elevados ao maior expoente. 2

3 Prova. Em sala Corolário 16 mdc(n, a) = mdc(n, b) = 1 mdc(n, ab) = 1. Lema 17 Seja p um número primo. Então, se 0 < i < p, teremos p ( p i). Prova. Em sala! Teorema 18 (Pequeno Teorema de Fermat) Se p é um número primo e a é um número natural, então p (a p a). Prova. Em sala! Corolário 19 Se p é um número primo e a um número natural tal que p a, então p (a p 1 1). Prova. Em sala! Exercício Mostre que 3 é o único primo p tal que p, p + 2, p + 4 são todos primos. 2. Mostre que para nenhum n natural, teremos 2 n + 1 um cubo. 3. Mostre que, exceto para n = 1, nenhum número da forma n é primo. 4. Mostre que não existe um número natural n tal que 7 4n Mostre que para n > 1 os números n e n 4 + n são, ambos, compostos. 6. Mostre que se 2 n + 1 é um primo ímpar, então n é uma potência de Determine todos os possíveis valores de n, m números naturais tais que o número 9 m.10 n tenha: (a) 27 divisores (b) 243 divisores 8. Sejam a, b números naturais com mdc(a, b) = 1. Mostre que ab é um quadrado se, e somente se, a e b são quadrados. 9. Qual o menor número natural n tal que 1000 n!? Justifique! 10. Qual a potência de 3 que aparece na decomposição em fatores primos de 1000!? Justifique! 11. Mostre que existem infinitos números naturais n tais que 77 8n Mostre que 42 a 7 a para todo número natural a. 13. Sendo n um número natural, nostre que é natural o número 3 5 n n n. 14. Sendo n um número natural, mostre que 15 3n 5 + 5n 3 + 7n. 3

4 15. Sendo a, k N, mostre que 7 a 6k 1, se mdc(a, 7) = Mostre que, sendo mdc(a, 13) = mdc(b, 13) = 1, teremos 13 a 12 b Mostre que todo primo da forma 3n + 1 é também da forma 6m Seja n > 2 um número natural. Mostre que entre n e n! existe um número primo. 19. Sejam a, b, n, m números naturais tais que a n +b m seja primo. Mostre que mdc(n, m) = 1 ou mdc(n, m) = 2 r para algum r N. 2 Congruência Definição 21 Sejam a, b, n Z. Diremos que a é congruente a b módulo n, e anotamos se n a b. a b mod n ou a b (mod n) ou a b mod (n) Proposição 22 Sejam a, b, n Z. a é congruente a b módulo n, isto é, a b mod n se, e somente se, a e b deixam o mesmo resto quando divididos (divisão Euclidiana) por n. Prova. Suponhamos que a e b deixem o mesmo resto quando divididos por n, isto é, a = nq + r e b = nq + r. Então, a b = n(q q ), ou ainda, n a b. Suponhamos, agora, a b mod n e sejam a = nq + r e b = nq + r com 0 r, r < n. Teremos a b mod n n a b n n(q q ) + (r r ) n r r r r = 0 r = r. Note que a proposição acima nos diz que um número b é o resto da divisão de um número a por n se, e somente se, 0 b < n e a b mod n. É claro que a b mod n a b mod n e, portanto, estaremos sempre supondo n > 0. Temos, ainda, que se a b mod n e m n, então a b mod m, Listaremos na proposição abaixo as principais propriedades satisfeitas pela relação de congruência. Proposição 23 Sejam a, b, c, d números inteiros e n, m números naturais. Então: 1. a a mod n 2. a b mod n b a mod n 3. Se a b mod n e b c mod n, teremos a c mod n. 4. Se a b mod n e c d mod n, teremos a ± c b ± d mod n e ac bd mod n. (Podemos somar, subtrair ou mesmo multiplicar congruências) 5. Se a b mod n, teremos ac bc mod n e a m b m mod n 4

