Álgebra A - Aula 12 Sistemas de congruências

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1 Álgebra A - Aula 12 Sistemas de congruências Elaine Pimentel Departamento de Matemática, UFMG, Brazil 2 o Semestre

2 Equações lineares ax b (mod n) Se a possui um inverso α em Z n, então: α(ax) αb (mod n) x αb (mod n) Em particular, se n é primo e a 0 (mod n), então a equação acima sempre tem (uma única) solução.

3 Equações lineares Se mdc(a, n) = d 1, a equação: ax ny = b só tem solução quando b é divisível por d. Suponhamos então que d divide b. Escreveremos a = da, b = db e n = dn. Cancelando os d s: Ou seja, a x n y = b a x b (mod n ) Observe que agora mdc(a, n ) = 1, e essa equação sempre tem solução.

4 Exemplo Seja 6x 4 (mod 8). Dividindo pelo mdc(6, 8) = 2, obtemos 3x 2 (mod 4) Logo, x 2 (mod 4) ou x = 2 + 4k Duas possibilidades: k é par. Nesse caso, x 2 (mod 8) e 2 é uma solução. k é ímpar (k = 2m + 1). Nesse caso, x 6 (mod 8) e 6 é outra solução. Equação linear possui mais de uma solução!

5 Um exemplo astronômico Três satélites passarão sobre o Rio essa noite. O primeiro à uma hora, o segundo às 4 horas e o terceiro às 8 horas da manhã. O primeiro leva 13 horas para completar uma volta em torno da terra, o segundo 15 horas e o terceiro 19 horas. Determine quantas horas decorrerão, à partir de meia noite, até que os três satélites passem ao mesmo tempo sobre o Rio.

6 Um exemplo astronômico x = número de horas quando os três satélites passarão juntos sobre o Rio. Então: x 1 (mod 13) x 4 (mod 15) x 8 (mod 19) Podemos re-escrever a primeira equação cmo x = t, Substituindo a primeira equação na segunda, obtemos: t 6 (mod 15)

7 Um exemplo astronômico Logo x = u. Substituindo essa equação na terceira: Logo, u 1 (mod 19) x = u = v Logo os satélites passarão juntos pela primeira vez 274 horas depois da meia noite de hoje.

8 Algoritmo chinês do resto A solução de um sistema de muitas equações é obtida através da solução de vários sistemas de duas equações. Considere então o sistema x a (mod m) x b (mod n) Podemos re-escrever a primeira equação na forma: x = a + my Substituindo x na segunda equação, obtemos: my (b a) (mod n) Sabemos que essa equação tem solução se e somente se o mdc(n, m) divide b a.

9 Algoritmo chinês do resto Vamos assumir que mdc(n, m) = 1. Seja α o inverso de m módulo n. Então: y α(b a) (mod n) y = α(b a) + nz x = a + mα(b a) + mnz x = a(1 mα) + mαb + mnz x = aβn + mαb + mnz Teorema Chinês do resto. Sejam n 1,..., n k inteiros positivos, dois a dois primos entre si. Então o sistema x a 1 (mod n 1 ). x a k (mod n k ) sempre tem uma solução única em Z n1...n k.

10 Módulos não co-primos Considere o sistema: x 3 (mod 12) x 19 (mod 8) Da primeira equação, obtemos x = y. Substituindo isso na segunda equação, temos 12y 16 (mod 8). Dividindo essa equação por 4, obtemos 3y 4 (mod 2). Logo, x 3 (mod 24) Observe que 24 é o mmc entre 8 e 12...

11 Partilha de senhas Senha s partilhada entre n pessoas: cada pessoa possui um elemento (uma parte) da senha. Elemento: escolhido de um conjunto S de n pares de inteiros positivos de modo que, para um inteiro positivo k n previamente escolhido temos: 1. qualquer subconjunto de S com k elementos permite determinar s facilmente; 2. é muito difícil determinar s conhecendo menos de k elementos de S.

12 Partilha de senhas Conjunto L de n inteiros positivos, dois a dois primos entre si. Seja N o produto dos k menores números de L e M o produto dos k 1 maiores números de L. Dizemos que esse conjunto tem limiar k se N > s > M Observe que essa condição implica que o produto de k ou mais elementos de L é sempre maior que N e o produto de menos de k elementos é sempre menor que M. O conjunto S será formado pelos pares da forma (m, s m ) onde m L e s m é a forma reduzida de s módulo m. Observe que limiar k 1 implica s > m para qualquer m L. Logo s m < s para qualquer m L.

13 Partilha de senhas Suponhamos que sejan conhecidos t elementos, k: (m 1, s 1 ),..., (m t, s t ). Vamos resolver o sistema de congruências: x s 1 (mod m 1 ) x s 2 (mod m 2 )... x s t (mod m t ) obtendo x 0 como solução. Pelo teorema chinês do resto, x 0 s (mod m m t )

14 Partilha de senhas Observações: 1. É possível escolher os módulos de modo que fique praticamente impossível encontrar s através de uma busca. 2. É sempre possível escolher um conjunto L que satisfaça todas as condições.

15 Partilha de senhas Exemplo. Digamos que em um banco há 5 funcionários e pelo menos 2 têm que estar presentes para que o cofre seja aberto. Logo o conjunto L deve ter 5 elementos, e seu limiar deve ser 2. Uma escolha possível escolhendo apenas primos pequenos é L = {11, 13, 17, 19, 23} O valor de s pode ser escolhido como sendo qualquer inteiro no intervalo que vai de 23 a 143. Digamos s = 30. Então: S = {(11, 19), (13, 17), (17, 13), (19, 11), (23, 7)} Se os funcionários que possuem as senhas (17, 13) e (23, 7) estão no banco, para obter a senha é preciso resolver o sistema A solução é x = k... x 13 (mod 17) x 7 (mod 23)

16 Exercícios propostos - Capítulo 7 1,2,4