5 6. ac bc mod n a b mod n mdc(c,n) 7. a b mod n e a b mod m a b mod mmc(n, m) 8. Se a b mod n, teremos mdc(a, n) = mdc(b, n). Prova. Os itens (1) e (2) são diretos. (3) a b mod n e b c mod n n a b e n b c n (a b) + (b c) n a c a c mod n (4) a ± c (b ± d) = a b ± (c d) e, como, n a b e n c d, segue o resultado. Temos, ainda, ac bd = ac bc + bc bd = c(b a) + b(c d) e, como, n a b e n c d, segue o resultado. (5) Segue direto do item anterior. (6) Temos ac bc mod n n c(a b) Por outro lado, a b mod n mdc(n, c) c mdc(n, c) (a b) n mdc(c, n) ca cb mod nc mdc(c, n) (7) e (8) Seguem direto das definições de mdc e mmc n n a b a b mod mdc(n, c) ca cb mod n. mdc(c, n). É interessante, neste momento, recordarmos o Pequeno Teorema de Fermat via congruências. Teorema 24 (Pequeno Teorema de Fermat) Seja p um número primo. Então: 1) a p a mod p a N 2) Se p a, temos a p 1 1 mod p. Aplicação 25 Determine o resto da divisão de por 5. Solução 26 Em sala! Aplicação 27 Determine o resto da divisão de 7 77 por 4. Solução 28 Em sala! Aplicação 29 Determine o resto da divisão de 1! + 2! + 3! (10 10 )! por 40. Solução 30 Em sala! 5

6 Aplicação 31 Determine o resto da divisão de por 17. Solução 32 Em sala! Exercício Prove os itens (8) e (9) da proposição acima. 2. Determine o resto da divisão de (a) 7 10 por 51 (b) por 11 (c) por 17 (d) ( ) 2 1 por 8 3. Prove que 19 8n 1 é múltiplo de 17 para todo n N. 4. Determine a resto da divisão por 7 do número (a) (b) (c) (d) Determine o rsto da divisão por 4 do número (a) (b) ) Determine o algarismo das unidades do número Mostre, que para todo n N, temos (a) 10 2n 1 mod 11 (b) 10 2n mod (a) Mostre que todo quadrado perfeito é congruente a 0, 1 ou 4, módulo 8. (b) Mostre que não há nenhum quadrado perfeito na sequência : 2, 22, 222, 2222,... (c) Mostre que não há nenhum quadrado perfeito na PA: 3, 11, 19,... 3 A equação ax b mod n Desejamos, agora, obter soluções para a equação. ax b mod n (2) Inicialmente, notemos que se x é solução de (2) então existe y Z tal que ax b = ny, isto é, ax ny = b e vice-versa. Logo, resolver a equação (2) é equivalente a resolver a equação diofantina ax + ny = b e, portanto, a equação (2) possui solução se, e somente se, mdc(a, n) b. Exemplo 34 Resolver a equação 8x 4 mod 12. Solução 35 Em sala! Note que se x 0 é solução de (2) e x 1 x 0 mod n então x 1 é solução de (2), mas duas soluções de (2) não são necessariamente conguentes múdulo n. No exemplo acima, 2 e 5 são soluções, mas 2 5 mod 12. 6

7 Definição 36 Um conjunto Γ = {x 1, x 2,..., x k } será dito um sistema completo de soluções incongruentes módulo n para a equação (2) se: 1) Cada x i é solução de (2); 2) Quaisquer dois elementos de Γ são incongruentes módulo n, isto é, se i j temos x i x j : 3) Se x é solução de (2), então existe um índice x i Γ tal que x x i mod n. Teorema 37 Um sistema completo de soluções incongruentes módulo n para a equação (2), com d = mdc(a, n) b, possui exatamente d elementos. Além disso, se x 0 é uma solução de (2), o conjunto Γ = {x 0, x 0 + n d, x n d,..., x 0 + (d 1) n d } é um sistema completo de soluções incongruentes módulo n para a equação (2). Prova. Mostremos que o conjunto Γ acima é um sistema completo de soluções incongruentes módulo n para a equação (2). Inicialmente, note que se x i x j mod n, então n (x 0 + i i ) (x d 0 + j n), ou ainda, n (i j) n. Mas 0 i j < d e, portanto, 0 i j n < n d d d daí se n (i j) n temos que i j = 0. Mostremos, agora, que se x é uma solução de (2), então d existe x i Γ tal que x x i mod n. Se x é solução de (2) então temos que ax b mod n e ax 0 b mod, n e, daí, temos que n a(x x 0 ) n d a d.(x x 0) n d x x 0 x x 0 = k n d. Usando a divisão Euclidiana, temos que k = id + r com 0 r (d 1) e, portanto, teremos, x x 0 = (id + r) n d x (x 0 + r n d ) = in) n x (x 0 + r n d ) x x 0 + r n d Γ. Para completar a prova, basta mostrar que quisquer dois sistemas completos de soluções incongruentes módulo n para a equação (2) possui d elementos, o que será deixado como exercício. (Exercício 1, lista abaixo) Exemplo 38 Determine um sistema completo de soluções incongruentes módulo 12 para equação do exemplo anterior. Solução 39 Em sala! 4 Sistemas de Congruências Lineares Estaremos interessados, agora, em resolver sistemas de congruências lineares. Vejamos um exemplo simples. Exemplo 40 Resolver o sistema { x 0 mod 7 x 1 mod 12 7

8 Solução 41 Em sala! Antes de enunciarmos o Teorema Chinês dos Restos, que caracterizará a solução de sistemas de congruências necessitamos de certas noções elementares, senão vejamos. Observação 42 Consideremos a equação ax b mod n e d um divisor comum de a, b e n. É simples ver que as equaçôes ax b mod n e ax b mod n são equivalentes, isto é, possuem o d d d mesmo conjunto solução. Definição 43 Sejam a e n números inteiros, com n 0. Um número inteiro b será dito um inverso multiplicativo de a módulo n se b é uma solução da congruência ax 1 mod n. ab 1 mod n, ou ainda, Note que um inverso multiplicativo de a módulo n existe se, e somente se, mdc(a, n) = 1. Exemplo 44 Determine um inverso multiplicativo para 3 módulo 5. Solução 45 Em sala! Observação 46 Se a e p são números inteiros, com p um número primo e mdc(a, p) = 1, pelo pequeno teorema de Fermat, sabemos que a p 1 1 mod p, isto é,aa p 2 1 mod p e, portanto, a p 2 é um inverso multiplicativo para a módulo p. A importância de um inverso multiplicativo ficará evidenciada no teorema abaixo. Teorema 47 Sejam a e n números inteiros com mdc(a, n) = 1 e a um inverso multiplicativo módulo n para a. Então, as equações ax b mod n e x ba mod n são equivalentes, isto é, possuem o mesmo conjunto solução. Prova. Note que ax b = ax baa + baa b = a(x ba ) + b(aa 1) e como mdc(a, n) = 1 e n aa 1 teremos que n ax b n x ba e o resultado segue. Exemplo 48 Determine uma equação do tipo x c mod m que seja equivalente à equação 8x 4 mod 12. Solução 49 Em sala! 8

9 Teorema 50 (Teorema do Resto Chinês) 1 Sejam n 1, n 2,..., n k, c 1, c 2,..., c k números inteiros tais que mdc(n i, n j ) = 1, i j. Então, o sistema x c 1 mod n 1 x c 2 mod n 2 x c 3 mod n 3... x c k mod n k possui uma única solução módulo n = n 1.n 2.n 3... n k. Além disso, esta solução é dada por x = N 1 y 1 c N k y k c k onde N i = N n i e y i é solução de N i y 1 mod n i, i = 1, 2,..., k. Prova. Em sala! Exemplo 51 Resolva o sistema x 2 mod 11 x 4 mod 12 x 5 mod 13 Solução 52 Em sala! Muitas vezes a solução de uma equação pode ser obtida através da solução de um sistema. Exemplo 53 Resolva a equação 5x 7 mod 18. Solução 54 Em sala! Exercício Para cada equação abaixo, determine: um conjunto completo de soluções incongruentes módulo n, uma equação do tipo x β mod γ quivalente à equação dada e o conjunto solução da equação proposta. (a) 5x 3 mod 24 (b) 3x 1 mod 10 (c) 23x 7 mod 19 (d) 7x 5 mod 18 (e) 25x 15 mod Resolva os seguintes sistemas: (a) (b) x 1 mod 2 x 2 mod 3 x 5 mod 7 2x 1 mod 5 3x 2 mod 7 5x 7 mod 11 1 Alguns autores se referem a este teorema como Teorema Chinês dos Restos 9

10 (c) x 7 mod 11 3x 5 mod 13 7x 4 mod 5 3. Encontre todas as soluções de cada equação abaixo. (a) 5x 3 mod 7 (b) 13x 14 mod 29 (c) 15x 9 mod 25 (d) 37x 16 mod 19 (e) 5x 20 mod Levando em consideração que 2275 = , resolva a equação 3x 11 mod Determine todos os números naturais que deixam restos 2, 3 e 4 quando divididos por 3, 4 e 5 respectivamente. 6. Determine o menor número natual que deixa restos 1, 3 e 4 quando divididos por 5, 7 e 9 respectivamente. 10